Un sencillo medidor vectorial de impedancias eléctricas para el laboratorio Fernando Valcarce Codes

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1 Enseñanza Un sencillo medido vectoial de impedancias elécticas paa el laboatoio Fenando Valcace Codes An aangement fo vectoial electical-impedance measuements is descibed which is pecise and accuate enough to be suitable fo quick vectoial electical-impedance measuements in the laboatoy and so single so as to be appopiate fo its use and implementation by the students. Measuements ae caied out by detemining the two pats, eal and imaginay, of impedance at one fied fecuency by means of a fou quadant multiplie whose output is low-pass filteed and yields thee diect cuent voltages that popely combined allow to get a eading of eal and imaginay pats of the impedance which is being measued. 1. Intoducción La impedancia eléctica es una popiedad caacteística de los medios mateiales en geneal y de los elementos de cicuito en paticula, que descibe su compotamiento con especto a la ciculación de una coiente eléctica a tavés de ellos cuando se aplica una deteminada difeencia de potencial eléctico ente sus etemos. La amplitud y fecuencia del potencial eléctico aplicado tienen influencia sobe la espuesta eléctica del elemento consideado y así apaece el concepto de espectometía de impedancia eléctica, técnica que busca detemina el valo de la impedancia eléctica y su vaiación en función de la fecuencia y amplitud de la señal aplicada [1]. Puesto que se tata de la foma en que una señal oscilante se tansmite a tavés de un medio mateial, se pueden poduci alteaciones tanto en la amplitud como en la fase de la señal tansmitida con especto a la incidente, y po ello una función que elaciona las señales incidente y tansmitida, como es la impedancia, tiene dos componentes que dan cuenta de estos paámetos, tiene po tanto caácte vectoial y se podá epesa como un númeo complejo. El método más conocido y que pimeo se desaolló paa la medida de impedancias elécticas es el Puente de Wheatstone [,3], pimeo paa medidas de esistencia eléctica utilizando coiente continua y un galvanómeto como detecto, y después paa medidas de impedancia en geneal utilizando coiente altena y como detecto un osciloscopio o un detecto de audiofecuencia. Este método, aunque laboioso y lento, sigue siendo muy utilizado paa las medidas en el laboatoio y su pecisión y eactitud son buenas cuando se dispone de patones adecuados, pemitiendo ealiza medidas a fecuencias difeentes. Cuando los equisitos de pecisión y eactitud no son tan altos y se necesita un sistema ápido de medida paa detemina el valo de elementos de cicuito tales como la capacidad de condensadoes, la inductancia de bobinas o la esistencia de esistoes, se ecue a dispositivos como los óhmetos, capacímetos y medidoes LCR [4] que utilizan como pincipio de medida, ente otos, la vaiación de la fecuencia de esonancia de cicuitos sintonizados o de osciladoes calibados, al inseta en el cicuito el componente a medi. Cuando se necesita una medida de la impedancia que sea aplicable a una combinación de elementos se ecue a otos métodos de medida tales como los medidoes I-V, los analizadoes de edes RF y otos sistemas de alta complejidad y sofisticación que se comecializan y que utilizan osciladoes sintetizados de fecuencia vaiable así como electónica de detección y medida computeizadas que pemiten la medición de la impedancia en un amplio ango de fecuencias. Con estos sistemas se pueden utiliza modelos más complejos paa epesenta los elementos de cicuito o mateiales bajo estudio [5,6], pemitiendo la caacteización del compotamiento