MAESTRÍA EN ECONOMÍA INTERNACIONAL. Tesis

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1 MAESTRÍA EN ECONOMÍA INTERNACIONAL Tess Grades depóstos y el resgo de lqudez bacaro Ua aproxmacó medate la domaca estocástca Martí Egozcue 006

2 Uversdad de la Repúblca Facultad de Cecas Socales Departameto de Ecoomía Grades depóstos y el resgo de lqudez bacaro Ua aproxmacó medate la domaca estocástca Martí Egozcue Tess de Maestría e Ecoomía Iteracoal TUTOR: Dr.Jua Dubra Agosto 006 E este estudo aalzamos s la cocetracó e los depóstos puede afectar al resgo de lqudez bacaro. E la actualdad exste ormas que regula la cocetracó de los crédtos bacaros. S embargo, la regulacó e la cocetracó de los pasvos bacaros, ha sdo relegada a u segudo plao. U regulador prudecal o debería dear de teer e cueta los posbles efectos egatvos que pudera teer la fuga

3 esperada de grades depóstos. Es por tato, u obetvo de este trabao trasmtr esta quetud, y demostrar que la cocetracó e el facameto efectvamete es ua estratega de resgo. Para este propósto, se demuestra u teorema sobre domaca estocástca de segudo orde para combacoes leales covexas de varables aleatoras. Se prueba que, cuato más cocetrados esté los depóstos más resgosa es la dstrbucó de los retros bacaros. Además se muestra que, u Baco Cetral preferrá teer u sstema facero co depóstos bacaros lo más atomzados posbles. Por este motvo, los veles de ecaes fados por el Baco Cetral debería ser mayores cuato más cocetrados sea los depóstos. INTRODUCCION El resgo de lqudez bacaro se produce cuado u baco o tee las reservas líqudas sufcete para cumplr co sus oblgacoes faceras. Por ser esta ua mala señal para el resto de los depostates y, debdo a ello, por la posbldad de cotago etre las sttucoes faceras, hace que sea ua de las mayores preocupacoes de los reguladores de sstemas faceros. La exsteca de u prestamsta de últma staca, que e geeral es el Baco Cetral, hace que los resgos asocados a la actvdad bacara sea dfícles de teralzar. Por esta razó, los reguladores de sstemas faceros exge a sus sttucoes el cumplmeto de certas ormas. Prcpalmete estas ormas tee como cometdo restrgr la lbre eleccó del portafolo bacaro. Ua de estas restrccoes es el requermeto de ecaes mímos oblgatoros. E geeral, la determacó de los ecaes mímos oblgatoros depede del moto y del vecmeto de los depóstos. El lbro II de la Recoplacó de Regulacó y Cotrol del sstema facero (parcalmete derogado) y la crcular Nº 87 del 9/8/03 del Baco Cetral del Uruguay, que regula los ecaes mímos oblgatoros, o tee e cueta, para su cálculo, la posble cocetracó de los depóstos e pocas maos. Tal es así que dos bacos co gual: moto, moeda y estructura de vecmetos de sus depóstos, tedría ua exgeca de ecaes de la msma cuatía. /DUD]yQGHORVHQFDMHVWDPELpQSHGHGHEHUVHDIDFWRUHVGHSROtWLFDHFRQyPLFDUHJODFLyQGHODRIHUWDPRQHWDULD

4 Esto o parece muy lógco, pues debería exstr u mayor resgo cuato más cocetrados esté los depóstos. El cremeto e el resgo operaría de la sguete forma. Supogamos u baco que tee depóstos muy cocetrados, dgamos u caso extremo, auque o rreal, que tuvera u solo depostate. Ese úco depostate puede recbr u shock esperado de lqudez y exgr la devolucó total del pasvo bacaro. Parece meos probable, co tal vel de gravedad, que ate el msmo shock de lqudez ello ocurra e ua stuacó de atomzacó de los depóstos. 3 E la lteratura ecoómca, el resgo por la preseca de grades versores ya ha sdo aalzado para el caso de corrdas cambaras, véase Corsett, Dasgupta, Morrs y Sh (004). S embargo, este tpo de resgo o ha sdo tratado explíctamete e los modelos de corrdas bacaras. Tato los modelos tradcoales como los de: Bryat (980), Damod y Dybvg (983) o más cercaos e el tempo como el de Rochet- Vves (00), o tee e cueta este puto. Estos modelos supoe dvduos co u msmo vel de depósto cal. No se aalza cómo afectaría a los equlbros del modelo la heterogeedad de los depóstos cales de los dvduos. 4 Ua excepcó e este setdo la hace McCadless (999). E este trabao se supoe que u cotuo de agetes actúa e bloque, comportádose como s fuera u gra depostate. S embargo, este artículo se efoca más que ada e la forma del cotrato óptmo de los depóstos y e los requermetos de lqudez y/o de captal más coveete, s cetrar su aálss e los resgos que pueda exstr por la cocetracó de los depóstos. Esta cuestó, está e certa forma relacoado co el úmero óptmo de acreedores. El tema ya ha sdo estudado por Bolto y Scharfste (996). Las coclusoes a la que llega so las sguetes. El úmero óptmo de acreedores depedería de: la probabldad de default de la empresa, la complemetaredad y el cclo de sus actvos. Nuestro trabao aalza ese problema desde ua óptca dstta (la domaca estocástca) y se efoca más que ada e u caso partcular de este problema, que es la relacó etre la cocetracó de los depostates y el resgo de la dstrbucó de los (OEDQFR,WD%%$6$6FUVDO8UJD\WHQtDHQHOQGHSRVLWDQWH 6LWRGRVORVGHSRVLWDQWHVUHWLUDUQVVGHSyVLWRVGHDFHUGRDQDYDULDEOH%HUQROOLLQGHSHQGLHQWHV\FRQOD PLVPD SUREDELOLGDG HQWRQFHV HO SHRU HVFHQDULR TH VH UHWLUH WRGR HO SDVLYR HV FODUDPHQWH VSHULRU FRQ Q GHSRVLWDQWH 3

