GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

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1 VERSIÓN:.0 FECHA: I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura: Matmáticas ESTÁNDAR: Analizo las rlacions y propidads ntr las prsions algbraicas y las gráicas d uncions polinómicas y racionals y d sus drivadas. Modlo situacions d variación priódica con uncions trigonométricas intrprto y utilizo sus drivadas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Aplica las rglas d drivación para calcular la drivada d uncions compustas y rsulv problmas qu involucran la variación mdia y variación instantána d una unción. EJE(S) TEMÁTICO(S): DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS, POLINÓMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA Cada acción gnra una urza d nrgía qu rgrsa a nosotros d igual manra Coschamos lo qu smbramos. Y cuando optamos por accions qu producn algría y éito a los dmás, l ruto d nustro karma s también algría y éito. L atntamnt la guía. Sigu las instruccions dl docnt. Rsulv las actividads n l cuadrno. Aclara tus dudas. ORIENTACIONES EXPLORACIÓN Encuntra 5 dirncias n l dibujo: CONCEPTUALIZACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCION.- Introducción.

2 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: d 9 S abr aquí l studio d uno d los concptos undamntals dl cálculo dirncial: la drivada d una unción. En st tma, admás d dinir tal concpto, s mostrará su signiicado y s hallarán las drivadas d las uncions más usuals. Es d mucha importancia dominar la drivación para dspués podr abordar l trazado d curvas, así como para comprndr la utilidad dl cálculo intgral, qu s studiarán a continuación. La noción d drivada s históricamnt antrior al concpto d límit aunqu actualmnt s studi aquélla inmdiatamnt dspués d ést, por razons qu srán ácilmnt comprnsibls. La drivada d una unción n un punto 0 surg dl problma d calcular la tangnt a la gráica d la unción n l punto d abscisa 0, y u Frmat l primro qu aportó la primra ida al tratar d buscar los máimos y mínimos d algunas uncions. En dichos puntos las tangnts han d sr parallas al j d abscisas, por lo qu l ángulo qu orman con ést s d cro grados. En stas condicions, Frmat buscaba aqullos puntos n los qu las tangnts uran horizontals DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Sa una unción y = () y 0 un punto dl j X. Si s toma un punto 0 + h muy próimo a 0 (h s un númro ininitamnt pquño), a mdida qu s hac tndr h a cro, la rcta scant (n rojo d la igura) qu un los puntos ( 0, ( 0 ) ) y ( 0 + h, ( 0 + h) ), tind a conundirs con la tangnt (n azul d la igura) a la curva n l punto ( 0,( 0 )). qu dtrmina la tangnt con s mismo j, n l triángulo rctángulo d vértics ( 0,( 0 )), ( 0 + h,( 0 + h)) y ( 0 + h,( 0 )), s vriica: Al hacr tndr h a cro, y pusto qu la scant tind a conundirs con un sgmnto d la tangnt, s dcir, si miras la igura, al hacr qu h tinda a cro la lína roja s acrca a la lína azul por lo qu: tg a h tind a tg a, s dcir, a la pndint d la tangnt a la curva n l punto ( 0,( 0 )). Esto s prsa matmáticamnt así: NOTA: Es important qu ntindas sto, pus s l núclo por l qu dspués ntndrás otros concptos, si no s así, dímlo Drivada d una unción n un punto Dada una unción y = (), s llama drivada d la unción n un punto 0 al '( 0 ) ( prima d quis sub-cro) o por D((0 )): Cuando st límit ist (y s inito) s dic qu la unción () s drivabl n l punto 0. Signiicado d la drivada

