Guía 4 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE

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1 Guía 4 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono CEL Lugar Madrid Cundinamarca Corporación Universitaria Minuto de Dios Rectoría Cundinamarca

2 APLICACIÓNES DE LAS DERIVADAS EN LA SOLUCIÒN DE PROBLEMAS ACTIVIDADES DE INTEGRACION Actividades Individuales El estudiante debe leer los conceptos sobre Derivadas del texto Cálculo, Earl Swokwoski. Cálculo, Louis Leithold. Cálculo Larson. de En la guía pueden leer el texto para apoyase en el diseño del mapa conceptual Tiempo Independiente Tiempo presencial 20 6 Actividades por CIPAS Por CIPAS, los estudiantes construirán un mapa conceptual de los conceptos de derivadas y sus aplicaciones en la Ingeniería. Por CIPAS, solucionaran los ejercicios propuestos en textos y socializaran por parejas dos ejercicios Tiempo Independiente Tiempo presencial 30 4 ACREDITACION DEL NUCLEO PROBLEMICO El estudiante realizará y entregará las actividades independientes y por CIPAS establecidas en las actividades de integración; en la tutoría respectiva de acuerdo a lo pactado en el acuerdo pedagógico. Durante la tutoría, se realizara una sesión de aclaración de dudas y de refuerzo de conceptos del núcleo respectivo. Al finalizar la tutoría de hará una evaluación individual de los procesos desarrollados por el estudiante. ACREDITACION GENERAL DEL CURSO DE CALCULO DIFERENCIAL UNIVARIADO El modelo pedagógico exige de la evaluación un proceso que involucra a estudiantes y tutores, y donde las características de ésta al ser flexible,

3 permanente, sistemática y auto formadora, permiten al estudiante mostrar avances o señales de su aprendizaje durante la actividad tutorial, (60%), y concluir en las convocatorias para completar el resultado académico y cuantitativo de la evaluación del curso, (40%). Por lo tanto, el resultado final será el producto del trabajo del estudiante en el proceso tutorial y de convocatorias. Tanto el proceso tutorial como de convocatorias, involucran de manera estructural la temática desarrollada, donde el estudiante deberá confirmar o alcanzar un desarrollo optimo de los aspectos conceptuales, operativos, gráficos y analíticos de la, enfocadas a problemas de aplicación a la ingeriría. De acuerdo al reglamento estipulado por la Universidad del Tolima y el Instituto de Educación a distancia, el 60% el proceso de la construcción del conocimiento a través del trabajo extra e intratutorial y que en este caso será: INTRODUCCIÓN El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer. 1. Tasa de variación media Incremento de una función Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función. Tasa de variación media Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir: T.V.M. [a, b] = Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x 2 en el intervalo [0,2] Solución

4 T.V.M. [0, 2] = Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2. 2. Tasa de variación instantánea. La derivada Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería. Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir: A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0. = Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a. Observación 1. Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a, también puede expresarse así: Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x 2 +4x el punto de abscisa x =1. Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f + y f - (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable. y 1. Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función en x =0 son 1 Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0. Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso. Ejemplo 2. es continua en 0, pero no es derivable en 0. Aplicación física de la derivada Consideremos la función espacio E= E(t).

5 La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t 0, t] es: v M (t)=, que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t 0, obtenemos la tasa instantánea, entonces: La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea. Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es,, calcula la velocidad en el instante t =5. Solución v(t)=e (t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= =4 3. Interpretación geométrica de la derivada La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h. Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto: La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a)) La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar y - f(a) = f (a)(x-a). Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f (a) Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x 2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y 3 = 2(x-1) Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x 2 -x +5 en el punto de abscisa x=0 Ejercicio 5. Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax 2 +5x 1 sean paralelas en x = 1. Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente 4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas La función derivada La función que a cada que a cada x le hace corresponder f (x) se llama la función derivada de f y se denota por f. Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

6 1) f(x) 2) f(x) = x n n-1 3) f(x) = f (x) = 4) f(x) = ln x f (x) = 5) f(x) = e x x 6) f(x) = sen x f (x) = cos x 7) f(x) = cos x f (x) = -sen x Reglas de derivación Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica: -(f +g) = f (a) + g (a) -(f.g) (a) = f (a).g(a) + g (a).f(a) Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica - Ejercicio 6. Calcula la derivada de: a) f(x) = e x (x 2-3x + 2); b) c) h(x) = tan x; d) Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta: a) f(x)= Observación: la gráfica de esta función es: b) y = c) g(x)=