5 retros, s etrar e especfcar los cotratos de deuda óptmos o cuestoes sobre la lqudacó de sus actvos (derechos de voto). E resume, el propósto de este trabao es mostrar que ua estructura de depóstos cocetrada lleva a que la dstrbucó de los retros bacaros sea de mayor resgo. Es por ello que, far ecaes bacaros s teer e cueta la cocetracó de los depóstos o parece adecuado. El presete trabao se estructura de la sguete forma; e la prmera parte de la sguete seccó se preseta defcoes y teoremas sobre domaca estocástca y meddas de cocetracó de dotacoes. E la seguda parte de esa seccó se demuestra u teorema sobre la domaca estocástca de segudo orde, que amplía los resultados presetados por: Haoch y Levy (969), Hadar y Russell (97), Tesfatso (976) y L y Wog (999). E la tercera seccó se realza ua aplcacó de este teorema, para resolver la coetura sobre el resgo e la cocetracó de los depóstos bacaros. Las coclusoes de este aálss se preseta e la cuarta y últma seccó.. CONCEPTOS PRELIMINARES La dea cetral e el resgo de lqudez debdo a la cocetracó de depóstos bacaros está e mostrar que ua estructura atomzada es meos resgosa que ua estructura de depóstos cocetrada. Covee presetar u eemplo para clarfcar la argumetacó. Supogamos que u baco debe elegr etre dos opcoes de facameto provsta por tres dvduos, por u total de ua udad moetara. Sea estas dos opcoes expresadas e forma vectoral, y ordeadas por el depósto que hace cada dvduo: 3 z = (,, ) y v = (,, ). E la prmera opcó, por eemplo, los dos prmeros dvduos deposta u quto y el tercer dvduo deposta tres qutos. Metras que la segudo opcó, dfere úcamete de la prmera, que los dos últmos dvduos deposta dos qutos. Asumamos que cada depostate retra, e u mometo dado, la totaldad de su depósto. Este retro lo realza de acuerdo a ua señal que tee dstrbucó 4 E Trole (006) se hace u pequeño aálss sobre este tema. 4

6 Beroull. S = retra la totaldad de su depósto, e caso cotraro lo matee. Supogamos que las señales etre los depostates so détcamete dstrbudas e depedetes etre sí. Por lo tato, los retros agregados x, puede expresarse como ua fucó del vector de depóstos cales, depededo de la forma de facameto que se opte, y será guales a: y respectvamete. Supogamos que la fucó obetvo del baco es de la forma π (. Sedo π ua fucó cócava respecto de los retros agregados, x. Cuál de las dos estructuras de depóstos tedrá la dstrbucó de retros de meor resgo? E prmer lugar, debemos aclarar el cocepto que le damos al térmo resgo. Teemos dos varables aleatoras de retros agregados, cada ua co certa dstrbucó de probabldad, y debemos decr cuál de las dos tee mayor resgo. Exste varos crteros para aalzar el resgo etre varables aleatoras. Como estas dos varables tee la msma meda, segur u crtero utlzado solamete este mometo estadístco o es posble. De hecho, habtualmete, se asoca el resgo de ua varable aleatora co la dspersó respecto de su valor medo. Este es el método tradcoal, el que se cooce como mea varace aalyss y opera de la sguete forma. S teemos, por eemplo, dos varables aleatoras co la msma meda, la varable que tuvera mayor varaza sería la más resgosa. Este método, tee varas vetaas. Ua de ellas, es la secllez para ordear fucoes de varables aleatoras. S embargo, es crtcado, etre otras cosas, por la cossteca e su ordeameto. 5 5 La prcpal crítca es que el ordeameto medate el "mea varace aalyss" y el que haría u dvduo averso al resgo o so equvaletes. 5

