Probabilidad. Probabilidad

Transcripción

1 Espacio muestral y Operaciones con sucesos 1) Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene muchos, descríbelos y di el número total. a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número b) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de cada una d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras 2) Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son ( 1,C ), a) Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta. Sean los sucesos: A=Sac ar uno o dos en el dado B=Sacar+ en la moneda D= b) Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos c) Halla A B, A B, A D ' 3) A, B y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función de ellos los sucesos: a) Se realiza alguno de los tres b) No se realiza ninguno de los tres c) Se realizan los tres d) Se realizan dos de los tres e) Se realizan, al menos, dos de los tres 4) Considera la experiencia lanzar un dado. A partir de los conjuntos A={ 1,2,3,4 }, B {1,3,5 }, C={ 2,4 } a) Obtén los conjuntos A B, A B, A ' y B'. b) Obtén los conjuntos ( A B ) ', ( A B ) ', A ' B ', A ' B ', y comprueba que se cumplen las leyes de Morgan (propiedades de las operaciones con sucesos). c) Calcula B C y B C, y razona los resultados. Propiedades de la probabilidad 5) Para ganar una mano de cartas debemos conseguir o bien AS o bien OROS. Qué probabilidad tenemos de ganar? 6) Conocemos las siguientes probabilidades: Calcula: 1

2 7) De dos sucesos conocemos: Calcula P [ B ] y P [ A ] Cálculo de probabilidades Ley de Laplace 8) En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula la probabilidad de que la primera bola extraída: a) Sea un número de una sola cifra b) Sea un número múltiplo de 7 c) Sea un número mayor que 25 9) Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 verdes. Hacemos 2 extracciones con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos verdes b) Ninguna verde c) Una verde Repite el problema con extracciones sin reemplazamiento. 10) Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que sea: a) REY o AS b) FIGURA y OROS c) NO SEA ESPADAS 11) Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de unos de ellos). a) Completa la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5 y 6 b) Halla la probabilidad de A :nº par, los sucesos B: nº menor que 4, A B 12) Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos dados correctos? 13) Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de sus puntuaciones sea 2? 14) Lanzamos un dado chapucero mil veces. Obtenemos f ( 1 ) =117, f ( 2 ) =302, f ( 3 )=38, f ( 4 ) =234, f ( 5 )=196 y f ( 6 )=113. Estima las probabilidades de las distintas caras. Cuáles son las probabilidades de los sucesos PAR, MENOR QUE 6, { 1,2 }? 2

3 condicionada 15) Extraemos dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que ambas sean copas 16) Tenemos dos barajas españolas y extraemos un naipe de cada una. Cuál es la probabilidad de obtener dos copas? 17) Extraemos tres cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que las tres sean figuras (S, C, R). 18) Extraemos dos cartas de una baraja española. Cuál es la probabilidad de que alguna de ellas sea AS? Cuál es la probabilidad de que solo una de las dos sea AS? Tablas de contingencia 19) En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos así: Llamamos A chicas, O chicos, G tienen gafas, no G no tienen gafas Calcula: a) P [ A ], P [ O ], P [ G ] y P [ no G ] b) Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y no G, A/G, G/A, G/O 20) En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. a) Haz con los datos una tabla de contingencia b) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume: P [ H y no F ] c) Calcula también P [ M y F ], P [ M / F ], P [ F / M ] 21) En una cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene los ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que tenga cabellos castaños? c) Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? 3

4 22) Una clase de compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser: a) Alumna o que aprueba las matemáticas b) Alumno que suspende las matemáticas c) Sabiendo que es alumno, cuál es la probabilidad de que apruebe las matemáticas? d) Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA MATEMÁTICAS? Experiencias compuestas 23) Extraemos dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de obtener: a) 2 ases b) Ningún as c) Algún as 24) Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras que salen. Calcula la probabilidad de obtener: a) Una cara b) Más de una cara 25) En un examen hay que contestar a 2 temas elegidos al azar entre 30. Un alumno ha estudiado solo 12 de los 30 temas. Halla la probabilidad de que: a) El alumno haya estudiado los dos temas elegidos b) Solo haya estudiado uno de los dos temas elegidos c) No haya estudiado ninguno de los dos temas elegidos 26) Lanzamos cuatro monedas. Calcula la probabilidad de obtener: a) Ninguna cara b) Alguna cara 27) Lanzamos dos dados. Cuál es la probabilidad de que obtenga algún 5? Cuál es la probabilidad de que solo uno de los dos sea 5? 4

