Conceptos de estadística

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1 Unidad didáctica 3 Conceptos de estadística

2 1.- Conceptos generales. La Estadística es la parte de las Matemáticas que estudia cómo recopilar, ordenar y analizar grandes cantidades de datos sobre un tema concreto, para extraer conclusiones. Variable estadística (x i ): es la propiedad o cualidad que se quiere estudiar. Puede ser: a) Cualitativa: si la propiedad no es medible. Ejemplo: nacionalidad de un grupo de personas. b) Cuantitativa: si la propiedad es medible. Hay dos tipos: Variable discreta: si tiene un número limitado de posibles valores. Ejemplo: el número de hijos de un grupo de familias. Variable continua: si el número de posibles valores es infinito o muy elevado. Ejemplo: el peso de un grupo de personas. Dato: es cada uno de los posibles valores de la variable estadística. Población (P): conjunto de elementos o personas que son objeto del estudio estadístico. Individuo o unidad estadística: cada uno de los elementos que compone la población. Muestra: grupo de elementos o personas elegido de entre la población para hacer un sondeo. La elección de una muestra es importante porque puede determinar el resultado del estudio. Tamaño muestral (N): número total de individuos que componen la muestra.- Recogida y ordenación de datos. La recogida de datos para el estudio estadístico se puede hacer por observación indirecta, consultando los datos recogidos por un organismo como el INE, o por observación directa, contando los individuos o preguntando mediante un sondeo o encuestas. Los valores obtenidos para cada dato, se ordenan en una tabla de frecuencias, que facilita el análisis de resultados. Si la variable es continua, los valores se agrupan en intervalos o clases, del mismo tamaño, si es posible. El punto medio de cada intervalo se llama marca de clase. Frecuencia absoluta (f i ): es el número de veces que se repite un valor determinado de la variable estadística. Frecuencia absoluta acumulada (F i ): de un determinado dato de una variable, es el resultado de sumar a su frecuencia absoluta las frecuencias absolutas de los datos anteriores. Frecuencia relativa (h i ): es el resultado de dividir la frecuencia absoluta de un valor de la variable por el número total de individuos. fi hi = N La frecuencia relativa en %: es el resultado de multiplicar por 100 la frecuencia relativa de cada dato. La suma de todas las frecuencias relativas debe ser 100. Unidad didáctica 3: Conceptos de estadística pag.

3 3.- Gráficos estadísticos. Son representaciones gráficas que permiten visualizar, de forma sencilla, los resultados obtenidos en el estudio estadístico. Diagrama de barras: se utiliza cuando la variable estadística es discreta. Se trazan unos ejes de coordenadas y se representa, en el eje de abcisas, los valores de la variable y, sobre el eje de ordenadas, las frecuencias absolutas. Finalmente se levanta para cada valor de la variable estadística, una barra cuya altura sea la frecuencia absoluta. Histograma: se utiliza cuando la variable estadística es continua y los datos están agrupados en intervalos. Se trazan unos ejes de coordenadas y se representa, en el eje de abcisas, los extremos de los intervalos y se levantan rectángulos cuya base sea la amplitud del intervalo y cuya altura sea la frecuencia absoluta. Polígono de frecuencias: es la línea que se obtiene al unir los puntos medios de los extremos superiores de las barras de un diagrama de barras o un histograma. Diagrama de sectores: es un círculo dividido en sectores, cada uno de ellos de amplitud proporcional a la frecuencia relativa (normalmente en tanto por ciento) de los valores que toma la variable. Pictogramas: en el diagrama de las barras sustituimos las barras por un dibujo relacionado con la variable estadística. Cartograma: se trata de un territorio pintado en distintos colores según los valores de la variable. 4.- Parámetros estadísticos. Son una forma de resumir la información en un solo valor numérico. Hay dos clases: Parámetros centrales: media y moda. Son números que representan de forma global al conjunto de los datos. Media aritmética ( x ): se obtiene sumando los valores de todos los datos y dividiendo por el número total de datos. En una tabla de frecuencias, la media se obtiene multiplicando el valor de cada dato por su frecuencia absoluta (x. i f i ), sumando los resultados y dividiendo por el número total de datos: n xi f i=1 x = N Moda es el valor del dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta. Si la variable está agrupada en intervalos, se hablaría de intervalo modal (el intervalo que más datos "contiene"). Puede haber dos o más modas, en este caso diremos que la distribución es bimodal o multimodal. i Unidad didáctica 3: Conceptos de estadística pag. 3