eal de los mismos y de popiedades tales como los factoes de pédidas y su dependencia con la fecuencia de la tensión aplicada. Ota altenativa es un equipo, como el que aquí se descibe, que pemita la medida vectoial de la impedancia eléctica, deteminando sus pates eal e imaginaia a una sola fecuencia seleccionada, con el que se pueda detemina de foma ápida la impedancia de componentes discetos y de cietas asociaciones de ellos que se ajusten a modelos sencillos, al tiempo que se eduzca la instumentación necesaia paa implementalo, el peso y consumo de la misma y pemita, po su sencillez, su fácil uso y ealización en el laboatoio de Física. En el teto que sigue se eponen los fundamentos teóicos de su funcionamiento y método de medida, los posibles eoes en que puede incuise al medi y la sensibilidad de las medidas ealizadas con el mismo. Una descipción completa de los cicuitos electónicos utilizados y de su ensamblaje podá vese en la sección de electónica del sitio web: REF Abil-Mayo 010

2 Enseñanza. Fundamento teóico.1. Teoía básica Supongamos que queemos medi una impedancia eléctica que denominamos Z, que de una foma geneal se puede epesa como un númeo complejo Z que consta de pate eal y pate imaginaia; Z = R + j X, po lo que si deteminamos el valo de cada una de estas pates, R y X, habemos deteminado el valo de la impedancia. Paa ello disponemos de un geneado de voltaje cosenoidal, V g, de fecuencia, f, y amplitud máima, V 0, estables y conocidas, que popociona a su salida la tensión: V g = V 0 $ cos wt, siendo w = f. También disponemos de una impedancia de efeencia cuyo valo, conocido, es: Z = R + j X. Realizamos el siguiente montaje: Z Si elevamos al cuadado la anteio epesión de Z, se obtiene: 0 0 Z = Z $ 7V V A = _ R + R i + _ X + X i y sacando facto común en el segundo miembo de esta epesión, tenemos: Z $ 7V V A = _ R + Ri $ 71 + tg & R + R = Z $ 7V V A $ cos z de donde se llega a que: R = Z $ 7V V A $ cos - R 0 0 z za & (7) Igualmente de la epesión de tg z, (3), podemos tene: V 0 cos wt I (t) Z X = _ R + R i $ tg z - X & X = Z $ 7V V A $ cos z $ tg z - X 0 0 & (8) Fig.1. Esquema del montaje que se ealiza paa medi la impedancia compleja Z. En este cicuito se veifica: I (t) = (V 0 $ cos wt) Y (Z + Z ), siempe que f no sea demasiado alta, la longitud de onda sea tal que se cumpla que m >> L, y po tanto los fenómenos de adiación puedan despeciase. En estas condiciones I (t) seá una magnitud compleja cuya pate eal vendá dada po: I ^th = ` V0 Z j $ cos_ wt - zi (1) siendo: L Z = 8_ R + R i + _ X + X i B () 1 tg z = _ X + X i _ R + R i (3) La caída de tensión en Z es V = I (t) $ Z, y la pate eal de V vendá dada po: V = ` V0 $ Z Z j $ cos_ wt - z + ii (4) siendo tg i = X R (5) po lo que V es también una tensión cosenoidal cuya amplitud máima, V 0, viene dada po: V = V Z Z, de donde obtenemos; 0 0 $ Z = Z $ V V 0 0 epesión que popociona el valo del módulo de la impedancia total Z, suma de Z y Z. (6) de donde obtenemos: X = Z $ 7V V A $ sen z - X 0 0 Si a la fecuencia f de medida la impedancia Z es tal que se puede considea que es Z = R = R, siendo R una esistencia pua, entonces las epesiones de R y X se simplifican y se pueden escibi como: R = R $ `7V0 V0A $ cos z - 1j,, X = R $ 7V V A $ sen z 0 0 Con lo que el poblema se educe a medi 7V 0 V 0 A $ cos z y 7V 0 V 0 A $ sen z, ya que R es conocida si utilizamos como impedancia de efeencia un esisto cuyo valo de esistencia es conocido con buena eactitud y pecisión. Medilas es equivalente a medi: 9V0 $ V0 _ V0i C $ cos z y 9V0 $ V0 _ V0i C $ sen z, magnitudes que se pueden medi con un multiplicado analógico de cuato cuadantes. De foma genéica, si aplicamos a la entada de un multiplicado las señales V1 y V, tendemos el esultado que se muesta esquemáticamente en la figua. V 1 V MULT K V 1 V Fig.. Esquema del funcionamiento genéico de un multiplicado de cuato cuadantes. (9) REF Abil-Mayo 010