5 total 28) En una urna A hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y en otra urna B hay 4 bolas numeradas del 6 al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se extrae una bola de la urna A, y si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea: a) La que lleva el número 5 b) La que lleva el número 8 c) Una que lleve un número par Nota: Ayúdate con un diagrama de árbol 29) Una fábrica tiene tres máquinas que fabrican tornillos. La máquina A produce el 50% del total de tornillos; la máquina B, el 30%, y la C, el 20%. De la máquina A salen un 5% de los tornillos defectuosos; de la B, un 4%, y de la C, un 2%: Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso. 30) Tenemos dos bolsas con bolas y un dado: Lanzamos el dado. Si se obtiene 1 ó 2, extraemos una bola de I. Si sale 3, 4, 5 ó 6, extraemos una bola de II. Halla las siguientes probabilidades: 31) Tomamos dos cajas.. Sacamos una bola de alguna de ellas a) Calcula la probabilidad de que la bola sea roja b) Sacamos la bola y vemos que es roja. Calcula la probabilidad de haberla sacado de I 32) En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con número positivos y las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin reemplazamiento. a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo 5

6 b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo 33) Lanzamos las dos monedas. Si salen 2 caras, extraemos una bola de la caja A, y si no, la extraemos de B. Calcula: Distribución de probabilidad de variable discreta 34) Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros: 35) Sacamos dos cartas de una baraja y apuntamos el número de ases (0, 1 ó 2). a) Cuál es la distribución de probabilidad? b) Calcula la media y la desviación típica. Describe, mediante una tabla x i, pi, la distribución del número de caras al lanzar 3 monedas. Halla los parámetros μ y σ. 36) 37) En una lotería de 1000 números se reparten los premios siguientes: A un número elegido al azar, 5000 Al anterior y al posterior, 1000 A los 99 que terminan en la misma cifra que el ganador, 10 Al resto de números, nada a) Haz la tabla con los valores 0, 10, 1000 y 5000 con sus correspondientes probabilidades b) Calcula los parámetros μ y σ 38) Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado. 39) En una bolsa tenemos un cierto número de bolas numeradas: 9 bolas con un uno, 5 con un dos y 6 con un tres. Sacamos una bola al azar y vemos qué número tiene. a) Cuál es la distribución de probabilidad? b) Calcula la media y la desviación típica 6

7 Distribución binomial 40) En una distribución binomial B (10 ; 0,4 ), halla P [ x =0 ], P [ x =3 ], P [ x =5 ], P [ x =10 ] y el valor de cada uno de los parámetros μ y σ. 41) En una distribución binomial B (7 ; 0,4 ) calcula: 42) En una distribución binomial B ( 9 ; 0,2 ) calcula: 43) Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de 3 caras, 5 caras y 6 caras. Halla los valores de μ y σ. 44) Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial y di los valores de n, p, μ y σ. a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. Cuál es el número de preguntas acertadas? b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos cuántas de ellas acertará c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras d) El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque sea el reintegro. En una familia juegan a 46 números. e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá 45) Un examen tipo test consta de diez preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 4 preguntas? b) Y la de que conteste bien a más de 2 preguntas? c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas 46) La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,2. Si se revisan 5 aparatos, calcula: a) P [ ninguno defectuoso ] b) P [ algunodefectuoso ] 47) Una urna contiene3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite 5 veces, calcula la probabilidad de obtener: 7

