Pàg , 3, 5, 7, 11, 13, 17. múltiple. 2. Un nombre primer és aquell que només té com a divisors a ell mateix i l 1. 3.

Transcripción

1 Pàg. 2 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 múltiple Un nombre primer és aquell que només té com a divisors a ell mateix i l múltiple Un nombre compost és aquell que és divisible per més nombres que per 1 i ell mateix. Divisors del 26: 1, Divisors del 99: 1, Divisors de l 1: Divisors del 7: 1, 7. Divisors del 25: 1, 77: nombre compost. 7: nombre primer. 20: nombre compost. 44: nombre compost. Pàg. 3 Per calcular els múltiples d un nombre només cal multiplicar aquest nombre per la successió de nombre naturals. múltiple El 12 és múltiple de 6 i de Cert. El 9 és múltiple de 7. Fals. El 10 és múltiple de 5 i de Cert. El 15 és múltiple de 7 i de Fals. El 10 és múltiple de 4 i de Fals. L 11 és múltiple de 10. Fals. La multiplicació permet trobar els múltiples d un nombre donat. Una altra operació que fa la mateixa funció és la suma, perquè la multiplicació no és més que un conjunt de sumes repetides. Pàg. 4 Per calcular els divisors d un nombre, cal dividir aquest nombre pels nombres naturals més petits que ells. Si la divisió és exacta, el nombre és divisible entre el divisor. Per exemple, 10 : 5 = 2, R = 0, la qual cosa indica que 5 és divisor de : 1, 2, 3, 4, 6, 1 18: 1, 2, 3, 4, 6, 9, : 1, 7, 49. 6: 1, 2, 3, 25: 1, 5, 2 21: 1, 3, 7, 2 9: 1, 3, 9. 36: 1, 2, 3, 6, 12, 18, 3 60: 1, 2, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

2 Un nombre és múltiple de 5 quan acaba en 5 o en 0. Pàg = 2 x 2 x 3 x = 2 x 2 x 3 x 3 x = 5 x 5 x 5 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x = 3 x 5 x 7 Per descompondre un nombre, el residu de la divisió d aquest nombre entre el divisor ha de ser zero. 21 = 2 x 2 x 7. Incorrecta: 21 = 3 x = 2 x 3 x 10. Incorrecta: 105 = 3 x 5 x = 2 x 3 x 7. Correcta. 30 = 3 x 3 x Incorrecta: 30 = 2 x 3 x 154 = 2 x 7 x 1 Correcta. 330 = 2 x 3 x 5 x 1 Correcta. Pàg. 6 Recordem que l 1 no es considera un nombre primer: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = Donat que el resultat és el producte de nombres primers, la multiplicació ja representa la descomposició: = 2 x 3 x 5 x 7 x = 2 x 2 x 3 x 3; 8 = 2 x 2 x Factors comuns: 2 x 12 = 2 x 2 x 3; 9 = 3 x 3 Factors comuns: 50 = 2 x 5 x 5; 10 = 2 x 5 Factors comuns: 2 x 5 36 = 2 x 2 x 3 x 3; 6 = 2 x 3 Factors comuns: 2 x 3 7. Tots els nombres compostos es poden descompondre en nombres primers. Ara bé, els nombres que són primers no es poden indicar com producte de nombres primers, ja que l 1 no es considera nombre primer. 8. Per saber els grups que es poden fer, hem de trobar els divisors de la quantitat. Així, els divisors de 20 són 1, 2, 4, 5, 10 i 20. Per tant, els grups que es poden fer són: - Un grup de 20 bales. Però això no seria una repartició, realment. - Dos grups de 10 bales. - Quatre grups de 5 bales. - Cinc grups de 4 bales. - Deu grups de 2 bales. - Vint grups d 1 bala té 4 divisors: 1, 5, 7 i 3 Per tant, les possibilitats són: - Un grup de 35 pomes. Però aquesta possibilitat no implica la repartició. - Cinc grups de 7 pomes. - Set grups de 5 pomes. - Trenta-cinc grups d una poma.