7 Como se sugere e Rotschld y Stgltz (970), u método más apropado de ordeameto del resgo es la deomada domaca estocástca de segudo orde. La prcpal vetaa de éste método es, a dfereca del ateror, la cossteca e su ordeameto. S embargo tee varas desvetaas. Ua de ellas, como veremos más adelate, es la dfcultad de ordear fucoes de varas varables aleatoras. No obstate, debdo a su cossteca, utlzaremos éste últmo método para determar el resgo de ua varable aleatora. E la sguetes seccó se preseta defcoes y propedades báscas que os permtrá respoder a esta preguta.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS Defcó Domaca estocástca de segudo orde Sea e Y dos varables aleatoras co fucoes de dstrbucó acumuladas F y G respectvamete, cada ua co soporte e [ 0,] y además co la msma meda fta. Esto es xdf( = xdg( <. 0 0 Decmos que doma estocástcamete de segudo orde a Y y lo expresaremos co el símbolo ( ); Y s y solo s G( dx F( dx s 0 s [ 0,] 0 s. Propedades de la domaca estocástca de segudo orde Alguas propedades de la domaca estocástca que será de utldad más adelate so las sguetes. a) E Rotschld y Stgltz (970) se demuestra que es equvalete probar que doma estocástcamete de segudo orde a Y a que u dvduo averso al resgo 6 elge e lugar de Y, F G s y solo s E f ( u) E g ( u) sedo u ua fucó cócava 7. 6 Este puto es mportate para respoder la preguta del eemplo plateado, pues al ser la fucó del baco cócava, el baco elegrá la dstrbucó de retros de meor resgo. 6

8 b) Además, por teer y Y la msma meda y por Y etoces se cumple que F ( dx G( dx [ 0,] s s s. La domaca estocástca de segudo orde os muestra que la perfecta dversfcacó es preferda por dvduos aversos al resgo. 8 E los artículos de: Haoch y Levy (969), Hadar y Russell(97), Tesfatso (976), Goller (00) y L y Wog (999) se preseta y demuestra, e el sguete teorema, esta afrmacó. Teorema. Sea,...,, varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas y sea u vector α perteecete a 0 R + co α y = α etoces Demostracó α para todo =,,..., Véase proposcó 5 de Goller (00) o teorema de L y Wog (999) Nótese que el teorema ateror se lmta úcamete a comparar combacoes leales etre la perfecta dversfcacó y cualquer otra combacó leal covexa de varables aleatoras, o etre éstas últmas y varables aleatoras dvduales. Nuestro propósto es avazar u poco más y poder comparar la domaca estocástca de segudo orde etre combacoes leales covexas de varables aleatoras (lo cual o es posble hacerlo co el teorema.). La percepcó dcaría que ua combacó meos desgual de varables aleatoras sería preferda, por u agete averso al resgo, a ua combacó más cocetrada. Cómo medmos la cocetracó? 7 E este trabao f y g será, respectvamete, las fucoes de desdad de F y G. 8 U artculo poero, sobre este tema, es el de Samuelso (964) 7

9 Debemos defr u crtero para comparar la cocetracó etre vectores de úmeros reales. Exste varos ídces de medcó de la cocetracó. Lmtaremos uestro aálss a tres de los más usados que so: el ídce de Herfdahl-Hrschma, el ídce de G y el orde de Lorez. Defremos estos métodos para dos vectores x y y perteecetes a R + ordeados de la sguete forma: x x... x y y y... y. Sedo para 0 0 cada vector x, y la dotacó del dvduo. Además, supoemos que: = x y =. a) Decmos que el vector x doma al vector y (tee meor o gual ídce de Herfdahl-Hrschma (HH)) 9 y lo expresamos x HH y, s y solo s se cumple que x y b) Decmos que el vector x doma al vector y (tee meor o gual ídce de G) y lo expresamos de la sguete forma, (recordado que supusmos = x y = ) x IG y s y solo s ( + ( + ) ) = x. ( + = ( + ) c) Decmos que el vector x Lorez doma al vector y, y lo expresamos y ) x L y, s y solo s se cumple que x y k k co k =,,...,. 0 El orde de Lorez cumple co certas propedades que será de utldad más adelate y que presetamos a cotuacó. Defcó Trasfereca de Dalto Pgou 9 E todos los casos el vector domate es el meos cocetrado. 0 Los vectores que cumple esta propedad se dce que x mayorza a y,ver Marshall y Olk (979). 8

10 Decmos que x se obtee de y, medate ua úca trasfereca de Dalto, y se expresa x v D y. S podemos obteer al vector x a partr del vector y medate ua trasfereca de u dvduo más rco a otro más pobre trasfredo ua suma ε > 0 tal que se cumpla: x y + ε y y ε = ( y ) y y co ε y ( 0, ). = x co y k x k k p,, para alguos E este setdo, se dce que la dotacó x es meos desgual que la dotacó y, pues dfere etre s e que, u dvduo más "rco" le trasfere parte de su dotacó a u dvduo más "pobre", mateédose, etre los dvduos, el msmo orde cal. S aplcamos estos traspasos e forma teratva podremos obteer sucesvas trasferecas ftas etre los vectores que permte obteer otra forma de ordeameto. Esto se cooce como orde de Dalto-Pgou. Defcó orde de Dalto-Pgou Se defe u orde de Dalto y se expresa como x D y ( x Dalto doma a y ) s y solo s exste u úmero fto de vectores y 0,y,...,y m perteecetes a R tal que x y m v D..v D y 0 y. Los métodos de: Lorez y Dalto Pgou, preseta dos meddas para ordear vectores segú su desgualdad. Imedatamete surge la preguta, s estos dos métodos está de algua forma relacoados. La respuesta es que sí, exste ua relacó estrecha etre el orde de Lorez y el orde de Dalto-Pgou y lo expresamos e el sguete teorema. Teorema. El vector x Lorez doma al vector y s y solo s x Dalto doma a y. El úmero de trasferecas será meor o gual a 9

