Adrián Fernández Salas- MEMORIA INDICE GENERAL -1-

Transcripción

1 INDICE GENERAL RESUMEN... 2 RESUM... 2 ABSTRACT... 2 AGRADECIMIENTOS... 3 MEMORIA... 4 CAPITULO 1: OBJETIVOS Y ALCANCE Objetivos globales Objetivos específicos Limitaciones... 5 CAPITULO 2: PAUTA DE CÁLCULO DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA Introducción Datos iniciales Esfuerzo tangencial Dimensiones del rotor Entrehierro y longitud total Bobinados del estator y del rotor Inducción en el entrehierro y capa de corriente Número de espiras en los devanados de una fase del estator Número de conductores por ranura Nueva inducción Dimensiones de la ranura estatórica y rotórica Tensión magnética sobre los dientes del rotor y el estator Tensión magnética en el entrehierro y factor de saturación Coronas estatóricas y rotóricas Tensión magnética total y corriente magnetizante Resistencia del estator Resistencia del rotor reducida en el estator Inductancia y reactancia de magnetización Inductancia y reactancia de dispersión en el entrehierro Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras Inductancia de cabeza de dientes (zigzag) Inductancia y reactancia de cabeza de bobina Inductancia debido a la inclinación de la ranura Inductancias y reactancias reducidas al estator Perdidas en el hierro y mecánicas Circuito equivalente Condiciones nominales Perdidas, rendimiento, factor de potencia CAPITULO 3: MODELO TÉRMICO Esquema térmico equivalente Principios de transferencia de calor Resolución del esquema térmico equivalente Esquema térmico equivalente para el motor de inducción CAPITULO 4: NORMATIVA APLICADA EN EL DISEÑO DE MÁQUINAS Introducción a la IEC Normativa aplicabe CAPITULO 5: BIBLIOGRAFIA

2 RESUMEN En el Actual proyecto se presenta una serie de cálculos de diferentes motores asíncronos y sus posteriores simulaciones con el programa femm42 basado en el método de los elementos finitos pre programado anteriormente con Matlab. El objetivo de este proyecto es comprobar la posibilidad de estas máquinas para funcionar correctamente a partir de unos datos proporcionados por el fabricante desde el punto de vista electromagnético y térmico. Como resultados se mostrarán las pautas de cálculo y las diferentes graficas de características del motor obtenidas con el programa de elementos finitos. RESUM En el present projecte es presenta una sèrie de càlculs de diferents motors asíncrons i les seves posteriors simulacions amb el programa femm42 basat en el mètode dels elements finits preprogramat anteriorment amb Matlab. L objectiu d aquest projecte es comprovar la possibilitat de aquestes màquines per funcionar correctament a partir d unes dades proporcionades per el fabricant des de el punt de vista electromagnètic i tèrmic. Com resultats es mostraran les pautes de càlcul i les diferents gràfiques de característiques del motor obtingudes amb el programa d elements finits. ABSTRACT In the Current project presents a number of calculations from different asynchronous motors and its simulations done with the finits elements program femm42 preprogrammed with Matlab. The objective of this project is to test the ability of these machines to work correctly from data provided by the fabricant from the viewpoint of electromagnetic and thermal. As results show patterns of computation and the different graphics of the engine features obtained with the finite element program. -2-

3 AGRADECIMIENTOS Me gustaría agradecer el siguiente proyecto en primero lugar a mi tutor el señor Don Ramón Bargalló Perpiñà por su atención ante este proyecto y sus constantes consejos. En segundo lugar a mi familia que siempre dieron su apoyo. -3-

4 MEMORIA -4-

5 CAPITULO 1: OBJETIVOS Y ALCANCE 1.1. Objetivos globales Realización de los pertinentes cálculos mediante una pauta de cálculo diseñada con Mathcad del análisis en condiciones nominales de la máquina y de sus temperaturas. Obtener las gráficas de las simulaciones guardando los datos de las diferentes iteraciones y que muestre las gráficas. Obtener los esquemas en régimen permanente de los motores con el programa Motor-Cad Objetivos específicos Descripción del procedimiento de cálculo de la máquina asíncrona. Elaborar un pequeño programa con Matlab para que poder obtener las gráficas de las simulaciones guardando los datos de las diferentes iteraciones y que muestre las gráficas. Preparación de las simulaciones con el programa de elementos finitos femm42 dibujando las chapas de los motores y colocando sus elementos. Comprobar la viabilidad térmica de los motores Limitaciones Pese a que los programas de elementos finitos han mejorado mucho en poco tiempo y que cada vez son más precisos. Las simulaciones no dejan de ser simulaciones y los valores pueden diferir un poco en relación con la realidad. Así como con las pautas de -5-

6 cálculo, hay algunos cálculos que son aproximaciones precisas, pero aproximaciones al fin al cabo. -6-

7 CAPITULO 2: PAUTA DE CÁLCULO DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA 2.1. Introducción El Proceso de diseño de una máquina, en general, es un Proceso de iteraciones. Los primeros pasos en el diseño tienen la finalidad de definir la geometría del motor, es decir, las dimensiones de la máquina. Después se realiza el diseño eléctrico y finalmente el sistema de refrigeración. Si el diseño no cumple con el rendimiento definido inicialmente debido al calentamiento de la máquina provocada por las pérdidas habrá que pensar en seleccionar otro sistema de refrigeración más eficiente, volver a la fase inicial del diseño para aumentar las dimensiones de la máquina o a la fase de la elección de materiales para elegir otros con mejores cualidades para tener menos pérdidas y evitar sobredimensionar la máquina. -7-

8 Ilustración 1: principales dimensiones de la máquina asíncrona - : diámetro exterior del rotor [m] - : diámetro interior del rotor [m] - : diámetro interior del estator [m] - : diámetro exterior del estator [m] - : anchura de la corona rotórica [m] - : anchura de la corona estatórica [m] - : altura ranura del rotor [m] - : altura ranura del estator [m] - : anchura del entrehierro [m] -8-

9 Principales puntos de diseño de la máquina asíncrona: 1.-Datos iniciales 2.-Determinación del esfuerzo tangencial, σ tan 3.-Dimensionamiento del rotor χ, D r i l' 4.- Ancho del entrehierro, δ, i longitud total, l 5.- Selección de los devanados, definición del número de ranuras, Q s, Q r 6.- Definición de la inducción en el entrehierro, B max, δ 7.-Calculo del número de espiras N s, del factor de bobinado, k w, selección de α i1 y cálculo aproximado de la fem inducida E m 8.-Número de conductores por ranura y nueva 9.-Defiinición de la nueva inducción 10.-Dimensionamiento de las ranuras del rotor y del estator y elección de una plancha adecuada 11.-Tensiones magnéticas sobre los dientes del rotor y estator 12.-Tensión magnética en el entrehierro, factor de saturación y definición del nuevo valor 13.-Comprovación de la inducción máxima en las coronas estatóricas y rotóricas y tensión magnética entre ellas 14.-Tensión magnética total y corriente magnetizante 15.-Resistencia del estator y del rotor reducida al estator 16.-Inductancia y reactancia de magnetización 17.-Cálculo de las inductancias y reactancias de dispersión 18.-Cálculo de las pérdidas en el hierro y de las pérdidas mecánicas 19.-Determinación del circuito equivalente, el balance de potencias, las características nominales y otros datos de interés (FP, rendimiento, ) -9-