3 Pàg. 7 Són divisibles per 2 tots els nombres que acaben en 2, 4, 6, 8 i 0. També es pot dir que són divisibles per 2 tots els nombres parells. ser 0. Un exemple de nombre divisible entre 5 és 10. Són divisibles per 10 tots els nombres acabats en 0. Un exemple de nombre divisible per 10 és = 2 x 2 x És divisible per 20 = 2 x 2 x És divisible per 22 = 2 x 1 És divisible per 8 = 2 x 2 x És divisible per 16 = 2 x 2 x 2 x És divisible per 24 = 2 x 2 x 2 x És divisible per De fet, no cal fer l operació, ja que tots aquests nombres són parells i, per tant, divisibles entre És possible si són suficientment grans. Si el que es vol és repartir-los en grups iguals, sí que és possible, ja que 48 és divisible entre Resposta oberta. En qualsevol cas, ha de ser divisible entre 2, ja que tots els nombres són parells i, per tant, divisibles entre No cal fer el càlcul, donat que el nombre és senar i, per tant, no és divisible entre Pàg Són divisibles per 5 tots els nombres acabats en 0 i El residu de la divisió d un d aquests nombres entre 5 ha de 9. Només cal que busquem quantitats enteres que acabin en 5 o en Resposta oberta. En qualsevol cas, seran divisibles entre 0. Pàg. 9 El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres és el nombre més petit que és alhora múltiple d aquests nombres. Múltiples de 5 Múltiples de m.c.m. (3, 5) = 15 Múltiples de 5 Múltiples de m.c.m. (5, 10) = 10

4 Cal dividir el nombre entre 4 i entre 5 i veure si les dues divisions són exactes. En aquest cas, serà múltiple de 4 i 25 és m.c.m. de 3 i de 7. Fals. 10 és m.c.m. de 5 i de Cert. 40 és m.c.m. de 8 i de Fals. 6 és m.c.m. de 2 i de Cert. 105 és m.c.m. de 15 i de 7. Cert. Pàg. 10 Donat que es el nombre de clips es reparteix de forma exacta en grups de 4 i de 5, el nombre de clips és múltiple de 4 i de 5, però més petit que 30. Si mirem els múltiples de 4 i de 5, l únic que compleix aquest requisit és el 20. El nombre ha de ser múltiple de 2 i de 10. Per tant, pot ser 20, 30, 40, 50, 60, etc. No està indicat que sigui el múltiple més petit possible. 7. Si vol tenir el mateix nombre d uns i d altres, aquest nombre haurà de ser múltiple de 4 i de 6, perquè és el nombre que tenen els sobres. A més, vol el nombre mínim. Per tant, busca el mínim comú múltiple de 4 i de 6, que és 1 Pels cromos grans, que van en sobres de 4, necessitarà 12 : 4 = 3 sobres. Pels sobres petits, que van en sobres de 6, necessitarà 12 : 6 = 2 sobres. Pàg. 11 El màxim comú divisor (m.c.d) de dos o més nombres és el nombre més petit que és divisor alhora dels nombres inicials. Divisors de 4 1, 2, 4 Divisors de 5 1, 5 m.c.d. (4, 5) = 1 Divisors de 16 1, 2, 4, 8, 16 Divisors de 10 1, 2, 5, 10 m.c.d. (16, 10) = 2 Divisors de 1, 2, 3, 4, 6, 12, Divisors de 1, 2, 7, m.c.d. (24, 14) = 2 Podem fer-ho de dues maneres. La primera consisteix en fer la divisió de 20 i de 12 pel nombre i veure si la divisió és exacta. La segona consisteix en trobar els divisors dels dos nombres i seleccionar els comuns. En aquest cas concret: Divisors de 20: 1, 2, 5, 10, 20. Divisors de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 1 Caldrà veure si el nombre és un d aquests nombres comuns o no. 2 és el m.c.d. de 18 i 20. Cert. 3 és el m.c.d. de 18 i 20. Fals. 5 és el m.c.d. de 20 i 3 Fals. 4 és el m.c.d. de 20 i 3 Fals. Pàg. 12 Ha de calcular els divisors comuns de 24 i 18 i després, trobar el màxim comú divisor. Tots els nombres tenen com a divisors a sí mateix i a l