11 Demostracó Ver teorema II de Rostschld y Stgltz (974). Exste ua relacó drecta etre el orde de Lorez y los otros dos ídces. E el sguete teorema, mostraremos que s el vector x Lorez doma al vector y etoces el vector x doma segú Herfdahl-Hrschma al vector y. Luego mostraremos que la msma relacó ocurre etre el orde de Lorez y el ídce de G. Teorema.3 S x y etoces L x y Demostracó k Como, x y L k x y k =,,...,. Multplcado la últma expresó, e ambos lados, por ( x k x k + ) obteemos; ( xk xk + ) x ( xk xk + ) y k =,,...,. Sumado e ambos lados de k = hasta k = y sabedo que x 0, obteemos k + = k x x y. Por la desgualdad de Schwartz se cumple : ( x y ) x y etoces ( x ) ( x y ) x y x y QED També vectores ordeados por Lorez tedría la msma clasfcacó utlzado el ídce de G.. Teorema.4 S x y etoces x y L IG Demostracó S x IG y etoces ( + ( + ) ) = Operado y smplfcado obteemos que: x ( + = ( + ) y ) 0

12 ( + ( + ) ) = x ( + = ( + ) y ) = ( + ) x ) ( + ) y ). Como = k x y L x y Se cumple para cada valor de k x, k = y x + + k = x y y... k co k =,,...,. k = x + x x = y + y y. Sumado todas estas desgualdades de k = hasta k =, obteemos la relacó buscada, ( + ) x ) ( + ) y ) QED = = Debemos otar, que el recíproco de ambos teoremas o se cumple. Por eemplo, para 3 8 los vectores a = (0,, ) b = (,, ), se cumple que a HH b y a IG b, pero a y b o so Lorez comparables. Esto se debe a que el orde de Lorez es completo para vectores de dmesó mayores a dos. Auque los vectores que se clasfca tato por el ídce de G o HH y o so ordeados de la msma forma por Lorez, sgfca que, por los dos teoremas aterores, o sería comparables. Nuca podría revertrse su clasfcacó.

13 . ETENSION DE LA DOMINANCIA ESTOCASTICA PARA VARIABLES ALEATORIAS Los artículos poeros de Haock y Levy (968) Hadar y Russell (968, 97), Rotschld y Stgltz (970) y Tesfatso (976) demuestra teoremas de domaca estocástca, prcpalmete para fucoes de dos varables aleatoras. El trabao de L y Wog (999) extede estos teoremas para fucoes de varables aleatoras. No obstate, a pesar de estos avaces, so aú sufcetes para cotestar la coetura sobre el resgo por la cocetracó de los vectores. El motvo es que estos teoremas o os permte comparar la domaca estocástca de segudo orde etre combacoes leales covexas de varables aleatoras. Debemos remtros al trabao de Marshall y Proscha (965) para lograr salvar esta faleca. S embargo, e ese trabao o se terpreta este resultado como u ordeameto de domaca estocástca de segudo orde, tampoco muestra la vculacó etre éste ordeameto y la cocetracó de los vectores. Por tal motvo, presetaremos u teorema mostrado el vículo drecto que exste etre la cocetracó y la domaca estocástca. A dfereca del trabao de Marshall y Proscha (965), su prueba la haremos utlzado las herrametas de los artículos de Hadar y Russell (97), Tesfatso (976) y L y Wog (999). Presetaremos a cotuacó alguos teoremas que so ecesaros para este propósto. Teorema.5 Sea y Y dos varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas. Sea W ua varable aleatora depedete de y de Y. S, a, b R co a > 0 y b 0 se cumple que a bw ay + bw + Y etoces para Demostracó Véase teorema ' e Tesfatso (976). Teorema.6

14 Sea { Z. Z,... Z } u couto de varables aleatoras depedetes y { W, W,..., W } otro couto de varables depedetes. Z W =,,..., s y solo s θ Z θ W θ 0 para todo =,,..., Demostracó Véase Teorema 0 de L y Wog (999). Nuestro propósto es teer u método que os permta comparar combacoes leales covexas cuyos vectores de coefcetes tega dstta cocetracó. E la seccó ateror vmos tres métodos para clasfcar vectores segú su cocetracó. Mostraremos más adelate que el úco método que me permte comparar la domaca estocástca de segudo orde, e forma geeral, etre combacoes leales covexas de varables aleatoras es el orde de Lorez. Por tato, eucaremos este teorema utlzado este método de cocetracó. Luego mostraremos que el teorema o se cumple utlzado los dcadores de HH y el de G. Teorema.7 Sea,...,, varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas y sea ) y * dos vectores perteecetes a R y ordeados e forma crecete ( α α... α, β β... β ) co α = β =. 0 0 S α L β etoces α β Demostracó Se demostrará e dos etapas. Paso Supogamos que teemos dos vectores + y perteecetes a R co + Ÿ+,...,+,...+,...,+, ordeado e forma crecete 0 t + t...t + t y Este teorema puede demostrarse usado el cocepto de covexdad de Schur, ver Marshall y Proscha (965) o Marshall y Olk (979). No obstate, como dmos, prefermos realzar ua demostracó más e líea co los trabaos de Tesfatso (976) y L y Wog (999). 3