10 2.2. Datos iniciales Comenzaremos por determinar los datos iniciales. Potencia nominal: o o Motores asíncronos: potencia nominal en el eje, P N [W] Generadores asíncronos: potencia eléctrica de salida o potencia nominal P N [W]. Los generadores de inducción toman la energía reactiva de la red de acuerdo con el factor de potencia. En caso que trabajen como generadores aislados será necesario una batería de condensadores para suministrar la potencia reactiva que se necesite (o lo que es lo mismo, que los condensadores consuman la energía reactiva que produce el generador). Físicamente esta potencia reactiva sirve para mantener el campo magnético del estator, ya que la máquina asíncrona no posee un circuito de excitación independiente (como en el caso de los generadores asíncronos). Velocidad nominal en n N [rps] o [rpm] o Ω N [rad/s] Numero de pares de polos p Frecuencia nominal f N [Hz] Tensión nominal V N, tensión de fase V sph =V N / 3 Numero de fases m Factor de potencia estimado, cosφ Rendimiento η Permeabilidad en el vacío Elevación de la temperatura del bobinado, θ Datos relacionados con el cobre: o Conductividad del cobre a 20ºC: σ Cu20ºC = S/m o Densidad del cobre: ρ Cu =8960 kg/m 3 o Coeficiente de temperatura del cobre: Cu: Datos relacionados con el aluminio: o Conductividad del cobre a 20ºC: σ Al20ºC = S/m o Densidad del cobre: ρ Al =2700 kg/m 3-10-

11 o Coeficiente de temperatura del cobre: Al: Factor de apilamiento, k fe =0.97 Densidad del hierro: ρ fe =7600 kg/m 3 Tipo de servicio o ciclo de trabajo (S1-S9) Tipo de carcasa y estructura de la máquina Clase térmica Tipo de refrigeración Propiedades del material magnético. o o Característica B=f(H) Característica P mag =f(b) Normas aplicadas en el diseño de la máquina En la siguiente tabla se muestran los rangos definidos empíricamente de la intensidad y la densidad de flujo magnético, los cuales se pueden utilizar como base para seleccionar los parámetros de la máquina. -11-

12 Tabla 1 : densidad de flujo permitido al circuito magnético según las normas de máquinas eléctricas Tabla 2: Valores eficaces permitidos de densidad de corriente J i densidad lineal de corriente A para diferentes tipos de máquinas. -12-

13 Tabla 3: esfuerzo tangencial σ tan calculado a partir de los valores de las tablas 1 i 2. Los tres valores de esfuerzo han sido calculados con la mínima densidad lineal de corriente i densidad de flujo, con sus valores medios y con los valores máximos. Se consideran distribuciones sinusoidales per la densidad de flujo y densidad lineal de corriente Esfuerzo tangencial Para comenzar el procedimiento de cálculo que determinara las dimensiones apropiadas de la máquina, calcularemos el esfuerzo tangencial adecuado para nuestro tipo de máquina: (1) El esfuerzo tangencial tabulado lo obtendremos de la tabla 3. Estos valores dependen de la densidad de corriente, la capa de corriente y la inducción en el circuito magnético y el entrehierro. Este punto de partida nos permite comenzar a trabajar con valores que aproximadamente deseamos, dependiendo de las características que querremos que tenga la máquina. Este esfuerzo tangencial produce el par de la máquina cuando se actúa sobre la superficie del motor. -13-

14 2.4. Dimensiones del rotor El esfuerzo tangencial nos sirve como punto de partida para el diseño de la máquina, ya que con él se puede comenzar a definir las dimensiones del rotor. Además, será necesario estimar el par nominal a partir de la velocidad nominal estimada, n N. Habrá que tener en cuenta también la relación entre la longitud equivalente del rotor y el diámetro, se tendrá que atender de forma estricta. A partir del siguiente procedimiento de cálculo obtendremos las principales dimensiones del rotor. Comenzaremos calculando el volumen del rotor a partir de la siguiente formula: (2) Donde: - : diámetro exterior del rotor - : longitud equivalente del rotor Si el par nominal estimado a partir de n N es: (3) Por tanto, el volumen del rotor es: (4) La relación entre el diámetro exterior del rotor y la longitud equivalente, X, en las máquinas asíncronas esta relación viene dada por: (5) -14-

15 Por tanto, teniendo en cuenta el volumen del cilindro: (6) Y la relación rotor y su longitud: encontramos las ecuaciones que nos definen el diámetro del (7) (8) A partir de los resultados obtenidos y antes de continuar el procedimiento de cálculo, se deben seleccionar unas medidas de diámetro comerciales, proporcionadas por cualquier suministrador de planchas Entrehierro y longitud total La anchura del entrehierro esta en función de la potencia de la máquina y depende del número de pares de polos, se calcula a partir de las siguientes ecuaciones empíricas: (9) (10) Hay que tener presentes las siguientes consideraciones que pueden hacer variar el valor obtenido anteriormente: El entrehierro más pequeño que permite la tecnología actual es de 0.2mm. Hay que tener en cuenta que el ancho del entrehierro influye en la ventilación En máquinas con un servicio duro y las que están alimentadas con un convertidor de frecuencia el entrehierro se incrementa un 60%. El valor obtenido se acostumbra a redondear, según su orden de magnitud, de manera que conseguimos una mejor ventilación tendiendo en cuenta que la anchura sea coherente con las planchas que se escogen. -15-

16 Una vez conocido el valor de la longitud del entrehierro podemos calcular el diámetro interior del estator: (11) Si hay dos canales de ventilación se tendrán que tener en cuenta las oberturas de estas en la longitud total de la máquina. Para tener en cuenta los canales de ventilación se utilizará el factor de reducción de la obertura de la ranura de ventilación, que según las siguientes configuraciones: Ilustración 2: (a) los conductos de ventilación en el estator i en el rotor se encuentran opuestos en la misma posición, (b) los conductos de ventilación del rotor i el estator están en diferentes posiciones. Conductos de ventilación solamente en rotor o estator: [ ( ( ) )] (12) Ancho del diente equivalente a los conductos de ventilación: (13) -16-

17 La longitud de la máquina: (14) Mismo numero de conductos de ventilación en el rotor y en el estator en posición opuesta: [ ( ( ) )] (15) Ancho del diente equivalente a los conductos de ventilación: (16) La longitud de la máquina: (17) Diferente número de conductos de ventilación en el rotor y en el estator: [ ( ( ) )] (18) [ ( ( ) )] (19) Ancho del diente equivalente a los conductos de ventilación: ; (20) La longitud de la máquina: -17- (21)

