PORTAFOLIOS ÓPTIMOS PARA LOS NUEVOS SISTEMAS DE PENSIONES DE PAÍSES EMERGENTES. Por. Eduardo Walker

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1 ORTAFOLIOS ÓTIMOS ARA LOS NUEVOS SISTEMAS DE ENSIONES DE AÍSES EMERGENTES o Eduado Walke ofeso Titula Escuela de Administación ontificia Univesidad Católica de Chile Octube de 3 Este es un documento paa discusión, de caácte pelimina. Agadezco los comentaios de los paticipantes del Investment Round Table by Fidelity ealizado en Villaica, Chile, 6-9 de Octube de 3. Agadezco la valiosa ayuda popocionada po Joaquín oblete y Julio Riutot. Las opiniones pesentadas aquí epesentan sólo al auto.

2 ORTAFOLIOS ÓTIMOS ARA LOS NUEVOS SISTEMAS DE ENSIONES DE AÍSES EMERGENTES ASTRACT Se estudia asignaciones óptimas de clases de activo (Asset Allocation) paa afiliados epesentativos a las AF con difeentes plazos paa jubila. Se supone que el afiliado deseaía maximiza su pensión espeada al momento de jubila, dado un nivel de iesgo. Entonces, la pegunta es qué coesponde a Asset Allocation óptimos desde una pespectiva de lago plazo, dado que el popósito de los fondos acumulados es adquii un pensiones. Esta pegunta no es nueva, po lo que algunos de los esultados pesentados aquí son aplicaciones de conceptos existentes. eo el poblema más específico de una AF que debe optimiza una cieta catea de activos iniciales, más una secuencia de contibuciones a la cuenta individual, desde la pespectiva de un futuo pensionado, no ha sido esuelto, al menos planteado de esta foma, lo que da oigen a algunos esultados inteesantes. También puede tene novedad el cambio de pespectiva: el punto de vista de un administado de cateas de lago plazo inseto en un país emegente. El planteamiento del poblema se esume en cambia el numeaio: tanto la entabilidad espeada como el iesgo deben medise en unidades de pensión futua. Esto (obviamente) implica que la moneda de efeencia es la local (ajustada po inflación) y que el plazo de efeencia es lago. Los instumentos de enta fija de coto plazo son un mal hedge pues tienen baja coelación con el costo futuo de una pensión. Es de inteés identifica activos que posean alta coelación con el costo de las pensiones futuas. Natualmente, éstos coesponden pincipalmente a instumentos de enta fija de lago plazo, aunque es posible que algunas clases de enta vaiable posean caacteísticas deseables. Así, se plantea como hipótesis de tabajo que las cateas óptimas deben esta en buena pate constituidas po enta fija local de lago plazo ya que estos instumentos poveen la mejo potección (hedge) existente conta vaiaciones advesas en el costo futuo de las pensiones. Los esultados teóicos y empíicos claamente avalan esta hipótesis, al igual que la idea de que la enta vaiable local tiene popiedades de potección deseables que no posee la enta vaiable intenacional.

3 INTRODUCCIÓN Este tabajo estudia posibles asignaciones óptimas de clases de activo (Asset Allocation) paa invesionistas institucionales. Más específicamente, la pespectiva adoptada aquí es la de un afiliado a una AF al que le quedan algunos años paa jubila. Se supone que el afiliado deseaía maximiza su pensión espeada al momento de jubila, dado un nivel de iesgo. No se toma en cuenta el poblema de incentivos existente, en cuanto a si éstos, vía competencia ente AF, efectivamente llevaían a algún tipo de potafolio óptimo. Esto pobablemente no sea así, peo es mateia de ota discusión. La pegunta es, entonces, qué coesponde a un Asset Allocation óptimo desde una pespectiva de lago plazo, dado que el popósito de los fondos acumulados es adquii una pensión. eguntas sobe asset allocation óptimo de lago plazo han sido hechas antes y, po lo tanto, algunos de los esultados pesentados aquí son aplicaciones de conceptos existentes. Sin embago, el poblema más específico de una AF que debe optimiza una cieta catea de activos iniciales, más una secuencia de contibuciones a la cuenta individual desde la pespectiva de un futuo pensionado, no ha sido esuelto, al menos planteado de esta foma, lo que da oigen a algunos esultados inteesantes. Lo oto que puede esulta novedoso en este tabajo es el cambio de pespectiva: el punto de vista de un administado de cateas de lago plazo inseto en un país emegente. El Cuado (tomado de Campbell y Viceia, ) muesta asset allocation ecomendados po entidades econocidas en EE.UU.. Según este cuado, invesionistas más consevadoes debeían inveti más en enta fija de coto plazo. Mientas meno es la avesión al iesgo, más se ecomienda inveti en acciones y bonos, lo que esulta del todo azonable. Desde la pespectiva local, las peguntas obvias se efieen a los oles elativos de instumentos financieos nacionales y extanjeos y si, dados objetivos de lago plazo, tiene sentido la composición popuesta en dicho cuado. Es muy pobable que, desde la pespectiva planteada aquí, los tade-off iesgo etono se vean muy difeentes. Además, cabe cuestionase cuáles seían las medidas petinentes de iesgo y entabilidad espeada. Una foma (quizás novedosa) de esumi el poblema consiste en eplantealo cambiando el numeaio: tanto la entabilidad espeada como el iesgo deben medise en unidades de pensión futua. Este concepto, en síntesis, guía nuesto análisis. De este modo, es posible apecia que (obviamente) la moneda de efeencia no es el dóla sino la moneda local, idealmente ajustada po inflación. o ejemplo en Chile gan pate de la enta fija de mediano y lago plazo se encuenta indexada a la tasa de inflación a tavés de la Unidad de Fomento (UF). Así, la moneda petinente es 3

