ANÁLISIS DE PREDICCIONES EN DIVISAS BASADO EN PROMEDIADO BAYESIANO DE MODELOS CON RUPTURA ESTRUCTURAL

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) ANÁLISIS DE PREDICCIONES EN DIVISAS BASADO EN PROMEDIADO BAYESIANO DE MODELOS CON RUPTURA ESTRUCTURAL AUTOR: PABLO BAJO LASO DIRECTOR: CARLOS MATÉ JIMÉNEZ MADRID SEPTIEMBRE

2 Agradecimientos A toda mi familia y amigos, por su apoyo en todos los proyectos de mi vida. También me gustaría agradecer a Carlos Maté por su labor como director de este proyecto. I

3 ANÁLISIS DE PREDICCIONES EN DIVISAS BASADO EN PROMEDIADO BAYESIANO DE MODELOS CON RUPTURA ESTRUCTURAL Autor del proyecto: Pablo Bajo Laso Director del proyecto: Carlos Maté Jiménez Coordinador del proyecto: Eduardo Alcalde Lancharro Resumen Los mercados de divisas (FOREX) tienen un papel muy importante en la economía, debido a la globalización y a las exportaciones e importaciones de los países. Además, los mercados de divisas intercambian una moneda por otra. Este mercado ofrece un enorme potencial de rentabilidad. Es un mercado constituido por una gran cantidad de agentes alrededor del mundo, que compran y venden monedas de distintas naciones, permitiendo así la realización de cualquier transacción internacional. El proyecto también trata los temas de la ruptura estructural y las raíces unitarias, mostrando el estado del arte y resaltando los tests más importantes actualmente. Se explica el camino que están siguiendo las investigaciones en los campos de ruptura estructural y raíces unitarias. El tema de la ruptura estructural tiene gran importancia a la hora de hacer II

4 previsiones, porque si se consideran las fechas de rupturas y se detectan adecuadamente se pueden realizar previsiones en mercados de divisas mucho más precisas. La parte principal para realizar previsiones es la utilización de la metodología Bayesiana, actualmente fuera de ninguna duda sobre su utilidad. En esta metodología se permite utilizar el conocimiento previo del usuario acerca del problema a tratar. El uso de información subjetiva mejora y perfecciona la fiabilidad en la toma de decisiones, además se utilizan criterios a la hora de seleccionar los modelos que se quieren utilizar para las predicciones. El promediado Bayesiano de modelos (BMA) reduce la incertidumbre asociada a la selección de modelos y permite utilizar toda esa información ponderándola según el grado de confianza que considere el usuario. Los modelos que se usan en el proyecto son de la familia de los autorregresivos. En el apartado del estudio del arte previo a la selección de modelos, se encontró mucha información a favor de dichos modelos para realizar predicciones en los mercados de divisas, debido a la autorregresión que se produce en los valores de divisas con el tiempo. El presente proyecto elabora un desarrollo de un sistema de predicción en Matlab capaz de analizar las series temporales de divisas, y realizar predicciones en dicho mercado. La aplicación realiza las predicciones basándose en una única variable explicativa. MATLAB es un programa de uso habitual en el mundo académico y profesional, proporciona muchas librerias financieras y econométricas, que ayudan a realizar una aplicación de calidad. Además, incluye la funcionalidad GUI, que permite desarrollar un interfaz que cumple con todos los requisitos de funcionalidad. III

5 En resumen, este Proyecto Fin de Carrera trata de responder a un problema real en el mundo financiero actual: la necesidad de predecir el valor futuro de las principales divisas de una forma precisa. Palabras clave temporales. Mercado de divisas, ruptura estructural, promediado Bayesiano de modelos, series Introducción El proyecto plantea el promediado Bayesiano de modelos con ruptura estructural para analizar la calidad de las predicciones en finanzas, donde es frecuente que se produzcan cambios de régimen de funcionamiento de la serie temporal analizada. Se analizarán datos del mercado de divisas. Se hará una aplicación en MATLAB. La elección de MATLAB se debe a que es un programa que integra computación, visualización y programación orientado a matemáticas. IV

6 Descripción del trabajo realizado La primera parte del proyecto consiste en el análisis de todas las metodologías y métodos que forman el pilar en el que se apoya el proyecto. La primera tarea requería un gran esfuerzo y mucho tiempo debido a que no se contaba con la base de temas de predicción, conocimiento de la ruptura estructural, ni conocimientos de programación en MATLAB, el programa requerido para realizar el proyecto. Se han estudiado las series temporales, los promediados Bayesianos de modelos, los tests para calcular ruptura estructural y el funcionamiento del mercado de divisas. Y también se ha estudadio el lenguaje de programación de MATLAB. La información adquirida se ha culminado con la realización de una herramienta informática, en MATLAB, que incluye análisis descriptivo para datos extraídos del mercado de divisas, tests que ayudan a detectar ruptura estructural y raíz unitaria, y por último realiza predicciones utilizando promediado Bayesiano de modelos. Los métodos de predicción Bayesiana que incluye la herramienta son el modelo de regresión lineal múltiple Bayesiana, modelo de regresión lineal simple, regresión lineal clásica múltiple y modelos autorregresivos simples. El último trabajo requerido para el proyecto ha sido realizar previsiones con la herramienta con datos extraídos del mercado de divisas, y extraer conclusiones sobre los resultados obtenidos que permitan valorar los métodos de predicción implantados. V

7 Resultados El resultado final del proyecto ha sido obtener la herramienta FOREXFOSY (FOREX Forecasting System) que permite el análisis de series del mercado de divisas. El desarrollo de la herramienta ha sido siguiendo una metodología incremental, avanzando a medida que se planteaban nuevos requisitos. La herramienta obtiene resultados y opera según el siguiente diagrama: -Primera parte de la herramienta Cargar datos de Excel Analiza la serie Box-Plot Test Philips-Perron Test Dickey-Fuller Información de la serie Detecta Outliers Calcula Autocorrelación Predicción con BMA -Segunda parte de la herramienta Seleccionar un Benchmark Seleccionar un modelo Seleccionar el valor del parámetro Fi Información del modelo y posible modificación VI

8 -Parte final de la herramienta Predicción final Resultado de los Benchmarks Resultado del BMA La herramienta permite hacer predicciones con modelos Benchmarks convencionales y con BMA. Los datos utilizados están exclusivamente dentro del mercado de divisas (FOREX) para que los resultados sean más precisos la herramienta analiza los datos previamente. Conclusiones El presente proyecto se encuentra principalmente dentro del campo de análisis, y los principales campos analizados han sido el mercado de divisas, el promediado Bayesiano de modelos y la ruptura estructural. El objetivo principal era analizar los temas anteriormente mencionados, de tal manera que se contribuya a mejorar las previsiones en futuros trabajos de predicción. En el primer tema analizado, los mercados de divisas, se han estudiado e identificado todas las principales características de estos mercados. Se puede concluir que es el mercado con mayor volumen de transacción y actualmente en crecimiento. También se han detectado factores determinantes en la tasa de cambio. VII

9 En el mercado de las divisas también se han se han extraído conclusiones sobre las nuevas tendencias que siguen los integrantes del mercado de divisas, el uso de la web y los nuevos algoritmos de trading, que jugarán un papel determinante. A la hora de predecir utilizando BMA, estudios como [WRIG09], muestran el camino. Se puede concluir que no hay un único modelo que sea bueno, y el resto malos, por tanto elegir distintos modelos y saber promediarlos sería la forma más certera de hacer predicciones. Dentro del campo de la ruptura estructural, se han estudiado los artículos más recientes relativos al tema. Actualmente se está intentando demostrar como el poder detectar una ruptura estructural ayudaría a elaborar una predicción con BMA mucho más precisa. Se ha descubierto que es un campo poco estudiado, y el proyecto constituye una base para empezar a investigar y muestra las conclusiones más importantes a las que se han llegado hasta la fecha actual. La conclusión final que se extrae es que calcular predicciones sólo con los datos a partir de la fecha de ruptura ayuda a obtener mejores previsiones, pero identificar esa fecha de ruptura es muy complicado, y se encuentran muchas contradicciones en la literatura universal. VIII

10 Referencias [FOND08] Fondo Roca, Carolina: sistema de predicción de volatilidad para mercados financieros basado en metodología Bayesiana, [FXPO10] FX Poll Euromoney: FX survey, the largest global poll of foreign exchange service providers, [KILI11] Kilian, Lutz: Macroeconometrics, Universidad de Michigan, [MATE09] [MAKR98] Maté Jiménez, Carlos: The Bayesian approaches to combining forecasts, Seminar given in Lancaster Univerisity. Universidad Pontificia Comillas, S. G. Makridakis, S. C. Whelwright, R. J. Hyndman Forecasting: Methods and Applications, Wiley, [RANA09] Ranaldo, Angelo: Segmentation and time-of-day patterns in foreign exchange markets, Journal of Banking & Finance-Volume 33, Pages , Swiss National Bank, [WRIG09] Wright, Jonathan. Forecasting US Inflation by Bayesian Model Averaging. Journal of Forecasting, J. Forecast. 28, IX

11 ANALYSIS OF FORECASTS IN FOREX BASED ON BAYESIAN MODEL AVERAGING WITH STRUCTURAL BREAK Author: Pablo Bajo Laso Project manager: Carlos Maté Jiménez Project coordinator: Eduardo Alcalde Lancharro Abstract Currency markets have an important role in the economy due to globalization and international trade. Essentially, currency markets exchange one currency for another and offer enormous potential for profitability. They consist of a lot of agents around the world who buy and sell currencies of different nations, thus allowing the realization of any international transaction. The present project addresses the issues of structural break and unit roots, highlighting the most important current tests available currently. It also explains the path following the research in the fields of structural break and unit roots. Detecting a structural break is very important when making predictions, because if we consider the dates of a structural break the forecasting on currency markets will be more accurate. The main part is to forecast with Bayesian methodology, currently there is no doubt about its usefulness. This methodology allows the use of prior knowledge of the user about X

12 the problem at hand, use of subjective information, and improves the reliability in decisionmaking. The Bayesian Modeling Average (BMA) reduces the uncertainty associated with model selection and lets you use all that information-weighted degree of confidence that considers the user. The models used in the project belong to the family of autoregressive models. In the previous study of models, we found lot of information for these models to make predictions in the currency markets, because of the auto-regression that occurs in currency values over time. This project develops an application in Matlab capable of analyzing time series of currency, and make predictions in this market. The application makes predictions based on a single variable. MATLAB is a program commonly used in the academic and professional world. Matlab provides many financial and econometric libraries with the ability to make a quality application. It also includes the GUI functionality, which facilitates the developing of an interface that meets all functionality requirements. In summary, this project poses to respond to a real problem in today's financial world: the need to predict the future value of major currencies in a precise way. Key Words Currency market, structural break, Bayesian Model Averaging, Time series. XI

13 Introduction The project proposes the use of BMA with structural break models to analyze the quality of the predictions in finance, where it is common to prevent changes in operating regime of the time series analysis. The project will analyze data from the currency market. It will be done an application in MATLAB. The choice of MATLAB is because Matlab integrates computation, visualization and math-oriented programming. Description of work developed The first part of the project is the analysis of all the methodologies and methods that form the pillar which supports the project. The first task required great effort and time because there had not been the basis knowledge of prediction, knowledge of the structural break or the knowledge of programming in MATLAB. We have studied the series, the average Bayesian models, to calculate the structural break tests and operation of the currency market. We also studied the MATLAB programming language. The information gained has culminated in the realization of a tool in MATLAB, including data descriptive analysis of the FOREX market. The application contains tests that help detect structural break unit root, and finally makes predictions using Bayesian Model Averaging. XII

14 Bayesian prediction methods including the tool are the Multiple Linear Regression Bayesian linear regression model, and Multiple Linear Regression Models Classic Simple Autoregressive. The final work required for the project has been to obtain forecasts with data from the currency market, using the developed tool and drawing conclusions on the results for evaluating prediction methods implemented. Results The end result of the project has been to obtain the tool FOREXFOSY (FOREX Forecasting System) that allows analysis of series of foreign exchange market. The development of the tool has been following an incremental approach, advancing with more options when required. -Part 1 The tool gets results and operates according to the following diagram: Load Files Data Analysis Box-Plot Philips-Perron test Dickey-Fuller test Series Information Outliers Autocorrelation BMA forecasting XIII

15 -Part 2 Select a Benchmark Select a model Select a value for Fi parameter View model infomation -Final part Final forecating Benchmarks results BMA results The developed tool can make predictions using conventional Benchmarks and using the BMA. The data used is exclusive to the foreign exchange market (FOREX). Also the developed tool analyzes the previous data to be more accurate in forecasts. Conclusions This project is mainly within the field of analysis. The major areas analyzed were the currency market, the Bayesian Model Averaging (BMA) and structural break. The main objective was to analyze the above issues and therefore contribute to improving the prediction of future work prediction. XIV

16 The first topic analyzed, currency markets (FOREX), has been studied and the main characteristics of these markets have been identified. We concluded that the FOREX market is the one with largest volume transaction and currently growing, along with this analysis we also identified the factors which affect the exchange. From the currency markets we have also extracted information about new trends used by members of the foreign exchange market, for example the use of web and the new trading algorithms that play an important role. When using BMA predicted, studies such as [WRIG09] show the way. We conclude that there is not only a good model, and the rest are wrong, so if we choose different models and average them we would know how to make predictions more accurate. Within the field of structural break, we have studied the latest articles on the subject. The articles are currently trying to demonstrate how detecting a structural break would help develop a better prediction with BMA. It has been found to be a little-studied field, and the project provides a base to start investigating and shows the most important conclusions which have come down to the current date. The final conclusion to be drawn is that calculated predictions with data only from the date of break helps to achieve better forecasts, but identifying the date of rupture is very complicated, and there are many contradictions in the universal literature. XV

17 References [FOND08] Fondo Roca, Carolina: sistema de predicción de volatilidad para mercados financieros basado en metodología Bayesiana, [FXPO10] FX Poll Euromoney: FX survey, the largest global poll of foreign exchange service providers, [KILI11] Kilian, Lutz: Macroeconometrics, Universidad de Michigan, [MATE09] [MAKR98] Maté Jiménez, Carlos: The Bayesian approaches to combining forecasts, Seminar given in Lancaster Univerisity. Universidad Pontificia Comillas, S. G. Makridakis, S. C. Whelwright, R. J. Hyndman Forecasting: Methods and Applications, Wiley, [RANA09] Ranaldo, Angelo: Segmentation and time-of-day patterns in foreign exchange markets, Journal of Banking & Finance-Volume 33, Pages , Swiss National Bank, [WRIG09] Wright, Jonathan. Forecasting US Inflation by Bayesian Model Averaging. Journal of Forecasting, J. Forecast. 28, XVI

