Acertar: dependencia o independencia de los sucesos?

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1 Nivel: 2.º Medio Sector: Matemática Unidad temática: Estadística y probabilidad Actividad para el estudiante Acertar: dependencia o independencia de los sucesos? Quizás hayas jugado el juego Monopoly o Monopolio. Este juego se puede encontrar en muchas jugueterías alrededor del mundo, impreso en varios idiomas. Muchas de las versiones extranjeras utilizan nombres de los lugares locales para las propiedades en lugar de los nombres de Atlantic City y New Jersey, que es el juego original. Por eso en Chile tenemos El Gran Santiago. Todo empezó en 1933 cuando un hombre cesante de nombre Charles B. Darrow creó un pasatiempo en el cual los jugadores tenían la oportunidad de comprar y vender inmuebles y se volvían ricos. Durante la Gran Depresión muchos estadounidenses quedaron sin trabajo y Darrow pensó que su invento era una fantasía que muchos jugadores podrían disfrutar. Darrow trató de vender su idea a la empresa de juguetes Parker Brothers, pero no fue aceptada. Los ejecutivos de la empresa pensaron que un juego basado en compra-venta de propiedades no llamaría la atención. De igual modo, pensaron que los jugadores se aburrirían jugando alrededor de un tablero sin obtener ninguna meta real, y que el juego era demasiado largo. Los ejecutivos de Parker Brothers pensaban que un juego debía tomar alrededor de 45 minutos para poder mantener el interés de las personas. El juego Monopoly podía durar varias horas. Después de probarlo, la empresa de juguetes escribió a Darrow diciéndole que no se interesaba en su juego. Darrow no se dio por vencido. Con la ayuda de un amigo impresor, él mismo produjo varias miles de copias del juego. Vendió 5000 a una tienda de Philadelphia. El juego fue un éxito entre el público. Parker Brothers escuchó acerca del éxito de Darrow y cambió de opinión sobre el juego Monopoly. Dos años después de que había rechazado la propuesta de Darrow, la empresa compró los derechos 1

2 de Monopoly. La idea de Darrow finalmente lo hizo millonario y dio a la Parker Brothers uno de los juegos de salón más populares del mundo. Utiliza el tablero de El Gran Santiago preguntas. que se muestra para responder las 1) Cuál crees que es el elemento más importante para ganar el juego El Gran Santiago? 2) Esta tabla muestra todos los resultados posibles de obtener cuando se lanza un par de dados. a) Cuál es la suma mínima que se puede obtener? b) Cuál es la suma máxima que se puede obtener? c) Completa la tabla escribiendo la suma total que es posible obtener con el lanzamiento de un par de dados. Se han llenado algunas casillas a modo de ejemplo. 2

3 3) La que tiene la más alta frecuencia: a) Cuál suma es? b) Cuál es su frecuencia? c) Tiene alguna distribución especial en la tabla? d) Cuál es la probabilidad de obtener esta suma al lanzar dos dados simultáneamente? Escribe como fracción y porcentaje. 4) Para obtener una suma igual a tres : a) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa suma? b) Cuáles son esas formas sumar tres? c) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la suma tres? Escribe como fracción y porcentaje. Los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos compuestos. En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso independiente. Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso dependiente. 3

4 Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que ambos ocurran se calcula con la ecuación: P(A y B) = P(A) P(B). Esta propiedad de los sucesos independientes se llama propiedad multiplicativa. Usando una representación geométrica de la multiplicación de fracciones, se 5 puede ver con este ejemplo que si la probabilidad del suceso A es y la 7 probabilidad del suceso B es 3 2, entonces la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es: Es decir: = ) Estás en el punto de partida. Si necesitas lanzar los dos dados para obtener dos tres consecutivos (uno en cada lanzamiento y respetando los turnos de juego) con el propósito de llegar primero a la calle Lira y enseguida a Gran Avenida : a) Estos dos sucesos, son dependientes o independientes entre sí? b) Cuál es la probabilidad que tienes de conseguir ambos propósitos? Escribe como fracción y porcentaje. 6) Estás en el Cine. Necesitas hacer el lanzamiento de los dos dados en dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y respetando los turnos de juego). Ello, con el propósito de llegar primero al Hotel y luego a la Clínica. Entonces: a) Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento? 4

