ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA

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José Luis Cordero Rodríguez
hace 5 años
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1 V ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA 9. orrialdea Aztertu bi banaketa bidimentsional hauek: I II Hartu honako balio hauetako bat, eta lotu bakoi-tzari dagokion korrelazio-koefizientea: 0,; 0,; 0,; 0,; 0,92; 0,92; ; Erantzun, arrazoiak emanez (kontuan hartu ez zaizula eragiketarik egiteko eskatzen, puntu-hodeietatik abiatuta arrazoitzeko baizik). La correlación de I es fuerte y negativa. El único valor razonable de los que se muestran es 0,92 ( 0, es demasiado débil y solo sería si todos los puntos estuvieran alineados). La correlación de II es positiva pero débil. Su valor es 0,. 2 Ikasgela bateko 0 ikasleri neurri hauek hartu dizkiegu: x hilabete batean eskolara falta izan diren egunak. y Matematikako nota. x y a) Adierazi banaketa puntu-hodei baten bitartez, eta kalkulatu: x, y, q x, q y, q xy. b) Kalkulatu korrelazio-koefizientea. c) Lortu X-ren gaineko Y-ren erregresio-zuzena. d) Behin falta izan den ikasgela bereko beste ikasle batek, zer nota estimatzen duzu aterako duela Matematikan? Zure ustez, estimazio ona da?

2 a) NOTA 0 FALTAS 0 x,, y,2 q x 2,, q y 2,82, q xy,8,8 b) r 0,8 2, 2,82,8 c) m yx 0,77 2, 2 Recta de regresión de Y sobre X: y,2 0,77 (x,) 8 y 0,77x + 8,9 d) y^() 0,77 + 8, 7,82 Se estima una nota de 7 u 8 puntos. Pero la estimación es mala, porque la correlación es demasiado baja como para hacer estimaciones fiables. Honako probabilitate hauek dakizkigu: P[A 0, P[A'» B' 0, P[B' 0,2 Kalkulatu P[B, P[A «B eta P[A» B. P [B P[B' 0,2 0,8 A'» B' [A «B' (Ley de Morgan) Por tanto: 0, P[A'» B' P[(A «B)' P[A «B 8 P[A «B 0, 0,9 P[A «B P[A + P[B P[A» B ,9 0, + 0,8 P[A» B P[A» B 0, + 0,8 0,9 0,2 2

3 BLOKEA A IV B Dadoan irteten bada, bola B-tik aterako dugu. Beste puntuazioren bat irteten bada, A-tik aterako dugu. Kalkulatu: P[ / P [ eta P[ P[ P [ / Azaldu zer esan nahi duen azkeneko probabilitate horrek. P [ y P[ 0 P [no P [ /no 0 P [ y / + P [no y P[ P[ P [/ / (2,,,, ) P [ P [ P [no y P[ () P [ y /0 P[ /0 P [/ significa que sabemos que ha salido finalmente bola roja y nos preguntamos por la probabilidad de que en el dado hubiera salido. Betaurrekoak edo lentillak dituzten 00 pertsonako talde batean begien koloreari erreparatu diogu (Ur, Br, Bl, M). Emaitzetako batzuk honako taula honetan bilduta daude: BETAUR. AZ V 20 N M TOTAL 2 LENTILLAK GUZTIRA 2 00 a) Osatu taula. b) Kalkulatu P [UR., P [BETAUR., P [UR. eta BETAUR.. c) Kalkulatu P [UR./BETAUR., P [BETAUR./UR.. d) Azaldu zergatik diren askeak BETAURREKOAK eta UR. gertaerak.