18 Índice general Capítulo 1 Introducción Motivación del Proyecto Objetivos Objetivos específicos Objetivos generales Metodología... 4 Capítulo 2 - Los mercados de divisas Introducción Historia del mercado de divisas Características y funcionamiento Principales divisas Localización y horarios Tipos de mercados de divisas Tipos de operaciones Factores determinantes en la tasa de cambio Magnitud del mercado y datos cuantitativos Noticias macroeconómicas y movimientos del mercado Algoritmos de trading Mercado FOREX en internet Historia FXCM Ventajas de operar online usando FXCM Capítulo 3 - Modelos Autorregresivos de medias móviles Conceptos previos Funciones autocorrelativas XVII

19 3.1.2 Series temporales Componentes series temporales Modelo de ruido blanco Modelo de camino aleatorio Modelos ARIMA Modelos autorregresivos simples (AR (p)) Modelos de media móvil simples (MA (q)) Modelos autorregresivos de medias móviles (ARMA (p, q)) Modelos autorregresivos de medias móviles integrados (ARIMA (p, d, q)) Modelos ARMAX Método ingenuo Estadístico U de Theil Raíces unitarias Introducción test para raíces unidad Tests de raíz unitaria Test Dickey-Fuller Test ampliado de Dickey-Fuller Test de Phillips-Perron Test cointegración Capítulo 4 - Análisis de la regresión Modelo de regresión lineal simple Cuantificación de la variación total en la Y Coeficiente de Regresión El Modelo de Regresión Lineal Múltiple Regresión Lineal Clásica Múltiple Regresión Lineal Bayesiana Modelo clásico de regresión XVIII

20 Capítulo 5 - Metodología Bayesiana y predicción Análisis Bayesiano de datos Categorías Enfoques Bayesianos Predicción Análisis Bayesiano de Datos para predicción Etapas predicción Bayesiana Metodología Bayesiana y combinación de modelos Combinación de modelos, parámetro fi Selección del modelo Modelos de predicción Análisis de los extremos (Extreme Bound Analysis - EBA) Promediado de modelos (Model Averaging) Modelos Lineales Estacionarios Reparto igual de pesos Metodología bayesiana y la combinación de previsiones Promediado bayesiano de modelos (BMA) El proceso de selección de modelo Probabilidad condicionada Apalancamiento Realizar predicciones con BMA Elementos y conclusiones del BMA Capítulo 6 - Ruptura estructural Introducción Test estadístico de Chow Caso de la ruptura Uso del test de Chow XIX

21 6.2.3 Aplicación test de Chow Secuencia de valores del test Chow como prueba de una fecha de ruptura Literatura Raíz unitaria vs Ruptura estructural Contraste CUSUM Estimación de ruptura estructural y pruebas Las Mejores contribuciones en la literatura Tests para una ruptura estructural con el tiempo desconocido Estimación del tiempo de un cambio estructural Tests para distinguir entre camino aleatorio y una ruptura en la tendencia Rupturas estructurales en modelos AR (p) Análisis de la incertidumbre y rupturas estructurales en el índice S&P Grandes rupturas estructurales detectadas en la historia Capítulo 7 - Software econométrico Introducción SAS S-PLUS Lenguaje de programación R MATLAB Gretl Mathematica EVIEWS Capítulo 8 - Herramienta de predicción en los mercados de divisas Entorno de programación Módulos de la aplicación Componentes que proporcionan información adicional de la serie Modelos seleccionados XX

22 8.4.1 MLRAR- Multiple linear regresión with AR(p)- Modelo de Regresión Lineal Múltiple Bayesiana SLR- Simple Linear regression - Modelo de regresión lineal simple Multiple Linear Regression (MLR)- Regresión Lineal Clásica Múltiple Modelos Autorregresivos Simples (AR (p)) Benchmarks seleccionados AR (1) La media (Mean) Método ingenuo (naïve) Reparto igual de pesos (equal weights) AR (2) Predicción final Capítulo 9 - Planificación y desarrollos futuros Definición del proyecto Estructura de División del Trabajo Organigrama del proyecto Planificación del Proyecto Presupuesto del Proyecto Control Fase de estudio, análisis y diseño Anexo A- Conclusiones, casos de estudio y desarrollos futuros A.1 Conclusiones extraídas A.2 Predicciones A.3 Caso de estudio A.4 Desarrollos futuros Bibliografía.118 XXI

23 Índice de tablas Tabla Divisas más importantes a nivel mundial... 9 Tabla Tabla con las divisas más intercambiadas en el mundo Tabla Operaciones que se más se realizan Tabla Ciudades con más operaciones de divisas Tabla 2.5-Tipos de transacciones Tabla 2.6-Bancos con más operaciones en el mercado FOREX Tabla 2.7- Datos recogidos en [PEAR05] sobre influencia de las noticas en el Yen Tabla 7.1-Descripción de aplicaciones de software econométrico Tabla 9.1-Planificación Tabla 9.2-Presupuesto del Proyecto Tabla 9.3-Presupuesto por empleado XXII

24 Índice de figuras Figura 2.1-Billetes de las principales divisas... 7 Figura 2.2-Gráfico de OANDA, entre barras amarillas los fines de semana Figura 2.3-Horarios de las principales plazas. Mercaforex.es Figura 2.4-Volumen de transacciones en los distintos mercados Figura 2.5-Apreciación de las divisas en horario doméstico Figura 2.6-Depreciación de las divisas en fuera de su horario comercial Figura 2.7-Historia FXCM Figura 3.1-ACF Figura 3.2-PACF Figura 3.3-Serie temporal financiera General Motors Figura 3.4-Serie temporal de ruido blanco Figura 3.5-ACF para AR (1) con = 0, Figura 3.6-Modelo ACF con =0, Figura 3.7-ACF para MA (4) Figura 3.8- Test ampliado Dickey Fuller Figura 4.1-Análisis de la regresión Figura 4.2-Estadísticas regresivas Figura 4.3-Diferencias tipos de regresiones Figura Exportaciones de lana en España entre 1964 y Figura 6.2-Ejemplo con ruptura estructural en Figura 6.3-Análisis de Andrews Figura 6.4-Índice de Desigualdad en USA Figura 6.5-Crecimiento anual del PIB en USA Figura 6.6-Dependencia de las variables Figura 7.1-Calculo de una autocorrelación en SAS Figura 7.2-Gráfico de la población de la Ciudades de USA elaborado en S-PLUS Figura 7.3-Diagramas de caja y bigotes en R Figura 7.4-Carga de una serie temporal de Divisas utilizando MATLAB Figura 7.5-Ejemplo de una distribución Normal calculada con Gretl Figura 7.6-Visualizaciones estadísticas-financieras en Mathematica Figura 7.7-Tipos de gráficos que ofrece EVIEWS XXIII

25 Figura 8.1-Ventana Inicial Figura 8.2-Menu principal Figura 8.3-Menu principal con datos cargados Figura 8.4-Diagrama de caja y bigotes Figura 8.5-Ventana del test de Philips-Perron Figura 8.6 -Ventana del test Aumentado de Dickey-Fuller Figura 8.7-Ventana con información de la serie Figura 8.8-Ventana de Outliers Figura 8.9-Ventana de Autocorrelation Figura 8.10-Modelos autorregresivos incluidos en la herramienta Figura 8.11-Lista desplegable de Benchmarks de la herramienta Figura 8.12-Ventana de Tipos de modelos y Benchmarks Figura 8.13-Ventana de información sobre el modelo de predicción Figura 8.14-Ventana de predicción final, según el Benchmark y el Forecast (BMA) Figura A.1- Selección modelo Figura A.2-Predicción simple Figura A.3- Predicción para t Figura A.4- Predicción para t Figura A.5- Outliers Figura A.6-Predicción ruptura XXIV

26 Capítulo 1 Introducción 1.1 Motivación del Proyecto Se propone el promediado Bayesiano de modelos con ruptura estructural para analizar la calidad de las predicciones en finanzas, donde es frecuente los cambios de régimen de funcionamiento de la serie temporal analizada. Este sistema se probará con datos financieros y se aplicará en un contexto cuyos resultados puedan ser de interés para la comunidad económica mundial. La elección del promediado Bayesiano para predecir se debe a la novedad de este sistema y los grandes resultados que está dando. Los resultados están basados en un promediado de aquellos modelos que puedan ser interesantes para un caso concreto. Debido a que usa varios modelos no comete el error de elegir un modelo erróneo porque basa su predicción en muchos modelos. El proyecto pretende en primer lugar diseñar y luego construir un sistema que permita obtener predicciones para varios horizontes de tiempo. Dentro de la fase de diseño, se desea introducir en el sistema aquellos modelos y variables que son más útiles para el objetivo final. Se irán procesando datos pasados y analizando todo aquello que sea de interés para programarlo y añadirlo a la aplicación. La implementación del sistema se hará en MATLAB. La elección de MATLAB se debe a que es un programa que integra computación, visualización y programación orientado a matemáticas. El lenguaje del programa sirve para que los usuarios creen funciones, interfaces, programas o diversas aplicaciones. Además cuenta con librerías matemáticas y econométricas muy útiles para crear el sistema deseado. 1

27 En las fases de prueba se irán ejecutando casos y analizando detalladamente los resultados para ir eligiendo los parámetros más representativos, variando los pesos de cada modelo, en definitiva todo aquello para obtener una mejor predicción. Todas las conclusiones y datos estarán dentro de un marco financiero. El principal tema a tratar será el cambio de divisas y como fluctúan los distintos valores de unas divisas con otras. Al tratar el tema de las divisas se ha decidido analizar las rupturas estructurales, concepto de gran importancia a la hora de realizar predicciones financieras. La primera gran motivación para realizar el proyecto es el gran interés por los sistemas financieros, por el mercado de divisas y el estudio de las rupturas estructurales. Además, este tema tiene una gran transcendencia actualmente. La popularidad del mercado de las divisas es debida a que la economía se encuentra en una situación muy globalizada. Las fluctuaciones entre distintas divisas repercuten considerablemente en los precios de los productos de un país. Por tanto estar preparados y predecir que puede pasar en el futuro, es muy conveniente y útil para un país. Una motivación importante encontrada en dicho proyecto es la carga estadística del proyecto, una ciencia muy utilizada en la actualidad. El mundo de la estadística puede proporcionar mucha información sobre cualquier campo. Por tanto, un buen dominio de conceptos estadísticos y de análisis ayuda a tomar mejores decisiones. La última gran motivación del autor es aprender MATLAB en profundidad. Este programa es muy potente, dispone de muchas librerías con funciones, se pueden programar interfaces o funciones. Además, proporciona salidas gráficas de mucha calidad. Consecuentemente aprender MATLAB es otra de las prioridades. 2

28 1.2 Objetivos Los objetivos del presente proyecto se dividen en específicos y generales Objetivos específicos El primer objetivo es el aprendizaje del promediado Bayesiano, así como entender su gran utilidad y saber aplicarlo a conjuntos de datos financieros. Dentro de este objetivo se incluye el aprendizaje de modelos autorregresivos de medias móviles, ARIMA o ARMA. El segundo objetivo es aprender a manejar toolboxes estadísticas de Matlab, para poder representar y calcular conceptos regresivos. El tercer objetivo es la familiarización con la programación de funciones en Matlab, para poder programar distintos métodos predictivos. El cuarto objetivo es la utilización de una herramienta creada en MATLAB en proyectos anteriores, capacitada para realizar distintas predicciones. El quinto objetivo es la comprensión del concepto de rupturas estructurales, como detectarlas y conocer los diferentes tests para detectar rupturas, entre ellos el teorema de Chow Objetivos generales El objetivo general es realizar predicciones sobre los valores futuros de una divisa respecto a otras, con todo el conocimiento aprendido en los objetivos anteriores. 3

29 1.3 Metodología La metodología de trabajo consiste en reuniones semanales o quincenales entre director y alumno. Se utilizan distintos recursos, entre los que destacan libros de texto y papers. Los libros sirven de apoyo para dominar conceptos estadísticos y de programación en Matlab. Los papers sirven para ampliar conocimientos y profundizar en los temas tratados. En lo referente al software se utiliza el programa MATLAB para realizar los cálculos y la creación de gráficas. La elección de este programa es debida a su gran potencia y sus múltiples posibilidades. También se emplearán programas como Excel y Statgraphics. Se dispone de una aplicación creada en Matlab por alumnos anteriores, esta aplicación se encuentra en una máquina virtual con gran documentación sobre ella, y muchos casos de prueba para poder introducir datos. Los datos que se necesitan para probarlos en la nueva versión de la aplicación en MATLAB para predicciones se encuentran en hojas Excel. Se emplean los primeros meses del desarrollo del proyecto para documentarse y familiarizarse con el entorno de trabajo, mediante la lectura semanal de papers o capítulos de libros. 4

30 Capítulo 2 - Los mercados de divisas 2.1 Introducción Los mercados de divisas (Foreign Exchange, forex, FX, or currency market) intercambian una moneda por otra. El precio de intercambio de las dos monedas se denomina tipo de cambio. Este mercado ofrece un enorme potencial de rentabilidad. El mercado de divisas está constituido por una gran cantidad de agentes alrededor del mundo, que compran y venden monedas de distintas naciones, permitiendo así la realización de cualquier transacción internacional. Es un mercado relativamente joven comparado con otros mercados especulativos internacionales. Es interesante destacar que a pesar de su corta historia, el Mercado de Divisas es el mercado financiero más grande del mundo. Así pues, antes de proseguir con su introducción técnica, se hará una breve descripción de su historia. 2.2 Historia del mercado de divisas Los tipos de cambio en el siglo XIX se basaban en el patrón oro. A partir de 1876 a 1913, todo el sistema de tipos de cambio se basaba en dicho patrón. El patrón oro era el respaldo de los billetes en una determinada cantidad de oro. Sin embargo, este método del patrón oro fue suspendido durante la Primera Guerra Mundial. 5