3 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: d 9 Pusto qu la drivada d la unción n un punto 0 no s otra cosa qu la pndint d la tangnt a la curva (gráica d la unción) n ( 0,( 0 )). Calcular la drivada d la unción () = + 5 n l punto d abscisa = 1. Rsolución: S pid l valor d '(1) (n st caso, 0 = 1). Por tanto, '(1) =. Calcular la drivada d la unción () = n l punto. Rsolución: (conjugado dl numrador) Rcordando qu suma por dirncia s igual a la dirncia d los cuadrados: Ejrcicio: cálculo d la cuación d la tangnt a una unción n un punto Calcular la cuación d la tangnt a la curva () = n l punto d abscisa. Rsolución: La tangnt pasa por l punto (, ()) = (,4). La pndint (m) d la tangnt a la curva n l punto d abscisa s, por dinición, '(), lugo la cuación d la rcta s d la orma y - y 0 = m ( - 0 ) y - 4 = '() ( - ). La cuación d la tangnt s ntoncs y - 4 = 4( - ) y - 4 = y - 4 = 0. DEFINICIÓN DE DERIVADA La drivada d la unción () s din mdiant l límit: '( ) h0 ( h) h ( )

4 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 4 d 9 1. Utilic la dinición d drivada para hallar la drivada d la siguint unción: DERIVADAS ELEMENTALES ( ) 5 1. Si ) k. Si ). Si ( ntoncs '( ) 0 ( ntoncs '( ) 1 n ( ) ; n1 '( ) n ( ) ; 1 '( ) ( ) b ; '( ) b ln( b) 4. Si 5. Si 6. Si ( ) ; '( 7. Si ( ) log b ( ) ; 8. Si ( ) ln( ) ; ALGEBRA DE LAS DERIVADAS 1. Drivada d una suma ( dirncia ) ) 1 '( ) ln( b) 1 '( ) ( ) g( ) ' '( ) g'( ). Drivada d un producto ( ) g( ) ' '( ) g( ) ( ) g'( ). Drivada d una división ( ) ' g( ) '( ) g( ) g( ) ( ) g'( ) OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA dy (1) y, la driva d () s pud anotar d las siguints ormas: '( ) ( ) d Si () CRECIMIENTO Si s drivabl n a: DECRECIMIENTO Si s drivabl n a: MÁXIMOS LOCALES Si y ' son drivabls n a, a s un máimo rlativo o local si s cumpl: 1. '(a) = 0. ''(a) < 0 MÍNIMOS LOCALES Si y ' son drivabls n a, a s un mínimo rlativo o local si s cumpl: 1. '(a) = 0. ''(a) > 0 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Y OPTIMIZACIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un ondo d invrsión gnra una rntabilidad qu dpnd d la cantidad d dinro invrtida, sgún la ormula: R()= dond R() rprsnta la rntabilidad gnrada cuando s invirt la cantidad. Dtrminar, tnindo n

5 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 5 d 9 cunta qu disponmos d 500 uros: a) Cuando aumnta y cuando disminuy la rntabilidad b) Cuanto dinro dbmos invrtir para obtnr la máima rntabilidad posibl. c) Cual srá l valor d dicha rntabilidad. Solución a) La drivada primra nos da l crciminto o dcrciminto d la unción. Si la drivada s positiva la unción crc y si s ngativa dcrc Procdiminto:-S driva la unción: R`()=-0,004+0,8 -S iguala a 0 y s rsulv la cuación qu rsulta: R`()=0, -S studia l signo d la drivada a la drcha izquirda d los valors qu nos ha dado 0 la drivada (n st caso =00). Hay varios métodos, uno muy mcánico: s cog un punto mnor qu 00, por jmplo 100, y sustituimos R (100)=0,4>0 y n otro mayor qu 00 (por jmplo 00) R (00)=-0,4<0 Entoncs la drivada s positiva n l intrvalo (0, 00), y s crcint n s intrvalo y s dcrcint n (00, 500) ya qu n s intrvalo nos ha dado ngativa la drivada. Lo qu nos dic también qu n punto 00 hay un máimo local b) Tnindo n cunta l apartado a dbmos invrtir 00 uros. c) La máima rntabilidad s R(00)= -0,00.(00) +0,8.00-5=75 uros Solución gráica. La virulncia d cirta bactria s mid n una scala d 0 a 50 y vin prsada por la unción V(t)= 40+15t-9t +t, dond t s l timpo(n horas) transcurrido dsd qu cominzo n studio (t=0). Indicar los instants d máima y mínima virulncia n las 6 primras horas y los intrvalos n qu sta crc y dcrc. Solución Para qu la unción tnga un máimo o un mínimo la drivada db sr cro. V (t)= 15-18t+t, igualando a 0, t -18t+15=0 Simpliicando t -6t+5=0, cuyas solucions son 5 y 1. Ahora voy a vr quin s l máimo y quin l mínimo d la unción, n l intrvalo [0, 6], qu tin qu star ntr stos dos valors junto o n los trmos dl intrvalo (por l torma d Wirtrars). Ordnamos la unción V por comodidad, V(t)= t -9t +15t+40 V(0)=40 V(5)= =15 V(1)= = 47 V(6)= = La máima virulncia s a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para vr los intrvalos d crciminto y dcrciminto studiamos l signo d la drivada: V (t)=t -18t V Lugo V crc dsd 0 a 1 y dsd 5 a 6, (crc n (0, 1) unión (5, 6) ) y dcrc n l intrvalo (1, 5) Obsrvando la gráica d sta unción vmos lo q hmos dducido.