4 4..- Parámetros de dispersión: varianza, desviación típica y coeficiente de variación. Los parámetros de dispersión indican lo agrupados o alejados que están los valores obtenidos de la variable estadística respecto de la media, y por tanto si la información sobre los datos que nos proporciona la media es fiable o no. Son los siguientes: Varianza: Se calcula: S = n i= 1 x i N f i x Desviación típica: es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Es el parámetro más utilizado. Nos indica cuanto se desvía el conjunto de datos de la media. Cuánto más pequeña sea, más representativa es la media. S = S Coeficiente de variación: es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética multiplicado por 100. S C.V. = 100 x Unidad didáctica 3: Conceptos de estadística pag. 4

5 Ejercicios de Estadística 1.- Indica la población, variable estadística, tipo de variable y posibles valores que puede tomar, en cada uno de los siguientes casos: a) Marca de cereales que desayunan los niños de un colegio, b) Edad de los jugadores de la liga, c) Nº de tazas de café al día que toman los policías de Madrid, d) Nacionalidad de los vencedores del Tour, e) Deporte preferido de los habitantes de un barrio, f) La estatura de los pacientes de una clínica, g) Nº de libros leídos el último mes por un grupo de amigos, h) color de pelo de los espectadores de un teatro. Población Variable estadística Tipo Datos posibles.- Completa la tabla: Estudio estadístico Población Variable estadística Tipo de variable Piezas de fruta al día que toman los españoles. Longitud de los bebes recién nacidos en una clínica. Medio de transporte utilizado por los habitantes de un pueblo. Profesión de los asistentes a un partido de fútbol. Nº de obras de teatro representadas en un año en los teatros de una ciudad. 3.- Se ha hecho un sondeo en un pueblo de 500 habitantes, para averiguar cuántas piezas de fruta diaria consumen. Se ha tomado una muestra de 5 personas y se han obtenidos los siguientes resultados:, 3, 4,, 1,, 0, 0, 3, 1,, 0, 1, 1, 0,, 0, 1, 4,, 3, 0, 1, 1, a) Realiza la tabla de frecuencias asociada. b) Representa el un diagrama de barras. c) Obtén conclusiones. 4.- En un aula de la ESO se ha preguntado a los alumnos por el número de horas diarias que dedican al estudio. Se obtuvieron los siguientes datos: a) A partir de estos datos, confecciona una tabla de frecuencias. b) Representa la tabla anterior en un diagrama de barras y traza el polígono de frecuencias. Horas estudio 5.- En la empresa Servicios Informáticos, S.A., se han pesado, en kg, a sus 30 empleados, obteniéndose los siguientes datos: 64, 57, 60, 5, 66, 56, 54, 6, 60, 59, 70, 6, 54, 69, 73, 70, 5, 58, 54, 60, 47, 60, 56, 61, 67, 71, 66, 49, 74, 49. Realiza un recuento utilizando intervalos de 10 kg, comenzando por 45, y construye una tabla de frecuencias. f i Los puntos conseguidos por un equipo de baloncesto durante la última liga, en distintos partidos que disputó, fueron: a) Completa la tabla de frecuencias. b) Representa el histograma correspondiente. Puntuación Marca de clase (x i ) [55,65) [65,75) 8 [75,85) 7 [85,95) 6 [95,105) 7 f i Unidad didáctica 3: Conceptos de estadística pag. 5