31 En la década de 1920, algunos países intentaron revivir el patrón oro tratando de usarlo. Sin embargo, la Gran Depresión golpeó a Estados Unidos en La Depresión afectó a la mayoría de los países desarrollados. El resultado fue que todos los planes sobre la revisión de la norma de oro fueron abandonados. Los primeros pasos del mercado de divisas, como se conoce actualmente, se dieron al final de la II Guerra Mundial. El precursor fue Bretton Woods, y el acuerdo fue firmado el 22 de julio de 1944 por 44 países. Por tanto, el origen se remonta a 1944 con la conferencia de Bretton Woods en New Hampshire, EEUU. El objetivo de esa conferencia era crear un sistema monetario internacional que garantizara la estabilidad de los tipos de cambio y la cooperación internacional. Uno de los resultados de esa conferencia fue la creación del Fondo Monetario Internacional (FMI). En su convenio constitutivo, se establecía un sistema en el que los países se obligaban a adoptar una paridad con respecto al oro o al dólar de los Estados Unidos. Woods estableció el precio del dólar US a 35$ por onza de oro y se valoraron las otras monedas tomándolas respecto al dólar. Así, el dólar se convirtió en el patrón de medida internacional respecto a todas las monedas, esto se denominó la base del oro (gold standard). Adicionalmente añadió otras medidas importantes, como la prohibición a los demás países a devaluar o valorizar artificiosamente su moneda con la finalidad de fortalecer su comercio respecto a otros países. Posteriormente en 1971, el entonces presidente de los EEUU, Nixon, abandonó la base de oro, estabilizando todas las divisas principales directamente con el Dólar Americano. Se abolió el acuerdo de Woods debido al fortalecimiento del sector de la construcción, que generó una situación de inestabilidad del mercado internacional, imposible de manejar. En consecuencia afectó al mercado de divisas. En 1978, se reemplazó el mecanismo de la tasa fija por la tasa flotante. Este nuevo mecanismo fue adoptado por otras divisas principales, transformando a cada una de estas 6

32 divisas o monedas en mercancías o commodities. El valor de estas divisas dependió de las fuerzas de oferta y demanda. Este tipo o tasa de cambio de monedas, de libre flotación entre todas las monedas del mundo, marcó el nacimiento del Mercado de Divisas Forex. La mayoría de las transacciones en este mercado se han llevado a cabo en los últimos 30 años. Sólo los grandes operadores como los bancos nacionales y grandes corporaciones multinacionales gozaron en el pasado del privilegio de participar en este mercado. Es en la década de los 80 cuando se consiguió el desarrollo de herramientas computacionales que aceleraron el flujo internacional de capitales, con lo cual el mercado se extendió a lo largo de Asia, Europa y América, y el volumen de transacciones creció considerablemente. Figura 2.1-Billetes de las principales divisas 2.3 Características y funcionamiento Los mercados de divisas intercambian distintas monedas. El acuerdo del precio se fija en el punto donde se cruzan las curvas de la oferta y la demanda; a este valor se le denomina tipo de cambio. La oferta y la demanda varían, en principio, de acuerdo con los saldos de la balanza de pagos, es decir, como resultado de los movimientos del comercio internacional: déficit y superávit. La situación de déficit hará que un país tenga exceso de moneda nacional frente al resto de divisas, haciendo que el valor de éstas aumente y que se registre una devaluación de 7

33 la moneda nacional. La situación de superávit producirá, naturalmente, el efecto inverso, una revalorización. Al producirse una devaluación, los bienes que exporta el país resultarán, por lo tanto, más baratos: su precio, medido en moneda nacional, será menor en términos de dólares u otras divisas. Como consecuencia de la devaluación se estimulará el aumento de las exportaciones, pues los compradores foráneos preferirán obviamente adquirir bienes más baratos. Algo semejante, pero de signo inverso, ocurrirá con las importaciones, pues una devaluación las encarecerá, estimulando su contracción. El resultado de ambos procesos incidirá en la eliminación de los déficits de la balanza de pagos, restableciéndose así el equilibrio de las cuentas externas de la nación. No hay una única cotización para un par de divisas, sino multitud de ellas ya que estas cotizaciones serán ofrecidas por multitud de contrapartes a las que se está conectado. Aunque en la práctica se disfruta de cotizaciones muy similares. 8

34 2.4 Principales divisas En la siguiente tabla se muestran las divisas más importantes a nivel mundial. Código EUR USD JPY GBP CHF CAD AUD NZD SEK CZK PLN HKD MXN ARS THB SGD ZAR HUF NOK ISO Nombre común Euro Dólar americano Yen japonés Libra británica Franco suizo Dólar canadiense Dólar australiano Dólar neozelandés Corona sueca Corona checa Zloty polaco Dólar hongkonés Peso mexicano Peso argentino Baht tailandés Dólar de Singapur Rand sudafricano Florín húngaro Corona noruega Tabla Divisas más importantes a nivel mundial 9

35 A continuación se muestran una tabla con las divisas más intercambiadas en el mundo, según [TRIE10]. Posición Código ISO 4217 Divisa Cuota de Mercado % (Abril 2010) 1 USD Dólar americano 84,9% 2 EUR Euro 39,1% 3 JPY Yen japonés 19,0% 4 GBP Libra británica 12,9% 5 AUD Dólar australiano 7,6% 6 CHF Franco suizo 6,4% 7 CAD Dólar canadiense 5,3% 8 HKD Dólar hongkonés 2,4% 9 SEK Corona sueca 2,2% 10 NZD Dólar neozelandés 1,6% Otras divisas 18.6% Total 200% Tabla Tabla con las divisas más intercambiadas en el mundo El dólar US ejerce de moneda puente en la mayoría de los tipos de cambios. Por ejemplo, si un comerciante desea intercambiar pesos mexicanos por yenes, deberá cambiar primero sus pesos por dólares y luego sus dólares por yenes. En Europa hay excepciones en los cambios EUR/GBP y EUR/CHF. Y otra excepción se produce en el cambio EUR/JPY. 10

36 De todas las operaciones que se realizan, las que representan un mayor porcentaje son las tres siguientes: Operación Porcentaje EURUSD 28% USDJPY 14% GBPUSD 9% Tabla Operaciones que se más se realizan 2.5 Localización y horarios El mercado de divisas o mercado cambiario es el mercado en el cual se intercambian las distintas monedas extranjeras. Está constituido por una gran cantidad de agentes alrededor del mundo, que compran y venden monedas de distintas naciones, permitiendo así la realización de cualquier transacción internacional. Este mercado se define como OTC (overthe-counter), es decir, un mercado descentralizado, no regulado, en el que las transacciones son bilaterales y no de la forma contraparte-mercado-contraparte. Hay ciertos lugares donde se desarrolla gran parte de la actividad, plazas financieras con relativa importancia en el volumen de operaciones. Acorde a [TRIE10] las plazas más importantes en porcentaje de operaciones del total son: Ciudad Porcentaje de operaciones totales Londres 36.7% Nueva York 17.9%, Tokio 6.2%. Tabla Ciudades con más operaciones de divisas 11

37 Otra característica importante del mercado de divisas es que opera las 24 horas del día y 365 días al año, aunque durante sábados y domingos la actividad es muy limitada. Figura 2.2-Gráfico de OANDA, entre barras amarillas los fines de semana Pese a que es un mercado 24 horas, cada plaza tiene un horario concreto en cuando se llevan a cabo la mayor parte de las operaciones. 12

38 Figura 2.3-Horarios de las principales plazas. Mercaforex.es A continuación, se incluye la figura 2.3, en donde se observa que mayor actividad en el mercado cuando coinciden los horarios de Asia y Europa (0:00 EST 02:00 EST), Europa y Nueva York (08:00 EST 11:00 EST), y Asia y Nueva York (17:00 EST 21:00 EST). Todos los pares de divisas principales se operan frecuentemente durante los horarios de Nueva York y Londres. El mercado de Asia, sin embargo, maneja pares como el AUD/JPY y EUR/JPY con mayor frecuencia. Figura 2.4-Volumen de transacciones en los distintos mercados. Adicionalmente hay que destacar el estudio [RANA09] que analiza en que periodos del día una divisa tiene más o menos valor. El estudio analiza las divisas en periodos de cuatro horas, coincidiendo con la apertura de los mercados de Japón, europeo y de EEUU. 13

39 Los periodos son desde medianoche a las 4:00 GMT, de 8:00 GMT a mediodía, y desde 16:00 hasta la medianoche. El estudio concluye que la divisa local tiende a depreciarse durante las horas de trabajo de dicho mercado, es decir el dólar se deprecia mientras el mercado de Estados Unidos esta operativo. Las monedas utilizadas para el estudio son: Franco suizo vs Dólar, Marco alemán vs Dólar (hasta 1998), EURO (a partir de 1998) vs Dólar, Yen vs Euro, Yen vs Dólar. Las dos siguientes gráficas muestran el promedio de rendimiento año a año de la media de el cross-sectional return (en términos anuales) durante un período representativo de cuatro horas en horario comercial nacional y otro periodo de cuatro horas fuera de su horario comercial. Figura 2.5-Apreciación de las divisas en horario doméstico 14

40 Figura 2.6-Depreciación de las divisas en fuera de su horario comercial. Los resultados que se extraen del estudio [RANA09] son bastante claros, salvo alguna excepción, principalmente en los cambios entre el CHF y USD, el resto de divisas se aprecian durante sus horas de mercado y se deprecian fueran de esas horas. 2.6 Tipos de mercados de divisas Mercado de Cambio al Contado: se refiere al tipo de mercado donde el precio de una moneda es para entrega inmediata. La moneda se entrega en un plazo inferior a dos días posterior a su compra. Mercado A Plazo: donde se negocian obligaciones a plazo, fijándose normalmente el valor a 30, 60, 90 y 180 días. Se compra y vende la moneda para entrega futura, aunque en las monedas principales los bancos están dispuestos a comprar o vender hasta en un plazo de diez años. Si se sabe lo que tiene que pagar o recibir en moneda extranjera en una fecha futura, puede asegurarse frente a pérdidas comprando o vendiendo a plazo. 15

41 Mercados de derivados: Los contratos se operan en mercados centralizados y organizados. Las operaciones son del tipo contraparte-mercado-contraparte y existe la figura de cámara de compensación, que liquida diariamente las pérdidas y ganancias y elimina el riesgo de impago de las contrapartes. Si en algún momento no se puede cumplir con la garantía la operación es cerrada por la cámara de compensación, liquidando las pérdidas o ganancias. Se manejan lotes o contratos de tamaño normalizado. Las fechas de vencimiento de los contratos son también normalizadas, siendo mensuales o trimestrales y son establecidas por la autoridad del mercado. 2.7 Tipos de operaciones Dependiendo de las necesidades que se deseen cubrir, hay diferentes tipos de operaciones en el mercado de divisas. Se pueden dividir en operaciones OTC y operaciones en mercados de derivados. Los derivados reciben este nombre porque son contratos sobre un subyacente (en este caso, las monedas) del que depende o derivan y no se opera de forma directa sobre el mercado de divisas. Las Operaciones OTC (over-the-counter) pueden ser de los siguientes tipos: A plazo o forward: el comprador y el vendedor acuerdan llevar a cabo una transacción en una fecha futura, por un precio y cantidad de mutuo acuerdo. Esta operación al ser OTC es totalmente flexible en el tiempo y la cantidad, pero con riesgo de impago. Operaciones de este tipo suelen ser llevadas a cabo normalmente por operadores comerciales/financieros que desean eliminar el riesgo de tipo de cambio en el futuro. El objetivo de este tipo de operaciones es evitar riesgos de apreciación de otra divisa en los tipos de pagos a medio plazo. 16

42 Swap: en esta transacción dos contrapartes intercambian divisas y acuerdan el intercambio a la inversa en una fecha futura. Este tipo de operaciones es común entre los operadores especuladores. El objetivo es que un comprador o un vendedor especulen que su moneda va a ser más fuerte que la moneda de su comprador o vendedor en la fecha de pago acordada. Al contado o spot: forma más tradicional, involucrando el cambio de una divisa por otra en el plazo de 2 días. Este plazo de entrega es un remanente del pasado, en el que 2 días era el plazo que tardaba en cambiar los fondos de un banco a otro. Esta operación pueden ser llevada a cabo por cualquier tipo de operador, ya sea comercial/financiero o especulador. Para las operaciones de especulación actualmente no se respeta el plazo de 2 días de entrega sino que diariamente se cierra la posición y se reabre inmediatamente durante otras 24 horas, pudiéndose alargar de forma artificial la operación por tiempo ilimitado. Actualmente la operación al contado es probablemente la más popular entre los especuladores en el OTC. El objetivo es beneficiarse de las variaciones diarias de las tasas de cambio entre monedas. Las Operaciones en mercados de derivados son las siguientes: Futuros: son similares a la operación a plazo pero con la diferencia de que son contratos normalizados y se operan en mercados organizados. Entre los especuladores es de popularidad equivalente a las operaciones spot o al contado. Opciones: son un derecho a comprar o vender en un plazo específico una determinada divisa a un precio estipulado previamente. Por este derecho se paga una prima. 17

43 2.8 Factores determinantes en la tasa de cambio Hay muchos factores que determina la tasa de cambio: el gobierno, fuerzas de oferta y demanda por la moneda de un país en particular, tasas de interés, inflación, la balanza de comercio internacional del país y las expectativas de los consumidores sobre lo que pasará en el futuro, de acuerdo con el estudio [EVAN05]. Hay dos maneras para influir en la tasa de cambio por parte de los gobiernos: Directamente: consiste en fijar la tasa de cambio. Esto quiere decir que la tasa se mantiene al mismo nivel hasta que el gobierno la cambie. Indirectamente: fijada a través de las tasas de interés o comprando moneda en la bolsa de divisas. Un gran número de países fijan tasas flexibles que varían cada día o incluso varias veces al día. Un país consigue una divisa fuerte si se produce un incremento en la demanda de sus exportaciones. También aumentaría el valor de la divisa si hay extranjeros que quieren invertir o pagar deudas en ese país. El caso contrario se produciría si existe el deseo de los consumidores y negocios de ese país de comprar bienes y servicios extranjeros o bien transferir dinero o pagar deudas en el extranjero. Como se produce con cualquier producto, puede decirse que el tipo de cambio se determina por la relación entre oferta y demanda de moneda nacional para transacciones internacionales del país: efectivamente, la oferta de divisas tiene como contrapartida la demanda de moneda nacional y la demanda de divisas tiene como contrapartida la oferta de moneda nacional. 18

