Modelos de Computación y Complejidad PRELIMINARES

Transcripción

1 Modelos de Computación y Complejidad Grado en Ingeniería Informática. Tecnologías Informáticas PRELIMINARES Mario de J. Pérez Jiménez Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial E.T.S. Ingeniería Informática Universidad de Sevilla marper@us.es Curso

2 Conjuntos: conceptos básicos x A: x es un elemento del conjunto A. x A: x no es un elemento de A. Dada una propiedad θ(x), el conjunto de los elementos que Fórmula θ(x) sobre un conjunto A: Si a A, entonces θ(a) es verdadera o θ(a) es falsa. {x : θ(x)}: conjunto cuyos elementos x verifican que θ(x) es verdadera. El conjunto vacío carece de elementos: se denota por. Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos: x (x A x B) Si A = {x : θ(x)}, entonces x A si y sólo si se verifica θ(x). A es un subconjunto de B (A B), si todo elemento de A es, también, elemento de B: x (x A = x B). En consecuencia: A = B A B y B A. 2 / 18

3 Operaciones con conjuntos Unión: A B = {x : x A x B} Intersección: A B = {x : x A x B} Diferencia: A B = {x : x A x / B} Complementario: Si A B, el complementario de B en A es A B. Conjunto de las partes de un conjunto A: P(A) = {B : B A}. Producto cartesiano de dos conjuntos A y B ( en ese orden!): A B = {(x 1, x 2) : x 1 A x 2 B} siendo (x 1, x 2) = {{x 1}, {x 1, x 2}}: par ordenado de componentes x 1 y x 2. Propiedad fundamental de los pares ordenados: (x 1, x 2 ) = (y 1, y 2 ) x 1 = y 1 y x 2 = y 2. Se definen recursivamente las n-tuplas (x 1, x 2,..., x n): (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, (x 2, x 3 )). (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1, (x 2, x 3, x 4 )). Y así sucesivamente. Para cada n 1, A 1... A n = {(x 1,..., x n) : x 1 A 1... x n A n}. Para cada n 1, A n = A A (n)... A. 3 / 18

4 Partición de un conjunto Dos conjuntos A y B se dicen que son disjuntos si A B =. Se dice que una familia de conjuntos F = {A 1,..., A n} es una partición de un conjunto B si se verifican las condiciones siguientes: A i B, para cada i = 1,..., n. A i, para cada i = 1,..., n. A i A j =, para cada i, j = 1,..., n (i j). A 1 A 2 A n = B. Ejemplos: Tres particiones del conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}: F 1 = {A 1, A 2, A 3}, siendo A 1 = {1, 5, 7, 8}, A 2 = {3, 4, 6}, A 3 = {2}. F 2 = {A 1, A 2}, siendo A 1 = {2, 4, 6, 8}, A 2 = {1, 3, 5, 7}. F 3 = {A 1}, siendo A 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 4 / 18

5 Funciones Una función f es un conjunto de pares ordenados, tal que (a, b) f (a, c) f = b = c El dominio de una función f es el conjunto: dom(f ) = {x : y ((x, y) f )} El rango de f es el conjunto: rang(f ) = {y : x ((x, y) f )} Si f es una función y a dom(f ), existe un único b rang(f ) tal que (a, b) f. Notaremos f (a) = b para expresar que (a, b) f. Si x dom(f ), notaremos f (x) (f está definida en x). Si x / dom(f ), notaremos f (x) (f no está definida en x). [f = g] [dom(f ) = dom(g) x dom(f ) (f (x) = g(x))]. 5 / 18

6 Tipos de funciones Sean A y B dos conjuntos. Una función total f de A en B (notaremos f : A B) es una función que verifica: dom(f ) = A y rang(f ) B. Una aplicación f de A en B es una función total f de A en B. Una función parcial f de A en B (notaremos f : A B) es una aplicación que verifica: dom(f ) A y rang(f ) B. Toda función total de A en B es una función parcial de A en B. Existen funciones parciales de A en B que no son funciones totales de A en B (por ejemplo: la función f de N en N definida por f (x) = raíz cuadrada de x. Se tiene que f (2) ). Una función parcial f de A en B es: inyectiva si x 1, x 2 dom(f ) (f (x 1 ) = f (x 2 ) = x 1 = x 2 ). sobreyectiva (o suprayectiva) si rang(f ) = B. biyectiva si es total, inyectiva y sobreyectiva. Si A un conjunto, la función identidad sobre A es la función Id A : A A, definida por Id A (x) = x. 6 / 18

