Unidad 4 Trigonometría I
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- Eugenia Maidana Duarte
- hace 5 años
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1 Unidad 4 Trigonometría I PÁGINA 87 SOLUCIONES 1. Sabemos que cosα = 0, y que 90º < α < 180º. Utilizando la fórmula hallamos senα = 0,98. Por otro lado quedaría: sen α + cos α = 1 senα tgα = = 4,9 cosα. La discusión quedaría: a) Falsa pues senα [ 1,1 ] b) Verdadera pues tg α (, + ) c) Verdadera pues cos 70º cos 60º = 1. 60
2 . Según el esquema: 60º:5 = 7º En el triángulo rayado calculemos el valor de la apotema del pentágono. 4. Según el esquema: 6 tg6 = a a = 8,6 cm 5 1 8,6 Área = Área = 47,8 cm De los dos triángulos rectángulos de la figura obtenemos: h 1500 tg 40º tg5º tg 40º = h = x tg 40º + tg 5º h tg 5º = 1500 x h = 449,61m 61
3 PÁGINA 10 SOLUCIONES 1. Hay que buscar un número que sea a la vez triangular y cuadrado. n Números triangulares : 1,,4,10,15,1,..., Números cuadrados : 1,4,9,16,5,..., n + n n + n x n x = esto se cumple para = 8, pues = x = 6. Como dice que hay más de 6 cajas, hay que buscar otra solución, y ésta es : n = 49, pues = 5 = 15 Luego x = 15cajas tiene. 6
4 . Observamos que: 1 = 1 1 con n. n 1 n n 1 n ( ) Luego : = = = = = = Sumando : = 0, Sean A, B, C, las tres rebanadas. Con A1 indicamos que se tuesta la cara 1 y con A indicamos que se tuesta la cara. 1.º AB tarda : 0 s:tostar cara A yb s:colocara 5 s:colocarb 5 s:sacarb.º AC tarda : s:dar la vuelta A s:meterc 0 s:tostar cara A s:dar la vuelta C.º BC tarda : 5 s:sacar A 5 s:meterb 0 s:tostar carab s :sacar B 5 s:sacarc 1 1 yc 1 yc En total se necesitan: 16 s en tostar las rebanadas. 6
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6 SOLUCIONES 1. La tabla queda: 90º 45º 10º 70º 5º π rad π rad 4 π rad π rad 5π rad 4 40º 9º 4' 57º 0' 15º ' 4" 14º 19' 4π rad 0, π rad. La resolución de los triángulos queda: I) Cˆ = 50º; b = 10 sen 40º = 8,56 m; c = 10 cos 40º = 99,59m 1rad 0,75 π rad,5 rad II) C ˆ 95 = 5º ; c = = tg 55º 66,5 m; 95 a = = 115,97 m sen 55º 40 III) cos Cˆ = C ˆ= 5º 1' ; Bˆ = 7º 59'; 65 c = = 51, m IV) a = = 187,68 m; 140 tg Cˆ = Cˆ = 48º 14' " 15 Bˆ = 41º 45' 7" 65
7 . Sea la figura: Queda: h tg 4º = x 1 tg α = tg 4º = 0,45; α = 4º 14' 15" h tg α = x Si nos colocamos a distancia triple se verificará: h 1 tg β = = tg 4º = 0, β = 16º 4' " x 4. Sea la figura: Queda: h tg 45º = x 0 tg 45º tg 0º h = h = 40,98 m h tg 45º tg 0º tg 0º = 0 + x 66
8 5. Sea la figura: Queda: 60 tg α = α = 75º 4' 7" 16 β = 90 α = 14º 55' 5" Los ángulos del trapecio miden 75º 4' 7" los dos agudos y 104 º 55' " cada uno de los dos obtusos. 6. Sea la figura: Llamamos l al lado del pentágono. De la figura obtenemos: l sen 6º = l = 0 sen 6º l = 17,6 cm 15 Perímetro = 5 17,6 = 88,15cm 7. Sea la figura: Llamamos α al ángulo que forman las ramas del triángulo rectángulo de la figura. Obtenemos: 4 sen α = α = 0º 55' 55" 15 67
9 8. Quedan: 9. Quedan: sen α = = 0,91; tg α = =, cos x = cos x = y sen x = 1+ tg x Quedan: π π Si tg A> 0 0 < A< ó π< A< π Como sen A= π< A< 5 4 sen A+ cos A= 1 cos A= y tg A=
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11 SOLUCIONES 11. Las simplificaciones quedan: 1+ tg α 1+ tg α a) = = tg α 1+ cotg α 1 1+ tg α cos α 1 sen α b) = = 1 sen α 1+ senα 1+ senα 1 cos α cos α (1 + tg α) cos α c) = = tg α cotg α 1 tg α d) sen α cos α (tg α + cotg α) = 1 e) sen sen cos sen α + α α = α f) cos sen cos sen cos sen (sen cos )(cos + sen ) = sen + cos α + α + α α + α α = α + α α α α α sen α 1 cos α g) = = 1 cos α 1+ cos α 1+ cos α 1 sec α cos α h) = = cos α 1+ tg α 1 cos α i) tg α tg α sen α = tg α (1 sen α) = tg α cos α = sen α 4 4 j) sen α cos α = (sen α cos α) (sen α + cos α) = sen α cos α 70