44 2.9 Magnitud del mercado y datos cuantitativos El mercado de divisas es considerado el mercado más grande por el volumen negociable albergado. De acuerdo a un estudio trienal realizado por el Bank for International Settlements, en abril de 2010, el volumen de negocios medio se estima en $3.98 trillones americanos diarios. Se ha producido un incremento del 20% sobre los $3.21 trillones americanos diarios que reflejaba el mismo estudio realizado en abril de Estos $3.98 trillones americanos se reparten principalmente en los tres tipos de transacciones explicadas anteriormente: Tipo transacción Cantidad Porcentaje Transacciones al contado spot $ millones 37,44% Contratos a corto plazo forwards. $ millones 11,93% Transacciones swap. $ millones 44,35% Currency swaps $ millones 1,08% Resto de productos $ millones 5,20% Total $ millones 100% Tabla 2.5-Tipos de transacciones Por último se muestra una tabla, según [FXPO10], con los bancos que más operaciones realizan son: 19

45 Posición Nombre País Cuota de mercado 1 Deutsche Bank Alemania 18.06% 2 UBS AG Suiza 11.30% 3 Barclays Capital Reino Unido 11.08% 4 Citi Estados Unidos 7.69% 5 Royal Bank of Schotland Reino Unido 6.50% 6 JPMorgan Estados Unidos 6.35% 7 HSBC Reino Unido 4.55% 8 Credit Suisse Suiza 4.44% 9 Goldman Sachs Estados Unidos 4.28% 10 Morgan Stanley Estados Unidos 2.91% Tabla 2.6-Bancos con más operaciones en el mercado FOREX 2.10 Noticias macroeconómicas y movimientos del mercado Las noticias macroeconómicas tienen gran importancia en los cambios de divisas según [PEAR05]. El efecto de las noticias se debe a que, por ejemplo, anuncian cambios en políticas económicas o informan de datos macroeconómicos. Todas las noticias que resaltan datos económicos producen un efecto en el futuro, causan expectativas e implican revisar las previsiones futuras de evolución económica. En ese mismo estudio, realizado para determinar cómo afectan las noticias macroeconómicas valor del dólar frente a otras divisas, se indicó que se tiene que observar la respuesta en forma de cambio del valor de la divisa ante una noticia. Un mercado cambia con el cambio en las expectativas. 20

46 El actual modelo monetario, por ejemplo, asume que lo fundamental es la oferta de dinero en cada país y los ingresos reales en dicho país. Las variantes de este modelo que permiten precios rígidos, según predijo [FRAN79] un aumento en la tasa interés de un país, debido al endurecimiento de la política monetaria puede provocar la apreciación de su moneda. En el lado contrario se encuentran los modelos tipo de cambio pronosticando que una noticia de aumento del déficit comercial debería conducir a una depreciación del dólar. Finalmente las noticias sobre la economía también puede influir cambios en las expectativas, afectando las acciones y decisiones previstas del Banco Central, es decir, si dentro del mercado los participantes piensan que la Reserva Federal subirá las tasas de interés reales en respuesta a las noticias economías, entonces el dólar debería apreciarse. Tabla 2.7- Datos recogidos en [PEAR05] sobre influencia de las noticas en el Yen. 21

47 2.11 Algoritmos de trading En los mercados financieros electrónicos, los algoritmos de trading, son usados por programas de ordenador para introducir las órdenes de negociación en los ordenadores y utilizar estos algoritmos para decidir sobre los aspectos en la operación, tales como el tiempo, el precio o el volumen de la operación. Además en muchos casos se inicia la orden sin intervención humana. La algorítmica de trading es ampliamente utilizada en los campos de los fondos de pensiones o los fondos mutuos, que son un tipo de fondos gestionados profesionalmente que reúnen dinero de muchos inversores privados para comprar acciones, bonos u operaciones en mercados de divisas entre otros productos financieros. Una clase especial de algorítmico de trading son high-frequency trading (HFT), en los que los equipos informáticos toman decisiones elaboradas para iniciar operaciones basadas en la información que reciben electrónicamente, antes eran las personas las que eran capaces de procesar la información que observaban. El éxito de las estrategias comerciales de alta frecuencia es en gran medida por su capacidad de procesar simultáneamente un volumen de información, algo que los operadores humanos ordinarios no pueden hacer. Esto ha dado lugar a un cambio dramático en la micro estructura del mercado. Por último, según [LATI09] en EE.UU., las compañías de high-frequency trading representan el 2% de aproximadamente compañías que operan actualmente, pero su volumen comercial representan el 73% del volumen total de operaciones con acciones. 22

48 2.12 Mercado FOREX en internet Actualmente se realizan muchas operaciones de divisas vía online. Uno de los portales para realizar operaciones más reconocidas mundialmente es FXCM.com Historia FXCM La compañía FXCM a fecha de 30 de septiembre 2010, contaba con más de 174,000 cuentas transables, que operan por medio de las plataformas de FXCM desde 180 países con un promedio de 6,700,000 de órdenes ejecutadas cada mes. FXCM ha recibido muchos reconocimientos por parte de la comunidad financiera, incluyendo Mejor Broker de Divisas por la revista Shares, Mejor Plataforma Retail de Operaciones en Divisas por FX Week y Mejor Especialista FX por Technical Analysis of Stocks & Commodities. Además de operar en el mercado de divisas, FXCM ofrece cursos educacionales, y provee análisis del mercado a través de DailyFX Español. Figura 2.7-Historia FXCM 23

49 Ventajas de operar online usando FXCM FXCM ofrece transparencia y una ejecución justa Sin Mesa de Dinero. Cada operación es ejecutada mano a mano, a través de una filial, con bancos e instituciones financieras, que compiten para proveerle a FXCM los precios de compra y venta. Los mejores spreads disponibles para FXCM son entregados a los usuarios con un diferencial mínimo. 24

50 Capítulo 3 - Modelos Autorregresivos de medias móviles En este capítulo se explicarán algunos modelos autorregresivos, tales como el autorregresivo simple (modelo AR), la media móvil (modelo MA) o la combinación de ambos métodos sin o con procesos de integración (modelos ARMA o ARIMA, respectivamente). Antes de explicar en profundidad los modelos autorregresivos, se introducirán unos conceptos previos, que sirven de aclaración. 3.1 Conceptos previos Los conceptos previos a explicar son: la función autocovarianza, la función de autocorrelaciones y la función de autocorrelaciones parciales. Posteriormente se explican las series temporales y sus componentes Funciones autocorrelativas genérica y t. Para explicar los siguientes conceptos se empleará la utilización de una serie temporal La función de autocovarianza como: E. 3.1 h =, 25

51 La función de autocorrelaciones (ACF) como: E. 3.2 h =, = h / 0 La función de autorcorrelaciones parciales (PACF): E =1 E. 3.4 h = h>0 donde es el coeficiente de y 1 en la ecuación autorregresiva y h+1 = Ф h1 y h + + Ф hh y 1. Esta ecuación obtiene una predicción del valor y h+1 a partir de sus valores previos. Esta ecuación obtiene sus valores a partir de valores previos. La función de autocorrelación sirve para medir la correlación entre los valores y e y h+1, si esta función es igual a cero, significa que no están correlacionadas. Por último la función de covarianza: sirve para medir la varianza entre los datos de una misma serie temporal. La función de autocorrelación (ACF) muestra la presencia o no de las medias móviles del modelo (MA). Figura 3.1-ACF 26

52 La función de autocorrelación parcial (PACF), muestra la posible presencia de autocorrelaciones (AR). Figura 3.2-PACF Series temporales Para tratar estas series se utiliza el concepto estacionariedad. Una serie es totalmente estacionaria si su distribución conjunta es igual en Y t que en Y t+1 para cualquier valor de t. Dada la complejidad de calcular la estacionariedad se suele tomar la hipótesis de estacionariedad débil. Cuando se asume esta hipótesis se está asumiendo que la media Y t y la covarianza entre Y t+h e Y t no varían a lo largo del tiempo. También se asume que sus dos primeros momentos son finitos. La mejor forma de comprobar esta estacionariedad es en una gráfica. Por último se muestra un ejemplo serie temporal financiera sobre retorno de Activos de General Motors entre enero de 1975 y diciembre de 2008, la serie está incluida en [TSAY01]. 27

53 Figura 3.3-Serie temporal financiera General Motors Componentes series temporales Toda serie temporal {Y t} se puede descomponer en una serie de componentes que reflejan aspectos analíticos que han estado presentes en la formación de los valores que toma la magnitud considerada. Así, es posible encontrar que en los valores que toma la serie intervengan las siguientes componentes. - Tendencia -secular- (T): representa la evolución a largo plazo de la serie. El valor de la tendencia en el instante t se notará por T. - Factor cíclico (C): representa movimientos oscilatorios por encima y por debajo de la tendencia de una serie temporal. El periodo o duración de un ciclo no se mantiene constante a lo largo del tiempo. La presencia de esta componente suele deberse a cambios en la actividad económica. El valor del factor cíclico en el instante t será denotado por t C. - Estacionalidad (E): recoge aquellas oscilaciones de una serie temporal que se completan dentro de un periodo (por ejemplo una semana o un año) y que se repiten en periodos (por ejemplo una semana o un año) sucesivos. El tiempo afecta tanto directa (intervención humana prácticamente nula) como indirectamente (intervención humana). El valor de la componente estacional en el instante t será notado por t E. - Movimiento irregular (I): se refiere a variaciones esporádicas de la serie que no están recogidas en ninguna de las componentes anteriores. El valor del movimiento irregular en el instante t será denotado por t I. Tiene un carácter residual. Este movimiento, a su 28

54 vez, se suele descomponer en dos partes: Aleatoria (recoge pequeños efectos accidentales). Errática (consecuencia de hechos no siempre previsibles, que se identificarían a posteriori). 3.2 Modelo de ruido blanco Una serie temporal r t sigue un modelo de ruido blanco si {r t } es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza finita. En particular, si r t está distribuida de forma normal con media cero y varianza σ 2, la serie es llamada ruido blanco Gaussiano. Para una serie de ruido blanco, todas las ACF deben ser iguales a cero. En la práctica, esta condición es difícil de cumplir por lo que se considerará ruido blanco si los ACF son cercanos a cero (ver Figura 3.4). Figura 3.4-Serie temporal de ruido blanco 29

55 3.3 Modelo de camino aleatorio Es un modelo temporal muy usado en finanzas que cumple la siguiente fórmula: E. 3.5 = + + Donde e t es una serie de ruido blanco y π es el desvío. como: Otro elemento importante es la varianza del proceso en el tiempo t queda definida E. 3.6 Var = σ 3.4 Modelos ARIMA La metodología ARIMA o Box-Jenkins parte de base de considerar que el valor estudiado de una serie temporal, en un tiempo t, procede de una variable aleatoria y t. Esto significa que una serie de n datos es una muestra de un vector de n variables aleatorias temporalmente en orden, esto es lo que se conoce como proceso estocástico (aleatorio). Dentro de la metodología ARIMA hay dos grandes grupos, los modelos autorregresivos simples AR (p) y los modelos de Media Móvil Simples MA (q) Modelos autorregresivos simples (AR (p)) La principal característica de estos modelos es la regresión de la variable Y t sobre sí misma, es decir sobre sus valores pasados. 30

56 Los modelos autorregresivos usan y tienen en cuenta los valores significativos en la función de autocorrelaciones del periodo t-1 para el periodo t. Los modelos AR utilizan estos datos para hacer previsiones. A continuación se muestra el modelo autorregresivos más sencillo: E. 3.7 = + + 1< <1 En la formula anterior e t esta guiado por el modelo de ruido blanco, con las características de este modelo. Hay dos posibilidades, la primera cuando Ф t = 0 entonces la serie de esta regida por ruido blanco. La segunda cuando Ф t = 1, los datos seguirán el modelo de camino aleatorio. La condición necesaria y suficiente para que un modelo AR (p) sea débilmente estacionario es que Ф1 < 1. Para definir un AR (p) general: E. 3.8 = < <1 Dentro de la ecuación anterior C es un término constante, Ф p son los parámetros autorregresivos y por último el término e t es el error. 31

57 Figura 3.5-ACF para AR (1) con = 0,8 Los parámetros autorregresivos tienen que cumplir: -1 < Ф 1 < 1 Ф 1 < Ф 2 < 1 Ф 1 + Ф 2 < 1 Ф 1 - Ф 2 < 1 El orden Ф de un modelo AR se obtendrá empíricamente, principalmente mediante el análisis de la función de autocorrelación parcial y el uso de criterios de información. También es importante saber, que en estos modelos es frecuente que el desfase coincida con la repetición periódica de los datos, modelos SAR. Por último se incluye una figura que incluye la representación de un modelo AR (1), con un parámetro autorregresivo positivo, donde se aprecian las diferencias con la figura anterior: 32

58 Figura 3.6-Modelo ACF con =0, Modelos de media móvil simples (MA (q)) Estos modelos son muy usados para analizar series temporales. Su cometido es explicar el comportamiento de una variable y, fijándose en los errores de dicha variable a la hora de estimar el valor de y en periodos pasados. La ecuación general para MA (q) es: E. 3.9 = < <1 Dentro de la ecuación; c es constante, Фp es el parámetro de media móvil, el término e t-k es el error en t-k. Por último se muestran las restricciones del parámetro de media móvil: -1 < Ф 1 < 1-1 < Ф 2 < 1 Ф 1 + Ф 2 < 1 Ф 1 - Ф 2 < 1 33

59 Figura 3.7-ACF para MA (4) Modelos autorregresivos de medias móviles (ARMA (p, q)) Los modelos ARMA (autoregressive moving average model) integran los dos modelos anteriores AR y MA en una única expresión. Con esta integración de modelos la variable Y t queda explicada en función de los valores tomados por la variable en periodos anteriores (AR) y por los errores cometidos en la estimación (MA). La ecuación general de ARMA: E = + +Ф + +Ф Dentro de la ecuación; c es constante, Ф es el parámetro autorregresivo, θ es el parámetro de media móvil, y e el término que representa el error. El parámetro de media móvil presenta las mismas restricciones que se han expuesto anteriormente. 34

