GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA

Transcripción

1 GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA Un vector fix és un segment orientat que va del punt A (origen) al punto B (extrem). M òdul del vector AB, es representa pe r. : É s la long itud del segment Direc ció del vector És la direcció de la recta qu e cont é al vec tor o de qua ls evol recta par al lela a ella. Sentit del vector El que va de l orig en A a l extrem B. Un vector fix és nul quan l origen i el seu extrem coincid eixen. Vector de posi ció d un punt en el pla de coordenade s El vector que un eix l orige n de coordena de s O am b un punt P es diu vector de posic ió del punt o P. Les seues coorde nad es són les del punt o P, perquè si le s restem a l orig en (0,0) qued en le s m ateix es. Coordenades d un vector en el pla Si les coordena des dels pu nt s A y B s ón: A(X1,Y1) B(X,Y) Les c oorde nad es o components del vector s ón las coorden ades de l extrem m en ys le s c oorden ades de l or ig en Trobar l es c oo rden ades d u n vector el s extrem d el qual són: Un vect or tenen de comp onent s (5, ). Trobar l es c o ord enades d A si es c onei x l extrem B(1, ). 1

2 EQUACIONS DE LA RECTA EN EL PLA Utilitzeu els applets de la web: Una recta queda determinada per un punt de la recta, P i per un vector V que marca la seua direcció (vector director). EQUACIÓ VECTORIAL Utilitzeu els applets de les webs: L equació vectorial de la recta que passa pel punt P i té la direcció del vector és: on és el vector de posició de qualsevol punt de la recta, i és el vector de posició del punt conegut. Al vector se li diu vector director de la recta (les seues coordenades són el resultat de restar l extrem i l origen). t és un factor multiplicador. Si substituïm els vectors de l equació vectorial,, per les seues coordenades obtenim una expressió del tipus: (x,y) = (p 1,p ) + t(v 1,v ) EQUACIONS PARAMÈTRIQUES Expressant per separat cada coordenada obtenim les equacions paramètriques: x = p1 + t v1 y = p + t v Per a cada valor de t obtindrem un punt (x,y) de la recta. EQUACIÓ CONTÍNUA Aïllem T de les dues equacions anteriors i igualem. Els denominadors són les coordenades del vector director Esta última igualtat seria l ecuació contínua de la recta que passa per un punt fix P (p1,p) i que té com vector director v=( v1, v). EQUACIÓ GENERAL O IMPLÍCITA Si eliminem denominadors passant-los a l altre costat. (x-p1) v = (y-p) v1 Llevem parèntesis i passem tot al primer terme. vx - vp1 - v1y + v1p = 0

3 Transposem termes. vx - v1y + v1p - vp1 = 0 que és l equació general o implícita de la recta. EQUACIÓ EXPLÍCITA A partir de l equació general aïllem y Si A = v, B = - v1 y C = v1p - vp1 I obtenim Ax + By+ C = 0 A C y - x - B B Com es veurá en el punto següent, el pendent d una recta es defineix como m = v / v1 Si A = v y B = - v1 llavors A m - B I s obté y = mx + n Que és l equació explícita de la recta, on n = -C/B PENDENT D UNA RECTA El pendent d una recta és la tangent de l angle que forma la recta amb la direcció positiva de l eix OX. Pendent donat l angle Pen dent do nat el vector director Pendent donats dos puntos RELACIÓ DEL PENDENT I LES DIFERENTS EQUACIONS AMB EL VECTOR DIRECTOR En l equació vectorial (x,y) = (p 1,p ) + t (v 1,v ) En l equació paramètrica x = p 1 + v 1t y = p + v t En l equació contínua En l equació general Ax + By+ C = 0 En l equació explícita y = mx + n (x,y) = (1,-1) + t (,4) les coordenades del vector director són (,4) així el pendent m = v /v 1 = 4/ x = 1 + t y = t les coordenades del vector director són (,4) així el pendent m = v /v 1 = 4/ x 1 y 1 4 les coordenades del vector director són (,4) així el pendent m = v /v 1 = 4/ 4x y -7 = 0 les coordenades del vector director són (,4) així el pendent m = v /v 1 = 4/ 4 7 y x El pendent és 4/ (v1,v) (v1,v) (v1,v) (v1,v)