3 Un sencillo medido vectoial de impedancias elécticas paa el laboatoio 3 En nuesto caso podemos establece las siguientes combinaciones de entadas y salidas en un multiplicado analógico de cuato cuadantes: Tabla 1. Cuado de entadas al multiplicado analógico y salidas coespondientes del mismo. Entadas Salida 4) Medida de V s3 con el geneado V g desfasado en /, a una entada y V a la ota. Como vemos, V estaá siempe conectada a una de las entadas del multiplicado y en la ota entada del mismo se aplicaán po medio de un conmutado las otas señales adecuadas en cada momento, tal como se muesta en el esquema de bloques siguiente. V 0 $ cos wt V s = (k/) $ V 0 $ V 0 $ cos z + V 0 $ cos (wt - z) + (k/) $ V 0 $ V 0 $ cos (wt - z) V 0 $ cos (wt - z) V s = (k/) $ V 0 $ V 0 $ cos 0 + V 0 $ cos (wt - z) + (k/) $ V 0 $ V 0 $ cos (wt - z) V 0 $ cos (wt - /) V s = (k/) $ V 0 $ V 0 $ cos (z - /) + V 0 $ cos (wt - z) + (k/) $ V 0 $ V 0 $ $ cos (wt - z - /) 00 mv 100 khz Z Z V 0 $ cos (wt) V 0.cos (wt U) V 0 $ sen (wt) R 1 R 0 DC V NO DATA Haciendo pasa las señales de salida po un filto paso-bajo, en la salida del multiplicado se obtienen las tes tensiones continuas: V s1 = (ky) $ V 0 $ V 0 $ cos z (10) V s = (ky) $ (V 0 ) V s3 = (ky) $ V 0 $ V 0 $ sen z y al combina adecuadamente estas tensiones, obtendemos: R = R $ 8_ V V i - 1B (11) s1 s X = R $ _ V V i s3 s Estas opeaciones se pueden hace de foma automática o manual y si se caliba el multiplicado paa que sea k = y nomalizamos su salida de foma que sea V s = 1, entonces tendemos: R = R $ 7V - 1A (1) X = R $ V s1 s3.. Poceso de medida, eoes y sensibilidad de la medida De esta foma el poceso de medida se educiá a intoduci en las entadas del cicuito multiplicado las tensiones indicadas en la columna coespondiente de la Tabla 1 y obtene la lectua de las tensiones continuas en la salida del mismo, paa lo que se pocedeá a: 1) Ajuste de ceo con el potencial de tiea conectado a una entada y V a la ota. ) Ajuste de uno con la tensión V conectada a las dos entadas del multiplicado. 3) Medida de V s1 con el geneado V g conectado a una entada y V a la ota. Fig.3. Esquema de bloques del medido vectoial de impedancias elécticas. En la páctica la impedancia de efeencia Z puede no se eactamente una esistencia pua y, en la medida en que no lo sea, la apoimación Z = R = R no seá coecta, las epesiones deducidas no seán aplicables y se intoduciían cietos eoes al opea en la foma descita. En conceto, tal y como hemos visto, la tensión en Z, pate eal de V seía: V = V0 $ ` Z Z j $ cos_ wt - z + ii y entonces, debido a Z, dependiendo de los valoes elativos de z y i y de la componente imaginaia de Z tendíamos medidas eóneas en un sentido o en oto. Po ello es impotante consegui que a la fecuencia de medida la impedancia Z sea una esistencia lo más pua posible, lo cual equeiá que tengamos que sintoniza a dicha fecuencia los componentes eactivos de Z, que eisten en todos los elementos eales de cicuito, paa que la impedancia esultante sea esistiva. La sensibilidad de la medida dependeá de lo que vaíe V paa una cieta vaiación de la impedancia Z, es deci de dv YdZ. En este caso, V viene dada como: V = V g $ R / (Z + R), y po tanto, si V g y R son independientes de Z y suponemos po simplifica que Z es eal, tendemos: dv d Z =- V $ R _ Z + Ri (13) y g d V dz dr = V $ ` R - Z j _ R + Z i (14) g 4 En la epesión (13) vemos que si es R >> Z, la vaiación de V con especto a Z tiende a; V g YR, que a su vez tiende a 0 paa valoes muy altos de R, y si es Z >> R dicha vaiación también tiende a 0. REF Abil-Mayo 010