18 2.6. Bobinados del estator y del rotor Comenzamos eligiendo el numero de ranuras por polo y fase, q. Calculamos el paso de bobinado: (22) El número de ranuras del estator será: (23) El paso de ranura del estator será: (24) El paso polar será del estator: (25) Selección de las ranuras del rotor. Se hará de acuerdo con las siguientes tablas, a partir de las cuales seleccionaremos el número de ranuras del rotor, Q r : -18-

19 Tabla 4: Selección del número de ranuras. Solo las combinaciones sin marca son opciones seguras. Existen inconvenientes para las otras combinaciones. Pares perjudiciales en frenada con corriente de sentido contrario. +, Pares perjudiciales a velocidades positivas. x, vibraciones mecánicas perjudiciales. O, pares síncronos perjudiciales en la parada. Tabla 5: Selección del número de ranuras. Solo las combinaciones sin marca son opciones seguras. Existen inconvenientes para las otras combinaciones (las mismas que en la tabla anterior). -19-

20 Tabla 6: Número de ranuras recomendado por rotor con ranuras inclinadas. El paso de ranura del rotor será: (26) Se recomienda que el paso de ranura este entre unos valores situados entre 7 y 45 mm. A partir de los resultados obtenidos y antes de continuar con el procedimiento de cálculo, se ha de comprobar que las características calculadas son proporcionadas por cualquier suministrador de planchas Inducción en el entrehierro y capa de corriente La inducción en el entrehierro esta relacionada con el esfuerzo tangencial seleccionado al principio del procedimiento de cálculo. A partir de las tablas 1 y 3 podemos seleccionar el valor de la amplitud del primer harmónico de la inducción en el entrehierro, que tomará un valor que puede variar según la tabla 2 entre 0.7 y 0.9 T. Se considera el primer harmónico ya que se supone que los otros son insignificantes respecto al primero, de forma que se podría considerar que la inducción en el entrehierro es sinusoidal. A partir de esta suposición podemos calcular la capa de corriente en valor eficaz: -20-

21 (27) (28) Hay que comprobar que los valores obtenidos están conformes con los que se muestran en la tabla 2, que para una máquina asíncrona el valor de la capa de corriente varia entre 30 y 65kA/m Número de espiras en los devanados de una fase del estator El número de espiras en el estator se calculará a partir de la siguiente expresión: (29) Donde la, tensión inducida en el entrehierro, la obtendremos a partir de la tensión U de alimentación, multiplicándola por una constante de valor: Si es un motor: Si es un generador: (30) (31) El factor de bobinado representa el conjunto de características del bobinado que hace disminuir la fem inducida, donde v nos indica el harmónico por el cual calculamos este factor. Para determinarlo tendremos que tener en cuenta los siguientes factores: Factor de distribución: Representa la diferencia de fase entre las fems parciales de cada bobina. Las bobinas se distribuyen en ranuras a lo largo de la -21-

22 periferia por la cual cosa las fems de cada bobinado están desfasadas y su suma no es aritmética, sino vertical. Este factor se define como: [ ] [ ] [ ] [ ] (32) Factor de paso o de recorte: Para eliminar harmónicos, en las máquinas eléctricas, los devanados no acostumbran a ser diametrales, de manera que se les recorta el paso un ángulo eléctrico determinado, calculado como: [ ] [ ] (33) Factor de inclinación: En las máquinas asíncronas, con la finalidad de reducir los harmónicos, las barras del rotor están inclinadas un ángulo concreto respecto las del estator. Lo calcularemos con la siguiente expresión: [ ] [ ] (34) Siendo s la inclinación medida como la longitud del arco dado por. Una vez definido cada uno de los factores estamos en condición de calcular el factor de bobinado: [ ] [ ] [ ] [ ] (35) Finalmente nos queda definir el valor del coeficiente con el cual calcularemos el valor medio de la inducción,, que inicialmente, considerando una inducción inicial en el entrehierro será de: (36) -22-

23 2.9. Número de conductores por ranura Primeramente escogeremos el número de ramas en paralelo, a. Seguidamente calcularemos el número de conductores totales en el estator: (37) Habrá que tener en cuenta las siguientes condiciones: Para bobinados de simple capa: el número de conductores puede ser par o impar, es decir, un número entero. Para bobinados de doble capa: el número de conductores ha de ser par. De manera que es muy posible que el número de conductores calculados se haya de redondear hacia el número deseado más cercano. A continuación se ha de calcular nuevamente el número de espiras en el devanado de una fase del estator, ya que este cambia por la elección del número de conductores adecuado. Por tanto: (38) Nueva inducción El redondeo del numero de conductores,, influye en la inducción. El factor de saturación,, ha de ser comparado con el obtenido en el punto 2.13 que se verá más adelante, y si son diferentes dentro de un intervalo concreto se iterará hasta el valor deseado. El valor inicial es 2/π. En este punto tendremos que considerar el valor hallado en el punto 13:. La nueva inducción será: (39) -23-

24 2.11. Dimensiones de la ranura estatórica y rotórica Para dimensionar las ranuras estatóricas y rotóricas podemos hacerlo de dos maneras: Dimensionar las ranuras estatóricas y rotóricas teniendo en cuenta la sección de los conductores por ranura y la sección de la barra que calculamos. Eligiendo las planchas con unas secciones adecuadas proporcionadas por un fabricante y comprobar a partir de los factores de ocupación si las planchas seleccionadas tienen la sección suficiente para poder contener los conductores que hemos calculado y la sección de la barra que se calculará en este apartado. En estas notas seguiremos este procedimiento para trabajar con las planchas suministradas por la empresa. El primer paso es elegir la inducción límite en los dientes del estator y del rotor. La tabla 1 nos indica el valor máximo. Inducción en los dientes del estator: Inducción en los dientes del rotor: a. Dimensiones de la ranura del estator Para dimensionar la ranura del estator seguiremos el siguiente procedimiento de cálculo con tal de elegir una plancha comercial con ranuras adecuadas en cada caso. Para determinar la ranura adecuada en cada caso hemos de comenzar calculando la corriente del estator. Para esto hemos de tener en cuenta los datos iniciales siguientes: la potencia nominal, la tensión de fase, el factor de potencia, el número de fases y el rendimiento. Según se trate de un generador o de un motor hemos de: Para el cálculo de la intensidad del estator de un motor hemos de tener en cuenta la potencia eléctrica en los bornes de la máquina a partir de los datos iniciales de la potencia nominal en el eje y el rendimiento: (40) -24-