4 RECTA DETERMINADA PER DOS PUNTS Tal como hem vist en el càlcul de les coordenades d un vector, si estes coordenades dels punts A y B són: A(X1,Y1) B(X,Y) Les coordenades o components del vector l extrem menys les coordenades de l origen són les coordenades de De manera que, si coneixent un punt de la recta i un vector director podem saber les diferents equacions, coneixent dos punts podem esbrinar les coordenades del vector que formen, que no és altre que un dels possibles vectors directors de la recta. Després actuem com sempre, amb un dels dos punts que ens han donat i amb el vector director que hem trobat. VECTOR PERPENDICULAR (O NORMAL) A UNA RECTA Un vector és perpendicular a altre = (v1,v) (i a la seua recta corresponent) si les seues coordenades són (-v,v1) o (v,-v1). El pendent m=v /v 1, per tant, també canviarà a m=v 1/-v o a m=-v 1/v POSICIÓ RELATIVA DE DUES O MÉS RECTES Dos rectes són perpendiculars, si es tallen en un punt, o paral leles, si no es tallen en cap. PARAL LELES Dos rectes paral leles comparteixen el mateix vector director. En l equació explícita y = mx + n n ens indica el punt pel cual la recta talla a l eix Y quan X=0. De manera que dues rectes paral leles tindran la mateixa equació explícita sols diferenciada en la n. y = x + 7 Són paral leles: y = x + y = x + 1 Como es veu, també tenen el mateix pendent (en el cas anterior ), donat que depén del vector director. Un sistema d equacions de dues rectes paral leles no tindrà solució. Si les rectes són coincidents, tindran infinites solucions o, el que és el mateix, seran la mateixa equació (una vegada reduïda una d elles. P.ex: x+y-1=0 y 4x+6y-=0) PERPENDICULARS Tal como hem vist, una recta és perpendicular a altra si el vector director de la primera és = (v1,v) i el de la segona = (-v,v1) o (v,-v1). El pendent m=v /v 1 també canviarà a m=v 1/-v o a m=-v 1/v Per exemple (x,y)= (1,-1) + t(4,) és perpendicular a (x,y)= (1,-1) + t(-,4) i es tallen en el punt (1,-1), que pertany a les dues. També podem esbrinar el pendent d una sabent la de l altra. Si el pendent és m= v/v1 En la primera (x,y)= (1,-1) + t(4,) m= /4 En la seua perpendicular (x,y)= (1,-1) + t(-,4) m= 4/- Si el sistema d equacions té una única solució, les rectes són secants. Si el seu pendent (m) o les coordenades del vector director estan investides i una canvia de signe, les rectes secants són, a més, perpendiculars. 4

5 DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS Es calcula mitjançant una fórmula basada en el teorema de Pitàgores. DISTÀNCIA D UN PUNT A UNA RECTA La distància d un punt a una recta és la longitud del segment perpendicular a la recta, traçada des del punt. Es defineix la distància entre el punto P i la recta r com la distància mínima entre P i un punt M de r. Realment és la longitud d un vector perpendicular a la recta. Seria la distància entre el punt donat P (origen del vector) i el punt en qual el vector talla a l altra recta (M en la figura). La seu equació és la següent: On p 1 y p són les coordenades del punt donat i A, B i C són els valors de l ecuació general de la recta. L expressió del numerador va entre barres indicant valor absolut, donat que una distància no pot ser negativa. Exemple: Calcular la distància del punt P(0,) a la recta r: x y + 4 On p 1=0, p =, A=, B= -1, y C= 4 EXEMPLES PER ALS PUNTS DEL LLISTAT DE LA UNIVERSITAT Obtenir l equació vectorial, les paramètriques, la contínua, la general o implícita i l explícita d una recta coneixent un punt pel que passa i el seu vector director. Exemple: la recta passa pel punt (1,-1) i el vector director és (4,) Eq. Vectorial Eq. Paramètriques Igualant les t Eq. Contínua Eq. General Eq. Explícita (x,y)= (1,-1) + t(4,) x= 1+4t y= -1+t x 1 y 1 4 x-= 4y+4 x- 4y- 6=0 6 y x y x 5

6 Trobar tres punts de la recta y= x-1 Per a x=0 y= -1 (0,-1) Per a x=1 y= 1 (1,1) Per a x=-1 y= - (-1,-) Obtenir l equació vectorial, les paramètriques, la contínua, la general o implícita i l explícita d una recta coneixent dos punts pels que passa. Exemple: la recta passa pels punts (1, 1) i (-1,-) Els dos punts delimiten un vector, el qual també és un vector director de la recta. Així, calculem les coordenades del vector restant les coordenades del segon punt a les del primer. Punts (1, 1) i (-1,-) Coordenades: (-1-1, -,-1)= (-, -4) Ara coneixem les coordenades d un punt i les del vector director, i podem operar com al primer exemple Eq. Vectorial Eq. Paramètriques Igualant les t Eq. Contínua Eq. General Eq. Explícita (x,y)= (1, 1) + t(-,-4) x= 1-t y= 1-4t x 1 y x+4= -y+ -4x+y+=0 4 y x y x 1 Obtenir l equació d una recta sabent un punt pel que passa i el seu pendent. El pendent és m= v/v1 Exemple: la recta passa pel punt (1,-1) i el seu pendent és m= 1/ 1 Si y mx n y x n Ara cal calcular n: De manera que Si la recta passa pel punt (1,-1), substituint n n= -/ 1 y x Si volem treure totes les equacions de la recta sabem que, si el pendent és m= v/v1, les coordenades del vector director són (v1,v). Així: Exemple: la recta passa pel punt (1,-1) i el seu pendent és m= 1/ Vector director Serà: (,1) I l equació vectorial I la resta com abans (x,y)= (1, -1) + t(,1) Obtenir el valor del pendent d una recta a partir de qualsevol de les seues equacions. El pendent és m= v/v1 i les coordenades del vector director són (v1,v). En l equació vectorial (x,y) = (p 1,p ) + t (v 1,v ) En les equacions paramètriques x = p 1 + v 1t y = p + v t En l equació contínua (x,y) = (1,-1) + t (,4) les coordenades del vector director són (,4) i el pendent m = v /v 1 = 4/ x = 1 + t y = t les coordenades del vector director són (,4) i el pendent m = v /v 1 = 4/ x 1 y 1 4 (v1,v) (v1,v) 6