6 7.- Se han contabilizado los pesos de los camiones y tractores que han ido a descargar cereales, durante un determinado día, a la fábrica de pienso Farina, S.L., obteniéndose los siguientes datos en kilogramos: a) Completa la tabla de frecuencias. b) Cuántos vehículos fueron a descargar ese día? c) Cuántos vehículos trajeron más de kg? d) Qué porcentaje representa? Peso (kg) Marca de clase (x i ) f i [5000,7000) 6 [7000,9000) 4 [9000,11000) 8 [11000,13000) 7 [13000,15000) 4 [15000,17000) Realizada una encuesta a varias familias sobre la cantidad de dinero en euros que gastan en una semana en transporte, respondieron: a) Haz la tabla de frecuencias absolutas. b) Representa la tabla anterior en un histograma y traza el polígono de frecuencias. Gasto en euros Marca de clase f i [30,40) 6 [40,50) 8 [50,60) 7 [60,70) 7 [70,80) Ana ha obtenido las siguientes notas en cuatro trabajos del curso: 6, 8, 7 y 5. Calcula su nota media José ha obtenido en tres trabajos un 6 y en otros dos, un 8. Calcula su nota media En una papelería los precios en pesetas de distintos modelos de bolígrafos son: 100, 10, 15, 10, 10, 150 y 300. a) Cuál es el precio que más se repite? b) Cuál es la moda? c) Calcula el precio medio de un bolígrafo en esa papelería. 1.- Un grupo de amigos ha recorrido las siguientes distancias, expresadas en kilómetros: 56, 46, 55, 44, 70, 30, 45, 60, 70, 50, 40, 45, 56, 45, 46, 56. a) Halla la media aritmética. b) Calcula la moda Una empresa panificadora tiene una máquina que produce barras de un cuarto de kilo. Naturalmente no todas las barras tienen exactamente el mismo peso. Se pesan una serie de barras, fabricadas consecutivamente, dando los siguientes pesos en gramos: a) Calcula la media y el intervalo modal. Peso en g Marca de clase (x i ) f i [35,40) 5 [40,45) 6 [45,50) 15 [50,55) 3 [55,60) 6 [60,65) 4 [65,70) Observa el siguiente pictograma, correspondiente al número de participantes en una competición atlética. a) Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias absolutas. b) Calcula la media aritmética de participantes por país. c) Di cuál es la moda. Unidad didáctica 3: Conceptos de estadística pag. 6

7 15.- El siguiente pictograma representa los kilómetros recorrido por un excursionistas en cuatro días. a) Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias absolutas. b) En qué etapa recorrió más kilómetros? c) En qué etapa recorrió menos kilómetros? d) Calcula la media aritmética de kilómetros recorridos por etapa. e) Cuál ha sido el número de kilómetros recorridos en las cuatro etapas? 16.- El siguiente diagrama recoge las opiniones del público que asistió a la proyección de una película. En total 300 personas. a) Cuál es la opinión que más se repite? b) Cuál es la moda? c) Qué porcentaje del público no responde? d) A cuántas personas les gustó la película? e) A cuántas les pareció regular? 17.- Se preguntó a una muestra de 30 habitantes de una ciudad, de diversas edades, estamentos sociales y profesiones, por el nivel de satisfacción con su imagen (de 0 a 10). Y se obtuvieron los siguientes resultados: a) Halla la media aritmética y la moda. b) Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación. c) Saca conclusiones. Nivel de satisfacción f i Se preguntó a 30 habitantes de una ciudad que padecen o han padecido anorexia o bulimia, cómo califica la influencia de los cánones de belleza impuestos por la sociedad como causa de su trastorno (de 0 a 10). Y se obtuvo los siguientes resultados: a) Halla la media aritmética y la moda. b) Calcula la varianza, desviación típica y coeficiente de variación. c) Saca conclusiones. Influencia f i Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación para el siguiente conjunto de valores: 0.- Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación para los datos correspondientes a la actividad Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación para los datos correspondientes a la actividad 13. Dato (x i ) f i 1 1'1 5 1' 9 1'3 3 1'4 1 Unidad didáctica 3: Conceptos de estadística pag. 7