5 b) Cuál es esa suma? c) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa suma? d) Cuáles son esas formas de sumar? e) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la suma que se necesita? Escribe como fracción y porcentaje. 7) Estás en la Compañía de Teléfonos. Necesitas hacer el lanzamiento de los dos dados en tres oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y respetando los turnos de juego). Ello, con el propósito de llegar a un punto de destino que es la calle Diez de Julio. Entonces: a) Cuántas casillas en total debes avanzar para llegar a Diez de Julio? b) Es posible hacer dos paradas en el camino? c) Considerando que vas a llegar a destino haciendo tres lanzamientos de dados, esas paradas podrán estar separadas una de otra por una misma cantidad de casillas? d) Cuál es esa cantidad idéntica de casillas que separan una parada de otra? e) A qué calles corresponden? f) Entonces, qué suma debes obtener en cada uno de los tres lanzamientos que harás de los dados? g) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar esa suma? h) Cuáles son esas formas de sumar? i) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados en tres oportunidades obtengas la suma que necesitas? Escribe como fracción y porcentaje. j) Tienes posibilidades? 5

6 8) Estás en la Compañía de Gas. La próxima vez que te corresponda tirar los dos dados: a) Puedes llegar a la Compañía de Teléfonos? b) Por qué? c) Cuál es la probabilidad? Escribe como fracción y porcentaje. 9) Estás en la Clínica. La próxima vez que te corresponda tirar los dos dados en dos oportunidades consecutivas (cada lanzamiento a su debido tiempo y respetando los turnos de juego) quieres llegar primero a Providencia y luego a Ahumada. Entonces: a) Debes conseguir una misma suma en cada lanzamiento? b) Si la respuesta es no, cuál es cada suma en cada oportunidad? c) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la primera suma? d) De cuántas formas puedes tirar los dos dados para alcanzar la segunda suma? e) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la primera suma? Escribe como fracción y porcentaje. f) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje. g) Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dos dados se obtenga la primera y la segunda suma? Escribe como fracción y porcentaje. h) Tienes posibilidades? 10) El lanzamiento simultáneo de un dado y una moneda, una sola vez: 6

7 a) Es un suceso dependiente o independiente? b) Por qué? Actividad para el estudiante c) Cuál es la probabilidad de obtener sello en la moneda? Escribe como fracción y porcentaje. d) Cuál es la probabilidad de obtener cinco en el dado? Escribe como fracción y porcentaje. e) Cuál es la probabilidad de obtener sello y cinco? Escribe como fracción y porcentaje. f) Cómo calificarías este suceso compuesto en relación con la probabilidad? Poco probable? Imposible? Igualmente probable? 11) Se aplicará una prueba en una determinada asignatura. La prueba tiene dos ítems: Verdadero y Falso y Selección múltiple. Considera que acertar en las respuestas son sucesos independientes. En el ítem de V o F existen 8 preguntas. Entonces: a) Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de V o F? Escribe como fracción y porcentaje. b) Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de V o F? Escribe como fracción y porcentaje. En el ítem de Selección múltiple existen cinco preguntas con cuatro alternativas cada una (A, B, C, D). Entonces: c) Cuál es la probabilidad de acertar en una respuesta de Selección múltiple? Escribe como fracción y porcentaje. d) Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de Selección múltiple? Escribe como fracción y porcentaje. e) Cuál es la probabilidad de acertar en todas las respuestas de V o F y de Selección múltiple? Escribe como fracción y porcentaje. Nota: afortunadamente las pruebas de conocimiento no dependen del azar o la buena suerte. El éxito en una prueba de conocimiento depende de tus conocimientos. 7

8 Si volvemos a la pregunta inicial: Acertar: dependencia o independencia de los sucesos? Los sucesos que arrojan más de un resultado se llaman sucesos compuestos. En ocasiones, la existencia de un suceso afecta la probabilidad de un segundo suceso (aunque no siempre). Si no lo afecta, entonces se denomina suceso independiente. Si los sucesos no son independientes, el segundo suceso será el suceso dependiente. Si los sucesos A y B son independientes, entonces la probabilidad de que ambos ocurran se calcula con la ecuación: P(A y B) = P(A) P(B). Esta propiedad de los sucesos independientes se llama propiedad multiplicativa. Entonces, si se tienen varios sucesos consecutivos e independientes entre sí, la probabilidad de acertar a todos ellos a la vez corresponde al producto de las probabilidades que por separado tenga cada suceso. P (suceso simple) = número de casos favorables número de casos posibles 8