25 Si se trata de un generador, el dato inicial de la potencia nominal será la potencia eléctrica en los bornes de la máquina, por tanto, no faltara tener en cuenta el rendimiento en el cálculo de la corriente del estator: (41) Seguidamente tendremos que elegir el valor de la densidad de corriente del estator con la finalidad de calcular la sección de los conductores. La densidad de corriente según la tabla 1 para las máquinas asíncronas se encuentra entre los siguientes valores: (42) Por tanto la sección calculada del conductor será: (43) A continuación calculamos el diámetro del conductor: (44) A partir del diámetro calculado hemos de elegir un conductor aislado específicamente para bobinar con un diámetro normalizado d (que será inmediatamente superior al calculado), el cual nos puede proporcionar cualquier fabricante. Una vez sabemos el diámetro normalizado d, hemos de volver a calcular la sección del conductor, la densidad de corriente J, ya que este variará con el diámetro normalizado elegido: (45) (46) A continuación calcularemos el área ocupada por los conductores de una ranura: (47) -25-

26 Un factor importante a tener en cuenta es el factor de ocupación que depende principalmente el material del devanado, la tensión y el tipo de devanado: Bobinas de las pequeñas máquinas eléctricas generalmente con conductores asilados en una ranura no aislada (con zona reservada para el aislante de la ranura), varia, dependen de la calidad del montaje entre: Factor de ocupación para máquinas de baja tensión definido por las ranuras no asiladas:, el límite inferior es para conductores circulares esmaltados y el superior para bobinas prefabricadas de sección rectangular. El factor de ocupación en máquinas de alta tensión, el aislante ocupa más espacio y el factor de ocupación varía entre:, siendo el valor mínimo para conductores circulares y el superior para conductores rectangulares. El factor de ocupación en el rotor será: De todas maneras, el factor de ocupación más habitual en las máquinas eléctricas de baja tensión es de 0.4 con secciones circulares. Una vez elegido el factor de ocupación máximo el siguiente paso es comprobar que la sección de las ranuras del estator de la plancha elegida cumple la siguiente condición: (48) Si no se cumple esta condición habrá que elegir una plancha con una sección de la ranura del estator más grande. Finalmente queda definir las dimensiones de la ranura elegida para cálculos posteriores: -26-

27 Ilustración 3: dimensiones de los diferentes tipos de ranuras Dimensiones para los cálculos: Estas dimensiones no tienen porque ser las que nos da el fabricante, pero deberán tener una forma similar a las de la figura 2 de manera que las podremos obtener de forma aproximada. Ancho del diente estatórico: -27-

28 Ilustración 4: Un diente del estator i dos ranuras estatóricas con sus dimensiones principales donde h ys es la altura de la corona estatórica i la altura de la ranura es igual que la del diente, hs=hd b. Dimensiones de la ranura del rotor y del anillo En los motores asíncronos, la corriente del rotor reflejada en el estator es aproximadamente de la misma magnitud que la componente real de la corriente del estator, ya que las corrientes magnetizantes solo está en el estator: (49) A continuación calcularemos la relación de transformación para el harmónico fundamental entre el rotor y el estator: (50) Sabiendo la relación de transformación y la corriente del rotor reflejada en el estator podemos calcular la corriente de las barras: (51) -28-

29 A partir de la sección de las ranuras de la barra dadas por el fabricante,, y considerando un factor de ocupación de las barras del rotor de, calcularemos la densidad de corriente de las barras con la finalidad de comprobar si el resultado calculado es coherente con las magnitudes de densidad de corriente dadas en la tabla 2: (52) Que según la tabla 2 y dependiendo del material de las barras del rotor: Seguidamente calcularemos la intensidad del anillo a partir de la siguiente expresión: (53) En estos momentos estamos en condiciones de obtener la sección del anillo definida a partir del corriente del anillo y la densidad de corriente: (54) Finalmente definiremos las dimensiones de la ranura del rotor: Estas dimensiones no tienen porque ser las que nos da el fabricante, pero las podremos obtener de forma aproximada. Ancho del diente rotórico: -29-

30 Ilustración 5: dimensiones de la ranura rotórica A partir de las dimensiones que definen la ranura podemos calcular la sección de la ranura: ( ) ( ) (55) Tensión magnética sobre los dientes del rotor y el estator En este apartado se explicaran dos procedimientos para obtener la tensión magnética sobre los dientes del rotor y del estator. a. Procedimiento 1 para obtener la intensidad de campo en los dientes Este procedimiento consiste en calcular el flujo total a partir de la tensión inducida, y a partir de este calcular la inducción por ranura, tanto del rotor como del estator, para después, a partir de la curva BH (la cual es la característica del material) obtener la intensidad de campo magnético y comprobar que estos valores son coherentes con los valores límites ( ) definidos en el apartado

31 Empecemos por calcular el flujo por polo a partir de la tensión. (56) Si sabemos que la máquina tiene 2p polos, el flujo total será: (57) Si la superficie de un diente es, y la multiplicamos por el número de ranuras (que es el mismo que el de dientes) y teniendo en cuenta el factor de acopio, tenemos que la inducción total de los dientes del estator y del rotor es: (58) (59) Para encontrar la intensidad de campo en cada caso habrá que hallar, a partir de los datos del material, la curva BH, y a partir de esta, encontrar: (60) -31-

32 Ilustración 6: representación de la curva BH b. Procedimiento 2 para obtener la intensidad de campo en los dientes A continuación calcularemos la inducción de los dientes solucionando la intersección entre la curva BH y la siguiente recta definida por: (61) Donde: - : es la superficie de la ranura - : es la superficie del diente - : valor máximo de la intensidad de campo magnético en el diente. Es el componente tangencial de la intensidad de campo en la superficie que comparten el hierro y el aire. Por tanto, tiene el mismo valor que la intensidad de campo magnético de la ranura. - : valor máximo de la inducción total. Se define : (62) -32-

33 Ilustración 7: solución gráfica a partir de la curva BH i la inducción en el diente c. Tensión magnética en el diente La tensión magnética en el diente se define como: (63) Donde es la longitud del diente. De forma simplificada se puede calcular como: (64) (65) -33-

34 2.13. Tensión magnética en el entrehierro y factor de saturación Primeramente calcularemos el factor de reducción de la obertura de la ranura del estator: [ ( ) ] (66) A continuación obtendremos el entrehierro equivalente y el factor de Carter suponiendo, como primera aproximación, que la superficie del rotor es lisa: (67) (68) Seguidamente calcularemos el factor de reducción de la obertura de la ranura del estator: [ ( ) ] (69) A continuación obtendremos el entrehierro equivalente y el factor de Carter suponiendo que la superficie del estator es lisa: (70) Finalmente el entrehierro equivalente lo calculamos como: (71) -34-

35 La tensión magnética en el entrehierro la calcularemos a partir de la siguiente expresión: (72) Una vez calculadas las tensiones magnéticas de los dientes y del entrehierro calcularemos el factor de saturación: (73) Este factor lo utilizaremos para comprobar la desviación del valor medio de la inducción, es decir, el factor de saturación afecta al factor. Cuantos más dientes estén saturados, más aumenta el factor. Ilustración 8: Efecto del factor de saturación sobre el factor A partir de esta función y del factor de saturación calculado encontramos el factor, y si es diferente al factor supuesto en el apartado 2.8, tendremos que iterar en el apartado 2.9 y calcular la nueva inducción con el valor hallado en este apartado hasta obtener unos valores similares. -35-