7 Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación. Observación. Si f se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ) = f, que se llama derivada segunda, y f, f v que se dice son las derivadas sucesivas de f. Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e x ; b) g(x) = ; c) h(x)= sen x. Regla de la cadena Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f g es derivable en a y se verifica: (f g) (a) = f (g(a)).g (a) Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función) Derivación logarítmica Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica. Método: Sea 1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos) 2º Se deriva 3º Se despeja y [ ] [ ] que puede escribirse : Observación. La fórmula por ser muy compleja [1] no suele aplicarse es preferible aplicar el método en cada ejercicio. Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:, y derivando los dos miembros de la igualdad Derivada de la función inversa y =x x (ln x +1)

8 Es otra aplicación de la regla de la cadena. Como f f -1 = I, se tiene (f f 1 ) (x)= f (f 1 (x))(f 1 ) (x)=1, luego despejando (f 1 ) (x)= 1/f (f 1 ) (x), Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x x = 1 +tg 2 y, de donde: x = tg y, y derivando Ejercicio 9. Calcula la derivada de Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio) Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f(x)= ; b) ; c) y = ; d) h(x) =cos 3 (x 2-2); e) y =e arc tg x ; f) j(x) =arc sen(x + 3x 2 ) g) y = ; h) k(x) =(x 2 +1) cos x ; j) y = ln ; k) y = ; 5.Crecimiento y decrecimiento de una función Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f (a)>0 entonces f es creciente en el punto a. Figura 1 La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1). Si f es derivable en un intervalo I y f >0 en ese intervalo entonces f crece en I. El recíproco no se cumple en general. Ejemplo 5. La función y =x 3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f (0) =0.

9 Análogamente si f es derivable en un punto a y f (a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f <0 en todo un intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1) 6. Máximos y mínimos relativos (o locales) de funciones derivables Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo. Figura 2 Condición necesaria de extremo Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f (a)=0. Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f (a)>0 entonces por la proposición anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo. La condición no es suficiente. Ejemplo 6. La función y =x 3 es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin embargo f (0)=0. Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es cero (condición necesaria f (0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2. f <0 =0 >0 hay mínimo relativo en (a, f(a)) Si a f mínimo f > =0 < a hay máximo relativo en (a, f(a)) f máximo Si

10 Ejercicio 9.Dada la función se pide estudiar el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos. Condición suficiente de extremo Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f (a)=0: a) Si f >0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a. b) Si f <0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a. Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones derivables. Se presentarán en tablas estos resultados: f(x) Crece Máximo Decrece f '(x) f ''(x) f(x) Decrece Mínimo f '(x) f ''(x) + Crece Ejercicio 10. Descomponer un número N en dos sumandos x e y de tal manera que x 2 +6y sea mínimo. Nota [2]. Cuando busquemos los extremos absolutos de la función f, si esta es continua en un cerrado y derivable en el abierto, buscaremos los valores en que la derivada es cero y los compararemos con los de los extremos, el valor mas grande será el máximo y el más pequeño el mínimo. Ejercicio 11. Se considera la función f(x) =x 3 3x definida sobre el intervalo [- 2,2], se pide hallar los puntos donde f alcanza máximo absoluto. Ejercicio 12. Entre todos los rectángulos de 20cm de perímetro halla el que tiene diagonal mínima. 7. Algunas precisiones sobre los extremos de funciones OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x 0, significa que existe un intervalo (x 0 - r, x 0 + r) tal que f(x) f(x 0 ) para todo x perteneciente al conjunto (x 0 - r, x 0 f. Análogamente para mínimo local. Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el dominio de f, D f, es esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos por el teorema de Weiertrars que los posee incluso absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio. OBSERVACIÓN 2. No se deben asociar tanto los extremos locales a las derivadas, ya que éstos pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable.

11 Ejercicio 13. La función: Cuya gráfica se adjunta (su dominio es [-2,3]) Figura 3 Tiene extremos locales? tiene extremos absolutos?. En caso afirmativo en qué puntos se alcanzan?. Razonas la respuestas. Si no tuvieras las gráficas cómo les localizarías? Teniendo expuesto anteriormente deduce razonadamente como se pueden calcular los extremos (absolutos y relativos) de una función. Ejercicio 14. Calcula los extremos (indica si son absolutos o no) de las siguientes funciones, en caso de que existan: a) f(x)=-x 3 +3x; b) ; c) d) e) 8. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Una función es convexa [3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a, tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es positiva en dicho intervalo. Figura4 Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa. Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha.