12 1. Queda: a) sen 10º = b) sen 115º = sen15º = sen 45º = c) cos 10º = cos 0º = d) tg ( 60º ) = tg 60º = e) tg 00º = tg 60º = π f) sec = sec 0º = 6 g) cotg 5º = cotg 45º = 1 9π h) cosec = cosec 5º = 4 1. Los cálculos quedan: a) sen (180º α ) = sen α = 0,6 4 b) tg (90º + α) = cotg α = c) cos (180º + α) = cos α = 0,8 d) sen (70º + α) = cos α = 0,8 e) cos (90º α) = sen α = 0,6 4 f) cotg (60º α) = cotg α = 71
13 14. Se comprueba del siguiente modo: tg a+ tg b tg a+ tg b ( tg a+ tg b) tg a tg b a) = = = tg a tg b cotg a + cotg b 1 1 tg a + tg b + tg a tg b 4 4 b) sen x sen x = sen x (sen x 1) = (1 cos x) ( cos x) = cos x cos x 1 senα cosα c) = 1 sen α = cos α cos α 1+ sen α sen x d) tg x tg x sen x = tg x (1 sen x) = cos x = sen x cos x Todas las igualdades son verdaderas. 15. Sea la representación del problema: Por Pitágoras obtenemos: 85 = x + (50 + h) h 5m = 65 = h + x También podemos calcular el ángulo α por el teorema del coseno: 85 = cos α α = 94º 4' 4" Por tanto h β = 180º α = 85º 5' 18" cos β = h = 65 cos β = 5 m 65 7
14 16. Los triángulos se resuelven del siguiente modo: a) 50 = 60 + c 60 c cos 4º c= 74,9m ó c= 14,79m ,9 isi c= 74,9m cosc = C= 84º 5' 9" y B= 5º 4' 51" ,79 isi c= 14,79m cosc= C= 11º 5'5" y B= 16º4'55" 5060 b) 6 = 10 + a 10 acos 45º a no es un número real. Este triángulo no tiene solución. c) c = cos 70º c = 10,9 m A A B 10 = ,9 9 10,9 cos = 59º 17' 5" y = 50º 4' 5" d) cos A = A = 0º 10 Imposible. Además un lado es igual a la suma de los otros dos, por tanto no existe este triángulo. e) 8 = 4 + c 4 c cos 40º c = 10,64 m ,64 4 cos A= 8 10,64 A = 18º 44'44" y C = 11º15'16" f) B = 60º. Utilizando el teorema del seno obtenemos : a 10 = a = 8,16 m sen 45º sen 60º c 10 = c = 11,15 m sen 75º sen 60º 7
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16 SOLUCIONES 17. Un esquema del problema sería: El ángulo C = 75º. Utilizando el teorema del seno obtenemos: a 80 = sen 60º sen 75º a = 71,7 m b 80 = sen 45º sen 75º b = 58,56 m Las distancias pedidas son 71,1 m y 58,56 m. 18. Un esquema del problema es el siguiente: El ángulo C = 4º. Determinamos la distancia BC (lado a) mediante el teorema del seno: 1500 BC = BC = 65,85 m sen 4º sen 46º 75
17 19. La figura queda: Mediante el teorema del coseno: c = cos 40º c = 4,5 m =AB 0. Como el decágono está circunscrito a la circunferencia, el radio de ésta es la apotema del polígono. El ángulo central del polígono es 6º. Obtenemos el lado del triángulo de la figura: El cálculo queda: l 10 6,5 10 tg 18º = l = 6,5 cm Área = = 5 cm la figura es: En el triángulo rayado aplicamos el teorema del coseno y obtenemos la base mayor B. 15 = B + 5 B 5 cos 60º B = 16,86 cm La altura h del triángulo mide: h = 5sen60º = 4,cm La base menor mide: B x = B 5 cos 60º = 11,86 cm El área total queda: B+ b 16, ,86 h Área = = 4, = 6,18 cm 76
18 . La figura queda: Los cálculos son: l a = cos 10º l = 15,6 cm = cos 60º a = 9,17 cm Perímetro = 15,6 + 9,17 = 49,58 cm a = 0 + l 0 l cos α = + α α = 9, ,6 0 15,6 cos 6º 0' 50" h h sen α = sen 6º 0' 50" = h = 8,88 cm 0 0 Área = base altura = l h = 15,6 8,88 Área = 18,71cm. La distancia d que los separa viene dada por: d = cos 60º d = 117,9 k m 4. Las soluciones en cada uno de los casos: El radio de la circunferencia inscrita es la apotema del dodecágono, por tanto: tg15º = r = 11,0 dm r El radio de la circunferencia circunscrita lo calculamos en el triángulo: sen 15º = R = 11,59 dm R 77
19 5. La solución queda: r = 1 sen 0º = 6 m πr h π 6 10,9 V = = = 91,7m h = 1 cos 0º = 10,9m 6. Según la figura: Los cálculos quedan: Sean P y Q los árboles. En el triángulo ABP hallamos PB : PB 10 = PB = 5,5 m sen 110º sen 0º En el triángulo ABQ hallamos BQ : BQ 10 = BQ = 11, m sen 50º sen 55º En el triángulo PBQ hallamos x : x = PB + BQ PB BQ cos 5º x = 148,0 m 78
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