60 3.4.4 Modelos autorregresivos de medias móviles integrados (ARIMA (p, d, q)) Los modelos ARIMA son teóricamente el caso más general de modelos para predecir una serie temporal no estacionaria, puesto que ARIMA suele trabajar con datos no estacionarios. La manera más fácil de entender ARIMA es mediante el afinado de los modelos de versiones de camino aleatorio y tendencia aleatoria. El afinado consiste en añadir lastres de las series de diferenciación y/o lastres de de la previsión de errores a la ecuación de predicción. También hay que eliminar cualquier última huella de autocorrelación de la ecuación previsión de errores. Una serie temporal cualquiera, x t, se suele descomponer en tres partes: una tendencia m t, un componente estacional s t y un componente de ruido aleatorio y t que será la parte estacionaria. Hay que eliminar el componente estacional y el de tendencia para poder aplicar las técnicas de ARMA. Métodos que eliminan la tendencia en una serie de datos: -Realizar la siguiente regresión con mínimos cuadrados, manteniendo y t que será la parte estacionaria. Estaremos ante un modelo estacionario si se elimina la tendencia con este método. Diferenciar el proceso hasta que se convierta en estacionario. A veces será necesario realizar la diferenciación varias veces. -Si fuera necesario diferenciar el proceso d veces, se diaria que el proceso esta integrado con un orden d o I (d), y que tiene d raíces unidad. Sera modelado como un ARIMA (p, d, q). -Un modelo v no estacional x se clasifica "modelo ARIMA (p, d, q)", donde: p es el número de términos auto-regresivos. d es el número de diferencias no estacionales. 35

61 q es el número de errores de previsión acumulado en la ecuación de predicción. 3.5 Modelos ARMAX Los anteriores modelos tratan de determinar el comportamiento de una serie de tiempo en función de valores pasados de la misma serie, y del término de error. Sin embargo, pueden haber otros factores medidos a través de otras variables que también ayuden y complementen la parte explicara por el modelo ARIMA. Esto son los denominados modelos ARIMAX. La fórmula de los modelos ARMAX es: E = + Φ + Φ + β, con los coeficientes de regresión Bk y la matriz de regresión X, en donde cada columna es una serie temporal. 3.6 Método ingenuo El método de predicción ingenuo (naïve) utiliza la observación más reciente disponible como predicción. La diferencia entre el EAM o el EPAM obtenido según un método de predicción más sofisticado y el obtenido según PI1 proporciona una medida de la mejora alcanzable mediante el empleo del método más sofisticado. Este tipo de comparación es mucho más útil que calcular simplemente el EAM o el EPAM del primer método, ya que se proporciona una base para evaluar la precisión relativa de los resultados. Un segundo método ingenuo de predicción también se ha encontrado útil como base para evaluar métodos de predicción más formales. Este método se designa método de predicción ingenuo 2 y propone como predicción para la observación en el próximo periodo a 36

62 la observación del periodo actual más el incremento que ha tenido lugar en el último periodo. Además considera la posibilidad de crecimiento (siempre igual al del último periodo), a diferencia del método Estadístico U de Theil El estadístico U de Theil es útil tener porque proporciona una medida que considera a la vez el coste desproporcionado de los errores grandes y suministrase una base para la comparación con los métodos ingenuos. Esta medida, desde 1966, permite una comparación relativa de los métodos de predicción formales con las aproximaciones ingenuas y asigna más peso a los errores grandes frente a los pequeños. Cambio relativo según predicción: E = Cambio relativo real: E = El estadístico U de Theil responde a la expresión: E = Su interpretación es la siguiente: Será 0 cuando todas las predicciones sean exactas. 37

63 U = 1: el método ingenuo (PI1) es tan bueno como la técnica de predicción que se está evaluando. U < 1: la técnica de predicción evaluada es mejor que el método ingenuo. Cuanto más pequeño sea el estadístico U, mejor es la técnica de predicción en relación al método ingenuo 1. U > 1: el método ingenuo es mejor que el método de predicción formal analizado, debiéndose descartar éste. Si el CRP t +1 va en dirección opuesta al CRR t +1, el numerador superará al denominador y U > Raíces unitarias La raíz unitaria es una característica de los procesos que evolucionan con el tiempo y puede causar problemas en la inferencia estadística, si no es tratada adecuadamente. Es útil detectarlas porque cuando una función de autocorrelaciones decae lentamente indica una gran raíz característica, una raíz unitaria o un proceso de tendencia estacionario. Existen diversos test para determinar el caso al corresponde la serie de datos. A lo largo de este capítulo se expondrán los test de Dickey-Fuller y el test de Phillips Perron. Un concepto previo a tener en cuenta para detectar raíces unitarias, es el paseo aleatorio (Random Walk). Una serie es un paseo aleatorio si cumple la siguiente ecuación: E = + siendo et el ruido blanco 38

64 3.9 Introducción test para raíces unidad Un proceso no estacional x t puede descomponerse en: Una tendencia que de una forma simplificada se asume lineal: E = + Un término de ruido que de una forma simplificada que se asume como un proceso ARMA(p, q): A(L)y t = B(L)u t con u t como ruido blanco. Los test de raíz unidad se refieren al comportamiento del segundo término pero la existencia del primero también es crucial. Para su aplicación se requiere invertibilidad, que sea invertible, por lo que B (L) puede tener las raíces sólo fuera del círculo unidad. Si el proceso x t es estacionario en la tendencia, y t es también estacionaria y las raíces de A (L) están fuera del círculo unidad. En cambio, si fuera necesario diferenciar y se estuviera ante un proceso estacionario de diferencia, y t tendría una raíz unidad en la parte autorregresiva. Se puede descomponer y t en: Un componente cíclico C t estacionario con media cero para que no haya un impacto duradero en el nivel de x t. Una tendencia estocástica T t que incorpore todos los impactos que tengan efectos duraderos. En los modelos estacionarios de tendencia no hay tendencia estocástica e y t es ya la componente cíclica. En cambio, en los modelos estacionarios de diferencia y t se divide en en dos partes. La primera un componente de camino aleatorio construido como una media móvil de u t que representa el efecto a largo plazo de un impacto y la segunda parte es la cíclica que no tiene ese efecto a largo plazo. 39

65 3.10 Tests de raíz unitaria Los tests más populares para comprobar la hipótesis nula de raíz unitaria en la serie, son los tests de Dickey-Fuller, Philips-Perron y los tests de cointegración Test Dickey-Fuller El test de Dickey-Fuller sirve para comprobar si hay una raíz unidad en un modelo autorregresivo, fue desarrollado por D.A. Dickey y W.A. Fuller en Su procedimiento se explica a continuación. Si se considera y t como un proceso AR (1): E = + E = + Para incluir la posibilidad de una tendencia determinista (considerando sólo el caso lineal) se estiman las siguientes regresiones: E = + + E = + que serán equivalentes a estimar la regresión de la siguiente manera: E = A todas las fórmulas anteriores se aplica el siguiente sistema de hipótesis: H0: = 0, por lo que el proceso tiene una raíz unitaria. H1: < 0, por lo que el proceso es estacionario en la tendencia. 40

66 Además, los valores críticos se pueden encontrar en tablas según el conjunto de coeficientes de regresión usados. Estas estimaciones fueron realizadas por Dickey y Fuller ( ) empleando para ello simulaciones de Monte Carlo Test ampliado de Dickey-Fuller Para un proceso general AR (p) es suficiente comprobar la hipótesis = 0 considerándola regresión: E = Los valores críticos para este test son los mismos que para el caso de AR (1) y dependen de la presencia de tendencia lineal y de los términos constantes. El test asume que los errores et son independientes y tienen varianza constante. Al no saber realmente qué datos reales genera el proceso, el test ampliado de Dickey- Fuller presenta cuatro problemas: 1. Los datos reales generadores del proceso pueden contener también componentes de medias móviles. 2. Los órdenes de la parte autorregresiva y de la parte de media móvil son desconocidos. 3. Pueden existir múltiples raíces. 4. No se sabe si la tendencia determinista está presente o no. Atendiendo al primer problema mencionado y como un modelo invertible MA puede transformarse en un modelo autorregresivo, se generaliza el test para un modelo ARMA (p, q) tomando la siguiente regresión: E =

67 En la práctica y según Said y Dickey (1984), un ARIMA (p, 1, q) desconocido se aproxima a un ARIMA(n, 1, 0) con n ~ T 1/3 donde T es la longitud de la serie. El segundo problema, incluir demasiados retrasos reduce el poder para rechazar la hipótesis nula. En cambio, introducir pocos hace que no se capture el proceso de error. Una posible solución es comenzar a estimar con un retraso relativamente grande n e ir comprobando el estadístico para el coeficiente de n en la regresión previa; si el valor es insignificante reducir el retraso en n-1 hasta encontrar un valor significativo. Será necesario hacer un test posterior para comprobar la ausencia de autocorrelaciones entre residuos. Para evitar la existencia de múltiples raíces se realizará el test de Dickey Fuller en el proceso diferenciado de primer orden; ante la existencia de una segunda raíz se volverá a diferenciar y se repetirá el test hasta conseguir un proceso estacionario. Finalmente y atendiendo al último problema, para solucionarlo habrá que decidir acertadamente que tipo de regresores se deben incluir en el test. Basándose en tablas elaboradas por Dickey y Fuller, M. Barigozzi propone el método representado gráficamente en la siguiente figura. Es importante destacar que estos tests dependen enormemente de los conjuntos de regresores usados y no distinguen bien entre raíces unidad que son reales y procesos cercanos al de raíz unidad. La siguiente figura muestra como se aplica el test ampliado de Dicky-Fuller. 42

68 Figura 3.8- Test ampliado Dickey Fuller Test de Phillips-Perron El test de Phillips-Perron evalúa la hipótesis nula de una raíz unitaria en una serie temporal y. Todos los test usan el siguiente modelo: E = A diferencia del test aumentado de Dickey-Fuller, no existen términos de diferencias retardados. La hipótesis nula restringe el parámetro a = 1. Las variantes de este test, adecuado para las series con diferentes características de crecimiento, el test también puede limitar la 43

69 deriva y por último restringe los coeficientes de tendencia determinista, C y D, respectivamente, al valor 0. Las distintas versiones del test de usan el test aumentado de Dickey-Fuller para detectar las series de correlaciones en un proceso e (t) Test cointegración Los test de cointegración según [AROS04] son las pruebas iniciales para calcular la eficiencia del mercado de divisas. La ausencia de cointegración es frecuentemente interpretado como la eficiencia del mercado, mientras que la presencia de cointegración implica una ineficiencia del mercado y / o la existencia de alguna prima de riesgo. Los tests de cointegración se realizan para el período de crisis y para otros dos períodos sin crisis. Inicialmente, los test de Dickey-Fuller y Phillips-Perron (PP) para detectar la raíz unitaria se realizan en los logaritmos de las tasas de cambio al contado para determinar si las series temporales eran estacionarias. Si las series están cointegradas, un modelo de corrección de errores (ECM) es apropiado tanto para pronosticar la dinámica a corto plazo, como para tratar las tendencias a largo plazo. Por lo tanto, las pruebas de raíz unitaria en la prima de riesgo se pueden utilizar para investigar la eficiencia en los mercados. La estacionalidad de la prima de riesgo se prueba con los test estándar de DF y de PP para detectar las raíces unidad. 44

70 Capítulo 4 - Análisis de la regresión El análisis de la regresión es una herramienta estadística para analizar la relación entre variables. Dentro de un modelo puede haber una o varias variables aleatorias y, estas variables reciben el nombre de variables respuesta. Por otro lado están las variables independientes, variables x, llamadas predictivas. Estas permiten examinar la condición de distribución de y si te dan la variable x a partir de n observaciones. La aplicación del análisis de la regresión se usa en casi todos los campos. Uno de los campos donde se utiliza más es en la economía, más concretamente en los mercados y bolsas. Las bolsas del resto del mundo dependen del Dow Jones americano. Inicialmente se tratará el modelo de regresión clásico porque para entender el modelo Bayesiano de regresión es conveniente conocer el modelo clásico de regresión. 4.1 Modelo de regresión lineal simple El modelo de regresión lineal simple considera una variable explicativa X, y supone que la relación estadística entra la variable respuesta Y, es variable explicativa lineal, según la siguiente ecuación: E. 4.1 Y = β +β.x +ε El modelo es lineal, (E. 5.1) se caracteriza porque los coeficientes x i no están elevados a ninguna potencia. En el momento en que hay más de una variable explicativa se habla de regresión lineal múltiple. 45

71 En el modelo de regresión lineal simple (MRLS) hay tres parámetros: - Los coeficientes b0 y b1. - La varianza que mide la dispersión alrededor de la recta de regresión Cuantificación de la variación total en la Y A. SUMA DE CUADRADOS TOTAL (SCTo). Una primera aproximación a la medida de variación es calcular las distancias de cada valor a su media, esto es: yi - y. Sea {(xi,yi)}i=1, N, la variación total de los datos de la respuesta (Y) se obtiene mediante la Suma de Cuadrados Total, notada por SCTo. B. SUMA DE CUADRADOS DEBIDA A LA REGRESIÓN (SCR). Se llama Suma de Cuadrados debida a la Regresión lineal, notándose por SCR, a una medida de las desviaciones de las predicciones a su media. C. SUMA DE CUADRADOS DEBIDA AL ERROR (SCE). La Suma de Cuadrados debida al Error, también llamada residual, marca la dispersión en las ordenadas alrededor de la recta de regresión, es decir, la variación en la respuesta alrededor de la recta de regresión. D. DESCOMPOSICIÓN DE LA SCTo. La suma de cuadrados total (SCTo) se descompone en la suma de cuadrados debida a la regresión (SCR) y en la suma de cuadrados debida al error (SCE). E. 4.2 SCTo = SCR + SCE 46

72 A continuación se muestra la salida de ordenador de un ajuste de regresión elaborado con los datos del PIB (GDP en inglés) en EEUU. La regresión se calcula con Statgraphics entre el PIB del año actual del PIB del año anterior. Figura 4.1-Análisis de la regresión Coeficiente de Regresión Indica el número de unidades en que se modifica la variable dependiente "Y" por efecto del cambio de la variable independiente "X" o viceversa en una unidad de medida. El coeficiente de regresión puede tomar tres valores distintos: 47

73 -Positivo cuando las variaciones de la variable independiente X son directamente proporcionales a las variaciones de la variable dependiente "Y". -Negativo, cuando las variaciones de la variable independiente "X" son inversamente proporcionales a las variaciones de las variables dependientes "Y". -Nulo o cero, cuando entre las variables dependientes "Y" e independientes "X" no existen relación alguna. El error estándar de la regresión múltiple Es una medida de dispersión la estimación se hace más precisa conforme al grado de dispersión alrededor del plano de regresión se hace más pequeño. Se define como S xy. E. 4.3 = El coeficiente de determinación múltiple Mide la tasa porcentual de los cambios de Y que pueden ser explicados por la variables x i simultáneamente. E. 4.4 = ó En la siguiente tabla se muestran los cálculos estadísticos de un análisis de regresión, para orientar de la magnitud de estas medidas. Figura 4.2-Estadísticas regresivas 48