4 la UF. Ota eventual difeencia en cuanto a las cateas ecomendadas es el plazo de efeencia. Desde el punto de vista de un futuo pensionado los instumentos de coto plazo no son libes de iesgo, pues tienen baja coelación con el costo futuo de una pensión. En este caso inteesa identifica activos que posean una alta coelación con el costo de las pensiones futuas y, natualmente, éstos coesponden pincipalmente a instumentos de enta fija de lago plazo, aunque es posible que algunas clases de enta vaiable posean caacteísticas deseables. En conclusión, se plantea como hipótesis de tabajo que las cateas óptimas, desde la pespectiva de los afiliados a las AF, debeían esta mayoitaiamente constituidas po enta fija local de lago plazo, ya que estos instumentos poveen la mejo potección (hedge) existente conta vaiaciones advesas en el costo futuo de las pensiones. Un agumento de difeente natualeza, peo que pemite eafima esta idea, es que en Chile las AF administan ahoo fozoso con gaantía estatal. El costo espeado de la gaantía estatal, que en cieto modo es un seguo, se elaciona diectamente con el iesgo de obtene pensiones bajas. o ende, una actitud consevadoa implica el pomove este tipo de invesiones. REVISIÓN ILIOGRAFICA Muchos de los modelos desaollados en la liteatua suponen que la enta fija ofece un etono eal constante, siendo éste el activo libe de iesgo. Implícitamente se supone que no hay iesgo de einvesión y que existen papeles indexados a la inflación (tal como ocue en Chile). o ello, la conclusión de Siegel (998), que las acciones dominan a la enta fija en el lago plazo, pobablemente no se dé en este caso. Ente los modelos que usan este supuesto está Samuelson y Meton (969). Suponiendo mecados completos, función de utilidad con avesión al iesgo elativa constante, opotunidades de invesión constantes y que no hay ingeso laboal, muestan que el pocentaje óptimo de la iqueza invetido en el activo iesgoso es fijo e independiente de la iqueza y edad, dependiendo sólo de la media y vaianza de los etonos de los activos y de la avesión al iesgo. Meton (97) considea además ingeso laboal no aleatoio y obtiene el pocentaje óptimo de la iqueza invetido en el activo iesgoso es función del pemio po iesgo y de la impotancia elativa del valo pesente del ingeso laboal. Mientas mayo es la iqueza no financiea, más se inviete en activos iesgosos. odie, Meton y Samuelson (99) y Jagannathan y Wang (996) atifican que el poblema del potafolio óptimo debe considea el capital humano y su iesgo como pate impotante de la iqueza total. odie et.al. demuestan que considea ingeso laboal futuo tiene dos efectos sobe ate de la evisión bibliogáfica sobe el efecto del capital humano se basa en el esumen pesentado en Roeschmann (3). 4