7 Composición de funciones Sean f : A B y g : B C. La composición de f y g ( en ese orden!) es la función parcial h de A en C definida así: h = {(x, y) A C : Existe z B tal que f (x) = z y g(z) = y} Gráficamente, Notación: h = g f. f g A B C x f (x) g(f (x)) (= h(x)) 7 / 18

8 Función inversa Sea f una función parcial. Se define el conjunto f 1 = {(x, y) : (y, x) f }. f 1 es una función si y sólo si f es inyectiva (función inversa de f ). Si f es una función inyectiva, entonces (f 1 ) 1 = f. Proposición: Sea f una función total de A en B. f 1 es aplicación de B en A f es biyectiva. Si f es biyectiva, f f 1 = Id B y f 1 f = Id A. Imagen directa e imagen inversa por una función Sea f una función parcial de A en B. Si C A, la imagen directa de C por f es el conjunto f [C] = {y B : Existe x dom(f ) C tal que f (x) = y} Si D B, la imagen inversa de D por f es el conjunto f 1 [D] = {x A : x dom(f ) y f (x) D} 8 / 18

9 Conjuntos infinitos Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto B A y una aplicación biyectiva de B en A. El conjunto N es infinito: existe una biyección entre dicho conjunto y el subconjunto de los números pares. Un conjunto A es numerable si existe una aplicación biyectiva de N en A. Ejemplos: El conjunto N 2 es numerable: se prueba que la función J : N 2 N definida por J(x, y) = (x+y)(x+y+1) 2 + x es biyectiva. Para cada k 2, el conjunto N k es numerable. El conjunto Q de los números racionales es numerable. El conjunto R de los números reales no es numerable. El intervalo [0, 1) R no es numerable. P(N) es no numerable. 9 / 18

10 Método diagonal de Cantor: P(N) no es numerable Caso contrario, P(N) = {A 0, A 1, A 2,..., A n,...}. Cada subconjunto B de N se puede identificar con una sucesión infinita compuesta de SÍES y NOES: n... B SÍ NO NO... SÍ... En la posición j ésima aparece SÍ cuando j B y NO en caso contrario. Formemos una tabla infinita con la información de los conjuntos A j n.. A 0 SÍ no no.. no.. A 1 no NO sí.. sí.. A 2 sí sí NO.. no A n no sí no.. SÍ El conjunto D N definido como sigue a través de la diagonal de la tabla D n... NO SÍ SÍ NO es un subconjunto de N distinto de A 0, A 1, A 2,..., A n,... Lo que es una contradicción. 10 / 18

11 Método diagonal de Cantor: [0, 1) no es numerable Recuérdese que [0, 1) = {x R : 0 x < 1} Veamos ahora que Cada número real x [0, 1) puede escribirse en base 10 como: 0 a 0 a 1 a 2..., en donde cada a k {0, 1, 2,..., 9}. Por tanto podemos identificar x con la sucesión (a 0, a 1, a 2,..., a n,... ) Si el conjunto [0, 1) fuese numerable, entonces [0, 1) = {x 0, x 1, x 2,... }. Ahora bien, cada x j tendría una expresión decimal: 0 a j,0 a j,1 a j,2.... Formemos una tabla infinita con las expresiones decimales de los x j : x 0 a 0,0 a 0,1 a 0,2.. a 0,n.. x 1 a 1,0 a 1,1 a 1,2.. a 1,n.. x 2 a 2,0 a 2,1 a 2,2.. a 2,n x n a n,0 a n,1 a n,2.. a n,n { Definamos ahora el número real d = 0 0 si aj,j 0 d 0 d 1 d 2..., d n..., en donde d j = 1 si a j,j = 0 Entonces d [0, 1) y para todo j N, x j d. En contradicción con d [0, 1) = {x 0, x 1, x 2,... }. 11 / 18

