UNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO lim

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1 IES Mditrráno d Málg Emn Junio d Jun Crlos lonso Ginontti UNIVERSIDD DE L RIOJ JUNIO El lumno contstrá los jrcicios d un d ls dos propusts ( o ) qu s l ofrcn. Nunc dbrá contstr jrcicios d un propust jrcicios distintos d l otr. Es ncsrio justificr ls rspusts. S prmit l uso d clculdors cintífics simpr qu no sn progrmbls ni gráfics ni clculn intgrls. Si lgún lumno s sorprndido con un clculdor no utorid podrá sr pulsdo dl mn; n todo cso s l rtirrá l clculdor sin qu tng drcho qu l proporcionn otr. Durción: h min. PROPUEST.- ( punto) S f() un función positiv n l intrvlo [ ] sí ( ) f pr. Si l ár itd por f() l j d bciss (j O) ls rcts s igul clcul l ár dl rcinto itdo por l función G() f() ls misms rcts.- ( puntos) Clcul l siguint límit sn.- ( puntos) Si dtrmin l mtri dspjándol d l cución mtricil: (Obsrv ls dimnsions qu h d tnr l mtri pr qu l cución mtricil tng sntido).- ( puntos) Prub qu pr culquir vlor d los plnos s cortn n un rct r. Clcul l posición rltiv d r rspcto l plno qu ps por l orign d coordnds los puntos ( - ) ( ) ( s supon qu pr qu r st dfinid).- ( puntos) Clculr l dominio rprsntr gráficmnt l función f ( ) ln

2 IES Mditrráno d Málg Emn Junio d Jun Crlos lonso Ginontti PROPUEST f ( ).- ( punto) S f() un función positiv n l intrvlo [ ] sí pr. Si l ár itd por f() l j d bciss (j O) ls rcts s igul clcul l ár dl rcinto itdo por l función G() f() ls misms rcts.- ( puntos) Clcul l siguint límit sn.- ( puntos) Si dtrmin l mtri dspjándol d l cución mtricil: (Obsrv ls dimnsions qu h d tnr l mtri pr qu l cución mtricil tng sntido).- ( puntos) Enunci l Torm d Roll. Encuntr los cros d l primr drivd d l función f(). Us finlmnt l informción prvi pr probr qu con indpndnci dl vlor d l cución no tin dos solucions distints n l intrvlo [- ].- ( puntos) Discut l sistm dpndindo d los vlors dl prámtro rsulv compltmnt n los csos qu s posibl

3 I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti PROPUEST.- ( punto) S f() un función positiv n l intrvlo [ ] sí ( ) f pr. Si l ár itd por f() l j d bciss (j O) ls rcts s igul clcul l ár dl rcinto itdo por l función G() f() ls misms rcts ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) u d d f d f d G d f.- ( puntos) Clcul l siguint límit sn ( ) sn cos sn cos cos sn cos sn sn sn Hopitl L' plicndo Hopitl L' plicndo.- ( puntos) Si dtrmin l mtri dspjándol d l cución mtricil: (Obsrv ls dimnsions qu h d tnr l mtri pr qu l cución mtricil tng sntido) ( ) ( ) [ ] dj dj dt ist qu pr condición l s qu dt si rsolvr podr S I t t t

4 I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti.- ( puntos) Prub qu pr culquir vlor d los plnos s cortn n un rct r. Clcul l posición rltiv d r rspcto l plno qu ps por l orign d coordnds los puntos ( - ) ( ) ( s supon qu pr qu r st dfinid) Pr qu no tngn un rct común los plnos tinn qu sr prllos por llo sus vctors dirctors iguls o proporcionls pr los vlors qu lo cumpln no h intrscción sgún un rct r n todos los dmás csos si ( ) ( ) vπ No son v π S cor tn sgún un rct R / prlls El plno β qud dfinido por los vctors O O OG sindo G l punto gnérico dl plno qu l sr coplnrios dtrminn qu l dtrminnt d l mtri qu formn s nul. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O O β ( ) OG β r λ λ Vmos si tinn un punto d cort r β ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ S cor tn n R R( ) λ.- ( puntos) Clculr l dominio rprsntr gráficmnt l función f ( ) ln > > > > Dom - No ist > ( - ) ( - ) ( ) > - ( - ) ( ) ( ) Solución ( ) ( - ) ( ) ( f ) R / ( < ) ( > ) Con O Puntos d cort con los js f ( ) No. Con OY No ist gráfic

5 I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti Continución dl Problm d l Propust Monotoní ( ) Crcint f ' ( ) > f ' ( ) ( ) > R > ( ) > > > > ( ) ( ) - No ist > ( ) ( ) ( ) > ( - ) ( - ) ( ) > - ( - ) ( ) ( ) Solución ( ) ( - ) ( ) ( < ) ( ) Crcint R / > No istn máimos ni mínimos (trmos rltivos) síntots Vrticls No ist do minio ln ln ln síntot vrticl ln ln ln ( ) síntot vrticl Horiontls f ( ) ln ln Eist síntot horiontl ln ln ln ln ln ln ln Eist síntot horiontl ln ln ln

6 I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti Continución dl Problm d l Propust Y

7 I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti PROPUEST.- ( punto) S f() un función positiv n l intrvlo [ ] sí ( ) f pr. Si l ár itd por f() l j d bciss (j O) ls rcts s igul clcul l ár dl rcinto itdo por l función G() f() ls misms rcts Rsulto como Problm d l Propust.- ( puntos) Clcul l siguint límit sn Rsulto como Problm d l Propust.- (( puntos) Si dtrmin l mtri dspjándol d l cución mtricil: (Obsrv ls dimnsions qu h d tnr l mtri pr qu l cución mtricil tng sntido) Rsulto como Problm d l Propust.- ( puntos) Enunci l Torm d Roll. Encuntr los cros d l primr drivd d l función f(). Us finlmnt l informción prvi pr probr qu con indpndnci dl vlor d l cución no tin dos solucions distints n l intrvlo [- ] Torm d Roll Sindo f() un función continu n l intrvlo [ b] drivbl n ( b) qu vrific qu f() f(b) ntoncs ist l mnos un punto c ( b) tl qu f (c) f ' ( ) ± Est función s continu n tod l rct rl por lo qu tmbién s continu n l intrvlo [- ] tomndo los vlors f(-) (-). (-) f(). - distintos d distinto signo plicndo l torm d olno sbmos qu ist l mnos un punto d (- ) tl qu f(d) Vmos hor mdint l torm d Roll trbjndo por rducción l bsurdo qu st rí s únic. Supongmos qu f() tin dos rícs d tls qu f(d) f() Como f() s un polinomio s un función continu drivbl n l ntorno (d ) contnido (- ) dmás tom l mismo vlor [f(d) f() ] n los trmos d dicho intrvlo por lo qu plicndo l torm d Roll tnmos qu db d istir l mnos un punto (d ) tl qu f ( ) hmos visto qu so s cumpl n - por lo tnto solo pud hbr un punto d qu s ri d l cución propust

8 I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti.- ( puntos) Discut l sistm dpndindo d los vlors dl prámtro rsulv compltmnt n los csos qu s posibl { } ( ) ( ) ( ) λ λ λ R ± > Solución r min do In dt Comptibl Sistm solucions Infinits Si Incomptibl Sistm solución Sin Si Dtr min do como Comptibl Solución Dtr min do Comptibl Númro incognits rng Si