7 En l equació general Ax + By+ C = 0 En l equació explícita y = mx + n les coordenades del vector director són (,4) i el pendent m = v /v 1 = 4/ 4x y -7 = 0 les coordenades del vector director són (,4) i el pendent m = v /v 1 = 4/ 4 7 y x el pendent és m= 4/ (v1,v) (v1,v) Donada una recta obtenir rectes paral leles a la mateixa des d un punt exterior x+y=7 pel punt (-1,0) Substituïm les coordenades del punt en l equació y x n i trobem n Primer calculem l equació explícita, on tenim el terme n que ens dona el punt per on la recta talla l eix y. y x Canviant 7/ per altre número tindriem una recta paral lela, però la nostra ha de passar pel punt (-1,0). 0 (-1) n n = -/ i la recta paral lela a la primera és 7 y x Donada una recta obtenir rectes perpendiculars a la mateixa des d un punt exterior Si ha de ser perpendicular, caldrà canviar el seu pendent (m). x+y=7 pel punt (-1,0) Cal calcular la nova n 7 y x 0 (-1) n recta perpendicular n = / i la recta perpendicular a la primera és y 7 y x Relacionar la solució d un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites amb la seua incidència o paral lelisme x+y-7=0 Única solució x= 7/11 y=1/11 x-4y-=0 Únic punt comú (7/11,1/11) Són secants, però no sabem si són perpendiculars. Per a saber-ho hem de comparar els seus pendents des de les equacions explícites: 7 y x No són perpendiculars. 1 y x 4 4 x X+5y+1=0 x+10y=0 6x+y-10=0 x+y-5=0 No tenen solució. Per tant són paral leles. Tenen infinites solucions, per ser coincidents. Calcular la distància entre dos punts del pla (o de la recta) Apliquem la fórmula Els dos punts són (0,1) i (,) D(A,B)= 4 1 = 5 7

8 Calcular la distància entre un punt i una recta Apliquem la fórmula r: x+4y-1=0 Punt: (1,-1) Recordem que necessitem la recta en forma d equació general d(p,r)= 1 4( 1) = = 5 Recopilatori: Calcular la distància entre dos punts, u exterior i l altre d una recta, coneixent dos punts d esta (suposem que el punt exterior forma part d una recta perpendicular a la primera). Comprovar després que la distància és la mateixa que entre el punt i la recta. Els dos punts de la recta ens ajuden a trobar el seu vector director: = (a-a1,b-b1) = (-0,0-6)= (,-6) L equació vectorial que defineix el punt P és: (x,y) = (,0) + t (,-6) La recta que conté el punt (0,1) i el punt P és: (x,y) = (0,1) + t (6,) Com es veu, hem canviat les coordenades del vector director per fer-lo perpendicular a l anterior. Ara tenim les dues equacions vectorials de les dues rectes perpendiculars. Calcularem les equacions generals de les dues per fer un sistema. Com les dues rectes són perpendiculars, x i y ens donaran les coordenades del punt comú on es tallen. Calculem les equacions generals de la primera... (x,y) = (,0) + t (,-6) x x=+t t y=-6t y t - 6 x y -6x+18=y 6x+y-18=0 x+y-6=0-6...i de la segona (x,y) = (0,1) + t (6,) x x=6t t y=1+t y - 1 t 6 x y - 1 x=6y-6 x-6y+6=0 x+y+=0 6 I plantegem el sistema x + y -6 = 0 x + y + = 0 que té com a solucions x= y=. I el punt P on es tallen és el (,) Apliquem la fórmula per a calcular la distància entre els dos punts Ara comprovem que és la mateixa que la distància del punt a la recta. Els dos punts són (0,1) i (,) D(A,B)= 4 1 = 5 L equació general de la primera recta és x + y -6 = 0 i el punt és (0,1) Apliquem la fórmula d(p,r)= = = 5 5 8