5 la invesión en activos financieos: el efecto iqueza (simila a Meton (97)) y un efecto sustitución, en que disminuiía el pocentaje invetido en activos financieos iesgosos si el capital humano es más incieto. Asimismo, encuentan que invesionistas cuya ofeta de tabajo es más elástica estaán dispuestos a asumi mayo iesgo. Campbell, Cocco, Gomes y Maenhout (999), muestan que a mayo vaianza del ingeso laboal y a mayo coelación ente los choques al ingeso laboal y el etono de los activos iesgosos, se inviete menos en estos últimos. Viceia () agega que el efecto iqueza también puede asociase a la pate del ingeso laboal no coelacionada con los etonos de los activos financieos iesgosos, y Wang () agega que en ealidad lo impotante son la volatilidad y coelación de la pate no pedecible del ingeso laboal. Cocco, Gomes y Maenhout () encuentan que un deteminante impotante de la composición óptima de potafolio es la azón de iqueza acumulada a espeanza de ingeso laboal, azón que no es estacionaia a lo lago del ciclo de vida. Estudios empíicos de Faig y Shum () y Cocco () tienden a confima las pedicciones. Además, el compotamiento de las otas invesiones, no financieas, afectan las decisiones de invesión financiea de manea simila al capital humano. uena pate de los estudios anteioes, al supone la existencia de un activo libe de iesgo que paga una tasa eal fija, no considean un aspecto que puede se especialmente impotante paa un sistema de capitalización individual: la volatilidad de la pensión final, pues al pemiti que las tasas de inteés libes de iesgo vaíen a tavés del tiempo, pasa a se elevante el hoizonte del invesionista y apaece el iesgo de einvesión. La volatilidad de las pensiones depende obviamente del esultado de las invesiones sobe el ahoo acumulado, peo además del costo que tendá la pensión al momento de jubila. Es deci, al iesgo acumulado de las invesiones duante la histoia se suma el iesgo asociado a las tasas de inteés de lago plazo vigentes al jubila. Es pecisamente éste el punto que lleva a Campbell y Viceia () en su capítulo 3 a conclui: onds, James, bonds. Considean como especialmente apopiado paa un invesionista de lago plazo la invesión en bonos de lago plazo ligados a la tasa de inflación. Este tipo de instumentos financieos ha existido en Chile po muchos años. En el mismo espíitu, Munk (3) encuenta que un invesionista de lago plazo estaá dispuesto a enuncia a pate de un eventual mayo etono espeado de coto plazo paa cubise ante posibles bajas en las tasas de inteés. Más concetamente, ajeux-esnainou, Jodan y otait (3) demuestan que el potafolio libe de iesgo petinente es una combinación de bonos lagos y cotos, en función del hoizonte de invesión. o ejemplo, si existe un fondo de bonos de lago plazo de duación constante paa inveti, el invesionista queá combina la invesión en este fondo, pimeo, con posiciones cotas en el activo libe de iesgo y, eventualmente, con posiciones lagas, dependiendo del hoizonte de invesión estante en elación a la duación del fondo de bonos de lago plazo. Encuentan además 5

6 que un individuo con avesión elativa al iesgo constante mantendá una popoción constante de su catea en su activo libe de iesgo, y el esto en un potafolio iesgoso. odie () aguye azonablemente que el bienesta de la pesona depende del consumo y el ocio logados duante toda la vida y no seía apopiado considea sólo la iqueza teminal como deteminante del bienesta. El punto de fondo de estos estudios es que la pesona debe considea su iqueza total (financiea y no financiea) a lo lago de toda su vida paa la decisión de invesión en activos financieos. o oto lado, se señala que, en la páctica, es necesaio considea el conocimiento y habilidades limitados del público geneal. Este punto pobablemente se efueza con la cicunstancia de que en Chile buena pate de dicho ahoo es fozoso. o ende, se concluye, debe ofecese un númeo limitado de poductos simples paa facilita la decisión. La pegunta es qué lecciones pueden deivase de esta evisión bibliogáfica paa un sistema de pensiones de capitalización individual de contibuciones definidas. El mandato paece se elativamente clao, en cuanto a que las AF administan las cateas cuyo popósito final es el de constituise en pensiones. Nótense aquí los agumentos impotantes que justifican que a pesonas jóvenes se les ecomiende inveti más en activos iesgosos: la meno impotancia del capital financieo en el total y la disposición a hace un sacificio adicional, en téminos de tabajo o ahoo, paa supli eventuales esultados advesos. De ningún modo inteviene la idea eónea de que en el lago plazo la enta vaiable es menos iesgosa. Oto elemento que debe tomase en cuenta es que, en pate, las pesonas pueden deshace, en sus popias cateas de invesión, las decisiones de las AF, en el espíitu del pincipio de sepaación de Modigliani y Mille. o ejemplo, si las AF invieten demasiado en activos seguos, las pesonas podían inveti su ahoo voluntaio en activos más iesgosos. Sin embago, nótese que son justamente las pesonas cuya iqueza-no-af es mayo las que tienen mayo flexibilidad en este aspecto. Son las pesonas sin ahoo voluntaio las que más se ven afectadas po las decisiones de su AF. Esto puede sugei un sesgo consevado, ya que sin ahoo adicional no podían compensa la decisión de una catea iesgosa y, paa ellas, la impotancia del capital-no- AF puede se meno. RESULTADOS DE UN MODELO SIMLIFICADO Suponemos el contexto más simple posible que nos pemita captua la esencia del poblema del potafolio óptimo de una AF desde la pespectiva de un afiliado. Este contexto es el siguiente: 6