12 Por lo tanto f tiene un punto de inflexión en a si en dicho punto la tangente atraviesa a la gráfica. Ejemplo 7. En la gráfica aparece la función y = x 3 y la tangente en el punto x =0. Se aprecia que en dicho punto la gráfica posee una inflexión. Figura 5 Proposición. Si la función es derivable en a y f (a)>0 se verifica que f es convexa en a. Análogamente si f es derivable en a y f (a)<0 se verifica que f es cóncava en a. Criterio práctico. Para calcular los puntos de inflexión se halla la derivada segunda de f, se igual a cero y se resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y si cambia la curvatura hay punto de inflexión. f (x) f (x) Convexa P.inf Cóncava Ejemplo 8. En la gráfica de la figura se aprecia que la función es cóncava en el punto 1 es convexa en el punto 3/2 y tiene un punto de inflexión en el 0: Ejercicio 15. Dada la función inflexión. estudia la curvatura y los puntos de 9. Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones

13 El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta: I) Estudio de f (resumen) 1º Dominio de f. 2º Puntos de corte con los ejes. 3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo). 4º Simetrías. - Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas. - Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas - Verticales Si existe a tal que vertical. - Horizontales, x =a es la ecuación de una asíntota Si - Oblicuas, y =b es una asíntota horizontal. Si y, y =m x +n es una asíntota oblicua. II) Estudio de f (resumen) 1º Crecimiento y decrecimiento. Si f (x)>0, f es creciente. Si f (x)<0, f es decreciente. 2º Máximos y mínimos relativos Condición necesaria de máximo y mínimo es que f (x)=0. III) Estudio de f (resumen) 1º Concavidad y convexidad, f 2º S i f (x 0 ) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión. Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función I) Estudio de f 1º D =R 2º Puntos de corte, el (0, 0) 3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0 4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen. 5º Asíntotas. No hay verticales por que el dominio es todo R Horizontales y =0 No hay oblicua. II) Estudio de f -x 2 +1=0, de donde x = 1 x

14 f '(x) f(x) Máximo Decrece Mínimo Crece Decrece 1º f decrece en los intervalos ]-, -1[ y ]1, [ y crece en ]-1, 1[ 2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto (1, 1/2). III) Estudio de f f (x)= = x f f inflexión inflexión inflexión En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión La gráfica es: Ejercicio 16. Representar las gráficas de las siguientes funciones: a) ; b) ; c) Ejemplo 9. La gráfica de y = ln (x 2 +1) es:

15 Ejemplo 10. La gráfica de y =ln (x 2-1) Ejercicio 17. Representa gráficamente: a) y = x e x ; b). 10. Aplicaciones de las derivadas a la resolución de problemas de máximos y mínimos (Incluimos los propuestos en selectividad ) Problema 1. Nos dicen que la función f(t) = t -2 es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país, cuando 0. Determinar el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo. Problema 2. Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado durante el primer año viene dado por la función v(t)=t 2-6t+10. Explique razonadamente en qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio mas ventajoso. Problema 3. La velocidad (en m./sg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dado en función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión: f(x) = x (x-300) Deducir de forma razonada: Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? cuál es ésta velocidad? Problema 4. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por C(x) =. Definir la función que determina el coste medio por litro producido y determinar de forma

16 razonada con qué producción dicho coste medio será mínimo. cuál es el valor de dicho coste? Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x) =2x 2-12x +23, donde f indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada: a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo. c) Dichos consumos. Problema 6. El rendimiento, f(t), en un examen que dura una hora en función del tiempo t viene dado por, Deducir razonadamente: a) Cuándo el rendimiento es nulo. b) Cuándo el rendimiento es máximo. c) Cuándo el rendimiento es creciente y cuándo es decreciente. Problema 7. En una pradera se tiene que vallar una zona de 400 m 2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100. Si x es la medida en metros de uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x. b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo. SI QUIERES PROBLEMAS RESUELTOS VISITA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Otros problemas del tema (derivadas) propuestos en selectividad 1. La función f(t)= 2`1t 2 + 0`8 t-1, para, donde el tiempo, t, viene expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t =0) y 2000 (t =9). a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo. b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de los últimos años. c) Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos últimos años? 2. Mediante la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con su crecimiento o decrecimiento, obtener en qué puntos del intervalo [-2, 2] son crecientes o decrecientes las funciones: a) f(x) = x 2 b) f(x) =x Obtener la derivada de la función en el punto de abscisa x = 4. Explicar lo que significa el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa de variación instantánea en el punto de abscisa x = 5.