4 4 Enseñanza En el caso de que sea R = Z la deivada pesenta un mínimo de valo; V g Y4R, po lo que la mejo sensibilidad de medida la obtendemos paa valoes de R iguales o póimos a Z, manteniendo el meno valo posible de R puesto que los valoes de R gandes en el denominado de la deivada la hacen tende a ceo y po lo tanto disminuyen la sensibilidad. Cuando se mide una impedancia que consta de dos pates de valo muy desigual, p. ej. una capacidad muy pequeña en paalelo con una esistencia también pequeña, la dispaidad de sus impedancias haá que debamos elegi un valo de la esistencia de efeencia, R, que se ajuste a la meno de ellas y podemos medi una de ellas, la de meno valo en el caso paalelo, con mayo pecisión que la ota y en el caso de dos impedancias en seie de valo muy desigual, una gande y ota pequeña el valo del R seleccionado, que ahoa se ajustaá a la suma de ambas, haá que podamos detemina con mejo pecisión el valo de la mayo de ellas. Po esto en tales casos sólo podemos obtene valoes bien apoimados paa una de las impedancias que componen la impedancia total, obteniéndose los mejoes esultados cuando las pates que la componen tienen valoes de impedancia del mismo oden de magnitud. 3. Aplicaciones 3.1. Medida de componentes Cuando se miden componentes discetos tales como esistoes, condensadoes, inductoes o una combinación de ellos, obtendemos en todas las ocasiones una pate eal y una pate imaginaia de la impedancia, las cuales tendemos que intepeta paa obtene los valoes coespondientes de esistencia, capacidad o inductancia que nos inteesa conoce. Sabemos que en los componentes eales de cicuito no se pesentan esistencias, capacidades o inductancias puas, sino más bien combinaciones de ellas po lo que al pocesa los esultados obtenidos paa las pates eal e imaginaia de la impedancia medida, tendemos que hacelo utilizando el modelo de cicuito que se adapte mejo al compotamiento del componente eal que queemos medi. Po ejemplo, un condensado se puede modela como una capacidad pua en paalelo con una esistencia pua, esistencia que epesentaía y tendía en cuenta las pédidas que todo condensado tiene en la ealidad. En el caso de una inducción también ocue que además de un cieto valo de inductancia pua pesentaá una cieta capacidad en paalelo, esultante de las capacidades ente las espias de la bobina, así como una cieta esistencia en seie que poviene de la esistencia del cable usado en el bobinado. También los esistoes utilizados en los cicuitos tienen teminales metálicos y cables de coneión que pesentaán capacidades e inductancias que tendemos que tene en cuenta en el modelo con el que intepetemos los esultados obtenidos. Modelos más fecuentes paa Z 1. Z = R y & R y = R,, X = 0. Z = C y & C y = -1 / (w $ X ),, R = 0 3. Z = L y & L y = X / w,, R = 0 4. Z = R y seie con C y & R y = R,, C y = -1/(w $ X ) 5. Z = R y seie con L y & R y = R,, L y = X / w 6. Z = R y paalelo con C y & R y = (R + X ) / R C y = -X / [w $ (R + X )] 7. Z = R y paalelo con L y & R y = (R + X ) / R L y = (R + X ) / (w $ X ) El modelo que debeemos aplica en cada caso vendá deteminado po las caacteísticas del componente que deseemos medi, así po ejemplo si estamos intentando medi el valo de esistencia de un esisto disceto cuyo valo nominal o espeado es de 10 X, seía suficiente con aplica un modelo que sólo considee el valo de la esistencia, pues el valo de las capacidades e inductancias asociadas a dicho componente