74 4.2 El Modelo de Regresión Lineal Múltiple Hay situaciones que para analizarlas es necsario considerar más de una variable explicativa, por eso hay que introducir el modelo regresivo múltiple, ya que el simple no es suficiente Regresión Lineal Clásica Múltiple Cuando se necesita más de una variable independiente que ayude a explicar un modelo, se ha de usar una estructura múltiple de la regresión. La ecuación general debe seguir: E. 4.5 Y = β +β.x +β.x + +β.x +ε Estas relaciones son no lineales en la variable explicativa, aunque son lineales en los coeficientes de regresión y por esta razón se llaman modelos de regresión lineales. Dentro de las relaciones no lineales destacan, además de los polinomiales, el exponencial, el logarítmico y el hiperbólico Regresión Lineal Bayesiana El modelo de regresión lineal múltiple con p variables explicativas (o regresores) X1,..., Xp será: E. 4.6 Y = β +β.x +β.x + +β.x +ε, i=1,2,...,n donde las hipótesis en este modelo sobre parámetros y variables son las siguientes: 1. X ij es un dato o constante conocida que corresponde a la observación i-ésima de la j- ésima variable explicativa Xj, siendo i = 1,..., n (e.g, n personas) y j = 1,..., p (nº de variables explicativas en la estatura de una persona). 49

75 2. Yi es el valor de la variable respuesta (e.g. estatura de una persona) correspondiente a los niveles xi1, xi2,..., xip de los p regresores X1,..., Xp, en la i-ésima prueba del experimento. 3. b b,...,b p1,0 son parámetros desconocidos en la relación lineal. El coeficiente j b mide el efecto sobre la respuesta de un cambio de una unidad en la variable explicativa Xj, con j= 1,..., p. 4. E i, para i=1,...,n, son variables aleatorias que representan los errores que genera la dispersión alrededor de la relación lineal. Se supone que estos errores son independientes y se distribuyen N(0, s 2).Los p regresores pueden ser p variables diferentes, o funciones de un conjunto más pequeño de variables. 4.3 Modelo clásico de regresión El modelo de regresión lineal normal clásico (MRLNC), considera que la relación entre la variable dependiente (Y) y las independientes (X 1,X 2,..., X k ) se puede formular matricialmente a partir de la siguiente expresión lineal: Y = X β + u donde: Y1 Y2 =... Yn X X... X k Y X = = [ X X... X ] n1 X X X n2 que desarrollando se formularía: X X X 1k... nk 1 2 k β1 β2 β =... βk u1 u2 u =... un E. 4.7 Y i = β1xi1 + β2xi βk XiK + ui i=1,2,..., n Si se considera que en el modelo existe el término independiente, la matriz X se puede expresar como: 50

76 X 1 1 =... 1 X X X n X1K X 2K... X nk X = [ ι X X... ] 2 3 Xk y el modelo quedaría: E. 4.8 Y i = β1 + β2xi βk XiK + ui i=1,2,..., n En la siguiente figura se muestran las principales diferencias entre los modelos de regresión lineal simples y los modelos de regresión lineal múltiples. Figura 4.3-Diferencias tipos de regresiones 51

77 Capítulo 5 - Metodología Bayesiana y predicción La diferencia más significativa del modelo Bayesiano con el clásico, es que el Bayesiano trata a los parámetros como variables aleatorias que tienen una distribución. El objetivo del enfoque Bayesiano consiste en hacer inferencias a través de la distribución posterior sobre la base de una distribución previa de los parámetros β y σ 2. Todo esto dentro del modelo lineal y Normal para lograr una predicción en los modelos de predicciones. 5.1Análisis Bayesiano de datos El análisis estadístico de datos puede clasificarse en dos categorías diferentes: el análisis exploratorio y el confirmatorio. El primero de ellos engloba las técnicas que sirven para representar, describir y analizar un conjunto de datos en las etapas iniciales de los análisis estadísticos. El segundo, emplea métodos de inferencia estadística basados en distribuciones de probabilidad. Atendiendo al análisis confirmatorio, éste también puede subdividirse en otras dos categorías. La primera de ellas es el enfoque frecuentista, que emplea métodos tradicionales de inferencia estadística. La segunda, conocida como enfoque Bayesiano, añade al análisis de datos el conocimiento previo del usuario acerca del problema a tratar. 52

78 5.1.1 Categorías Las dos principales categorías son la frecuentista y la bayesiana. La teoría frecuentista consiste en que el coeficiente de regresión (parámetro) tiene un valor correcto (aunque desconocido). Además los frecuentistas solamente pueden evaluar la veracidad de la declaración que hace, no el evento. Posteriormente apareció la estadística Bayesiana, que expresa toda la incertidumbre, incluyendo la incertidumbre de los parámetros desconocidos del modelo, dándolos una probabilidad. El marco de trabajo en el que se encuentra la estadística bayesiana trata a los coeficientes de regresión como inciertos, lo que hace es asignarlos una certeza, distinta de cero. Asignan su probabilidad subjetiva al evento. Y por último decir que únicamente asignan una gran amplitud a su prioridad. Los métodos Bayesianos fueron presentados formalmente en un artículo de Edwards, Lindman y Savage en 1963, no fue hasta principios de la década de 1990 que este enfoque alcanzó la popularidad y un amplio uso en diversas disciplinas. Este hecho se debió al desarrollo de diversos procedimientos de simulación (especialmente las Cadenas de Monte Carlo (MCMC) o el muestreo de Gibbs) que facilitaron la puesta en práctica de los métodos Bayesianos. En el enfoque clásico frecuentista, los parámetros poblacionales (tales como la media o la varianza de la distribución) son tratados como cantidades desconocidas pero con un valor fijado. Normalmente se construyen intervalos de confianza alrededor de las estimaciones muestrales y tests basados en asumir una hipótesis nula; se espera que los datos proporcionen o no suficiente evidencia en contra de esta hipótesis. En el enfoque Bayesiano, los parámetros son tratados como variables aleatorias que siguen cierta distribución. Además, el conocimiento a priori acerca de la posible forma de esa distribución es modelada por una distribución a priori específica sobre los parámetros. Esta 53

79 distribución a priori no depende necesariamente de los datos de estudio, sino que contiene la información y el conocimiento del experto acerca de la situación estudiada. Cuando no hay suficiente información a priori y el experto no dispone de conocimiento previo, debe usarse una distribución a priori no informativa. De esta manera, se asume que el conocimiento previo tiene poca importancia en los resultados y se deja que los datos hablen por sí solos Enfoques Bayesianos Dependiendo del tipo de distribución a priori que se escoja, hay tres diferentes estilos dentro del enfoque Bayesiano, según [SALG07]. Bayesianos clásicos: consideran que se debe escoger distribuciones a priori que proporcionen muy poca información. Bayesianos paramétricos modernos: consideran que las distribuciones a priori son necesarias y que es conveniente escogerlas del tipo conjugadas. Bayesianos subjetivos: dan una importancia esencial a las distribuciones a priori, ya que consideran que son un compendio del conocimiento previo. 5.2 Predicción La predicción es un parte integrada en la toma de decisión para hacer actividades de gestión. La organización establece los objetivos, y se trabaja para conseguirlos. Se utiliza la predicción para marcar los objetivos. Dentro de la predicción hay áreas en las que la predicción desarrolla un papel importante. La primera área es la planificación y horarios, útil para un uso eficiente de los recursos. La segunda área es la adquisición de recursos, indicando el momento ideal para adquirir materias primas y otros recursos. Adicionalmente sirve para determinar los recursos necesarios para el largo plazo. 54

80 plazo. Hay tres categorías que requieren predicción tradicionalmente: corto, medio y largo Las compañías necesitan para aplicar la predicción, el conocimiento de cuatro áreas: Identificación y definición de los problemas a predecir. Aplicar el rango de los métodos de predicción. Procedimientos para seleccionar el Método adecuado para una situación específica. Organización y soporte para solicitar y usar los métodos de predicción. Dentro de las técnicas de predicción hay tres categorías que se pueden resumir como: La primera categoría es la cuantitativa, se dispone de suficiente información cuantitativa, sirve para predecir la continuación de un patrón histórico, como el incremento de las ventas. La segunda es la cualitativa, se dispone de poca o nada de información cuantitativa, pero hay suficiente información cualitativa. Esta técnica sirve para predecir la velocidad de las telecomunicaciones en el año Y la tercera y última categoría es la impredecible, se dispone de muy poca o nada de información. Un caso que se adapta a esta categoría sería la predicción de los efectos de un viaje interplanetario Análisis Bayesiano de Datos para predicción La predicción estadística implica el uso de información disponible (datos, modelos formales, etc.) para extraer conclusiones acerca del curso de eventos futuros. La aproximación Bayesiana, tanto en inferencia, en toma de decisiones y en predicción, se condiciona en " qué se sabe" para poder hablar de " lo que no se sabe". Se podría decir por tanto que " Predicción Bayesiana" es un concepto redundante, ya que la predicción se da de alguna forma a lo largo de todos los métodos Bayesianos. Los parámetros de un modelo, por 55

81 ejemplo, no son más que valores futuros de los datos que serán generados por ese modelo. La aproximación Bayesiana tratará de una forma simétrica los dos conjuntos desconocidos. La predicción Bayesiana ha evolucionado mucho en las últimas décadas gracias al avance en computación relacionado con el desarrollo de los métodos de Markov- Monte Carlo. Atendiendo a [GEWE06] esta evolución podría dividirse en varias etapas que se describen brevemente en el siguiente apartado Etapas predicción Bayesiana 1-Comienzo de la predicción Bayesiana Hasta mediados de los años 80 y debido a la dificultad computacional existente en el método Bayesiano, podría decirse que la predicción es un arte analítico. El principal experto de referencia es Zellner (1971). Éste trata las densidades predictivas de un modo generalizado y las detalla para el caso de problemas de regresión, regresión múltiple y distribuciones Gaussianas. Su estudio constituye el estado del arte de los años 70. En esencia, en éste se pueden utilizar modelos lineales con errores Gaussianos y distribuciones a priori planas, pero no muchas más especificaciones. Si las distribuciones a priori son conjugadas puede obtenerse un uso más fácil y algo más de avance en el método. 2-El modelo dinámico lineal En 1976, P. J. Harrison y C. F. Stevens presentan un artículo en el que destaca un nuevo método de predicción que ellos definen como " radical". Este método es el modelo dinámico lineal, que generaliza el modelo estándar lineal de Zellner permitiendo variación temporal en algunos de sus parámetros. Además, incluyen ejemplos de modelos autorregresivos, medias móviles, funciones periódicas o modelos estacionales aditivos. También consideran la posibilidad de utilizar varios modelos diferentes e integrarlos para obtener predicciones. De todos modos, las distribuciones de las probabilidades a priori son 56

82 todavía conjugadas y la estructura base, Gaussiana. Las estructuras manejadas son más generales que las usadas por Zellner, pero todavía demasiado convencionales. 3-La revolución de Minnesota A finales de los años 70, Christopher Sims escribe un artículo llamado "Macroeconomía y Realidad". En él, propone una aproximación al análisis de series temporales macroeconómicas con poca base teórica exceptuando la estacionariedad estadística. Establece que vectores de series temporales podrían ser representados por una autorregresión; esta representación sería útil para modelar las series temporales aún cuando sólo reprodujeran los primeros momentos y no toda la estructura probabilística. Con este artículo como base, Robert Litterman (1979) comienza un estudio para desarrollar métodos de predicción. Se centra en tratar los problemas multicolineales y los grandes errores muestrales en estimación. Para ello introduce restricciones en forma de distribuciones a priori, tratando sus elementos como desconocidos a pesar de la dificultad que esto supone para la época en materia computacional. Para mejorar las tradicionales medidas de incertidumbre, Litterman también crea unas medidas (Fair s Estimates of Uncertainty) que permiten cambios en las varianzas de las predicciones a lo largo del tiempo. Se crean así los primeros VAR Bayesianos, que serán explicados en siguientes apartados. 4-Desarrollos posteriores a la revolución de Minnesota Doan, Litterman y Sims (1984) realizan mejoras en el modelo del segundo incluyendo variaciones temporales basadas en filtros de Kalman para el modelo dinámico lineal. Kadiyala y Karlsson (1993, 1997) estudian variedades de distribuciones a priori para predicción macroeconómica y extienden esta práctica a un análisis global. Es en esta misma época cuando los métodos de Monte Carlo sufren un enorme desarrollo, hecho que aprovechan los autores para extender el método más allá de las probabilidades conjugadas a priori. Sims y Zha (1999), completan el tratamiento Bayesiano de los VAR generalizando los procedimientos para implementar probabilidades a priori apoyándose en la estimación de cadenas de Markov-Monte Carlo, más concretamente en el algoritmo de Metropolis. 57

83 5.3 Metodología Bayesiana y combinación de modelos La utilidad de la metodología bayesiana en el mundo de las finanzas y de la economía se encuentra fuera de cualquier duda, según la presentación [MATE09]. En la dicha presentación se mencionan a los siguientes expertos: Geweke and Whiteman (2006) una Buena revisión de la predicción bayesiana. Rachev (2008) un libro sobre el uso Bayesiano Bayesian Methods in Finance. Zellner (2008) revisión sobre la econometría bayesiana. La revista Journal Applied Mathematical Finance (2008) publicó Return and Value at Risk using the Dirichlet Process, que proponía el marco Bayesiano no paramétrico Combinación de modelos, parámetro fi Las probabilidades posteriores en una aplicación de BMA (y la exactitud de los pronósticos obtenidos con esta metodología), según [MATE09] dependen de: Las probabilidades principales que se asignan al conjunto de modelos (sabor Bayesiano). Los valores asignados al parámetro fi. El rango de valores generalmente dado a este parámetro es: - fi=0, ningún efecto en los regresores. - fi=1, valor común. - fi=10, valor límite usualmente. Dicha presentación destaca importantes diferencias entre los pesos asignados a los modelos al considerar los valores de fi comprendidos en el intervalo (0-0.5). 58