36 2.14. Coronas estatóricas y rotóricas Para comenzar elegiremos la inducción límite en las coronas del estator y el rotor. La tabla 1 nos indica: Para determinar la inducción máxima en las coronas rotóricas utilizaremos las siguientes expresiones: (74) (75) Donde, son dadas por el fabricante de la plancha elegida y el flujo calcularemos como: (76) Si no se cumple con las condiciones iniciales se ha de cambiar la plancha. El valor máximo de la inducción de la corona del estator se puede calcular en el eje sin dificultad, ya que la mitad del flujo pasa por ahí. -36-

37 Ilustración 9: Flujo de la corona rotórica La tensión magnética la calcularemos como: (77) (78) Calcularemos los diámetros del estator y el rotor: (79) (80) Donde: (81) [ ] (82) (83) En máquinas de poca potencia hay que asumir la anchura de la corona rotórica medio diámetro del eje, ya que este se ha de tener en cuenta por el hecho que permite el paso del flujo por el. -37-

38 La constante c la obtendremos de la siguiente gráfica: Ilustración 10: Curva para el cálculo de la inducción en las coronas Para encontrar la intensidad de campo magnético máximo lo haremos interpolando en la curva BH: (84) (85) Para encontrar el coeficiente c, hemos de interpolar en la curva : (86) (87) Una vez calculadas todos estos datos estamos en condiciones de calcular la tensión magnética en las coronas rotóricas y estatóricas. -38-

39 2.15. Tensión magnética total y corriente magnetizante Para calcular la tensión magnética total, es decir, la FMM, sumaremos las tensiones magnéticas calculadas en los anteriores apartados: (88) Calcularemos el valor eficaz de la corriente magnetizante a partir del valor máximo de la FMM: (89) (90) Resistencia del estator La resistencia de los devanados del estator esta en función de la longitud del conductor, el número de ramas en paralelo y la sección. Primeramente calcularemos de forma aproximada la longitud media de una espira: (91) Donde l es la longitud del estator de la máquina y es el paso del bobinado. Para máquinas eléctricas con bobinados prefabricados, es válida la siguiente aproximación. (92) -39-

40 A continuación calcularemos la conductividad del cobre a la temperatura máxima permitida en los devanados a partir del aumento máximo permitido, : (93) Finalmente calcularemos la resistencia DC del estator: (94) Resistencia del rotor reducida en el estator La resistencia del rotor esta en función de la longitud y la sección de las barras y del anillo así como de la conductividad del material a la temperatura máxima permitida de trabajo, definida a partir del incremento de temperatura: (95) La resistencia de las barras se calcula como: (96) Suponemos que el anillo final tiene la misma altura que la barra del rotor se encuentra a una profundidad de. De tal manera que el diámetro medio es: y ( ) (97) Y la longitud: (98) -40-

41 La resistencia del anillo la calculamos a partir de la sección calculada en el apartado 2.10, de manera que: (99) ( ) (100) Para calcular la resistencia del rotor referida al estator primero hemos de calcular el siguiente factor: ( ) (101) Que para máquinas con rotor de ardilla se simplifica en la siguiente expresión: ( ) (102) El factor de inclinación de la ranura se calcula tal y como se indica en el apartado 2.7, que recordamos a continuación: [ ] (103) Siendo la inclinación de la ranura medida como la longitud del arco, que se puede expresar como: (104) Una vez calculados los parámetros anteriores podremos calcular la resistencia del rotor referida al estator: -41- (105)

42 2.18. Inductancia y reactancia de magnetización Para comenzar a calcular la inductancia de magnetización primero definiremos el entrehierro efectivo como aquel entrehierro que también tiene en cuenta la reactancia del hierro y se calcula a partir de la siguiente proporción. ( ( ) ) (106) (107) Una vez calculado el entrehierro efectivo podemos proceder al cálculo de la inductancia de magnetización: (108) De manera que la reactancia de magnetización es: (109) Inductancia y reactancia de dispersión en el entrehierro La fuerza contra electromotriz del entrehierro de la máquina se induce a la inductancia de magnetización de la máquina como resultado de la componente fundamental de la inducción del entrehierro. A causa de los espacios de las ranuras, se producen harmónicos en la inducción, que causa que parte de esta no se utilice para inducir la fem en la inductancia de magnetización. La inductancia de dispersión del entrehierro (es decir, la inductancia de dispersión de los componentes harmónicos) tiene en cuenta este efecto. -42-

43 Comenzaremos calculando la inductancia de dispersión del estator. Para hacerlo primero hemos de calcular el factor de dispersión estatórico, que es la proporción entre la inductancia de magnetización (producto del harmónico fundamental de la inducción) y la inductancia de dispersión (provocada por el resto de los harmónicos): ( ) (110) Para calcular el factor de dispersión estatórico tendremos que calcular el factor de bobinado correspondiente: Factor de acortamiento: [ ] (111) Factor de distribución: [ ] (112) [ ] Donde: (113) A continuación se calcula el factor de dispersión estatórico en dos partes, una correspondiente a los valores del sumatorio y la otra a los negativos: [ ] [ ] [ ] (114) [ ] -43-

44 [ ] [ ] [ ] (115) [ ] (116) En las máquinas asíncronas de jaula de ardilla, esta amortigua los harmónicos, de manera que la inductancia del entrehierro es menos importante por la cual cosa aplicamos un factor de reducción debido a la presencia de las barras rotóricas de aproximadamente 0.8: (117) Y la reactancia de dispersión del estator es: (118) Para calcular la inductancia y la reactancia de dispersión rotórica, primero calcularemos el factor de dispersión rotórica a partir de la siguiente expresión: (119) Inductancia referida al estator: (120) Reactancia referida al estator: (121) -44-

45 2.20. Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras Esta inductancia está en función de diversos factores: el tipo, forma y dimensiones de la ranura que influyen en la permeabilidad magnética de la ranura, en el tipo de bobinado (simple capa o doble capa), el paso del bobinado, el número de bobinas A continuación se muestra el procedimiento de cálculo para la inductancia y reactancia de dispersión de las ranuras del rotor y del estator. a. Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras del estator. Para comenzar el procedimiento de cálculo hemos de definir el factor de permeabilidad de la ranura, el cual está en función de las características de la ranura y el tipo de bobinado. Si el bobinado es de doble capa definiremos la cantidad de paso acortado,, dado por: (122) Con el cual definiremos los factores y : (123) (124) En la siguiente figura se muestran las principales magnitudes para definir una ranura con un bobinado de doble capa: -45-

