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1 Guía Matemática ECUACIONES NO ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo.cl

2 1. Ecuaciones no algebraicas Se le denomina a aquellas igualdades con incógnitas que no están descritas mediante polinomios. Por ejemplo las ecuaciones ax 2 + bx + c = 0 y ax + b = 0 son ecuaciones polinómicas o algebraicas, pero una ecuación del tipo 2x+1 = 2 no es algebraica, a este tipo de igualdades les denominamos ecuaciones exponenciales porque la incógnita está en el exponente. Otro ejemplo de ecuación no algebraica son las del tipo log(10x ) = log(x) + 1 A estas ecuaciones se les llama ecuaciones logarítmicas y también las estudiaremos en este capítulo Ecuación exponencial Son las igualdades donde la incógnita está en el exponente. Para resolver este tipo de ecuaciones debemos considerar dos propiedades: x a = x b a = b x a = y a x = y Para aplicar estas propiedades en una ecuación exponencial nuestro objetivo será igualar las bases, de tal modo que el problema se reduzca a resolver una ecuación algebraica. Para entender cómo proceder veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo Halla el valor de la incógnita para que la igualdad sea cierta x+ = 625 Solución: Recordar que el objetivo es igualar las bases, para ello podemos escribir 625 como x+ = x+ = 5 4 Aplicando la primera propiedad, como tenemos la igualdad entre dos potencias con la misma base, entonces sus exponentes también tienen que ser iguales. 2x + = 4 2x = 4 x = a+2 = 1 Solución: Como queremos igualar las bases podemos escribir 1 como 0 a+2 = 1 a+2 = 0 Como las bases son iguales podemos igualar los exponentes. a + 2 = 0 a = 2 2

3 . 2 4x = 69 Solución: 2 4x = x 5 = x 5 = x 5 = 2 6 4x 5 = 6 4x = 11 x = x 64 = 1 2 Solución: 4 1 x 64 = x = x = x = x = x = 4 1 x = 1 + = x x = 4 Desafío I Es cierto que si a x + a y = a z entonces x + y = z para cualquier a, x, y, z R? Respuesta

4 Ejercicios 1 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 1. x 24 = = 21 x. 2 x x+1 = 1 4. x = 9 x = 9 2x x(x 1) = Si 5 a+ = 1, entonces 5 a+5 = x + 2 x+2 = 1 2x+ 4 x 5 = 1 16 x+2 + x+ = 4 2. Logaritmo Podemos entenderlo como el exponente al cual debe elevarse una base para obtener como resultado un número dado. Por ejemplo: El logaritmo en base de 9 es 2 Es decir, el exponente al que debemos elevar la base para obtener 9 es 2. Lo anterior se escribe matemáticamente como: log 9 = 2 La relación entre una potencia y la simbología del logaritmo de manera general es: log a b = c a c = b Dicha relación nos permite pasar de una simbología a la otra. Cabe destacar que cuando no se explicita la base, se asume que ésta es 10. log b = log 10 b Ejercicios 2 Hallar el valor de cada logatimo 1. El logaritmo en base de 1 2. El logaritmo en base π de 1. El logaritmo en base 2 de El logaritmo en base 100 de El logaritmo en base π de π 6. El logaritmo en base 25 de El logaritmo en base 2 de El logaritmo en base 10 de El logatirmo en base 8 de El logatirmo en base 8 de El logarimo en base 12 de 2 4

5 2.1. Propiedades Algunas de las propiedades más importantes de los logaritmos son: El logaritmo log a b, está definido sólo para a > 0 Para log a b, no existe el logaritmo si b 0 Por ejemplo log no existe, ya que no hay número c R tal que 10 c = porque la base es positiva. Para cualquier a > 0 se cumple que log a a = 1 Es fácil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia: Para cualquier a > 0 se cumple que log a a = c a c = a c = 1 log a 1 = 0 Es fácil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia: log a 1 = c a c = 1 c = 0 El logaritmo del producto de a por b es igual a la suma de los logaritmos de a y b log c (a b) = log c a + log c b El logaritmo del cociente de a con b es igual a la diferencia de los logaritmos de a y b ( a ) log c = log b c a log c b El logaritmo de a n es igual n veces el logaritmo de a log c a n = n log c a Podemos cambiar la base de un logaritmo cualquiera mediante la siguiente igualdad: log c a = log b a log b c 5