15 θ γ = ( θ, θ,..., θ ) = ( γ, γ,..., γ + ε,..., γ ε,..., γ ) co ε 0, γ. Como se ve, esto es la defcó de ua trasfereca de Dalto y la expresamos como, v D +. Llamado a: W Z. W = θ y Z = demostraremos que: s θ γ etoces γ D Demostracó paso Observemos que para dos varables aleatoras, depedetes e détcamete dstrbudas, y se cumple que, ( γ γ + γ. () + ε ) + ( γ ε ) E prmer lugar, expresemos () co otacó más seclla, para ello, multplquemos e ambos lados de () por γ + γ y llamemos a: α γ + ε =, γ + γ α γ ε =, γ + γ β = y γ + γ γ β γ =. Co esta ueva otacó, probar () es equvalete a γ + γ mostrar que: α + α β + β. Es fácl demostrar que esto se cumple. S α = α os remtmos al teorema.. Asumedo etoces que: α < α y que α > β (de otra forma el resultado es trval) 3. = Dada ua fucó u : R R cócava, debemos probar que: E [ u α + α )] E[ u β + β )] ( ( Nótese que podemos expresar: α + α = a β + β ) + ( a) ( + ) co a ( 0,) ( 4

16 Se cumple pues que; E [ u α )] α + = E[ u( a( β + β ) + ( a) ( ( )) ] + y por cocavdad de la fucó u ; E [ u α )] α + E[ au( β + β ) + ( a) + u( ) ] ( Además, por el teorema.; E[ au( β + β ) + ( a) + u( ) ] E[ au β + β ) + ( a) u( β + β )] ( por lo cual se cumple que, y por lo tato se cumple (). Como últmo puto para la demostracó de este prmer paso, sabemos que, por los teoremas.5 y.6, al ser las varables aleatoras de,,...,..d., etoces la adcó de varables aleatoras o camba la domaca estocástca. Sumado e ambos lados de () los " elemetos restates ( γ, γ,..., γ, γ + +,..., γ, γ + +,...,., γ ) se matee la domaca estocástca, co lo cual se cumple W Z. Paso Ahora, por teorema., α L β α D β. 3 Pues ua msma dstrbucó se doma estocástcamete de segudo orde a sí msma. 5

17 Esto es, exste ua secueca fta de vectores ( α, χ,.., η, β ) perteecetes a R tal que α χ,.. η β. D D D D Esto lleva que, por paso uo, α χ... η β y por trastvdad de domaca estocástca se cumple que QED α β. Este teorema permte ordear la domaca estocástca de segudo orde etre combacoes leales covexas de varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas. Qué ocurre co los otros ídces de cocetracó? De haber utlzado los otros dos dcadores de cocetracó este teorema o se cumple e forma geeral. Para demostrar este puto, os valdremos de u eemplo, utlzado 3 8 los vectores aterores; a = (0,, ) b = (,, ). Nótese que tato para los ídces de HH y de G el vector a doma al vector b ; a HH b y a IG b. Demostraremos por reduccó al absurdo que el teorema ateror es falso de aplcarse como medda de cocetracó cualquera de estos ídces. Supogamos que el teorema fuera certo, por tato, ambos ídces me hubera dcado que a b, pero demostraremos que esto o es certo. 6

18 Teorema.8 S S a HH b etoces o podemos afrmar que a a IG b etoces o podemos afrmar que a b b,, Demostracó Reexpresado esta expresó co los verdaderos valores de a y b obteemos que: Por eemplo, s las varables depedetes. Defedo a tuvera dstrbucó Beroull y fuera P( = 0) = p, etoces la fucó de dstrbucó acumulada de + 3 e el valor cero, sería p, metras que la dstrbucó acumulada de , e cero sería 3 3 p. Por defcó de domaca estocástca de segudo orde, la fucó de dstrbucó acumulada domate, para el valor mímo del tervalo de soporte, o puede ser meor estrcto a la dstrbucó acumulada domada. E uestro caso para p (0,), esto o ocurre pues e el valor cero, falsa. 3 p < p y por tato la domaca plateada es Esto os muestra que el vector de coefcetes de la combacó leal de varables aleatoras domate uca puede teer meos elemetos dsttos de cero que el vector de la combacó domada. De los tres dcadores el úco que cumple co esta codcó es el orde de Lorez. E resume, el teorema demostrado permte ordear la domaca estocástca de segudo orde etre combacoes leales covexas de varables aleatoras 7