8 48) En un proceso de fabricación de tornillos, se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: Cuántos tornillos habrá, por término medio, en cada caja? Distribución de probabilidad de variable continua Funciones de densidad k, si x [ 3,8 ] Calcula k para que f ( x )= sea una función de densidad. Halla 0, si x [ 3,8 ] las probabilidades: { 49) Nota: recuerda que para que sea función de probabilidad o densidad el área bajo la curva ha de ser 1 mx, si x [ 3,7 ] 50) Calcula m para que f ( x )= 0, si x [ 3,7 ] sea una función de densidad. Halla las probabilidades: { Distribución normal 51) En una distribución N ( 110,10 ), calcula: 52) En una distribución N ( 0,1 ), calcula las siguientes probabilidades: Nota: Utiliza la tabla para la distribuciónn ( 0,1 ) 53) En una distribución N ( 0,1 ), calcula: 54) En una distribución N ( 0,1 ), calcula las siguientes probabilidades: 8

9 55) Halla las siguientes probabilidades: Nota: Utiliza la tabla para la distribuciónn ( 0,1 ) 56) Di el valor de k en cada caso: Nota: Utiliza la tabla para la distribuciónn ( 0,1 ) 57) Halla: 58) Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades: 59) En una distribución N ( 173,6 ), halla las siguientes probabilidades: Nota: Tipifica la variable y resuelve utilizando la tabla para la distribuciónn ( 0,1 ) 60) En una distribución N ( 43,10 ), calcula las siguientes probabilidades: 61) En una distribución N ( 151,15 ), calcula: 9

10 62) La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm, y la desviación típica de 10 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de 180 cm. Cuánto alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm? 63) Los pesos de 200 soldados presentan una distribución normal de media 65 kg y desviación típica 8 Kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: 64) Para aprobar un examen de ingreso en una escuela, se necesita obtener 5 puntos o más. Por experiencia de otros años, sabemos que la distribución de puntos obtenidos por los alumnos es normal, con media 55 puntos y desviación típica ) En una ciudad, las temperaturas máximas diarias durante el mes de julio se distribuyen normalmente con una media de 26 0 C y una desviación típica de 4 0 C. Cuántos días se puede esperar que tengan una temperatura máxima comprendida entre 220 C y 280 C? 10

11 SOLUCIONES 1) Ejercicio 1 2) Ejercicio 2 3) Ejercicio 3 11

12 4) Ejercicio 4 5) Ejercicio 5 6) Ejercicio 6 7) Ejercicio 7 8) Ejercicio 8 9) Ejercicio 9 12

13 10) Ejercicio 10 11) Ejercicio 11 12) Ejercicio 12 13) Ejercicio 13 13

14 14) Ejercicio 14 15) Ejercicio 15 16) Ejercicio 16 17) Ejercicio 17 18) Ejercicio 18 14

15 19) Ejercicio 19 20) Ejercicio 20 15

16 21) Ejercicio 21 22) Ejercicio 22 16

17 23) Ejercicio 23 24) Ejercicio 24 25) Ejercicio 25 17

18 26) Ejercicio 26 27) Ejercicio 27 28) Ejercicio 28 29) Ejercicio 29 18

19 30) Ejercicio 30 31) Ejercicio 31 19

20 32) Ejercicio 32 33) Ejercicio 33 20

21 34) Ejercicio 34 35) Ejercicio 35 36) Ejercicio 36 37) Ejercicio 37 21

22 38) Ejercicio 38 39) Ejercicio 39 40) Ejercicio 40 41) Ejercicio 41 22

23 42) Ejercicio 42 43) Ejercicio 43 44) Ejercicio 44 45) Ejercicio 45 23

24 46) Ejercicio 46 47) Ejercicio 47 48) Ejercicio 48 49) Ejercicio 49 24

25 50) Ejercicio 50 51) Ejercicio 51 25

26 52) Ejercicio 52 53) Ejercicio 53 54) Ejercicio 54 26

27 55) Ejercicio 55 56) Ejercicio 56 57) Ejercicio 57 58) Ejercicio 58 59) Ejercicio 59 27

28 60) Ejercicio 60 61) Ejercicio 61 62) Ejercicio 62 63) Ejercicio 63 64) Ejercicio 64 65) Ejercicio 65 28