7 Hay cuato peíodos (cada uno podía coesponde a vaios años). El afiliado posee una iqueza inicial en su cuenta en la AF (t = ) y cotizaá duante los dos siguientes peíodos (t =, ). Junto con la segunda cotización (en t = ), compaá una enta vitalicia con todo el saldo de su cuenta. Al momento de jubila no tiene ota iqueza que no sea el saldo en su cuenta. La enta vitalicia pagaá una pensión fija duante los siguientes dos peíodos (t = 3, 4). Tanto desde la pespectiva de t = como de la de t = el costo de una unidad de pensión en t = ( ) es una vaiable aleatoia. El saldo acumulado en la cuenta a fines de t = (W ) también lo es. o ende, en pincipio, la pensión final W / es una vaiable aleatoia, desde el punto de vista de t =,. aa efectos de análisis, suponemos que la AF puede compa un instumento simila a una enta vitalicia difeida, cuyo costo es t. Función objetivo Suponemos que los afiliados tienen avesión al iesgo y que sus pefeencias pueden epesentase po una función (cóncava) que depende de la pensión futua. Suponemos avesión al iesgo elativa constante. De este modo, el plan de invesiones de la AF debeía maximiza una función del tipo: γ W E t γ () la que tiene un paámeto de avesión al iesgo es constante e igual a γ. Nótese que se maximiza el valo espeado desde la pespectiva de t = y luego, con nueva infomación, de t =. Capital humano aa toma en cuenta la impotancia del capital humano en la elección de catea, se hace lo siguiente. Se supone que habá cotizaciones de C t en t =,. Sea K t el valo pesente de las cotizaciones futuas. Entonces definimos la iqueza total vitual * W t como la suma del capital financieo, que está en la cuenta de la AF (W t ), y el valo pesente de las cotizaciones futuas, K t, W = W + K. La entabilidad del capital humano seá, po definición * t t t En ealidad el númeo de peíodos que dua la pensión después de la jubilación es ielevante paa efectos de los esultados. Asimismo, el lago de cada peíodo no tiene po qué se el mismo. 7

8 + R + R K K C + K = K C = K () * Nótese que, como no hay cotizaciones posteioes, W = W. Definimos además la K t impotancia elativa del capital humano en el total como Kt =. * W t Rentabilidad de las cateas y activos elegibles Suponemos que puede invetise en un activo libe de iesgo de coto plazo cuya tasa de inteés es R t. La tasa R es conocida en y la tasa R es conocida en, peo no antes. Existe además un activo iesgoso, cuya entabilidad es R St, y la pensión difeida, donde, po definición, + R t = t t. Nótese que la tasa de descuento paa detemina el costo de la pensión seá conocida sólo en t =, no antes. Dado que una pate de la iqueza vitual se encuenta invetida en el capital humano, entonces la entabilidad de la iqueza vitual puede escibise como: R t = Rt Kt ( Kt t Kt St St t t t t + R R ) + ( )[ ( R R ) + ( R R )] (3) Distibución Log-nomal y etonos Se supone que los etonos tienen una distibución log-nomal. De aquí en adelante se utiliza la nomenclatua = ln(+r) con los coespondientes subíndices. Campbell y Viceia demuestan que el etono logaítmico puede escibise como: t (4) = t + ' t ( ρt tι ) + ' t Λ t ' t Σt' t donde ρ ' = [ ], t Kt St t ' = [ ( ) ( ) ], t Kt Kt St Kt t 8

9 9 = Λ t St Kt t, = Σ t St Kt St St KSt Kt KSt Kt t Función objetivo efomulada Siguiendo a Campbell y Viceia o a Campbell, Lo y MacKinlay, dado que se supone distibución de pobabilidad log-nomal, esulta conveniente nota que Max γ γ W E <=> Max ln γ γ W E lo que pemite eplantea la función objetivo como Max ) ( ) va ( ) ( E γ. (5) aa compende la intuición tas esta fomulación, nótese que puede escibise como ) ( va )} ( va {( E γ lo que a su vez es igual a ) (log va log W W E γ es deci, el objetivo equivale a maximiza el (logaitmo del) valo espeado de la pensión final, sujeto a un nivel de iesgo, medido como la vaiabilidad (del logaitmo de) la pensión final. Solución La solución a la maximización (5), utilizando la epesentación del etono (4), pemite enconta las siguientes soluciones óptimas:

10 + + = + )), ( cov ( ) ( ) ( * S S KS K S S K S S S S γ µ γ (6) + + = + )), ( cov ( ) ( ) ( * K K K S S γ µ γ Aquí µ epesenta el etono espeado y * p es el etono del potafolio óptimo en el segundo peíodo. La solución paa las popociones óptimas invetidas desde la pespectiva de t = es idéntica, excepto po la desapaición del último témino, que involuca la covaianza ente el etono del activo y el tacking eo futuo del potafolio óptimo. Nótese que el potafolio óptimo en t = seá función de,,,,,,,,, K KS S S S K µ µ γ. o lo tanto, la decisión en t = afecta la decisión tomada en t = sólo a tavés del impacto indiecto que pueda tene sobe,, K KS K en el futuo. La solución (6) ignoa este efecto, suponiendo, implícitamente, que el impacto de los cambios en la composición de la catea hoy sobe la impotancia del capital humano en el futuo en la iqueza total es de segundo oden. 3 Lo inteesante de estos esultados es que, a pesa de la elativa simpleza del modelo, se obtienen conclusiones geneales: Mientas mayo es la impotancia elativa del valo pesente de las contibuciones futuas en la iqueza total (poxy de capital humano y/o juventud), mayo es la invesión en activos iesgosos y en el activo pensión difeida, en la medida que éstos posean pemios po iesgo positivos con especto al activo de coto plazo. La edad de un afiliado sólo inteviene indiectamente, ya que se supone que la impotancia del capital humano es mayo en el caso de afiliados jóvenes. Es inteesante nota que, po analogía, se puede extende los esultados a otos activos posiblemente no tansables, tales como la invesión en vivienda. Los activos que tienen mayo coelación con las vaiaciones en el capital humano tendán una meno demanda. Sin embago, dada la evidencia encontada en la liteatua aceca de la elativa estabilidad de este valo (Campell y Viceia, ), este efecto pesumiblemente es de segundo oden. 3 El efecto que se está ignoando es: = + = + S l K K l l K K l l E E, ), ( ) cov ( ) ( va ) ( γ γ, el que, como puede apeciase, es indiecto y ocue a tavés del impacto de las decisiones actuales tendían sobe cambios en la impotancia del capital humano en el futuo y, a tavés de éste, sobe las decisiones de invesión del peíodo siguiente.

11 En la medida que la avesión al iesgo se hace muy gande, /γ tiende a ceo, y aumenta la demanda po los activos que sean un mejo hedge de la pensión futua. Nótese que, ignoando el témino coespondiente a la covaianza en el último paéntesis, la popoción invetida en el activo epesentativo de la pensión difeida tiende a. * o último, nótese el ol del témino cov (, ) : coesponde a la covaianza ente el etono del activo en el peíodo con el tacking eo óptimo del potafolio en el peíodo. Es deci, es un componente de hedge intetempoal: si un etono alto del activo en el peíodo va seguido de un alto tacking eo en el peíodo siguiente, éste se * demandaá menos. aa ilusta la intuición, supóngase que cov (, ), entonces S = * cov ( S, ) = cov ( S, ). Si esto es así, el activo que ofece un mejo hedge intetempoal (que tiene mayo covaianza con el costo final de la pensión) tendá una * demanda mayo. Ota foma de velo es que es el etono medido en unidades de pensión obtenido en el segundo peíodo. Entonces, se pefiee activos que paguen más hoy si el cecimiento en la pensión en el futuo es bajo, lo que puede ocui ya sea poque el costo de la pensión aumentaá en el futuo o poque las entabilidades futuas de los activos seán menoes. Es inteesante constata que todos estos esultados povienen simultáneamente de un mismo modelo. Con anteioidad, muchas de estas conclusiones habían sido obtenidas de modelos (más complejos) que lidiaban con cada uno de estos poblemas a la vez. Sin embago, es necesaio cambia la unidad de medida a pensión futua paa obtene los esultados enumeados aquí. Con todo, este modelo paece se un punto de efeencia azonable paa el esto del análisis. Nótese además que, a difeencia de odie, Meton y Samuelson (99) y Campbell, Cocco, Gomes y Maenhout (999), en nuestos esultados no inteviene diectamente la volatilidad del capital humano, excepto implícitamente, en la covaianza del capital humano con los activos financieos. La azón es que, aunque se pemite que éste tenga volatilidad, es exógeno y no se ve afectado po las decisiones del individuo. RESULTADOS EMÍRICOS A. Evolución del costo de la pensión Dada la agumentación anteio, esulta clao que una de las vaiables impotantes es el costo de la pensión al momento de la jubilación. En Chile la Supeintendencia de Valoes y Seguos lleva estadísticas de tasas de inteés de venta de pensiones. Existe también un egisto de la