19 depedetes e détcamete dstrbudas y os dca cuál método de cocetracó debemos usar para poder dsmur el resgo. 3. UNA APLICACIÓN AL RIESGO DE LOS RETIROS BANCARIOS E esta seccó realzaremos ua aplcacó del teorema.7, mostraremos que ua estructura cocetrada de depóstos lleva a que la dstrbucó de los retros bacaros tega mayor resgo. El cremeto e el resgo operaría de la sguete forma. Supogamos u baco que tee depóstos muy cocetrados, dgamos u caso extremo, que tuvera u solo depostate. Ese úco depostate puede recbr u shock esperado de lqudez y exgr la devolucó total del pasvo bacaro. Parece meos probable, co tal vel de gravedad, que ate el msmo shock de lqudez ello ocurra e ua stuacó de atomzacó de los depóstos. 4 S observamos el sguete gráfco, se apreca que la baca prvada de Uruguay al 3/004 5 teía ua estructura de facameto muy cocetrada. Depóstos Acumulados de los depóstos del SNF al 3/004 Baca Prvada 0% 00% 80% 60% 40% 0% 0% 85% 93% 98% 00% Porcetae de Depostates Acumulado )HQWH(ODERUDFLyQSURSLDHQEDVHDGDWRVGHO%&8\7HD'HORLWWH\7RFK E el 004 el 85% de los depostates más chcos teía el 4% del total de depóstos, metras que el % de los depostates más grades aportaba, també, el 4% del 4 S todos los depostates retrará sus depóstos, de acuerdo a ua varable Beroull depedetes y co la msma probabldad, etoces el peor escearo (que se retre todo el pasvo) es claramete superor co u solo depostate. 5 Iteté aalzar estos datos para ver la evolucó de la cocetracó de depóstos, pre y post crss bacara del 00, y determar s los grades depóstos retraro prmero que el resto, pero los datos o está dspobles. 8

20 total de pasvo bacaro 6. A esa fecha había depostates del sector o facero co u depósto promedo cada uo equvalete a U$S Además, aproxmadamete el 7% del úmero total de depostates teía depóstos equvaletes al 00% de las reservas bacaras exstetes a esa fecha (uos U$S.45 mlloes de dólares). Esto dca que la quetud sobre el resgo e la cocetracó de los depóstos es aplcable a la realdad de uestro sstema facero. A pesar de observarse u mayor resgo e esta estructura de facameto, debe exstr algua razó por la cual los bacos gualmete la adopta. Esto puede deberse a dos motvos. El prmero, es que debe exstr mayores costos por la captacó y admstracó de los depóstos. El segudo motvo estaría vculada co la decsó de depóstos de los dvduos. Alguos optará por depostar sus fodos e ua o pocas sttucoes faceras, tal vez, por el msmo motvo de costos de maeo, o por cuestoes referdas a la segurdad que le merezca cada sttucó. Para aalzar este tema, os basaremos e u modelo presetado e Rgbom, Shy & Stebacka (004), dode se caracterza ua fucó de beefcos esperados y la probabldad e el resgo de lqudez de u baco comercal. A dfereca de ese trabao, dode supoe que la varable aleatora de retros agregados tee ua dstrbucó ormal, uestro aálss o se lmta a u determado tpo de dstrbucó. Modelo Supógase que hay dos bacos A y B co depóstos ormalzados a uo. Cada baco tee dsttos, potecales, depostates. 7 Actvos E el período t=0 los bacos recbe los depóstos de los dvduos. El baco, també e este período, decde que proporcó de esos fodos vertr e u actvo líqudo 6 Chcos so los que teía depóstos meores a U$S y grades los que teía depóstos mayores a U$S Asummos que los depostates puede teer depóstos guales a cero. 9

21 e (s retabldad) y el resto vertrlos e u actvo líqudo. Este últmo actvo se realza e t=, co ua retabldad (certa) eta gual a r, co 0 r <. Pasvos Sea ) el depósto del dvduo e t=0 e el baco A y ordeados de tal forma que 0 t ) t ) t...t ) t co α =. Sea * el depósto del dvduo e t=0, e el baco B, també ordeados e forma crecete 0 t * t * t...t * t co β =. Asumamos que el baco A tee depóstos meos cocetrados que el baco B. Segú uestra defcó de cocetracó, esto mplca que, α β para k =,,...,. Supoemos que exste u costo por dversfcar los depóstos (costos de captacó de depóstos, costos admstratvos y otros smlares), para smplfcar el aálss asumamos que estos costos so fos y so crecetes co la dversfcacó del pasvo. Sea CF > CF. A B CFA y CF B los costos fos del baco A y B respectvamete, sedo k k Retros Agregados E t= cada depostate recbe u shock real de lqudez, de acuerdo a ua varable aleatora 8 (dstrbucó coocda por los bacos). Asumamos que esta varable se defe de forma tal que los retros será guales a ua suma gual a α e el baco A (0 t ) t ) ) y a ua suma gual a β e el baco B ( 0 β β ). De la msma forma que e el eemplo, los retros agregados so ua fucó del vector de depóstos cales y será guales a α β para para el baco A e guales a el baco B. Asumamos que la dstrbucó acumulada de estos retros agregados so F ( y G ( respectvamete. 9 Isufcecas de Reservas 3DUDVLPSOLILFDUODQRWDFLyQVSRQJDPRVTHHVWDYDULDEOHHVFRQWLQD $VPDPRVTHODVIQFLRQHVGHGLVWULEFLyQDFPODGDVRQHVWULFWDPHQWHFUHFLHQWHV 0