4 a) AZ V N M TOTAL GAFAS 2 LENTILLAS 9 0 TOTAL b) P [AZ 20/00 0,20 P [GAFAS /00 0, P [AZ y GAFAS /00 0, c) P [AZ/GAFAS / / 0,20 P [GAFAS/AZ /20 0, d) Los sucesos GAFAS y AZ son independientes porque P [GAFAS/AZ P [GAFAS 0,, o bien porque P [AZ/GAFAS P [Az 0,20, o bien porque P [GAFAS y AZ P [GAFAS P [Az (0, 0,20 0,) Esto significa que la proporción de personas con ojos azules entre los que usan gafas es la misma que la proporción de personas con ojos azules respecto al total. N(0, ) banaketa batean, kalkulatu: a) P[0,2 < z <, b) P[ 0,2 < z Ì, c) Kalkulatu k-ren balioa P[ k < z < k 0,90 izateko. z es N (0, ). a) P [0,2 < z <, P [z <, P [z < 0,2 f (,) f (0,2) 0,92 0,987 0,278 b) P [ 0,2 < z Ì, f (,) [ f (0,2) 0,92 + 0,987 0,22 0,2, c) P [ k < z < k 2 P [0 < z < k 2 [P [z < k 0, 2[f (k) 0, 2f (k) 0,90 + 2f (k) 0,90 8 f(k) 0,9 8 k, 2 k k

5 BLOKEA IV 7 N(20, ) banaketa batean, kalkulatu: a) P[x 2 b) P[x < 2 c) P[9 Ì x Ì 2 x 20 x es N (20, ) 8 z es N(0, ) a) P [x 2 0, ya que las probabilidades puntuales son cero en las distribuciones de variable continua b) P [x < 2 Pz< P [z < 0,2 f (0,2) 0,987 [ [ c) P [9 Ì x Ì 2 P Ì z Ì P [ 0,2 Ì z Ì 0,2 f (0,2) ( f (0,2)) 2f (0,2) 2 0,987 0,97 8 B(0; 0,) banaketa batean, kalkulatu: a) P[x 0, P[x, P[x > b) μ eta q parametroak. B (0; 0,) 8 n 0; p 0,; q 0, ( ( ) ) 0 a) P [x 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, P [x 0, 0, 9 0 0, 0, 9 0,00 8 P[x 0 ó x 0,0 8 8 P[x > 0,0 0,97 b) μ np 0 0, q npq 0 0, 0, 2,, 9 Otsailaren 29an jaiotako pertsonen proportzioa / da a) Justifikatu zergatik. b) Zer probabilitate dago biztanleko herri batean otsailaren 29an jaiotako gutxienez 8 pertsona egoteko? a) 29 de febrero hay uno cada cuatro años. Cuántos días son?: + Así, P[29 de febrero.

6 b) Es una distribución binomial con n y p. En una B( ,, µ ,9 ) 0 q ,70 Podemos calcular las probabilidades a partir de la normal N (,9;,70). x es B , 8 x' es N(,9;,70) 8 ( 8 z es N(0, ) con z 7,,9 P [x < 8 P [x Ì 7 P [x' Ì 7, PzÌ P [z Ì,7,70 f (,7) 0,92 0,07 [ ) x',9,70 Es poco probable que haya menos de 8 personas nacidas un día tan singular. 0 a) Kalkulatu k honako taula hau proportzionaltasun-banaketa batena izan dadin: x i p i 0, 0, 0,2 0,7 2 k k b) Aurkitu P[ Ì x i Ì. c) Kalkulatu μ eta q parametroak. a) 0, + 0,0 + 0,2 + 0,7 + k + k 8 0, + 2k 8 k 0,2 x i p i 0, 0, 0,2 0,7 2 0,2 0,2 b) P [ Ì x i Ì P [ + P [ + P [ 0,2 + 0,7 + 0,2 0,2 c) μ Sp i x i,92 q Sp i x 2 i μ 2,7

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V ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Página 9 Observa estas dos distribuciones bidimensionales: I II Asigna a cada una un coeficiente de correlación tomándolo de entre los siguientes valores: 0,; 0,; 0,; 0,; 0,92;