ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN 2010 EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES.

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1 ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN EN MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. EJERCICIO a) ( putos) Racoalce smplfque la fraccó. 8 8 b) ( putos) Determe los coefcetes de la ecuacó 3 a b para que sus solucoes sea los valores 3. EJERCICIO a) ( putos) E ua progresó artmétca de térmos el prmero es el décmo 3. Halle su razó la suma de sus prmeros térmos. b) ( putos) U baco cocedó a ua empresa u préstamo, a u terés compuesto del 6% durate años al cabo de ese tempo el terés acumulado es de 338. euros. Qué captal prestó el baco a esa empresa? EJERCICIO 3 a) ( putos) Represete la gráfca de la fucó. b) (3 putos) Represete gráfcamete la fucó. c) ( putos) Calcule la dervada de la fucó. EJERCICIO 4 3 a) (6 putos) Dada la fucó f ( ) estude s tee asítotas vertcales u horzotales represete las que esta. Determe també las regoes de crecmeto decrecmeto de esta fucó. b) (4 putos) Se laza smultáeamete dos dados cuas caras está umeradas del al 6. Cuál es la probabldad de que la suma de las caras sea? 6

2 EJERCICIO Ua cooperatva acetera quere realzar u estudo sobre la flueca de las campañas publctaras e sus cfras de vetas. Para ello dspoe del gasto destado a publcdad del volume de vetas e los últmos años (ambos e mles de euros): X : gasto e publcdad Y : vetas a) (6 putos) Obtega la ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X. Cuál será el volume de vetas s la versó e publcdad ascedera a 3.8 mles de euros? b) ( putos) Calcule el coefcete de correlacó leal e terprete su valor. EJERCICIO 6 a) ( putos) E ua cudad se sabe que el % de las persoas so mujeres el 4% so mujeres maores de edad. Asmsmo, el 3% de las persoas de esa cudad so hombres maores de edad. Se elge al azar ua persoa resulta ser maor de edad, cuál es la probabldad de que esta persoa sea, además, mujer? b) ( putos) E u colego se estuda la dstrbucó de la ota de Matemátcas de sus estudates, resultado ser ua Normal de meda 7. desvacó típca.. Se elge al azar u estudate de ese colego, cuál será la probabldad de que su ota e esta asgatura sea maor que 7.? 7

3 RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE EJERCICIO a) ( putos) Racoalce smplfque la fraccó 8. 8 Multplcado el umerador el deomador de la fraccó ateror por el cojugado del deomador obteemos: b) ( putos) Determe los coefcetes de la ecuacó 3 a b para que sus solucoes sea los valores 3. Como 3 so solucoes de la ecuacó dada ha de satsfacerla, es decr que al susttur por 3 por la gualdad debe cumplrse; por tato: Operado, queda 3 33 a 3 b a b. 7 3a b a b se trata de u sstema de dos ecuacoes co dos cógtas. Restado ambas ecuacoes: a a a 3 b 7 3a 8. EJERCICIO a) ( putos) E ua progresó artmétca de térmos el prmero es el décmo 3. Halle su razó la suma de sus prmeros térmos. Sabemos que e ua progresó artmétca se cumple las sguetes gualdades: a a ( ) d S a a 8

4 dode d es la dfereca, o razó de la progresó. Partcularzado las epresoes aterores a uestro caso, tedríamos: a a ( ) d 3 9d 9d 7 d 3 S a a Calculemos a : a a ( ) d S a a 6 67 b) ( putos) U baco cocedó a ua empresa u préstamo, a u terés compuesto del 6% durate años al cabo de ese tempo el terés acumulado es de 338. euros. Qué captal prestó el baco a esa empresa? La fórmula del terés compuesto cuado el tempo,, vee epresado e años es: C r C 67 sedo r el tato por ceto aual, rédto, al que se cocede el préstamo. Descoocemos el captal prestado C, pero sabemos que el captal fal, C, la catdad a devolver al baco, es la suma del captal prestado más los tereses devegados, es decr C C Susttuedo e la fórmula geeral: C C C 338. C.6.6 C C C C C 338. C E cosecueca, el préstamo ascedía a euros. 9