12 comisión pomedio cobada al pensionado, lo que pemite calcula una tasa de venta ajustada, pomedio, de mecado, la que puede utilizase paa calcula mes a mes el costo de una pensión. Natualmente, el pefil del pensionado y su gupo familia afecta el nivel absoluto del costo de una pensión, peo se espea que haya coelación cecana a uno ente las vaiaciones en los costos de las pensiones paa distintos pefiles. De este modo, con las tasas ajustadas de venta y las pobabilidades de supevivencia de un jubilado, solo, de 65 años, se estimó el costo de la pensión, mes a mes. El esultado se pesenta en el Gáfico. Es muy notable el aumento en el costo de la pensión de los últimos años, poducto de las caídas en las tasas de inteés. El mismo gáfico incluye la evolución de la tasa de inteés del RC. La coelación negativa es evidente. Dado que hay algún ezago en el egisto de la infomación de las tasas de venta de las entas vitalicias y que las tasas de inteés pueden cambia ente el momento en que los negocios se ciean y el ciee de mes, paa estima la sensibilidad del costo de la pensión ante cambios en la tasa de inteés es necesaio utiliza ezagos. La sensibilidad estimada del cambio en el costo de la pensión ante cambios en la tasa del RC esulta se 9,5 (años). 4 Del gáfico y de este esultado queda clao que la vaiable de estado más impotante paa detemina el costo de la pensión es el nivel de la tasa de inteés de lago plazo, que puede se adecuadamente epesentada po el RC.. Estimación del costo de pensiones difeidas Con todo, también inteesa sabe cómo se compotaían eventuales pensiones difeidas en el tiempo, es deci, que se pudiean compa hoy y empezaan a paga al cabo de algunos años. Si el popósito del fondo de pensiones es povee pensiones en el futuo, es evidente que la pensión difeida es el activo libe de iesgo. Se estimó el costo de las pensiones al contado y difeidas en y años del siguiente modo: Cada mes se estima una estuctua de tasas de inteés paa enta fija en UF en base a papeles del anco Cental Se utiliza la tabla de desaollo de la pensión futua (pondeando po pobabilidad de supevivencia) descita anteiomente Con la estuctua de tasas ajustada se estima el valo pesente (costo) de la pensión al contado, y con pagos difeidos en y años. 4 A pesa de que se espea que el costo de la pensión sea estacionaio, dado el compotamiento empíico de ésta, el paámeto se estimó en un modelo tipo VAR con coección de eoes, en que se elaciona el logaitmo de la pensión con el nivel de la tasa y tes ezagos en la estuctua de los eoes. El Cuado muesta los esultados de las egesiones.

13 Los esultados de las estimaciones se pesentan en los Gáficos y 3. o las azones expuestas anteiomente y pobablemente también poque las comisiones de venta de las pensiones se han ido ajustando a la baja, el costo de mecado de las pensiones es menos volátil que el estimado. o ota pate, y tal como ea de espease, las pensiones difeidas a y años son notablemente más volátiles. Este seía un efecto asociado pincipalmente al plazo de la pensión, poque en el Gáfico 3 se apecia que las tasas de inteés estimadas paa ellas son muy similaes al RC. Esto efueza la idea de que dicha tasa de inteés es la vaiable de estado de mayo impotancia. C. Estimaciones de iesgo asados en el modelo teóico pesentado y en la evisión bibliogáfica, es azonable edefini el iesgo como la volatilidad del tacking eo, es deci, la desviación estánda de la difeencia ente el etono del potafolio (o clase de activo) y la vaiación en el costo de la pensión. El supuesto peíodo de mantención analizado es un año. Esta medida de iesgo (desviación estánda de tacking eo anual) tiene como limitación el no considea las coelaciones con futuos tacking eo. Sin embago, si se supone que luego del peíodo de mantención el potafolio se inviete en la pensión difeida, ésta esulta se la medida de iesgo adecuada. Habiendo estimado vaiaciones mensuales en el costo de la pensión ente 99 fines de, paa el mismo peíodo se estimó las coelaciones de los etonos anuales de las 8 clases de activo consideadas en este estudio (Teasuy ill a un año, Ceo cupón en UF a año, ono de Tesoo de EE.UU. a 5 y a años, RC8 y RC (enta fija local de mediano y lago plazo), un índice epesentativo de un potafolio accionaio mundial (MSCI All-Wold) y el IGA, epesentativo de las acciones locales). Las volatilidades anuales de los etonos de los activos y de los tacking eo se estiman en UF, paa el peíodo 993-3, consideando la posibilidad de autocoelación, bajo el supuesto de que las distibuciones de pobabilidad son log-nomales. El Cuado muesta las medidas de iesgo estimadas. Como ea de espease, se apecia que tanto con especto a las pensiones al contado como a las difeidas y años el activo con mínimo iesgo es el RC. Como el peíodo de mantención es un año, se supone que la volatilidad del etono del Ceo Cupón a un año es ceo, po lo que las volatilidades mostadas en ese caso coesponden a las volatilidades de las vaiaciones del cambio del costo de las pensiones, contado y difeidas. uede apeciase que el iesgo absoluto de las pensiones difeidas es muy alto. Es posible que se esté sobestimando esta volatilidad, puesto que no se considea explícitamente la evesión a la media de 3