84 5.4 Selección del modelo El Objetivo de la selección de modelos es seleccionar el mejor modelo para desarrollar la mejor predicción. A la hora de elegir hay que valorar que el modelo describa bien los datos y que tenga buena capacidad para hacer las predicciones, imparcialidad. En los siguientes subapartados se presentan los principales tipos de modelos Modelos de predicción Los modelos de predicción son métodos para clasificar incertidumbre relativa al crecimiento. La motivación por predecir la economía es debido a que es una ciencia con mucha incertidumbre. En esto hay una curiosidad intrínseca. Para tratar de resolver esta incertidumbre, debemos descubrir el modelo correcto para predecir. Para convencer a los demás de la validez de tu teoría, hay que probar que el modelo elegido es el adecuado Análisis de los extremos (Extreme Bound Analysis - EBA) Este modelo consiste en buscar el valor estimado y la desviación estándar. Se definen los intervalos en los que pueden moverse los posibles valores. Lo negativo de este modelo es que es heurístico y suele ser muy conservador Promediado de modelos (Model Averaging) 59

85 La técnica es combinar resultados de diferentes modelos. También hay que tener en cuenta la incertidumbre asociada a cada modelo. Por el contrario hay que tener en cuenta que creer en la conclusión de un único modelo es arriesgado. Si no sabes el modelo correcto y crees en los resultados de un único modelo es incorrecto por definición. La mejor predicción se obtiene usando el promediado de modelos. El hacer un promediado con todos los modelos aumenta el poder de la predicción. Se utilizan para hacer el promediado todos los modelos malos porque pueden resultar útiles para ocasiones inusuales Modelos Lineales Estacionarios Muchas situaciones de predicción incluyen modelos lineales de la forma: en donde ε t es un proceso estacionario. E. 5.1 = Reparto igual de pesos La metodología reparto igual de pesos (equal weights) es un concepto es similar a la media aritmética. La metodología asigna a todos los modelos seleccionados el mismo peso, es decir todos los contribuyen igualmente para obtener el resultado final y por tanto tienen la misma importancia en el resultado final. El concepto de reparto de pesos también se usa en economía como el tipo de ponderación que le da el mismo peso o importancia, a cada acción en una cartera o fondo de índice. 60

86 5.5 Metodología bayesiana y la combinación de previsiones El uso de la metodología bayesiana en el campo de la economía, es incuestionable actualmente. Importantes artículos como Geweke and Whiteman (2006) y el libro Bayesian Methods in Finance confirman su utilidad en este campo. Recientes estudios han propuesto el marco no paramétrico Bayesiano para usos financieros. Actualmente la incertidumbre de los modelos se ha convertido en un axioma, y antes era considerado como una posibilidad. El equipo de previsiones tiene que tratar con información prioritaria. Los últimos avances en la aplicación del promediado Bayesiano en los campos financieros y económicos están dando resultados prometedores. Para hacer promediado de modelos, el primer paso es seleccionar distintos modelos de previsión, considerados útiles. 5.6 Promediado bayesiano de modelos (BMA) En el Modelo del promediado Bayesiano hay que establecer la importancia de cada variables en función de lo bueno que sea el modelo. Los resultados están basados en todos los posibles modelos. En el promediado de modelos se usan todos los modelos candidatos. Luego se entra en un proceso de selección de modelos para acabar seleccionando el mejor modelo. El BMA calcula el peso específico de cada modelo para calcular el resultado. Uno de los problemas en el promediado Bayesiano de modelos que surgen cuando se modela, por ejemplo, la volatilidad es que es imposible especificar la verdadera forma de la 61

87 ecuación de la varianza. Ante un grupo de modelos posibles, las técnicas econométricas clásicas pasan por escoger sólo uno de esos modelos asumiendo que es el correcto, descartando así toda la información disponible en los modelos rechazados. Escoger sólo un modelo ignora la incertidumbre asociada a esa selección, aumenta el riesgo en el pronóstico y puede conducir a peores resultados en la predicción. El objetivo del BMA es utilizar un promedio de modelos para reducir ese riesgo asociado a la selección, ya que ningún único modelo domina un mercado o un horizonte de predicción. El BMA combina la información de varios modelos reduciendo la incertidumbre de la selección. Además el BMA otorga mayor peso a los modelos que modelan bien los datos analizados, mejorando así la predicción final. 5.7 El proceso de selección de modelo Este proceso de selección se basa en primer lugar en tener un Criterio de selección basado en las fuentes de información. En segundo lugar en una probabilidad, que permite predecir resultados desconocidos, gracias a parámetros conocidos. Y por último en un cálculo de los parámetros gracias a resultados conocidos. El criterio de Información (I) es en lo más relevante para elegir modelos. = 2 + L es el parámetro log likelihood. Para el parámetro q hay dos opciones de selección: AIC: selecciona modelos demasiado complejos: q=2p BIC: selecciona modelos muy simples: q=p ln(n) 62

88 p es el número de parámetros. n es el número de observaciones BIC es asintóticamente consistente como criterio de selección. Para algunas muestras pequeñas o medianas, BIC elige modelos que son demasiado simples, debido a que penaliza fuertemente la complejidad de los modelos. complejos. AIC no es asintóticamente consistente y elige los modelos que son demasiado Probabilidad condicionada Consiste en como los Bayesianos asignan probabilidades a un resultado final. Los Bayesianos creen que un suceso incierto A esta condicionado a un conocimiento K. La probabilidad condicionada se representa como: P(A K). Reglas bayesianas: E. 5.2 = / Apalancamiento A la hora de realizar promediados Bayesianos hay que tener en cuenta el Apalancamiento. El apalancamiento financiero es simplemente usar endeudamiento para financiar una operación. Es decir, en lugar de realizar una operación con fondos propios, se hará con fondos 63

89 propios y un crédito. La principal ventaja es que se puede multiplicar la rentabilidad y el principal inconveniente es que la operación no salga bien y se acabe siendo insolvente. La ventaja se encuentra en que al pedir dinero prestado, si la rentabilidad es positiva, al devolver el dinero que te han prestado con su correspondiente interés, el total de dinero que has ganado representa un porcentaje mucho mayor respecto a tu capital inicial. La desventaja se encuentra cuando la rentabilidad obtenida por el dinero es negativa, que el cliente pierde su dinero y el dinero prestado, además de tener que pagar intereses por el préstamo. 5.8 Realizar predicciones con BMA Previamente a realizar una predicción hay que saber que desde una perspectiva bayesiana, el modelo de la incertidumbre es sencillo de manejar usando el modelo de probabilidades posterior. La forma de realizar de previsiones (Forecasting) usando BMA, según [MATE09], sigue los siguientes pasos: En BMA un investigador debe comenzar con un conjunto de modelos que han sido señalada como representaciones útiles de los datos. Establecer los modelos M={M 1, M 2,..., M n }. El foco de interés es una cantidad indicada por. El resultado de un análisis bayesiano es una distribución de probabilidad para dado el conjunto de modelos y los datos observados en el tiempo t, denotado por D t. La fórmula para calcular el resultado es: E. 5.3 Pr, = Pr, Pr, 64

90 5.9 Elementos y conclusiones del BMA El estudio de [EICH09] indica cinco grandes pasos para tratar el BM. 1. Asignar prioridad a modelos, parámetros. 2. Buscar modelos compatibles. 3. Predecir cantidades de interés. 4. Obtener estimaciones e intervalos de confianza. 5. Computar las probabilidades de los modelos posteriores. El mencionado estudio concluye recomendando BMA para hacer predicciones sólidas. A la hora de explorar la incertidumbre del modelo, hay que basarse en la teoría del investigador porque los datos no son creíbles. También se recomienda no usar modelos en los que las propuestas no conduzcan a unos resultados concretos, que coincidan con los deseados por el investigador. Por último se destaca que el BMA es un mecanismo muy poderoso para aclarar la incertidumbre que proporcionan los modelos. Además, los avances en los ordenadores han convertido el BMA en la corriente principal. Se concluye en [EICH09] anunciando el fin de la metodología ensayo y error. 65

91 Capítulo 6 - Ruptura estructural El presente capítulo tratará el tema de la ruptura estructural. Se introducirá el concepto, se mostrará el estado del arte y se destacarán las rupturas detectadas más importantes a lo largo de la historia. 6.1 Introducción En economía existen frecuentemente razones que hacen pensar que los parámetros de un modelo pueden modificarse con el tiempo debido a gran variedad de sucesos. Los ejemplos más claros para confirmar la teoría anterior, son los producidos por un cambio en la política económica de un gobierno o la aprobación de una nueva ley de impuestos. En el mundo financiero se producen muchos cambios que hacen que las respuestas de los agentes económicos sean diferentes a lo largo del tiempo. A lo largo del presente capítulo se revisará la literatura sobre la ruptura estructural, la forma de diferenciar datos con ruptura estructural de los datos con raíz unidad y literatura para estimar y probar la existencia de rupturas en una serie de datos. Adicionalmente, se explicará en detalle que es la ruptura estructural y las herramientas más efectivas para determinar correctamente la existencia de un cambio estructural. Este proceso tiene dificultades, según [MONT95] las dificultades se encuentran en saber que datos se han visto afectados por una raíz unitaria, algo que dificulta mucho los cálculos futuros. A la hora de estimar una ruptura estructural hay dos problemas principales [EKSI09]. El primero es diferenciar los datos sometidos a un cambio estructural del resto. El segundo 66

92 problema es encontrar una condición que limite la distribución, lo que implica comprender cuando una ruptura aparece bajo la hipótesis alternativa y no sobre la hipótesis de que no hay ruptura. En la siguiente figura, sobre las exportaciones de lana de España, se expone un caso para introducir el concepto de ruptura estructural. Al observar la siguiente figura es posible que las exportaciones se hayan visto afectada por algún tipo de acontecimiento extraordinario. En concreto, del simple análisis visual, parece que las exportaciones se desprenden que a finales de los años 70 (alrededor del año 1978). El objetivo del análisis de la ruptura estructura es conseguir confirmar si se ha producido algún acontecimiento extraordinario o no alrededor de esa fecha. Figura Exportaciones de lana en España entre 1964 y Test estadístico de Chow El test estadístico de Chow es un test clásico para detectar ruptura estructural. Tiene ciertas condiciones previas para usarlo. La más importante es que tiene que saberse la fecha de la ruptura a priori. Para entender las bases de un test que analiza la ruptura es recomendable comenzar con el test de Chow. Este test también es usado cuando las rupturas no se ven claramente observando el gráfico, se puede usar el Test de Chow para detectarlas, es uno de los test más sencillos, pero tiene alguna pequeña deficiencia y no asegura 100% de éxito. 67

93 6.2.1 Caso de la ruptura El caso de ruptura más sencillo es aquél en el que se da por supuesto la existencia de un sólo punto de ruptura que además es conocido a priori. E. 6.1 = + Donde y es un vector columna de orden T que contiene las observaciones de la variable endógena, X es la matriz de regresores de orden TxK. Se puede dividir X en dos períodos X 1 recoge las T* primeras observaciones de los regresores del modelo, mientras que en X 2 se encuentran las restantes T-T*. T* es el período en el que se produce el cambio estructural. Y el último elemento de la ecuación es u. El elemento u es un vector de perturbaciones aleatorias. La primera deficiencia, que se puede encontrar en el test de Chow para el anterior caso de ruptura, es que impone la existencia de una ruptura estructural en un periodo determinado, surge debido a que previamente a la realización del test, se determina el periodo de ruptura en función de un tratamiento previo de los datos. La segunda deficiencia es que admite la existencia de un único punto de ruptura, y pueden existir varios puntos de ruptura. En el caso de una posible variación en los parámetros de posición del modelo no ha de ser única sino que puede ser múltiple Uso del test de Chow El test de Chow se usa si se observa una ruptura. Bajo esta observación la forma de superar la ruptura, es separar los datos en dos partes. Una vez realizada la separación se procesan los datos para calcular distintas regresiones. Primero se procesan todos los datos, los anteriores y posteriores a la ruptura para calcular la regresión conjunta (RSSc). Y después se procesan por separado los datos antes de la ruptura (RSS1) y los datos después de la ruptura (RSS2). 68

94 El segundo y último paso es comparar el resultado test estadístico con los valores críticos de las F-Tables, para los valores de n y k dados. siguiente: El resultado estadístico sale de la fórmula del test estadístico de Chow que es la E. 6.2 / / -El parámetro n es igual al número de datos. -El parámetro k es igual al número de regresores. En este caso la hipótesis nula es la existencia de estabilidad estructural, si se rechaza esta hipótesis, se considera que hay ruptura estructural. Algunas sugerencias para realizar este test, es que al separar los datos se usen menos grados de libertad. Y se debe tener en cuenta que cuando tiene que hacerse el punto de ruptura para el corte, si hay inestabilidad estructural, cualquier punto podría ser comprobado. Figura 6.2-Ejemplo con ruptura estructural en

95 6.2.3 Aplicación test de Chow Se toma como referencia el estudio realizado en [BRUC01] sobre la productividad del trabajo en los sectores de manufactura y bienes duraderos en Estados Unidos. El estudio mide como varía la tasa de crecimiento del sector respecto al número de horas de trabajo a la semana. Para analizar series temporales y predecir, según [BRUC01], se asume que se trabaja con datos estacionarios y parámetros constantes. Los cambios estructurales son sentencias sobre los parámetros, fuera de ese contexto no tienen sentido. Se utiliza la fórmula del modelo auto-regresivo de primer orden: E. 6.3 =α+ρ + Parámetros: : productividad laboral. α: controla la media de y t. ρ: parámetro auto-regresivo, refleja cambios en y t. σ 2 : indica cambios en la productividad laboral. Se produce una ruptura estructural si se hay cualquier cambio en los parámetros α, ρ o σ para una fecha determinada, la fecha de ruptura. Una ruptura estructural puede afectar a alguno o a todos los parámetros del modelo. Los datos que componen la serie de tiempo mensual transcurren desde febrero 1947 hasta abril 2001 (obtención de 651 observaciones). Al aplicar el test de Chow, utilizando 1973 como fecha de ruptura se obtiene un valor de 3,9. El valor crítico del 5 por ciento de la distribución Chi cuadrado es de 6,0, por lo que no se puede encontrar evidencia de un cambio estructural. Si en lugar de calcular el estadístico de Chow utilizando el año 1973, se utilizara 70