17 c) Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos últimos años? Problemas propuestos 1. A un vendedor de ordenadores le cuesta ptas. cada modelo de la marca PCHE-COMPR. Ha comprobado que al precio de ptas. unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que por cada 2000 ptas. de descuento en el precio puede vender 3 unidades más al mes. Hállese a que precio debe venderlos para obtener el máximo beneficio posible. 2. Se define una función del modo siguiente: F(x)= a) Hallar el dominio de definición. b) Determinar la función derivada y dar su dominio. 3 Estudiar los máximos y mínimos de la función: y = los posee absolutos? 4. Representación gráfica de 5. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de viene dada en función de la cantidad que se invierta x, en miles de por medio de la siguiente expresión: R(x)= -0,001x 2 +0,5x+2,5 a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a un cliente en dicho plan.(en soluciones gráficas es el 11) b) Qué cantidad obtendría? 6. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es: y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4) Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo. (en soluciones gráficas es el 12) 7. En 1980 se fundó una asociación ecologista. Se sabe que el número de sus miembros ha variado con los años de acuerdo con la función. N(x) = 50(2x 3-15x x + 2) a) Cuántos fueron los socios fundadores? b) En qué períodos de tiempo aumenta el número de socios? (en soluciones gráficas es el 14)

18 8. Dada la función y =, se pide: a) Representarla gráficamente. b) Ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x =1. c) Hallar sus máximos y mínimos relativos. 9. Hallar a y b para que la función f(x)=x 3 + ax +b tenga un máximo en el punto (1,1) 10. Estudia y representa Gráficas de ejercicios propuestos. y= y= y=

19 y= y = Gráfica de ejercicio 2 y=2.e -x

20 g(x) = Soluciones gráficas de problemas de optimación Solución gráfica del problema 1 B(x)= ( x)(30 3x)

21 Solución gráfica problema 11. Solución gráfica del problema 12. B(x)=(50-x/4)x ((1/4)x x + 25) Solución gráfica problema 14

22 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad. Solución a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece Procedimiento: -Se deriva la función: R`(x)=-0,004x+0,8 -Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta: R`(x)=0,

23 -Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico: f f se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R (100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R (300)=-0,4<0 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200) 2 +0, =75 euros Solución gráfica 5. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t 2 +t 3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Solución Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero. V (t)= 15-18t+3t 2, igualando a 0, 3t 2-18t+15=0 Simplificando t 2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1. Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars). Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t 3-9t 2 +15t+40 V(0)=40 V(5)= =15

24 V(1)= = 47 V(6)= =22 La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V (t)=3t 2-18t V Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5) Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido. 6. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).e x, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? Se detuvo alguna vez? SOLUCIÓN Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer) La derivada es: v (x)=-1.e x + e x.(2-x)= -e x + 2 e x - x.e x = e x - x. e x, sacando factor común e x se llega a: v (x)=((1-x)e x

25 Igualando a 0 nos da (1-x).e x =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q e x nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1 v y crece decrece Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)e x v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo. LA GRÁFICA: (No es necesaria la gráfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace, vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2) 7. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión Se pide: a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua? c) Cual fue esa cantidad máxima? Solución Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente: Si, su derivada es f (t)= Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6

26 Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo) f + - Crece hasta el 6 y decrece desde el 6 Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene: a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6 b) en t =6 c) f(6)=10/1=10 NOTA IMPORTANTE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS CASI NUNCA ES ACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR. 8. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible Solución Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x a) Definimos f(x, y)= x 2 + y 2, como y= 36 x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x 2 +(36-x) 2, y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables. Derivando: f (x) = 2x-2(36-x), de donde f (x) = 4x-72 Para que f tenga un mínimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 y despejando x= 18 f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36) 2 >f(18)=2.(18) 2 por lo tanto en x=18 tiene el mínimo absoluto. La gráfica es:

27 Observación: Otra forma de justificar que el mínimo es absoluto, es diciendo que la función f es cuadrática. Por lo tanto en la abscisa del vértice se alcanza su mínimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal. b) Teniendo en cuenta que y= 36 x, tenemos h(x)=, derivando:, h (x)=0, elevando al cuadrado ambos miembros y operando se llega a que x=18. La función h está definida en el intervalo [0, 36], luego el máximo lo tendrá en 18 pues: f(18)= lo alcanza en 0 y 36), y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible la gráfica es: (Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el cálculo de los extremos absolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: toda función continua definida en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo )

28 BIBLIOGRAFIA: Allendoerfer - Oakley, Carl B. - Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Editorial Mc-Graw Hill. Santafé de Bogotá D.C Caps. 12, 13 y 14. Larson Hostetler, Roland-. Cálculo. Editorial Mc-Graw-Hill Cáp. 2, 3, 4 y 5. Garcés Toro, Carlos; y otros. Calculo Diferencial y calculo Integral. Universidad del Tolima. IDEAD. Edición 2003.

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