46 Ilustración 11: Dimensiones de una ranura con un devanado de doble capa. En la figura se define J0 i Ju, que representan las densidades de corriente de las espiras de la capa superior e inferior, que serán diferentes si representan bobinas de diferente fase Una vez calculados los factores anteriores procedemos al cálculo del factor de permeabilidad de la ranura, que depende de la forma de estas definidas en la figura 2, de manera que: Por el tipo de ranura a, b, c, d, e, se define: ( ) (125) Para el tipo de ranura f, g, h: ( ) (126) En caso de que los devanados sean de doble capa, utilizaremos las mismas expresiones anteriores con y los factores. Una vez calculado el factor de permeabilidad calcularemos la inductancia de dispersión de las ranuras del rotor: (127) -46-

47 Y la reactancia correspondiente: (128) b. Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras del rotor Utilizaremos un procedimiento de cálculo similar con las mismas formulas que definen el factor de permeabilidad con la diferencia del hecho de que tener un rotor con jaula de ardilla supone unos factores y. Teniendo en cuenta que una barra del rotor es solamente un conductor, la inductancia de dispersión de las ranuras rotórica se calcula: (129) Y la reactancia correspondiente: (130) Inductancia de cabeza de dientes (zigzag) La inductancia de la cabeza de los dientes se calcula a partir del flujo de dispersión que fluye por el entrehierro alrededor de la obertura de la ranura, tal y como se muestra en la figura 5. La fuerza magnetomotriz en la ranura causa una diferencia de potencial entre los dientes de lados opuestos de la obertura de la ranura, y en consecuencia, parte de la FMM se utilizará para producir el flujo de dispersión de la cabeza de los dientes. La inductancia de la cabeza se determina a partir del siguiente factor de permeabilidad: ( ) (131) ( ) ( ) (132) ( ) -47-

48 Ilustración 12: flujo de dispersión creado por la inductancia de la cabeza de los dientes en los alrededores de la obertura de la ranura De manera que la inductancia de toda una fase del devanado se obtendrá a partir de la siguiente ecuación: (133) (134) Y la reactancia de dispersión de la cabeza de los dientes: (135) (136) Inductancia y reactancia de cabeza de bobina Esta inductancia se produce como resultado de las corrientes que pasan por la cabeza de la bobina. El hecho de que estas tengan una geometría complicada y del flujo de dispersión y que influyen todas las fases de la máquina dificulta mucho su análisis. Por -48-

49 tanto utilizaremos factores de permeabilidad empíricos, y, ya que no resulta una inductancia muy elevada y una solución exacta es matemáticamente complicada. Ilustración 13: dimensiones de la cabeza de bobina i flujo de dispersión (137) Calcularemos de forma aproximada la longitud de la cabeza de la bobina, de la longitud media de una espira,, y la longitud del estator,., a partir (138) (139) Seguidamente determinaremos el factor de permeabilidad del flujo de dispersión de la cabeza de la bobina: (140) Donde y son las longitudes mostradas en la figura 12 y y son factores de permeabilidad que dependen de la estructura de los devanados, los valores de los cuales se encuentran en la tabla

50 Tabla 7: Factores de permeabilidad de cabezas de bobina en máquinas asíncronas para diferentes combinaciones de tipos de estatores i rotores Una vez definidas las magnitudes anteriores procederemos al cálculo de la inductancia de dispersión en el estator: (141) Y la reactancia de dispersión: (142) La inductancia de dispersión del anillo de cortocircuito de la jaula se considera a partir de la siguiente expresión: [ ] (143) Donde el factor depende del número de pares de polos: ; -50-

51 2.23. Inductancia debido a la inclinación de la ranura La inclinación de las ranuras afecta al circuito magnético de la máquina, ya que provoca que una parte del flujo creado en los devanados del estator, aunque atravesando el entrehierro, no penetre en la jaula del rotor. Esta parte del flujo pertenece al flujo de dispersión y se representa por la inductancia de dispersión,. Para calcularla lo haremos a partir de la inductancia de magnetización,, calculando primero el factor de dispersión causado por la inclinación de las ranuras, : (144) (145) Inductancias y reactancias reducidas al estator En este apartado se calcularan las inductancias totales del estator y del rotor deducidas al estator. a. Inductancia y reactancia total del estator (146) Donde: - : inductancia de dispersión del entrehierro provocada por el estator - : inductancia de dispersión de las ranuras del estator - : inductancia de dispersión de los dientes del estator - : inductancia de dispersión de la cabeza de bobina del estator - : inductancia de dispersión debido a la inclinación de las ranuras del rotor La reactancia del estator: -51- (147)

52 b. Inductancia total del rotor reducido al estator La inductancia de dispersión total de las barras del rotor es la suma de la inductancia d los dientes y de las ranuras: (148) A partir de la inductancia de las barras y del anillo calculamos la inductancia total del rotor: ( ) (149) A partir del factor y la inductancia del entrehierro reducida al estator, obtenemos la inductancia total del rotor reducida al estator: (150) Perdidas en el hierro y mecánicas a. Perdidas en el hierro del estator Uno de los datos iniciales es la característica de las perdidas en el hierro en función de la inducción,, que el fabricante del material nos proporciona con potencia perdida por unidad de masa. Por tanto hemos de calcular la masa de cada uno de los elementos que consideramos de importancia para calcular las perdidas en él. Para hacerlo seguiremos el siguiente procedimiento: Volumen del estator: (151) Volumen de la corona estatórica: [( ) ( ) ] (152) -52-

53 Masa de la corona estatórica: (153) Volumen de las ranuras del estator: (154) Volumen de los dientes: (155) Masa total de los dientes: (156) Masa de los dientes del estator (solamente con y ): (157) A partir de la característica del material dado por unidad de masa [W/kg] a una frecuencia específica (normalmente 50 Hz) y la inducción existente en el material se pueden determinar las pérdidas en el hierro. En la siguiente figura se muestra la característica de un material magnético: -53-

54 Ilustración 14: característica P Fe (B) de un material magnético a una frecuencia específica (normalmente 50HZ) Teniendo en cuenta los coeficientes de corrección de las pérdidas en el hierro: En los dientes, En la corona estatórica, Calcularemos las pérdidas en el hierro: Perdidas en el hierro de la corona estatórica: ( ) (158) En caso de tener las pérdidas en una frecuencia diferente o solo tener los datos de las pérdidas en una inducción y una frecuencia, utilizaremos la siguiente expresión para calcular las pérdidas en la frecuencia e inducción específicas: ( ) ( ) (159) Perdidas en el hierro de los dientes calculados con la masa : ( ) (160) -54-

55 Si se da el caso de no tener la característica mostrada anteriormente: utilizaremos la expresión ( ) ( ) (161) Finalmente sumaremos las pérdidas de la corona estatórica y de los dientes del estator: (162) Ya que la frecuencia del rotor es baja, las pérdidas en el hierro del rotor se tienen en cuenta en las pérdidas adicionales. b. Perdidas mecánicas Las pérdidas mecánicas son provocadas por la fricción de los cojinetes y la resistencia del aire. Estas pérdidas dependen de la velocidad, el tipo de rodamientos, las propiedades del lubricante, la carga Para simplificar el cálculo se hace servir la ecuación experimental dada por Schuisky (1960) en la que se tiene en cuenta la fricción del aire y las fricciones mecánicas mediante el factor, dado en la tabla 8. Antes de calcular las pérdidas mecánicas hemos de calcular la velocidad lineal del rotor: (163) Y las pérdidas: ( ) (164) La ecuación anterior es válida para máquinas con un rango de velocidad normal. -55-