6 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 6 d 9. Un coch d comptición s dsplaza a una vlocidad qu, ntr las 0 y horas, vin dada por la prsión v()= (-)., dond s l timpo n horas y v() s a vlocidad n cintos d kilómtros. Hallar n qu momnto dl intrvalo circula a la vlocidad máima y calcular dicha vlocidad. En qu priodos gano vlocidad y n cuals rdujo? S dtuvo alguna vz? SOLUCIÓN Nos pidn q studimos l crciminto y dcrciminto y l máimo d la unción vlocidad v. Por so utilizamos la drivada, ya qu sabmos (por toría) qu si la drivada da positiva la unción crc y si da ngativa dcrc. También sabmos qu, la unción tin un máimo rlativo n un punto, si la drivada, n s punto, s 0 (condición ncsaria) y admás cambia l crciminto (s dcir pasa d crcr a dcrcr) La drivada s: v ()=-1. +.(-)= = -., sacando actor común s llga a: v ()=((1-) Igualando a 0 nos da (1-). =0, d dond 1- =0 y por tanto =1, (ya q nunca pud sr cro) Estudiamos v n los alrddors d 1 v y crc dcrc Por lo tanto n =1 hay máimo y la unción crc d 0 a 1 (gana vlocidad) y dcrc d 1 a (rduc vlocidad), vamos los valors n s punto y n l trmo: v()= (-) v(1)=(-1). = (aquí l máimo como justiicamos ants) v(0)=(-0).1= v()=(-).1=0 como da la vlocidad 0 aquí s dtuvo. LA GRÁFICA:

7 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 7 d 9 (No s ncsaria la gráica solo la pongo para ayudar a ntndr lo qu s hac, vmos qu pasa justo lo qu hmos dducido ntr 0 y ) ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN 1) utiliza l concpto d drivada para hallar la drivada d: a) ( ) 5 b) ( ) 4 6. Dtrmin la drivada d las siguints uncions: 5 a) ( ) b) ) ( ) g). Dtrmin la drivada d las siguints uncions: a) ( ) 5 ( ) c) ( ) d) ) ( ) ( ) h) ( ) ln( ) i) ( ) log( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 1 d) ) 4 ) 4. Dtrmin la drivada d las siguints uncions: a) ( ) ( ln( ) ) ( ) c) ( ) b) ( ) ln( ) ( ) 5. Dtrmin la drivada d las siguints uncions: a) (t) = ( t +1) t + t +1 ( ) b) (z) = 1 z - 1 d) () = ) () = dy 6. En cada caso, dtrmin : d a) y 6 b) y a b c d) y ) 4 ( ) d) ( ) z c) (t) = ) ln( ) t - 1 t + t + 1 ) () = ) y c) y ln 6 y log ln( ) ( ) )