daán luga a valoes de impedancia que no afectaán pácticamente al valo de esistencia medido y que se encontaán fuea del ango de pecisión de medida del instumento, tal y como se discutió al habla de la sensibilidad de las medidas, po lo que lo más aconsejable en este caso seía modela este componente como una esistencia pua. Eisten muchos más modelos posibles y el modelo a utiliza paa un componente dado se puede completa añadiendo tantos elementos como se desee, peo entonces la intepetación del mismo equeiá ealiza más medidas a distintas fecuencias, cosa que no es posible con la instumentación aquí pesentada que tiene como contapatida de la sencillez en su utilización, la limitación a su uso paa componentes que se puedan modela con sólo un elemento eactivo, es deci que no podemos inclui simultáneamente inductancias y capacidades pues no seían suficientes los datos de la medición ealizada a una sola fecuencia paa dilucida los valoes de los elementos implicados. En la páctica esto sólo epesenta un inconveniente impotante en la medida de bobinas con alto valo de inductancia y de condensadoes con alto valo de capacidad, los cuales pesentan también una capacidad en paalelo y una inductancia en seie, espectivamente, de valo no despeciable y es lo que limita fundamentalmente el ango de inductancias y capacidades que el equipo puede medi. Como ejemplo páctico veamos los esultados que se obtienen al medi dos condensadoes comeciales, uno de ellos de tipo ceámico, pequeño y con la impesión de su valo teóico, pf 3.3, sobe su cuepo, y oto de tamaño algo mayo, con código de coloes coespondiente a un valo teóico de.0 pf, igualmente impeso sobe su supeficie. Paa la intepetación de las medidas se ha utilizado el modelo de capacidad ideal en paalelo con esistencia ideal y la esistencia de efeencia usada en este caso ha sido de X, siendo la fecuencia del geneado 10 5 Hz y su amplitud de 00 mv p.p. REF Abil-Mayo 010

5 Un sencillo medido vectoial de impedancias elécticas paa el laboatoio 5 Tabla. Resultados de las medidas ealizadas sobe dos condensadoes comeciales. Valo teóico C Medida R Medida X Valo medido C y Valo medido R y 3.3 pf 9.5 $ $ ± 0.03 pf 4. ± 7.4 MX.0 pf 6.0 $ $ ± 0.0 pf 9.9 ± 1 MX Los valoes obtenidos paa las medidas de capacidad concuedan bastante bien con los valoes nominales declaados po los fabicantes en estos dos casos y las impedancias coespondientes a dichos valoes de capacidad son del oden de 0.5 MX, lo cual es al menos un oden de magnitud meno que las impedancias medidas paa las esistencias en paalelo que hemos consideado en el modelo utilizado paa su deteminación, po lo que el valo de éstas está afectado po una incetidumbe mayo que la coespondiente de las capacidades. No obstante, aunque no sean muy eactos, también podemos etae alguna conclusión inteesante de dichos valoes, como po ejemplo que el valo de esistencia paalelo obtenido paa el condensado de.0 pf, mucho meno que el obtenido paa el condensado de 3.3 pf, indicaía un mayo nivel de pédidas en el condensado de.0 pf, que puede esta quizá elacionado con el mayo tamaño físico de su diámeto y con algún oto paámeto de su constucción que desconocemos. Oto ejemplo de una medida ealizada, en la que sí se pudieon detemina los dos componentes del modelo utilizado con buena eactitud y pecisión, fue la de un inducto con código de coloes coespondiente a un valo de 1 nh impeso sobe su cuepo cilíndico, de cuya medida se obtuvieon los valoes 0.9 y 0.6 paa las pates eal e imaginaia espectivamente, de la impedancia, utilizando una esistencia de efeencia de 0 X, y paa cuya intepetación se consideó un modelo de inducción pua