5 7. Divisors del 15 1, 3, 5, 15 Divisors del 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisors del 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Divisors del 55 1, 5, 11, 55 Divisors del 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 El 20, el 30 i el 60 tenen el 2 i el 5 com a divisors comuns. 8. Divisors del 10 1, 2, 5, 10 Divisors del 25 1, 5, 25 Divisors del 30 1, 2, 3, 5, 10, 15, 30 m.c.d. (10, 25, 30) = 5 9. m.c.d. (5, 15) = 5 m.c.d. (3, 12) = 3 m.c.d. (7, 35) = 7 m.c.d. (7, 42) = 7 Pàg. 13 Per trobar una fracció equivalent a una altra hem de multiplicar el numerador i el denominador pel mateix nombre natural. Resposta oberta. Exemples: 6/7 = 30/35 6/4 = 60/40 1/8 = 11/88 7/6 = 147/126 8/6 = 16/12 7/9 = 70/90 5/3 = 150/ 90 9/7 = 45/35 4/3 = 12/9 12/24 = 24/48 5/8 = 25/40 6/7 = 48/56 3/7 = 9/21 12/9 = 36/27 4/9 = 36/81 15/25 = 30/50 5/22 = 20/88 124/10 12,4 70/ /7 8,6 360/42 8,6 62/25 2,48 210/25 8,4 81/9 9 62/3 20,7 42/5 8,4 186/9 20,7 490/ /18 9 Si tenim dues fraccions equivalents i dividim el numerador entre el denominador el resultat és el valor de la fracció, que és el mateix per les dues fraccions. Pàg. 14 2/3 i 1/2 4/6 i 3/6 5/2 i 6/3 15/6 i 12/6 8/4 i 9/2 8/4 i 18/4 7/5 i 9/6 42/30 i 45/30 8/12 i 9/8 16/24 i 27/24 7/9 i 8/2 14/18 i 72/18 Reduir fraccions el mateix denominador consisteix en trobar el màxim comú divisor dels denominadors i calcular les fraccions equivalents a les primeres amb aquest denominador. 2/5 i 1/4 8/20 i 5/20 9/3 i 2/7 63/21 i 6/21 8/21 i 12/3 24/63 i 252/63 6/3 i 1/7 42/21 i 3/21

6 2/5 i 7/6 12/30 i 35/30 5/4 i 7/3 15/12 i 28/12 Pàg. 15 Per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador, es sumen o es resten els numeradors i es deixa el denominador comú. 2/3 + 6/3 + 1/3 = 9/3 83/ / /25 = 119/25 87/ / /100 = 91/100 24/ /90 + 2/90 = 71/90 732/ /120 = 376/120 81/4 62/4 = 19/4 56/30 34/30 = 22/30 31/20 30/20 = 1/20 5/9 4/9 = 1/9 23/15 20/15 = 3/15 56/80 30/80 = 26/80 131/19 34/19 = 97/19 Pare: 1/8; mare: 1/8; oncle Joan: 2/8; tieta Marta: 1/8; jo: 1/8. Cal sumar les parts que ha consumit cada un: 1/8 + 1/8 + 2/8 + 1/8 + 1/8 = 6/8 Hem consumit 6/8 del pastís. Ara cal restar tot el pastís que es té menys el s ha consumit. El pastís, expressar en octaus, és 8/8: 8/8 6/8 = 2/8 Ha quedat 2/8 del pastís. Per saber-ho hem de comparar les dues fraccions, i per comparar-les les hem de reduir a denominador comú: 7/12 i 3/6 7/12 i 6/12 Han recorregut junts 6/12 parts del camí. No han fet tot el camí. Tot el camí és la unitat i aquestes fraccions són impròpies, per tant, tenen un valor inferior a Cal restar, doncs, la unitat menys el camí que han fet: 7/12 1 = 12/12; 12/12 7/12 = 5/12 3/6 1 = 6/6; 6/6 3/6 = 3/6 Al Pol li queden per recórrer 5/12 parts del camí, mentre que a la Lara, li queden per recórrer 3/6 parts del camí. Resposta oberta. Pàg. 17 4/7 + 5/6 = 24/ /42 = 59/45 1/3 + 2/7 = 7/21 + 6/21 = 13/21 10/3 2/6 = 20/6 2/6 = 18/6 4/5 1/3 = 12/15 5/15 = 7/15 3/4 7/10 = 15/20 14/20 = 1/20 8/2 9/3 = 24/6 18/6 = 6/6 = 1 6/7 2/3 = 18/21 14/21 = 4/21 2/4 3/7 = 14/28 12/28 = 2/28 Pàg. 16 Resposta oberta. 6/3 2/9 = 18/9 2/9 = 16/9 Pàg. 18 Per multiplicar fraccions es multipliquen els numeradors i els

