Problemas Tema 9 Solución a problemas de derivadas - Hoja 1 - Todos resueltos

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1 página 1/5 Problmas Tma 9 Solución a problmas d drivadas - Hoja 1 - Todos rsultos Hoja 1. Problma 1 1. a) Driva y simplifica f (x)= 7 cos 7 ( x+1) b) Driva y simplifica f (x)= x +cos(x) + sn( x) c) Estudia intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f (x)=1 1 x a) f (x)= 7 cos 7 ( x+1) 4sn( x+1) f ' ( x)= cos 8 ( x+1) f ' ( x)= 7 1 cos 14 ( x+1) 7cos6 ( x+1) ( sn( x+1)) b) f (x)= x +cos(x) ( x sn(x)) f ' ( x)= + sn( x) f ' ( x)= ( x sn(x)) (x +cos( x)) +sn (x) + sn( x) (x +cos(x)) + sn( x) ( x +cos(x)) ( +sn(x) ) c) f (x)=1 1 x Dom( f )=R {0 } f ' ( x)= 1 x, f ' ( x)=0 1=0 Absurdo matmático No hay puntos críticos. (,0) f ' ( 1)>0 f (x) crcint (0,+ ) f ' (1)>0 f (x) crcint La función s strictamnt crcint n todo su dominio.

2 página /5 Hoja. Problma. a) Calcula l númro ral m qu cumpl lim sn( x) = b) Estudia la monotonía (intrvalos d crciminto y dcrciminto) d f (x)=ln(1 x ) a) lim sn( x) = 0 0 Indtrminación Aplicamos L'Hôpital, drivando numrador y dnominador por sparado. lim sn( x) =lim x 0 m 1+m x cos( x) = m Igualamos l límit a, como xig l nunciado m=6 b) f (x)=ln(1 x ) Dom( f )=( 1,1), para qu l argumnto dl logartimo sa positivo. Calculamos la primra drivada para studiar la monotonía. f (x)=ln(1 x ) ( 1,0) f ' ( x)= x 1 x, f ' ( x)=0 x=0 f ' ( 1 )>0 f (x) crcint (0,1) f ' ( 1 )<0 f (x) dcrcint

3 página /5 Hoja 1. Problma. Estudia y rprsnta gráficamnt la función f (x)= x La función stá dfinida para todos los rals, por sr composición d funcions continuas n toda la rcta ral (polinomio y xponncial). Dom( f )=R Cort con los js n (0,1). La función no priódica pro sí pos simtría par: f (x)= f ( x) No xistn asíntotas vrticals por sr continua n toda la rcta ral. Estudiamos la asíntota horizontal. lim x = =0 Asíntota horizontal n y=0 x ± Al habr horizontal no hay asíntota oblicua. Calculamos la función drivada para studiar la monotonía y los xtrmos rlativos. f ' ( x)= x x, f ' ( x)=0 x=0 Punto candidato a xtrmos rlativo: (0,1) Estudiamos l crciminto y dcrciminto n los siguints intrvalos. (,0) f ' ( 10)>0 f (x) crcint (0,+ ) f ' (10)<0 f (x) dcrcint Para la curvatura ralizamos la sgunda drivada. f ' ' (x)= ( x +x( x) x )= x (1 x ), f ' ' (x )=0 1 x =0 x= ± Posmos dos candidato a puntos d inflxión n En (, 0,61), (, 0,61). (, ) f ' ' ( 10)>0 f (x) cóncava hacia arriba U ( ( + (,+ ) f ' (0)<0 f (x) cóncava hacia abajo,+ ) f ' ' (10)>0 f (x) cóncava hacia arriba U, 0,61), (, 0,61) confirmamos la prsncia d puntos d inflxión.

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5 página 5/5 Hoja 1. Problma 4 4. Una compañía d crucros ofrc un viaj para al mnos 100 prsonas por un prcio inicial d 000 uros por prsona. Para animar las vntas dcid rbajar l prcio inicial n 10 uros por cada prsona qu rbas las 100. Así pus, si s apuntaran 10 prsonas, cada uno pagará = 1800 uros. Calcula l númro d prsonas qu maximiza los ingrsos d la compañía y l valor d dicho ingrso máximo. El ingrso d la compañía por l viaj s igual al númro d prsonas qu viajan por l dinro qu paga cada uno. Dfinimos, pus, una función a trozos dond los ingrsos son nulos si l númro d viajros s mnor qu 100 (ya qu no habría viaj). Y para un númro suficint d viajros, dbmos rcordar rstar 10 uros al prcio final qu paga cada prsona por cada uno d los viajros qu supra l númro 100. Si al númro final d viajros lo dnominamos x, la función rsulta: Ingrsos I = { x[ 000 (x 100) 10 ] si x 100} I = { 10 x +000 x si x 100} Esta s la función qu dbmos optimizar: drivar igualar a cro, y buscar l máximo rlativo para x 100. I '= { 0 x+000 si x 100} I '=0 0 x +000=0 x=150 viajros Evaluamos la primra drivada a izquirda y drcha d st punto crítico, para comprobar si s máximo rlativo. f ' (100)>0 f (x) crcint f ' (00)<0 f (x) dcrcint Exist un máximo rlativo, qu también s absoluto, n máximo s d 5000 uros. (150, f ( 150))=(150, 5000). El ingrso