14 lago plazo. 5 eo si efectivamente la iqueza se einviete en la popia pensión difeida al cabo de un año, esta medida de iesgo es apopiada. D. Estimaciones de entabilidades espeadas Los paámetos más difíciles de estima paa efectos de una optimización de catea son las entabilidades espeadas. o lo mismo, las estimaciones pesentadas aquí deben considease indicativas de ódenes elativos de magnitud. Se ha supuesto un modelo de valoación de dos factoes: uno epesentativo del etono de economías desaolladas (índice de mecado de EE.UU. según Fama y Fench) y oto facto epesentativo de economías emegentes. 6 Se estima los betas o sensibilidades con especto a estos factoes. Los dos númeos de efeencia más impotantes son el pemio po iesgo de mecado de EE.UU. (Damodaan, 3) y el pemio po iesgo de bonos de países emegentes. Esto último se estima a pati de las tasas de inteés de los bonos sobeanos chilenos y sus sensibilidades a los factoes de iesgo. Los paámetos se pesentan en el Cuado 3.A y las entabilidades paa todas las clases de activo en el Cuado 3.. Nótese que se ignoa po completo la posibilidad de cambios en las tasas de inteés de los papeles de enta fija, es deci, se supone que las tasas de inteés son las entabilidades espeadas de lago plazo. Un punto que meece destacase es que paa tansfoma una entabilidad espeada en dólaes a ota en UF se sigue un pocedimiento en vaias etapas: pimeo se deteminan las entabilidades espeadas en dólaes paa todos los activos, incluyendo la enta fija local, oiginalmente denominada en UF. Luego, se deteminan los pemios en dólaes con especto a la entabilidad espeada en dólaes de la enta fija local. Finalmente, dicho pemio se suma a la tasa de inteés del papel estatal denominado en UF. E. otafolios eficientes Finalmente, con los paámetos anteioes se estiman las composiciones de los potafolios eficientes. aa los tes casos consideados (pensiones al contado y difeidas en y años) pimeo se deteminan los potafolios óptimos con esticciones a las ventas cotas y luego se pemite la venta cota del activo de enta fija local de coto plazo, con un límite de 5 po ciento, con el popósito de pemiti que se alague el plazo de las invesiones, si es necesaio. Los esultados se pesentan en los Cuados 4.A-C. Tal como se hipotetizó desde un comienzo, los potafolios de mínimo iesgo tienen altos pocentajes invetidos en los instumentos de enta fija local de lago plazo. También es inteesante nota el ol de la enta vaiable local, que 5 Tampoco considea que es pobable que haya habido un cambio estuctual en el compotamiento de las tasas de inteés luego de que el anco Cental dejaa flota más libemente el tipo de cambio. 6 Las etimaciones vienen de Walke (3). 4

15 es la única clase de activo que apaece en los potafolios de mínima vaianza, además del RC a años, al toma como efeencia las pensiones difeidas. Con esticciones a las ventas cotas, el IGA tiene un ol educto de iesgo, po su coelación con el RC. Cuando no se pemite la deuda cota, los potafolios con esticciones de entabilidad incluyen además enta vaiable intenacional. Al pemitise la deuda cota, los esultados avalan plenamente las conclusiones teóicas de ajeux-esnainou, Jodan y otait (3) y, en todos los casos, llevan a inveti más en enta fija de lago plazo, con leveage, peo los potafolios de vaianza mínima de todos modos tienden a inclui algún pocentaje (meno) en enta vaiable local. Es inteesante nota que las demás clases de activo pácticamente no intevienen en los potafolios óptimos. aa el caso de la pensión difeida a años, el Gáfico 4 ilusta las fonteas eficientes con y sin esticciones a la deuda cota en UF. Dados los supuestos paa las entabilidades espeadas, las azones (iesgoetono) de Shape son elativamente bajas paa los potafolios de mayo entabilidad espeada al toma como base el potafolio de mínimo iesgo. CONCLUSIONES Los difeentes esultados encontados en este estudio eafiman la idea de que, paa efectos de potege el valo de la pensión futua, debeía invetise con un fuete sesgo hacia enta fija local de lago plazo. Renta vaiable local, al tene mayo coelación con esta clase de activo, tiene un ol doble: pemite aumenta la entabilidad espeada con meno sacificio en téminos de iesgo, medido como tacking eo. La enta vaiable intenacional tiene un ol especial en las cateas de mayo entabilidad espeada. Si bien es cieto que el iesgo total de la enta vaiable intenacional es meno que el de la nacional, no lo es medido en téminos de vaiaciones en la pensión futua. No se encuenta un ol paa la enta fija intenacional de bajo iesgo (medido en su moneda oiginal). Un punto que debe se destacado es que, incluso desde la pespectiva de afiliados jóvenes, la enta fija local de muy lago plazo tiene un ol. Sin embago, en este caso se espea que el capital humano sea mayo, lo que implica que puede suponese que tienen meno avesión al iesgo, aunque esto suponga la disposición a un mayo sacificio de ahoo o tabajo futuos. Si la deuda de coto plazo en moneda local no está pemitida, cuando hay alta toleancia al iesgo los potafolios óptimos se acecan a un po ciento en enta vaiable, favoeciendo de todos modos la enta vaiable local, en téminos elativos. Si se pemitiea alaga el plazo de la catea con deuda de coto plazo, enta fija local vuelve a tene un ol pepondeante, junto con enta vaiable local. 5