7 denominadors. El numerador de la fracció resultat és el producte de numeradors, i el denominador, el producte de denominadors. Per dividir fraccions es multiplica el numerador de la primera pel denominador de la segona i el numerador de la segona pel denominador de la primera. El primer nombre és el numerador de la fracció resultat i el segon nombre és el denominador de la fracció. 2 4 base 4 exponent 5/6 x 2/4 = 10/24 6/10 x 7/3 = 42/30 5/2 x 9/3 = 45/6 45/24 x 31/2 = 1 395/48 45/3 x 5/61 = 225/183 2/4 x 6/7 = 12/ /3 : 9/2 = 10/27 7/2 : 9/3 = 21/18 9/10 : 10/4 = 36/ El nombre d etapes és una dada que es dona per despistar. Si el total de corredors és 130, aquest valor és el numerador de la fracció. Els corredors que han abandonat la cursa han sigut = 8 Per tant, la fracció de corredors que han abandonat és 85/130. Els que han acabat la cursa han estat = 4 Per tant, la fracció de corredors que han acabat és de 45/130. 8/4 : 9/3 = 24/36 Pàg. 19 El quadrat d un nombre és el producte del nombre per si mateix. 5 2 = 2 Aquí s ha calculat el quadrat d un nombre. 5 x 2 = 10. Aquí s ha calculat el doble d un nombre. S haurien de posar 16 a cada costat. Pàg El cub d un nombre és el producte d un nombre per sí mateix dues vegades, és a dir: nombre x nombre x nombre. 8. El cub del nombre 2 el calculem així: 2 x 2 x 2 = 8. El cub del nombre 4 el calculem així: 4 x 4 x 4 = 6 El cub del nombre 5 el calculem així:

8 5 x 5 x 5 = 12 El cub del nombre 7 el calculem així: 7 x 7 x 7 = 34 El cub del nombre 10 el calculem així: 10 x 10 x 10 = = = = = = = = = = = = = = Pàg. 21 En el primer cas sobren 2 ous i en el segon, 16 = 4 L arrel serà un nombre decimal. 441 = = = = = = = 37 Pàg = 6 0 Si observem el resultat de la divisió i de la multiplicació, podem deduir que dividir un nombre entre 0,5 és igual a multiplicar-lo per Dividir un nombre entre 0,5 i multiplicar-lo per 2 és el mateix.

9 36 : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = 278 Activitat extraescolar Freqüència absoluta Freqüència relativa Música 15 15/66 = 0,227 Natació 6 6/66 = 0,09 Jocs de taula 15 15/66 = 0,227 Teatre 9 6/66 = 0,136 Estudi 21 21/66 = 0,318 TOTAL 66 66/66 = 1 Pàg : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = : 0,5 = 198 Pàg. 23 Fruita Freqüència absoluta Freqüència relativa Maduixes 23 23/50 = 0,46 Pomes 18 18/50 = 0,36 Taronges 9 9/50 = 0,18 TOTAL 50 50/50 = 1 La freqüència relativa és una fracció que indica quantes vegades apareix una dada determinada en el conjunt de dades total. Sabor Freqüència absoluta Freqüència relativa Maduixa /1 434 = 0,165 Meló 62 62/1 434 = 0,04 Mel /1 434 = 0,134 Llimona /1 434 = 0,545 Cirera /1 434 = 0,114 TOTAL /1 434 = 1 Dia de la setmana Freqüència absoluta Freqüència relativa Dilluns 62 62/196 = 0,32 Dimarts 44 44/196 = 0,22 Dimecres 12 12/196 = 0,06 Dijous 48 48/196 = 0,24 Divendres 30 30/196 = 0,15 TOTAL /196 = 1

10 Pàg , , ,66 = = , , , ,27 = = , ,65 362,35 = , ,69 540,99 = ,7 90 º 2 365,12 x 321 = , ,102 x 0,5 = , x 1,2 = ,6 No s indica quants decimals calcular per aquelles operacions que no són exactes, es deixa a la lliure elecció del professorat. Aquí s indica un únic decimal ,8 : 12,3 = ,92 : 3,6 = 652,2 555 : 5,5 = 100,9 292,25 : 2,9 = 100,7 231 = 15, = 22, = 31,62 49 = = = = º 0º, no s ha mogut encara Pàg : 50 = : 50 = : 50 = 6,6 450 : 50 = : 50 = 17,4 460 : 50 = 9,2 550 : 50 = : 50 = 12 90º 180º