6 2.2. Ecuación logarítmica Para resolver ecuaciones logarítmicas debemos tener en cuenta la siguiente propiedad que nos permite pasar de una ecuación logarítmica a una ecuación algebraica. log c a = log c b a = b Es decir, si dos logaritmos con igual base son iguales, entonces sus argumentos también deben serlo. Ejemplo Para qué valor de x se cumple la igualdad? 1. log = log (2x + 5) Solución: Como ambos logaritmos son iguales y tienen la misma base, entonces sus argumentos deben ser iguales también. log = log (2x + 5) = 2x = 2x 2 = 2x x = 1 Ahora debemos comprobar que la solución sea válida. Ya que los logaritmos están definidos sólo para argumentos positivos. Reemplazamos x = 1 en el enunciado: log = log (2( 1) + 5) log = log Como los argumentos son positivos, la solución x = 1 es válida. 2. log 5 + log(2x + ) = log x Solución: Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos: log 5 + log(2x + ) = log x log 5(2x + ) = log x 5(2x + ) = x 10x + 15 = x 15 = 9x 15 9 = x 5 = x en la ecuación lo- Ahora debemos comprobar que la solución sea válida. Reemplazamos x = 5 garítmica: log 5 + log(2x + ) = log x ( ( log 5 + log 2 5 ) ) ( + = log 5 ) 6

7 ( Como el logaritmo de un número negativo no existe, log 5 ) no existe. Entonces x = 5 solución válida y la ecuación logarítmica no tiene solución en los reales.. log x 2 log 9 = 2 Solución: Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos log x 2 log 9 = 2 2 log x log 2 = 2 2 log x 2 log = 2 2(log x log ) = 2 Simplificamos por 2 log x log = 1 Recordar que log = 1 log x log = log 10 ( x ) log = log 10 x = 10 x = 0 no es Ahora debemos comprobar que la solución sea válida. Reemplazamos x = 0 en la ecuación logarítmica: ( x ) log = log 10 ( ) 0 log = log 10 log (10) = log 10 No hay problemas con logaritmos de números negativos, entonces x = 0 es solución de la ecuación logarítmica. Recuerda que SIEMPRE debes comprobar las soluciones que obtienes en una ecuación logarítmica. Si al reemplazar los valores te queda algún logaritmo de un número negativo, dicho valor no es solución. 2.. Aplicación de logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales Anteriormente vimos un método para resolver ecuaciones exponenciales, el cual consistía en igualar las bases. Pero no siempre es posible igualar las bases, en tal caso podemos aplicar la relación entre logaritmo y potencia para resolverlos. Veamos un ejemplo. 7

8 Ejemplo 1. Resolver la ecuación exponencial 7 x+1 = 2 x Solución: No podemos igualar bases, en tal caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de la igualdad. Si aplicamos el cambio de base obtenemos 7 (x 1) = 2 x ( log 7 (x 1)) = log (2 x ) (x 1) log 7 = x log 2 x log 7 log 7 = x log 2 x log 7 x log 2 = log 7 x(log 7 log 2) = log 7 log 7 x = log 7 log 2 x = log 7 log 7 2 x = log Desafío II Si log a = 0, 124 cuál es el valor de log a? Respuesta Ejercicios 1 Determina y verifica las soluciones de cada ecuación logarítmica y exponencial 1. log 2 (x + 1) = log log (x + π) = 0. log (2x + 1) + log 7 = 1 4. log x + log 2 = log (x + ) 5. log (x + 2) log 2 = log π π 6. log (x 2 + 2x + 1) = log x+5 = x = x+1 x = x+1 x = 0, 25 8

9 Desafíos resueltos Desafío I: Es falso que si a x + a y = a z, entonces z = x + y. Por ejemplo si a = 2, x = 1 e y = 2 a x + a y = a z a x + a y = a (x+y) = = 2 6 = 8 Como el resultado es falso, lo que asumimos como cierto es falso. Volver Desafío II: Podemos reescribir la expresión que conocemos: log a = 0, 124 log a 1 = 0, log a = 0, 124 log a = 0, 124 log a = 0, 702 Necesitamos saber log a 2 que es equivalente a 2 log a y conocemos el valor de log a, entonces: Volver Bibliografía log a 2 = 2 log a = 2(0, 702) = 0, 7404 [1 ] Apuntes de Álgebra I, Tomo I, Segunda edición 199, Facultad de Ciencias, USACH Antonio Orellana Lobos. [2 ] Apuntes Álgebra, Edición 200, Facultad de Ciencias, USACH Ricardo Santander Baeza. 9