5 EJERCICIO 3 a) ( putos) Represete la gráfca de la fucó. La fucó ateror correspode, gráfcamete, a ua recta. Para represetarla es sufcete coocer dos putos de ella, e partcular los putos dode corta a los ejes de coordeadas; éstos se obtee así: ; es decr, el puto (, ), puto dode la recta corta al eje de ordeadas, es u puto de la recta..; es decr, el puto (., ), puto dode la recta corta al eje de abscsas, es u puto de la recta. La represetacó gráfca sería: 4 3 = -+ 3 b) (3 putos) Represete gráfcamete la fucó. Efectuado las operacoes dcadas e la epresó ateror quedaría:. La fucó ateror, polómca de grado, correspode gráfcamete a ua parábola. Para represetarla es sufcete coocer el vértce los putos dode corta a los ejes de coordeadas. Cálculo del vértce: Al ser el coefcete de egatvo, dca que la parábola es cócava, el vértce está haca arrba, es u mámo. La abscsa del vértce se obtee dervado e gualado a :. Para calcular la ordeada del vértce susttumos este valor de,., e la fucó obteemos..... Es decr, el vértce de la parábola, mámo de la fucó, es el puto de coordeadas.,..

6 Corte al eje de ordeadas:. Corta al eje de ordeadas e el puto (, ), orge de coordeadas. Corte al eje de abscsas: Corta al eje de abscsas e los putos (, ) (, ). Co los datos obtedos es medato dbujar la gráfca:.. c) ( putos) Calcule la dervada de la fucó. Ha que teer e cueta que se trata de dervar ua suma e la que el prmer sumado es ua raíz cuadrada el segudo es u cocete; por tato. ó, ó,

7 EJERCICIO 4 3 a) (6 putos) Dada la fucó f ( ) estude s tee asítotas vertcales u horzotales represete las que esta. Determe també las regoes de crecmeto decrecmeto de esta fucó. Epresemos la fucó ateror como ua fucó racoal, efectuado, para ello, la dfereca 3 3 f ( ). Las asítotas vertcales so rectas co ecuacó de la forma k, sedo k u valor tal que lm f ( ). E uestro caso esta codcó se cumple cuado k, por tato k la recta de ecuacó es ua asítota vertcal. Las asítotas horzotales so rectas co ecuacó de la forma tal que lm f ( ) h. E uestro caso lm f ( ) ha asítota horzotal. lm h, sedo h u valor 3, por lo que o Las asítotas oblcuas so rectas cua ecuacó es de la forma m, sedo m u f ( ) valor dado por lm. 3 f ( ) E uestro caso m lm 3 lm lm =. E cuato a vee dado por f ( ) m lm lm. 3 lm 3 E cosecueca, la asítota oblcua es la recta de ecuacó. 3 lm. La represetacó gráfca de las asítotas equvale, por tato, a la represetacó gráfca de dos rectas cuas ecuacoes so, recta perpedcular al eje de abscsas por el puto (,) e, que es la bsectrz del º 3º cuadrate. La fucó es crecete e aquellos putos dode la prmera dervada es postva, es decrecete e los putos dode esta dervada es egatva; por tato habrá que calcular la dervada de esa fucó estudar el sgo de ésta: f ( )

8 El deomador de esta fraccó, por ser u cuadrado, toma sempre valores postvos (eceptuamos el valor, cuado dode la fucó o es cotua), por tato el sgo de la fraccó será el que tome el umerador. Tratemos de epresar e forma de producto el umerador; para ello calculemos sus raíces: Al resultaros la raíz de u úmero egatvo, que o este e el cojuto de los úmeros reales, podemos coclur que la parábola correspodete a la represetacó gráfca de la fucó del umerador o corta al eje de abscsas por lo que los valores de la fucó so, para cualquer valor de postvos ó egatvos, e uestro caso postvo. E coclusó la fucó es crecete e todo su domo, es decr e el cojuto,,. b) (4 putos) Se laza smultáeamete dos dados cuas caras está umeradas del al 6. Cuál es la probabldad de que la suma de las caras sea? El espaco muestral, resultados posbles, estaría formado por las sguetes 36 parejas de resultados: (,),(,),(,3),(,4),(,),(,6), (,),(,),(,3),(,4),(,),(,6), (3,),(3,),(3,3),(3,4),(3,),(3,6), E (4,),(4,),(4,3),(4,4),(4,),(4,6), (,),(,),(,3),(,4),(,),(,6), (6,),(6,),(6,3),(6,4),(6,),(6,6), Cada uo de estos resultados tee la msma probabldad de obteerse, es decr se trata de resultados equprobables, por lo que la probabldad de que se realce uo cualquera de ellos vale. 36 Nos pde la probabldad de que la suma de las caras sea ; esta suma sólo se preseta cuado se obtee el resultado (6,6), por tato la probabldad de que la suma sea es gual que la probabldad de que se obtega (6, 6), o sea. 36 3

