Matemática 2 MAT022. Clase 4 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María. Sistemas de Ecuaciones. logo.

Transcripción

1 Matemática 2 MAT022 Clase 4 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María

2 Tabla de Contenidos Sistemas de Ecuaciones 1 Sistemas de Ecuaciones

3 Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 σ :.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Usando matrices, el sistema σ se puede escribir como AX = B, en donde: a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A =......, X = x 2. y B = b 2.. a m1 a m2 a mn x n b m

4 Son sistemas de ecuaciones sobre R las siguientes expresiones: 2x y + z = 1 x + y + z = 2 x + 2y z = 3 De qué orden son los sistemas anteriores? ; x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 1 x 1 x 2 + x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 Definición Considere un sistema σ : AX = B, con A M m n (R) y B M m 1 (R). Una matriz X 0 M n 1 (R) se dice solución del sistema σ si: AX 0 = B

5 Verifique que la solución general del siguiente sistema 3 4 sobre R: x y = 0 σ : z + 3w = 0 2x + 2y 3z 9w = 0 es el conjunto: S = y w : y, w R. Observe que la solución depende de dos parámetros Cuál es la relación entre estos parámetros y la matriz escalonada reducida por filas asociada a la matriz de coeficientes de σ?

6 Definición Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solución. Si el sistema no tiene solución, diremos que es incompatible. Es compatible el siguiente sistema de ecuaciones en R? Justifique. x y + z = 1 x + y z = 1 x + y + 2z = 2

7 Definición Sea A M m n (R). El sistema AX = 0 se llama homogéneo. Teorema 1. Todo sistema homogéneo es compatible. 2. Si A y B son matrices equivalentes por fila, entonces AX = 0 y BX = 0 tienen las mismas soluciones.

8 Definición Sea σ : AX = B un sistema de ecuaciones lineales de orden m n. Se define la matriz ampliada asociada al sistema σ como la matriz (A B) de orden m (n + 1) que se obtiene al agregar la columna B como última columna de la matriz A. Para resolver un sistema de ecuaciones σ : AX = B utilizamos OEF sobre la matriz ampliada (A B). Hallar la matriz ampliada del sistema siguiente: x y + z = 1 x + y z = 1 x + y + 2z = 2

9 Definición Sean σ 1 y σ 2 dos sistemas de ecuaciones de orden m n sobre K. Diremos que σ 1 es equivalente con σ 2 si tienen exactamente las mismas soluciones. Anotamos σ 1 σ 2. Teorema (Gauss Jordan) Sea σ 1 : AX = B un sistema de ecuaciones lineales de m n con coeficientes en K, entonces: σ 1 σ 2 AX = B E A X = B (A B) F (E A B ) en donde B es la matriz equivalentes por filas con B que se obtiene al aplicarle todas las OEF que transforman A en E A.

10 1. En el diagrama anterior, los sistemas σ 1 y σ 2 son equivalentes. 2. El diagrama anterior se conoce como proceso de Gauss-Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Resuelva, de ser posible, el siguiente sistema: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 1 x 1 x 2 + x 3 x 4 = 2 x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 0

11 Teorema Sea A M m n (R) y B M m 1 (R): 1 El sistema AX = B es compatible si y solo si ρ(a) = ρ(a, B). 2 Sea AX = B un sistema compatible. 1 Si ρ(a) = ρ(a, B) = n (número de incógnitas), entonces el sistema tiene solución única. 2 Si ρ(a) = ρ(a, B) < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Tiene infinitas soluciones el sistema σ? x y + z = 1 σ : x + y z = 1 x + y + 2z = 2

12 Sean a, b R. Considere el sistema de ecuaciones lineales de 4 4 siguiente: x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 = 1 x 1 + 3x 2 + x 3 + (3 a)x 4 = a x 1 + x 3 + (a + 5)x 4 = b x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2a + 4 Entonces, hallar los valores de a y b tales que: 1 El sistema no tenga solución. 2 El sistema tenga infinitas soluciones. Calcule, además, el conjunto solución. 3 El sistema tenga solución única. Determine dicha solución para el caso a = b = 1.