8 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 8 d 9 7. Dtrmin la drivada d las siguints uncions: ( ) 6 b) () = ( +1) -5 c) ( ) () = + d) () = +1 ) (t) = t + 1 t Dtrmin la drivada d las siguints uncions: a) ) 6 ( ) b) ( w) w 6w 5t ( t) c) ( ) 9. Dtrmin la drivada d las siguints uncions: 1 u b) u) ln 1 u a) ( ) ln( 4) d) ( w) ln 1 w d) 1 ) (u) = ( u + 1) u ( u) ) u ( c) ( t) t 1 lnt 1 ) ( ) log 4 ) ( ) 10. Dtrmin la drivada d las siguints uncions: c) a) () = + ln +1 ( ) b) (t) = t t 5 + ln( ) ( ) d) (u) = ln( u + u ) 11. En cada caso, dtrmin 5 a) 1 d d y y y b) y ln c) y d) y 1. Aplicando la Rgla d L hopital calcul los siguints límits: d d ) y : b) d) ln( 1) SOCIALIZACIÓN log ( ) 8 5 Rsolvr algunos jrcicios n l tablro para aclarar las dudas prsntadas. COMPROMISO Ralizar todos los jrcicios d apropiación n l cuadrno y prparar con timpo las valuacions. PROBLEMAS DE APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA 1La rlación ntr la distancia rcorrida n mtros por un móvil y l timpo n sgundos s (t) = 6t. Calcular: 1 la vlocidad mdia ntr t = 1 y t = 4. La vlocidad instantána n t = 1. Dbido a unas pésimas condicions ambintals, una colonia d un millón d bactrias no cominza su

9 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 9 d 9 rproducción hasta pasados dos mss. La unción qu rprsnta la población d la colonia al variar l timpo (prsado n mss) vin dada por: S pid: 1. Vriicar qu la población s unción continua dl timpo.. Calcular la tasa d variación mdia d la población n los in trvalos [0, ] y [0, 4].. Calcular la tasa d variación instantána n t = 4. Una población bactriana tin un crciminto dado por la unción p(t) = t², sindo t l timpo mtido n horas. S pid: 1. La vlocidad mdia d crciminto.. La vlocidad instantána d crciminto.. La vlocidad d crciminto instantáno para t 0 = 10 horas. 4La cuación d un moviminto rctilíno s: (t) = t³ 7t. En qué momnto la vlocidad n nula? Hallar la aclración n s instant. 5La cuación d un moviminto circular s: φ(t) = t². Cuál s la vlocidad y la aclración angulars al cabo d sit sgundos? 6Un obsrvador s ncuntra a 000 m d lanzaminto d la torr d un coht. Cuando ést dspga vrticalmnt mid la variación d l ángulo Φ(t) qu orma la lína visual qu l un con l coht y la dl sulo horizontal n unción dl timpo transcurrido. Sabindo qu Φ'(t) = Π/, s pid: 1. Cuál s la altura dl coht cuando Φ = Π/ radians?. Cuál s la vlocidad dl coht cuando Φ = Π/ radians? 7S bomba gas a un globo sérico a razón d 6m /min. Si la prsión s mantin constant. Cuál s la vlocidad con la qu cambia l radio dl globo cuando l diámtro mid 10 cm? 8 Cuál s la vlocidad qu llva un vhículo s muv sgún la cuación (t) = t n l quinto sgundo d su rcorrido? El spacio s mid n mtros y l timpo n sgundos. 9 La cotización d las ssions d una dtrminada socidad, suponindo qu la Bolsa unciona todos los días d un ms d 0 días, rspond a la siguint ly: C = Dtrminar las cotizacions máimas y mínima, así como los días n qu ocurriron, n días distintos dl primro y dl último.. Dtrminar los príodos d timpo n l qu las accions subiron o bajaron. 10. Supongamos qu l rndiminto r n % d un alumno n un amn d una hora vin dado por: r = 00t (1 t). Dond 0 < t < 1 s l timpo n horas. S pid: 1. En qué momntos aumnta o disminuy l rndiminto?. En qué momntos l rndiminto s nulo?. Cuando s obtin l mayor rndiminto y cuál s? ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES Aura Alandra Urib Rozo Aura Alandra Urib Rozo CARGO Docnts d Ára J d Ára Coordinador Académico