56 Tabla 8: factores experimentales de la fricción del aire i mecánica dependen del tipo de refrigeración Circuito equivalente A continuación calcularemos los parámetros del circuito equivalente de la máquina asíncrona. Velocidad de sincronismo y velocidad del eje: (165) (166) Deslizamiento: (167) Frecuencia del rotor: (168) Para evaluar el efecto skin del rotor consideramos que las barras del rotor son rectangulares. Primero calculamos el coeficiente adimensional conductor de altura reducida: (169) -56-

57 (170) Donde: - : altura real del conductor [m] - : ancho del conductor - : ancho de la ranura A continuación calcularemos el coeficiente de efecto skin para la resistencia y la inductancia: (171) (172) Seguidamente calcularemos la resistencia y la inductancia del rotor estator: reducida al ( ( ) ) (173) ( ( ) ) (174) Y seguidamente la reactancia de dispersión reducida al estator: (175) Impedancia rotórica: (176) -57-

58 Resistencia de pérdidas en el hierro: (177) Impedancia magnetizante: (178) Impedancia estatórica: (179) Impedancia total: (180) Condiciones nominales Corriente estatórico: (181) Fem E: (182) El valor de obtenido se ha de comparar con el valor supuesto en el apartado 7 y si difiere mas de un 1% al supuesto se ha de iterar al punto 7 y suponer otro valor de la tensión inducida. -58-

59 Corriente rotórica: (183) Corriente en vacío: (184) Pérdidas mecánicas: ( ) (185) Potencia útil a velocidad nominal: (186) Perdidas, rendimiento, factor de potencia En este apartado se obtiene el balance de potencias, el par y el rendimiento. Pérdidas en el cobre del estator: (187) Pérdidas en el cobre del rotor: (188) Factor de potencia: -59- (189)

60 Pérdidas adicionales: (190) Pérdidas en el hierro: (191) Pérdidas totales: (192) Rendimiento: (193) Par, relación entre el par máximo y el par nominal y relación entre el par de arranque y el nominal: (194) Par máximo, relación entre el par máximo y el par nominal y relación entre el par de arranque y el nominal: (195) Relación entre la intensidad de arranque y la intensidad nominal: (196) -60-

61 CAPITULO 3: MODELO TÉRMICO 3.1. Esquema térmico equivalente El esquema térmico equivalente es un método simple, pero suficiente para identificar la temperatura en la mayoría de regiones de la máquina. Las pérdidas en forma de calor se sitúan en los nodos de forma concentrada y los diversos componentes de la máquina se reducen a componentes simples utilizando las simplificaciones pertinentes. Este método soluciona las redes térmicas utilizando la analogía con los circuitos eléctricos. Dado que se cumple la ley de Ohm, se pueden aplicar los métodos matemáticos destinados a solucionar circuitos eléctricos, que son más sencillos que solucionar las ecuaciones de Maxwell. La tabla 9 representa la analogía entre las magnitudes térmicas y eléctricas. Magnitud térmica Símbolo Unidad Magnitud eléctrica Símbolo Unidad Cantidad de calor Carga eléctrica Flujo de calor Corriente eléctrico Densidad de flujo de Densidad de corriente calor Temperatura Potencial eléctrico Incremento de Voltaje temperatura Conductividad Conductividad eléctrica térmica Resistividad térmica Resistividad eléctrica Conductividad Conductividad eléctrica térmica Capacidad calorífica Capacidad Tabla 9: Analogía entre magnitudes térmicas y eléctricas La máquina eléctrica se divide en diversos componentes térmicos equivalentes. Cada componente térmico equivalente puede ser representado por una o varias resistencias térmicas equivalentes y una capacidad, el nodo de las cuales representa la temperatura media del componente. Las pérdidas producidas por el componente se concentran en el nodo representativo de la temperatura media del componente, representadas por fuentes de energía. Asumiendo simetría en el plano radial a través del centro de la máquina se puede dividir la máquina en diversos componentes, los cuales se detallan en el apartado

62 3.2. Principios de transferencia de calor La transferencia de calor es un proceso de propagación. Para que exista transferencia de calor ha de existir una diferencia de temperatura entre dos puntos. El calor se transfiere del punto caliente al frío. Los procesos por los cuales se transfiere calor son: Conducción, convección, radiación y contacto. En general el calor se transfiere de un cuerpo a otro mediante una combinación de conducción, convección, radiación y contacto. Pero en muchos casos uno de estos procesos es más significativo que los otros y por tanto se pueden descartar los procesos restantes. Conducción Cuando en un cuerpo existe un gradiente de temperatura, la energía se transfiere del punto más caliente al más frío. Esta transferencia de calor se puede definir mediante la ley de Fourier de transferencia de calor: (197) Donde: - : Flujo de calor [w] - : Conductividad térmica del material [W/(m K)] - : Sección del material entre el punto caliente y el punto frío [ ] - : Gradiente de temperatura [K/m] En el esquema equivalente haremos uso de resistencias térmicas. Estas resistencias térmicas, en el caso de conducción se definen como: (198) Donde: - : Incremento de temperatura [K] - : Longitud entre el punto caliente y el frío -62-

63 A partir de la ecuación 197 podemos obtener las ecuaciones pertinentes para un cilindro. Suponiendo las siguientes condiciones: - El flujo de calor en dirección radia y axial son independientes. - Solamente se tiene una temperatura media para ambas direcciones. - No existe flujo de calor en dirección tangencial. - La generación de calor es uniforme. El esquema térmico equivalente de un cilindro queda de la siguiente manera: Ilustración 15: Forma básica cilíndrica Ilustración 16: Esquema térmico para un cilindro (199) -63-

64 [ ( ( )) ] (200) ( ( )) [ ] (201) [ ( ( )) ] (202) Donde: - T radial exterior: Temperatura en la superficie exterior del cilindro [T] - T radial interior: Temperatura en la superficie interior del cilindro [T] - T axial: Temperatura en las superficies laterales del cilindro [T] - T media: Temperatura media del cilindro [T] - Resistencias térmicas equivalentes de un cilindro [K/W] - : conductividad térmica del material en dirección axial [W/(m K)] - : conductividad térmica del material en dirección radial [W/(m K)] - : radio exterior del cilindro [m] - : radio interior del cilindro [m] - : superficie a atravesar por el flujo de calor [ ] A partir de la ecuación 197 podemos obtener las ecuaciones pertinentes para una forma rectangular. Suponiendo las siguientes condiciones: - El flujo de calor en dirección radial y axial son independientes. - Solamente tenemos la temperatura media en ambas direcciones. - La generación de calor es uniforme. El esquema térmico de una forma rectangular queda de la siguiente manera: -64-