11 Pàg º 300º 120 minuts = 2 hores 240 minuts = 4 hores 1 dia = 24 hores minuts = 40 hores 15 hores = 900 minuts 300 minuts = 5 hores 9.45 o o Si no aprofita la oferta, vol dir que compra els 3 paquets de gots a preu normal. Per tant: 2,5 per paquet x 3 paquets = 7,5 Així, en Carles pagarà 7,5 euros si no aprofita l oferta. L oferta és de 4,8 per 2 paquets. Per tant, pagarà 4,8 euros. El raonament és el mateix que en el cas anterior. Per tant, pagarà 6 euros. 7. Hi ha diversos procediments, però tots ells es basen en el traspàs repetit d oli entre contenidors. Un d aquests procediments consisteix en omplir el dipòsit de 5 litres. Així, cada una de les garrafes té 5 litres. A continuació, omplim la garrafa de 2 litres i la buidem en el recipient obert. Així, en la garrafa de 5 litres queden 3 litres. Finalment, es torna a omplir la garrafa de 2 litres. L oli que queda a la garrafa de 5 litres és un litre, la quantitat que buscàvem: = 1 L ,56 = ,51 = ,99 = ,56 = Per respondre la pregunta, cal comparar les fraccions que es mengen. Com tenen totes el mateix denominador, es poden comparar directament: 3/2 > 2/2 > 1/2 Per tant, qui ha menjat és la Sònia. La Carla és qui ha menjat menys. Pàg Ho ha escrit malament; l expressió correcta és 3 7.

12 El Josep té 10 euros. L Albert té els diners d en Josep elevat al cub, és a dir: 10 x 10 x 10 = Per tant, l Albert té euros. Restarem les dues quantitat anteriors: = 990 La Rita té 990 euros. Cal sumar les quantitats que tenen cada un dels tres: = Entre tots tres tenen euros. L edifici té 6 plantes. Cada planta té 6 apartaments, és a dir, 6 x 6 = 36 apartaments en total. I, cada apartament té 6 finestres, és a dir, 36 x 6 = 216 finestres en total. Si cada finestra val 6, per tant totes les finestres valen 216 x 6 = 6 x 6 x 6 x 6 = Les finestres costen euros. Si la paret és quadrada, cal disposar el mateix nombre de files que de columnes. Això vol dir 12 files de 12 rajoles o 12 columnes de 12 rajoles. Pàg. 29 El que es demana és un nombre que sigui múltiple d altres nombres i el més petit d aquests múltiples. Per tant, es busca el mínim comú múltiple de 2, 3, 4 i 6: m.c.m. (2, 3, 4, 6) = 12 Per tant, 12 és el nombre mínim de samarretes. Per saber quants llibres s ha llegit hem de calcular la fracció de llibres que s han llegit i, després, obtenir el valor d aquesta fracció. Per tant: 2/15 + 9/15 + 7/15 + 2/15 + 1/15 + 6/15 + 3/15 + 2/15 + 9/15 + 4/15 = 45/15 = 3 En Pere Joan ha llegit 3 llibres sencers. 7. Si han escombrat 42 carrers de 50, queden per escombrar 8 carrers, és a dir, 8/50 del total. Han escombrat 42 carrers en 6 hores. Per tant, han escombrat: 42 carrers : 6 h = 7 carrers per h Així, en cada una de les 6 hores han escombrat 7/50 parts de total. Pàg Cal multiplicar el nombre d ampolles per la capacitat de cada ampolla: 11 ampolles x 0,250 L = 2,75 L En total hi ha 2,75 litres de suc. 9. En aquest cas, cal repartir la quantitat de batut entre el nombre de persones: 2 L : 8 persones = 0,25 L = 25/100 Cada got ha de tenir una capacitat mínima de 0,25 litres. 10. En aquest cas, cal multiplicar la capacitat de gots pel nombre gots que es tenen: 1/8 L per got x 6 gots = 6/8 L La quantitat total d aigua és de 6/8 litres, que corresponen a 0,75 litres. 1 El pes total és igual a la suma dels pesos dels diferents productes. Per sumar-los, per altra banda, cal que estiguin expressat en la mateixa unitat: 200 g g + 1/4 kg + 1 kg g + 3/4 kg + 2 kg = = g = 4,8 kg El pes total és, doncs, de 4,8 quilograms. 1 Podem fer el càlcul de dues maneres. La primera és dividint el preu del quilogram d arròs entre el 4 quarts

13 d arròs que té el quilogram. La segona és multiplicar el preu per 1/4, que és la part de la qual volem trobar el preu. 3 per kg : 4 quarts de kg = 0,75 3 per kg x 1/4 kg = 0,75 Per tant, un quart de quilogram costa 0,75 euros. Pàg Aquí, dividim el nombre total de quarts per la quantitat de quarts que té cada taronja, 4: 20 quarts : 4 quarts cada taronja = 5 taronges. Necessitem, doncs, 5 taronges. 1 Dividim el nombre de pizzes entre el nombre de persones que les han de menjar: 8 pizzes : 32 persones = 1/4 pizza per persona. Per tant, les pizzes s han de dividir en quarts. A cada convidat li toca 1/4 de pizza.