en seie con esistencia pua, obteniéndose los valoes de 0.99 ± 0.03 nh paa la inductancia y de 0.9 ± 0.05 X paa la esistencia, valoes que coesponden a impedancias de 0.6 X y 0.9 X espectivamente, po lo que al se las dos del mismo oden de magnitud se deteminan ambas con buena eactitud. El valo medido paa la inductancia concueda bien con el declaado po el fabicante del componente y la esistencia seie se ha medido altenativamente utilizando paa ello un óhmeto de coiente continua con el que se ha obtenido una lectua de 1.0 X, que también concueda azonablemente bien con el valo anteiomente medido teniendo en cuenta la dispaidad de los métodos de medida utilizados y los posibles eoes inheentes a cada uno. 3.. Medidas en fluidos Ota aplicación paa la que es posible utiliza este tipo de medido es en la deteminación de conductividades y de constantes dielécticas en fluidos, paa lo cual se necesita también dispone de un electodo o célula de conductividad adecuados que se adaptan a la entada de impedancia incógnita Z y que, peviamente calibado con fluidos patón de caacteísticas conocidas, nos pemiten evalua las popiedades de otos fluidos. Paa su ealización se dispone un montaje como el de la figua siguiente: FVC C c, R c C e, R e Fig.4. Aplicación del medido de impedancia eléctica en conjunto con un electodo paa medidas en fluidos. En este caso tendemos que tene en cuenta que el conjunto fomado po el conecto y los conductoes que unen el electodo con el pueto de coneión tienen una cieta capacidad, C c, así como una cieta esistencia, R c, en paalelo con la capacidad y también una inductancia y esistencia en seie, aunque estas últimas se pueden considea despeciables en muchas de las aplicaciones pácticas. Así pues la capacidad que ahoa medimos, C, seá la suma de las capacidades del electodo popiamente dicho, C e, y la debida al cableado, C c, y tendemos: C = C e + C c. Igualmente, la esistencia medida estaá compuesta po la combinación en paalelo de la esistencia del electodo popiamente dicho, R e, y la debida al cableado, R c, de foma que tendemos paa la esistencia del conjunto: R = R c $ R e Y(R c + R e ). De esta foma sólo consideamos como electodo activo los conductoes que hacen contacto con el fluido en el etemo del conjunto y podemos caliba el electodo utilizando paa ello fluidos cuyas caacteísticas de pemitividad y conductividad eléctica sean conocidas. Este tipo de medidas ealizadas con este equipo tienen cietas ventajas sobe las ealizadas con otos medidoes, como po ejemplo los conductímetos convencionales, que no tienen en cuenta los efectos capacitivos ente los electodos de la célula de conductividad. En esumen, el equipo es de funcionamiento sencillo y fácil aplicación a una seie de medidas que se pueden ealiza en el laboatoio de física paa la deteminación de las impedancias elécticas de mateiales y de componentes electónicos. 4. Refeencias bibliogáficas [1] BARSOUKOV, E., MACDONALD, J.R., Impedance Spectoscopy, Theoy, Epeiment, and Applications. Ed. John Wiley & Sons. New Jesey, (005). [] BOLTON, W., Electical and Electonic measuement and testing, Ed. Macombo. Bacelona, (1995). [3] TRIETLY, HARRY, L., Tansduces in Mechanical and Electonic Design, Ed. CRC Pess (1984). [4] PALLÁS ARENY, RAMÓN, Instumentos electónicos básicos, Ed. Macombo. Bacelona, (006). [5] OKADA, K., SEKINO, T., Impedance Measuement Handbook, Ed. Agilent Technologies Co. Ltd. Dec [6] GAMRY INSTRUMENTS, Electochemical Impedance Spectoscopy Pime, (005). Fenando Valcace Codes Instituto Nacional de Toicología. Depatamento de Madid. c.e: REF Abil-Mayo 010

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