22 S e t= el actvo líqudo o alcaza para cubrr la demada por reservas, el Baco Cetral, que sgue ua polítca de rescate de bacos co problemas de lqudez, actúa como prestamsta de últma staca. Este préstamo se realza a ua tasa de pealzacó mayor al redmeto del actvo líqudo. Supogamos que esta tasa de pealzacó es r m > r. E t= el baco realza sus actvos y lo dstrbuye etre todo sus pasvos. Baco Cetral E t=, el Baco Cetral actúa como prestamsta de últma staca y rescata a los bacos co dfcultades de lqudez. S los retros supera a las reservas bacaras exstetes, el rescate será gual a la dfereca. E cambo, s los retros, x, o supera a las reservas de los bacos comercales el rescate será gual a cero. Defamos, por lo tato, la varable aleatora, S (, que so los recursos que presta el Baco Cetral para facar el faltate por la demada por reservas, y que será gual a: S( = x e s x > e S ( = 0 s x e Bacos Comercales E fucó de los datos aterores, la fucó de beefcos esperada para cada baco será, respectvamete: E ( π ( e y F F )) = ( e F ) r r m e F ( x e F ) df( CF E ( π ( e )) = ( e ) r r ( x e ) dg( CF. G G G m e G G Dode el prmer térmo de cada gualdad es la retabldad esperada de la versó e el actvo líqudo, el segudo térmo es la multa esperada que deberá pagarse por teer sufceca de reservas y el tercer térmo so los costos fos por dversfcar el pasvo. A B

23 Co este secllo modelo, podemos extraer alguas teresates coclusoes que surge por la cocetracó de los depóstos cales. Veamos, e prmer lugar, el resgo e la dstrbucó de los retros. 3. Cuál de los dos bacos tee la dstrbucó de retros de mayor resgo? Proposcó El baco co depóstos más cocetrados tedrá la dstrbucó de retros de mayor resgo. Es decr, la dstrbucó de retros del baco B será más resgosa que la del baco A. Demostracó Al ser los retros agregados de los bacos A y B guales a β α y respectvamete, y al haber supuesto que k k α β para k =,,...,. Etoces se cumple las hpótess del teorema.7 y podemos decr que QED β α 3. Cómo fluye la cocetracó de los depóstos bacaros e los fodos de rescate del Baco Cetral? Lametablemete, a pesar de saber que la dstrbucó de los retros del baco B es más resgosa que la del baco A, o podemos determar, a pror, cuál de los dos bacos matedrá mayores reservas, pues las reservas óptmas que resuelve la maxmzacó de las fucoes de beefcos comercales surge de: F( e * F ) = G( e ) = * G r r m E los trabaos de Lcadro (997) y Illaes (999), se aalza las reservas líqudas que debería teer el Baco Cetral para cubrr determados tpos de resgos faceros, etre ellos el referdo a ua corrda bacara. A pesar de saber que la dstrbucó de los retros del baco B es más resgosa que la del baco A, o podemos determar, a pror,

24 cuál de los dos bacos matedrá mayores reservas líqudas. S embargo, como cosecueca de la proposcó, podemos ver alguos resultados teresates. Proposcó S el baco B tuvera u vel de reservas meores o guales a las del baco A, etoces el Baco Cetral esperará destarle mayores préstamos por rescate al baco B. 0 Demostracó Por la proposcó ateror, sabemos que la dstrbucó de los retros del baco B es más resgosa que la del baco A. Supogamos que las reservas óptmas de cada baco es la msma e gual a u valor c, co 0 c. Etoces la assteca esperada para el baco A será gual a; E F ( S( ) = c 0 0dF( + c ( x c) df( = c ( x c) df( Operado e tegrado por partes esta expresó obteemos: E F ( S( ) = c c F( dx y de la msma maera, la assteca esperada para el baco B es: E G ( S( ) = c G( dx. c Por las propedades de domaca estocástca vstas e la prmera seccó, al ser F G, se cumple que: ( dx G( dx E F ( S( ) E G ( S( ). c F [ 0,] c c y por lo tato S las reservas del baco B fuera meores a las del baco A, esta últma desgualdad, obvamete se cumplría. QED 3