9 EJERCICIO Ua cooperatva acetera quere realzar u estudo sobre la flueca de las campañas publctaras e sus cfras de vetas. Para ello dspoe del gasto destado a publcdad del volume de vetas e los últmos años (ambos e mles de euros): X : gasto e publcdad Y : vetas a) (6 putos) Obtega la ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X. Cuál será el volume de vetas s la versó e publcdad ascedera a 3.8 mles de euros? La ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X tee por epresó _ s r s s _, ó també s dode r es el coefcete de correlacó leal, que vee defdo así s r, s s s es la covaraza, s es la varaza de la varable X, s, desvacó típca de la varable X, es la raíz cuadrada de la varaza s,, por últmo, es la meda artmétca de la varable X. Dspogamos los cálculos ecesaros e forma de tabla: Sumas ; 7. 6 ; s s.4.33 ; 6366 s ; s ; s

10 La ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X es ó e forma eplícta La recta obteda os permte estmar el valor de la varable Y (veta obteda) para valores de la varable X (versó e publcdad). E cocreto, s se verte e publcdad 3.8 mles de euros, = 3.8, la veta estmada sería mles de euros. b) ( putos) Calcule el coefcete de correlacó leal e terprete su valor. r s s s Del valor del coefcete de correlacó leal ha que teer e cueta dos aspectos: su sgo su valor absoluto (el recorrdo de valores de r va desde a +). El sgo os dca s la relacó es drecta (al aumetar ua varable la otra també lo hace) ó versa (s aumeta ua varable la otra dsmue) pero o os dca s la relacó es tesa o débl. La relacó etre las dos varables, drecta o versa, es más fuerte cuato más prómo a es el valor absoluto de r más débl cuato más se acerque a. E uestro caso se trata de ua relacó leal drecta (a más gasto e publcdad más veta) mu tesa.

11 EJERCICIO 6 a) ( putos) E ua cudad se sabe que el % de las persoas so mujeres el 4% so mujeres maores de edad. Asmsmo, el 3% de las persoas de esa cudad so hombres maores de edad. Se elge al azar ua persoa resulta ser maor de edad, cuál es la probabldad de que esta persoa sea, además, mujer? La represetacó, medate la sguete tabla, de la dstrbucó de las persoas de esa cudad os faclta la resolucó. mujeres hombres totales maores 4% 3% 7% meores % % % totales % 4% % El úmero de cada celdlla represeta el porcetaje de persoas que cumple, smultáeamete, la codcó de la fla (maor o meor) columa (mujer u hombre) e la que se ecuetra dcho úmero. Por cosguete, la probabldad de que sea mujer sabedo que es maor de edad es de b) ( putos) E u colego se estuda la dstrbucó de la ota de Matemátcas de sus estudates, resultado ser ua Normal de meda 7. desvacó típca.. Se elge al azar u estudate de ese colego, cuál será la probabldad de que su ota e esta asgatura sea maor que 7.? Sabemos que s la varable X, ota de Matemátcas de los alumos de ese colego, se dstrbue segú ua le Normal de meda 7. desvacó típca., X N(7.,. ), X 7. la varable se dstrbue segú ua varable Normal tpfcada, Z, es decr. N(,), cuos valores vee tabulados. Por lo tato vamos a pasar de la varable X a la Z. Nos preguta la probabldad de que la varable X tome valores maores que 7., es decr X 7..3 PX 7. PX P( ) PZ... P Z