65 Ilustración 17: Esquema térmico para una forma rectangular Donde: - T1, T2, T3, T4: Temperatura de las diversas caras del rectángulo [T] - Tm: Temperatura media del rectángulo [T] - Rx: Resistencia térmica equivalente en dirección x [K/W] - Ry: Resistencia térmica equivalente en dirección y [K/W] Convección El proceso de convección se define como la transferencia de calor entre una superficie solida y un fluido en movimiento. El proceso de convección se modela como una resistencia térmica con la siguiente función: (203) Donde: - : Coeficiente de convección [ ] El coeficiente toma diferentes valores dependiendo de la geometría de la superficie, de las características del fluido, velocidad del fluido, temperatura. Por este motivo es difícil obtener el valor de este coeficiente de forma analítica. El coeficiente vendrá -65-

66 dado por funciones semiempíricas en las cuales utilizaremos nombres adimensionales para describir el comportamiento del fluido. En una máquina eléctrica podemos definir tres zonas donde se produce el proceso de convección: - : coeficiente de convección entre la carcasa y el exterior. - : coeficiente de convección entre el rotor y el estator a través del entrehierro - : coeficiente de convección entre el aire de las cabezas de bobina de la máquina, rotor, estator, cabezas de bobina y eje. El coeficiente se recomienda que se obtenga a partir de ensayo de la máquina. Este ensayo consiste en medir la diferencia de temperatura entre la carcasa y el ambiente, funcionando a carga constante. El calor disipado por la carcasa será igual a la potencia eléctrica consumida. A partir de la ecuación 197 se puede hallar el valor de la resistencia térmica equivalente entre la carcasa y el ambiente. Normalmente no podremos realizar el ensayo de la máquina, por este motivo utilizaremos ecuaciones empíricas. Se proponen dos ecuaciones para hallar el coeficiente (Churchill-Chu). Estas ecuaciones son validas para en cualquier fluido. (204) [ ( ( ) ) ] (205) [ ( ( ) ) ] Donde: - : conductividad térmica del fluido [ ] - : diámetro exterior de la carcasa [ ] - : Número de Rayleigh - : Número de Prandtl -66-

67 El número de Rayleigh considerando una convección natural es: (206) Donde: - : constante gravitacional - : coeficiente de expansión termal [ ] - : diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido [ ] - : viscosidad cinemática del fluido [ ] El número de Prandtl define la relación entre la difusión térmica y viscosa. (207) Donde: - : calor específico del fluido [ ] - : viscosidad dinámica del fluido [ ] - : conductividad térmica del fluido [ ] El coeficiente se considera el coeficiente de transferencia térmica entre dos cilindros concéntricos, rotativos entre si. Se asume que todo el calor procedente del rotor se transmita al estator directamente a través del entrehierro. Se supone que el aire del entrehierro y de las cabezas de bobina es independiente. Es válido para la mayoría de fluidos. (208) Donde: - : Grosor del entrehierro entre rotor y estator[ ] - : Número de Nusselt Según Becker y Kane el número de Nusselt se puede aproximar como: (209) -67-

68 Los mismos autores proponen una segunda aproximación para hallar el número de Nusselt. (210) Donde: - : Número de Taylor modificdo Para conocer el estado del fluido utilizamos el número de Taylor y el número de Reynolds. Estos nombres describen la relación entre la fuerza centrifuga y la fuerza deslizante en un fluido. (211) Donde: - : Número de Reynolds - : Diámetro del rotor [ ] (212) Donde: - : Densidad del fluido [ ] - : velocidad del fluido [ ] El número de Taylor se modifica por un factor geométrico. (213) [ ] (214) [ ( ) ] [ ] Donde: - : Radio del rotor [ ] -68-

69 Otra forma de encontrar el número de Taylor según Kylander es: (215) Donde: - : velocidad de rotación del rotor [ ] - : diámetro del entrehierro entre el rotor y el estator [ ] - : viscosidad cinemática del fluido [ ] El coeficiente se puede hallar utilizando una o diversas ecuaciones experimentales. Luke considera que una sola ecuación es suficiente para todas las regiones en contacto con el aire de las cabezas de bobina, mientras que Kylander utiliza tres ecuaciones, una para el aire en contacto con el rotor, una para el aire en contacto con la carcasa y otra para el aire en contacto con las cabezas de bobina. Ambos autores consideran que la circulación del aire se fuerza por medio de las aletas del rotor. Las ecuaciones 215, 217, 218, 219 solo son válidas en caso de que el fluido sea aire. Según Luke el coeficiente queda de la siguiente forma: ( ) (216) Donde: - : velocidad del fluido en las cabezas de bobina [ ] (217) Donde: - : radio del rotor [ ] - : Eficiencia de las aletas del rotor. Es la velocidad del aire en las cabezas de bobina respecto a la velocidad de las aletas. Según Kylander el coeficiente cabezas y la carcasa: para la resistencia térmica entre el aire de las (218) -69-

70 Según Kylander el coeficiente cabezas y el rotor: para la resistencia térmica entre el aire de las (219) Según Kylander el coeficiente cabezas y las cabezas de bobina: para la resistencia térmica entre el aire de las (220) Donde: - : Velocidad del fluido en las cabezas [ ] Radiación La transferencia de calor se puede llevar a cabo en el vacío. Esta transferencia de calor se realiza mediante radiación electromagnética. La radiación electromagnética se propaga como resultado de la diferencia de temperatura. En máquinas eléctricas, todo y que existe el efecto de la radiación se puede eliminar si lo comparamos con la transferencia de calor por conducción y convección. La resistencia térmica equivalente en caso de radiación queda de la siguiente manera: (221) Donde: - : coeficiente de transferencia de calor por radiación [ ] - : superficie del cuerpo frío expuesta al cuerpo caliente [ ] El coeficiente se puede encontrar con la siguiente ecuación: (222) -70-

71 Donde: - : constante de Stefan-Boltzmann [ ] - : factor de emisión de la superficie del cuerpo caliente - : factor de visión entre superficies - : temperatura de la superficie 1 [ ] - : temperatura de la superficie 2 [ ] Contacto La transferencia por contacto no sigue un proceso propio, sino que es una fusión entre conducción, convección y radiación. La transferencia de calor por contacto se produce en aquellos cuerpos que están unidos mediante presión y que a nivel microscópico quedan bolsas de aire entre ambos cuerpos. Ilustración 18: Representación de la transferencia de calor entre dos superficies en contacto a nivel microscópico La resistencia térmica equivalente en caso de contacto queda de la siguiente manera: (223) Donde: - : coeficiente de contacto [ ] - : superficie de contacto [ ] Según Pyrhönen, el coeficiente de contacto es: Tipo de Unión Coeficiente de contacto [ ] Carcasa de aluminio y cuerpo del estator Carcasa de acero y cuerpo del estator Eje y rotor Tabla 10: Coeficiente de contacto -71-