25 El mpacto sobre la assteca bruta será dstto, a pesar de ser dos bacos co gual pasvo. El efecto egatvo de esto es evdete e ua ecoomía dolarzada como la de uestro país, dode u gra porcetae de los depóstos está omados e es moeda. El Baco Cetral o cueta co reservas lmtadas de esa moeda extraera para asstr a bacos co problemas de lqudez. S, por eemplo, el Baco Cetral tuvera preferecas cuadrátcas respecto a los fodos de assteca, como vmos, elegría, a gual meda, la opcó co meor varaza. Sedo más específcos s tuvera ua fucó obetvo gual a h( S(, R) R = ( S( ), sedo R las reservas del Baco Cetral. Este maxmzará el valor esperado de esta fucó, 0 la c.d.f. de x. h ( S(, R) dt, sedo T Etoces la codcó de prmer orde será gual a: * ( ( S( R) dt = 0 R = ( S( dt = ET ( S( ) 0 0 Como vmos e la proposcó, s las reservas del baco B fuera meores a guales a las del Baco A, etoces E F ( S( ) ( S( ), y las reservas óptmas del Baco Cetral debería crecer cuato más resgosa sea la dstrbucó de los retros. E G De ahí el pelgro de o teer e cueta la cocetracó de los depóstos para la facó de los ecaes oblgatoros bacaros. S esta restrccó fuera tal que los dos bacos se vera oblgados a escoger el msmo vel de ecae, etoces el Baco Cetral debería esperar ua mayor assteca de fodos cuato mayor fuera la cocetracó de los depóstos. 0 S el baco B tuvera u meor vel de reservas que las del baco A, la assteca esperada sería aú mayor. 4

26 4. CONCLUSIONES El presete trabao demostró u uevo teorema que os permte ordear la domaca estocástca de segudo orde etre combacoes leales covexas de varables aleatoras. Sedo este u aporte adcoal a los resultados ecotrados por: Hadar y Russell (97), Tesfatso (976) y L y Wog (999). Este teorema permtó mostrar que, bao determadas hpótess, la dstrbucó de los retros bacaros es más resgosa cuato más cocetrados esté los depóstos. Dos coclusoes surge de este puto. E prmer lugar la assteca esperada de u Baco Cetral se cremeta cuato más cocetrados está los depóstos bacaros. S el Baco Cetral actuara como prestamsta de últma staca, debería esperar ua mayor assteca de fodos a los bacos co ua estructura de depóstos más cocetrada. E segudo lugar, s el Baco Cetral tuvera como polítca de regulacó, far los ecaes oblgatoros de los bacos comercales, debería exgrle u mayor vel de ecae a los bacos co depóstos más cocetrados. E cosecueca, la polítca actual seguda por el Baco Cetral del Uruguay sobre ecaes mímos oblgatoros o sería correcta. E coclusó, la coetura sobre la cocetracó e los depóstos debería ser teda e cueta, e especal, e mometos de crss facera. E tempos dode exsta u crecmeto cotuo e los depóstos sería de esperar que o exsta los resgos asocados a la cocetracó, pues u gra depósto que se retra es compesado co uevos depóstos que gresa al baco. Pero e mometos de crss facera dode el total de los depóstos decrece, la coetura parece más aplcable y dode el resgo parece ser mayor. Aquellos bacos co depóstos muy cocetrados, estaría suetos a la volutad de uos pocos dvduos e la dámca de su facameto. 5

27 REFERENCIAS Bolto, P y Sharfste, D (996); Optmal debt structure ad the umber of credtors: Joural of Poltcal Ecoomy Bryat (980): A model of reserves, bak rus ad depost surace; Joural of Bakg ad Face Corsett, Dasgupta, Morrs y Sh (004) Does oe Soros make a dfferece? A theory of currecy crss wth large ad small traders Revew of Ecoomc Studes vol 7 Damod y Dybvg (983): Bak rus, deposts surace ad lqudty; Joural of Poltcal Ecoomy Frexas y Rochet (997) Mcroecoomcs of bakg, MIT Press Goller (00) The Ecoomcs of Rsk ad Tme, MIT Press Hadar y Russell (97) Stochastc domace ad dversfcato; Joural of Ecoomc Theory Haoch y Levy (969) The effcecy aalyss of choce volvg rsk Revew of Ecoomc Studes L y Wog (999) Exteso of stochastc domace theory to radom varables RAIRO Recherche Opératoelle Lcadro, J.A. (997) Ua evaluacó de las reservas teracoales del BCU, Revsta de Ecoomía BCU Illaes, J.(999) Nvel óptmo de reservas teracoales e Uruguay. BCU Documeto. McCadless (999) Esurg facal stablty wth large depostors Workg Paper # Baco Cetral Repúblca Argeta Mtrovk, D.(964) Elemetary equaltes Groge, P. Noordhoff Ok, Efe (005) Probablty Theory wth Ecoomc Applcato, book draft. Olvera, Julo HG (97) "The Square Root Law of Precautoary reserves" Joural of Poltcal Ecoomy Rgbom, Shy & Stebacka (004) Optmal Lqudty Maagemet ad Bal-Out Polcy the Bakg Idustry; Joural of Bakg ad Face. Rochet y Vves (004) Coordato falures ad the leder of last resort; WP INSEAD Rotschld y Stgltz (970) Icreasg rsk I, a defto; Joural of Ecoomc Theory 6

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