12 Predicados Notación: Si (x 1,..., x n) A n, entonces notaremos x A n. Un predicado n ario (n 1) θ sobre A es una aplicación de A n en {0, 1}. Si θ( x) = 1 para x A n, diremos que el predicado θ se verifica para x. Caso contrario, diremos que el predicado θ no se verifica para x. Todo predicado n ario sobre A determina un subconjunto de A n definido así: S θ = { x A n : θ( x) = 1}. Todo subconjunto de B A n determina un predicado n ario θ B sobre A tal que θ B ( x) = 1 si y sólo si x A. La función característica de B A n es el siguiente predicado sobre A n : { 1 si x B C B ( x) = 0 si x / B Obsérvese que la función característica de B es el predicado n ario asociado al subconjunto B. 12 / 18

13 Operaciones con predicados Sean θ y θ predicados n arios sobre un conjunto A. Se definen los siguientes predicados n arios sobre A: ( θ)( x) θ( x) = 1 θ( x). (θ θ )( x) θ( x) θ ( x) = max(θ( x), θ ( x)) (θ θ )( x) θ( x) θ ( x) = min(θ( x), θ ( x)). θ θ = ( θ) θ. θ θ = (θ θ ) (θ θ). Se verifican las siguientes relaciones: S θ θ = S θ S θ. S θ θ = S θ S θ. S θ = A n S θ. 13 / 18

14 Cuantificación acotada Sea θ(x 1,..., x n, y) un predicado (n + 1) ario sobre N. El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación existencial acotada es el siguiente predicado (n + 1) ario sobre N: { 1 si existe z0 y tal que θ( x, z 0). ( z) y θ( x, z) = 0 en caso contrario Obsérvese que ( z) y θ( x, z) = θ( x, 0) θ( x, 1)... θ( x, y). El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación universal acotada es el siguiente predicado (n + 1) ario sobre N: { 1 si para todo z0 y se tiene θ( x, z 0). ( z) y θ( x, z) = 0 en caso contrario Obsérvese que ( z) y θ( x, z) = θ( x, 0) θ( x, 1)... θ( x, y). 14 / 18

15 Cuantificación no acotada Sea θ(x 1,..., x n, y) un predicado (n + 1) ario sobre N. El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación existencial no acotada es el siguiente predicado n ario sobre N: { 1 si existe z0 tal que se verifica θ( x, z 0). ( z) θ( x, z) = 0 en caso contrario. El predicado obtenido a partir de θ por cuantificación universal no acotada es el siguiente predicado n ario sobre N: { 1 si para todo z0 se verificaθ( x, z 0). ( z) θ( x, z) = 0 en caso contrario. 15 / 18

16 El principio de minimización Expresión sobre predicados. Sea θ(x) un predicado 1 ario sobre N. Si x θ(x) entonces m (θ(m) y < m θ(y)) Notación: m = µx(θ(x)) (m es el mínimo de los x que verifican θ(x)). Expresión conjuntista. Sea A N tal que A. Entonces m (m A y < m(y / A)) Notación: m = min(a) (m es el menor elemento de A). Ejercicio. Probar que todo número natural n 2 es divisible por un número primo. Indicación: considérese el conjunto A = {x : x > 1 x divide a n}, pruébese que es no vacío y justifíquese que el menor elemento de ese conjunto es un número primo. 16 / 18

17 El principio de inducción débil Teorema: Sea θ(x) un predicado 1 ario sobre N tal que se verifica θ(0) y x(θ(x) θ(x + 1)). Entonces x θ(x). Corolario: Sean θ(x) un predicado 1 ario sobre N y a N tales que se verifica θ(a) y x a (θ(x) θ(x + 1)). Entonces x a (θ(x)). Ejercicios. Probar que para cada n N se tiene que Probar que para cada n N se tiene que n i = i=0 n(n + 1) 2 n (2i + 1) = (n + 1) 2 i=0 17 / 18

18 El principio de inducción fuerte Teorema: Sea θ(x) un predicado 1 ario sobre N tal que se verifica θ(0) y x([ p x θ(p)] θ(x + 1)). Entonces x θ(x). Corolario: Sean θ(x) un predicado 1 ario sobre N y a N tales que se verifica θ(a) y x a ([ p a(p x θ(p))] θ(x + 1)). Entonces x a (θ(x)). Ejercicio. Probar que todo número natural n 2 se puede descomponer en un producto de números primos. 18 / 18