16 ILIOGRAFÍA Anott, Robet y ete enstein. (988) The ight way to manage you pension fund en Havad usiness Review N 88-. ajeux-esnainou, Isabelle, James V. Jodan y Roland otait (3). Dynamic Asset Allocation fo Stocks, onds and Cash, Jounal of usiness vol. 76, no.. odie, Zvi. () Retiement Investing: A New Appoach ension Reseach Council, Woking ape -8. odie, Zvi. () An Analysis of Investment Advice to Retiement lan aticipants, ension Reseach Council, Woking ape -5. odie, Zvi. () Life-Cycle Finance in Theoy and in actice oston Univesity School of Management Woking ape -. odie, Hammond y Mitchell. () A Famewok fo Analyzing and Managing Retiement Risks RC W -4. odie, Zvi, Robet Meton y William Samuelson. (99) Labo supply flexibility and potfolio choice in a life cycle model Jounal of Econometic Dynamics and Contol 6. Campbell, John y Luis Viceia. () Stategic Asset Allocation: otfolio Choice fo Long-Tem Investos ST Edition; Oxfod Univesity ess Inc., New Yok. Campbell, John, Geoge Chacko, Joge Rodíguez y Luis Viceia. (3) Stategic Allocation in a Continuous Time VAR Model en NER Woking ape Caoll, Chistophe. (997) uffe-stock Saving and the Life Cycle/emanent Income Hypothesis, Quately Jounal of Economics. Caoll, Chistophe. () A Theoy of The Consumption Function, With and Without Liquidity Constaints Jounal of Economic espectives vol. 5 N 3. Cocco, Joan, Fancisco Gomes y ascal Maenhout. () Consumption and otfolio Choice ove the Life Cycle. Cocco, Joan. () otfolio Choice in the esence of Housing aún no publicado. Constantinides, Geoge. (984) Optimal Stock Tading with esonal Taxes: Implications fo ices and the Abnomal Januay Retuns. Jounal of Financial Economics 3. Deceto de ley Nº 35 Esposito, Macello. (3) Life-Cycle Investing: A pactitiones point of view. Faig, Miquel y auline Shum. () otfolio Choice in the pesence of esonal Iliquid ojects Univesity of Toonto. Jagannathan, Ravi y Zhenyu Wang. (996) The Conditional CAM and the Coss-Section of Expected Retuns Jounal of Finance, N 5. Meton, Robet. (97) Optimum Consumption and otfolio Rules in a Continuous-Time Model Jounal of Economics Theoy, 3. 6

17 Meton, Robet. () Continuous Time Models in Finance. lackwell. Munk, Claus (3) Roeschmann, Maía Doloes (3). otafolios que maximizan el bienesta de los afiliados a las AF. Seminaio de Título de Micoeconomía, Instituto de Economía, ontificia Univesidad Católica de Chile, Julio. Siegel, Jeemy. (998) Stocks fo the long un nd Edition; Mc Gaw-Hill. Viceia, Luis. (999) "Optimal otfolio Choice fo Long-Hoizon Investos with Non tadable Labo Income" NER 749. Walke, Eduado. (999) Deteminación de la catea de invesión óptima de una AF. Mimeo. Walke, Eduado. () Multifondos y falacias: Se habá puesto la caeta delante de los bueyes? en Administación y Economía UC. N 48. Walke, Eduado (3). Estimación de Costo de Capital de Industias Reguladas en Chile. Mimeo, Escuela de Administación, ontificia Univesidad Católica de Chile. Wang, Xiaohong. () Income Risk and otfolio Choice: An Empiical Study Ohio State Univesity. 7

18 Gáfico INDICE COSTO ENSION (UF) VERSUS RC COSTO ENSION TASA RC I_ENS RC 8

19 Gáfico W W W WR 9

20 Gáfico 3.9 RC Y TIR ENSIONES SOT Y DIFERIDAS RC TIR_ TIR_ TIR_

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