96 1975 como el año de ruptura, se obtiene un valor de 7,1. Como el valor obtenido excede el 5 por ciento, considerado valor crítico, implica que el test proporciona evidencias de un cambio estructural Secuencia de valores del test Chow como prueba de una fecha de ruptura Los autores Andrews (1993) y Andrews and Ploberger (1994), junto con Hansen (1997) crearon unas tabla de p-valores, con la que comparar el test de Chow. Una forma visual para evaluar la importancia, y escoger los puntos de ruptura es ver si la secuencia de Chow (Chow test Sequence) se cruza con la línea del valor crítico (Critical Value). Si la fecha es desconocida se puede calcular sabiendo el momento en que se produce el valor más elevado del test de Chow. Para entender mejor lo anterior, se utilizará un ejemplo numérico. El valor crítico para Andrews es 12.9, correspondiente con el doble del valor crítico de chi-cuadrado. Se puede ver en la siguiente figura que el máximo valor del test de Chow (20,2) supera con creces el valor crítico Andrews (el p-valor es ), por lo que se rechaza la hipótesis de que no haya ruptura estructural para esa fecha. 71

97 Figura 6.3-Análisis de Andrews 6.3 Literatura En el mundo de la literatura económica, el tema de las rupturas estructurales ha sido muy estudiado. Según [EKSI09] la literatura se puede dividir en dos bloques. El primer bloque literario trata la ruptura estructura estructural frente a la raíz unitaria. El segundo bloque literario trata los distintos tipos de tests para analizar la existencia de rupturas estructurales Raíz unitaria vs Ruptura estructural El primer tipo de test sirve para detectar en un conjunto de datos ruptura estructural o la existencia de raíz unitaria. Un conjunto de datos puede ser no estacionarios si hay una raíz unitaria o una ruptura estructural, antes o después de que el gráfico siga distintos patrones. En la figura 6.1 la desigualdad de ingresos en los EE.UU, sometidos a análisis por la prueba de la 72

98 existencia de raíz unitaria, de acuerdo con [EKSI09], la hipótesis nula de que hay raíz unitaria no se puede rechazar. Figura 6.4-Índice de Desigualdad en USA Otro problema se encuentra en estimar la fecha de ruptura. Se debe a que la comprobación de una ruptura en una serie requiere residuos estacionarios, y no se puede asumir que los residuos vayan a permanecer constantes después de la detección de la ruptura en la serie. La hipótesis nula de la prueba es que no hay una ruptura en los datos. Este problema lo refleja la literatura con el término intricate play, un proceso intermedio entre raíz unitaria y ruptura estructural. Es algo intermedio porque en ocasiones no se pueden delimitar y aclarar exactamente los datos que pertenecen a uno u a otro. Aunque muchos test que han intentando diferenciarlos, se han acabado decantando por el test de raíz unitaria de Philips-Perron Contraste CUSUM El contraste CUSUM es otra solución en el uso de estadísticos alternativos que presenten buenas propiedades en estos dos nuevos escenarios. 73

99 Uno de ellos es el contraste CUSUM mencionado en [MONT95]. Con este modelo es posible obtener información relevante acerca de la posible existencia de un cambio estructural, analizando el gráfico del estadístico CUSUM para diversos valores de r (r=k+1,..., T). El estadístico posterior es el CUSUMSQ, o CUSUM cuadrado, es la suma acumulada de los residuos al cuadrado. Su principal ventaja sobre el anterior modelo es su comportamiento más fiable en aquellos casos en los que los parámetros describen un funcionamiento más errático que sistemático. Con estos estadísticos se crea una hipótesis y luego se intenta comprobar su veracidad. Se analiza la posibilidad de que la variable se haya visto afectada por algún tipo de acontecimiento extraordinario. Una vez concretada la especificación teórica del modelo, se puede pasar a su estimación Estimación de ruptura estructural y pruebas Los test se pueden divisar en tres categorías, dependiendo de los puntos de ruptura que tenga la serie, si son o no conocidos. A continuación se muestran detalladamente las tres categorías. Las tres categorías de los test de análisis de ruptura estructural Primera categoría: en esta categoría los tests comprueban que la serie tenga una ruptura en los datos tratados. El test de Chow se utiliza en esta categoría. Algunos tests también indican el punto de ruptura más probable como un subproducto. Segunda categoría: buscan la presencia de una ruptura en la serie que puede existir en cualquier punto dentro del conjunto de datos tomado. 74

100 Tercera categoría: esta última categoría está basada en estimaciones y estimadores. La tercera categoría de tests primero estiman el momento de ruptura y luego lo comprueban. 6.4 Las Mejores contribuciones en la literatura La econometría del cambio estructural busca métodos continuamente para identificar cambios estructurales en la economía y las finanzas. Las contribuciones más importantes según [BRUC01] son las tres siguientes: 1) Los tests para una ruptura estructural con el tiempo desconocido. 2) La estimación del tiempo de un cambio estructural. 3) Los tests para distinguir entre camino aleatorio y una ruptura en la tendencia Tests para una ruptura estructural con el tiempo desconocido Este grupo de tests incluye principalmente el test de Chow, y el test de Quandt (1960), que proponía aplicar el test de Chow en todos los posibles puntos de ruptura. Se puede construir el test de Quandt sobre un eje X e Y, considerando que los posibles puntos de ruptura están a lo largo del eje X. Y en el eje Y los correspondientes valores del test de Chow. Luego se dividen los datos para particulares rupturas en sus ejemplos y se analiza por separado. Si los parámetros reales son constantes no habrá ruptura. Y el otro caso posible es que los parámetros sufran variaciones sistemáticas en los puntos de ruptura estimados, esto se verá reflejado en la secuencia de valores de Chow y habrá ruptura estructural. Si la fecha de ruptura se sabe a priori, entonces la distribución chicuadrado se puede usar para establecer la significación estadística. 75

101 Por el contrario si las fechas de ruptura son desconocidas, para saber los valores representativos hay que buscar la respuesta en tabla de valores críticos que fue creado por Andrews y Ploberger en 1994 junto a Hansen. Por tanto en 1994 se lanzó el método para calcular p-valor Estimación del tiempo de un cambio estructural El test de mínimos cuadrados, formado a partir de intervalos de confianza, ayuda a calcular el momento en que se produce ruptura estrucutral para los casos en que hay regresión. El uso de intervalos de confianza, aumenta el grado de precisión de la estimación según establecieron Bai, Lumsdaine y Stock en Con este test se muestra que si hay muchos puntos de ruptura, el test de mínimos cuadrados no puede encontrar mínimos próximos, por tanto estima peor las rupturas. Entre 1994 y 1997 se desarrolló la distribución asintótica de la estimación de fechas de ruptura por Bai. Esta teoría muestra cómo construir intervalos de confianza para las fechas de ruptura. Posteriormente en 1998 se amplió el uso de este análisis a las series temporales con cambios estructurales simultáneas, los responsables de esta ampliación fueron Bai, Lumsdaine y Stock. Su test muestra como usando series de tiempo múltiples se mejora la precisión de la estimación. 76

102 6.4.3 Tests para distinguir entre camino aleatorio y una ruptura en la tendencia Las series temporales, se solían describir como una composición de una tendencia más un ciclo, y se asumía que la tendencia era lineal. Sin embargo, el concepto cambió en 1982 con Nelson y Plosser. Se desafió la creencia tradicional mostrando evidencias de que la tendencia podía ser un camino aleatorio. Adicionalmente se definió que la tendencia variaba siguiendo impulsos aleatorios. Posteriormente en 1989, la teoría de Nelson y Plosser fue puesta en duda por Philips- Perron. La teoría de Perron dice que la tendencia de un movimiento se puede explicar mediante la simple ruptura estructural en una constante, en una tendencia lineal producida de una manera distinta. La teoría anterior muestra la forma de comprobar la hipótesis de camino aleatorio en contra de la tendencia de un modelo con ruptura estructural. Esto se logra mediante la estimación de autorregresivos lineales aumentada con interacciones ficticias para captar la especificación deseada de la tendencia rota. La hipótesis de la existencia de paseo aleatorio implica que la suma de los coeficientes autorregresivos es igual a uno (es decir, una "raíz unitaria" en el polinomio autorregresivo). Lo cual implica que esto puede ser fácilmente evaluado con una estadística t-ratio. En las series temporales macroeconómicas Nelson-Plosser, se las aplicó la prueba de Perron. Después de realizar la prueba, en la que especificó la fecha, fue capaz de rechazar el modelo de paseo aleatorio para la mayoría de las series macroeconómicas Nelson-Plosser para un nivel de significación del 5 por ciento. Por tanto la prueba sugiere que la serie es estacionaria después de considerar el cambio estructural en la tendencia. Sin embargo, esta prueba de Perron fue cuestionada por varios de documentos, que consideraban inadecuado especificar la fecha de ruptura como algo conocido. 77

103 Posteriormente Perron revisó su teoría en En la revisión llevada a cabo se encontraron evidencias ligeramente más fuertes en contra de la teoría del camino aleatorio, pero las evidencias no eran concluyentes. La teoría concluye resaltando que el problema clave es que las funciones especificadas anteriormente en Perron (1989) no predicen bien fuera de la muestra. Las diferencias entre una muestra con paseo aleatorio y otra muestra con ruptura en la tendencia, residen en la frecuencia de los impactos permanentes en la tendencia. En una muestra con paseo aleatorio, los impactos se producen con bastante frecuencia, mientras que en un proceso de ruptura tendencia se producen con poca frecuencia (una o dos veces en una muestra). Por último los trabajos futuros se centran en buscar modelos que estrechen las diferencias entre los dos modelos anteriores. 6.5 Rupturas estructurales en modelos AR (p) Los Modelos Autorregresivos Simples (AR (p)), según [EKSI09], se caracterizan por la regresión de la variable Y t sobre sí misma. Para explicar la manera en que son afectados por una ruptura se elige un modelo AR (1) básico de ingresos: E. 6.4 = + + Un cambio en la media condicionada para un tiempo k produce los siguientes cambios en el modelo: Cambios en c y p para un tiempo t<=k. c = c ρ =ρ 78

104 Cambios en c y p para un tiempo t<=k. c = c ρ =ρ El término c es el término constante. Cambio en la varianza condicional para un tiempo l: = = > Cambio en la varianza incondicional de y t se puede observar en: E. 6.5 = = E. 6.6 = > Por tanto, buscar una ruptura a medio plazo del proceso de ingresos es sencillo, solo se necesita conocer las variables endógenas y exógenas para utilizarlas en los programas que prueban las rupturas. Para buscar una ruptura en la media incondicional, hay que realizar una aproximación similar a la variación residual, y se puede hacer de la siguiente manera: E. 6.7 = más. En el caso de que haya ruptura en la media, la aproximación se complicaría mucho 79

105 Por último, se utiliza los gráficos procedentes de [EKSI09] para ilustrar la teoría anterior. Consiste en aplicar las anteriores ecuaciones a los datos sobre el crecimiento del PIB en EE.UU. Figura 6.5-Crecimiento anual del PIB en USA Es evidente que la reducción de la varianza de los datos de la primera gráfica puede ser capturada por una regresión con la segunda gráfica en una constante. Posteriormente se comprueba si el valor de la constante sigue siendo la misma o no. El estudio concluye que en 1984 se encuentra una fecha ruptura significativa en la volatilidad del PIB, como se muestra en la segunda figura. 6.6 Análisis de la incertidumbre y rupturas estructurales en el índice S&P 500 Este apartado aborda el estudio elaborado en [RAVA06] sobre la incertidumbre de los modelos y el análisis de la ruptura estructural. El mencionado estudio desarrolla una metodología de predicción de rendimiento que permite detectar incertidumbre en la relación entre los rendimientos de valores y las variables de predicción. 80

106 La especificación de la regresión predictiva que se presenta tiene en cuenta cambios estructurales de cualquier magnitud. Para tratar la incertidumbre sobre la inclusión de variables de predicción y el valor de los parámetros, se emplea el promediado Bayesiano de modelos. El modelo de referencia es el modelo de regresión lineal estándar. La forma de empezar es analizando los datos y explicando las elecciones de lo que se considera un ejemplo posterior a los datos. Los datos que se utilizaron para realizar el estudio fueron obtenidos Marquering y Verbeek en La serie de datos comienza en Enero de 1966 y finaliza en Diciembre de 2005, un total de 480 meses. La variable dependiente es el índice S&P 500, y las variables usadas son el ratio relación precio-beneficio price-earnings ratio (PE), la rentabilidad por dividendo dividend yield (DY ), la tasa de 3-meses T-Bill (I3), los 12-meses de tasa de bono del tesoro Treasury Bond rate (I12), la inflación anual (INF), el ratio de crecimiento anual de la producción industrial industrial productivity (IP), crecimiento anual de la base monetaria (MB), el papel comercial del Tesoro diferencial de rendimiento (CP) y la transformación logarítmica de la volatilidad real mensual ( ol), todo esto compone un índice. Para evitar el sesgo de anticipación se trabaja con un mes de retraso para variables financieras y con dos meses de retrasos para las variables macroeconómicas. Se considera que la unión de las siguientes medidas financieras es complementaria con el crecimiento del dinero: La variable base de crecimiento monetario. La probabilidad posterior de la inclusión conjunta con el dividendo rendimiento. La relación precio-beneficio. Los tipos de interés a corto y largo plazo. 81

107 La siguiente tabla muestra la dependencia entre las variables. Figura 6.6-Dependencia de las variables La probabilidad de que haya cambios estructurales en los parámetros varía considerablemente de un período a otro. Esto ocurre por dos razones. En primer lugar, porque el vector de predicción puede ser diferente a través de los distintos valores del vector de valores de los diferentes modelos de regresión. En segundo lugar, en caso de que haya una ruptura en un determinado mes, la probabilidad de una nueva ruptura en el siguiente mes será muy inferior. 6.7 Grandes rupturas estructurales detectadas en la historia La primera ruptura estructural que se encuentra en el estudio [RAVA06] revela un aumento gradual e incondicional de la prima de riesgo los años 1980 y 1990, seguido de un descenso de la prima de riesgo justo antes del cambio de milenio. En segundo lugar, la tasa precio-ganancias y la tasa de rentabilidad por dividendo experimentan sus mayores cambios durante el período Estos cambios reflejan el gran descenso en la rentabilidad por dividendo y el gran aumento del ratio precio-ganancias debido al auge espectacular de los precios de las acciones durante ese período. 82

108 En tercer lugar, la ruptura más grande relacionada con los coeficientes de los tipos de interés se produjo alrededor de 1982, en la época en que la Reserva Federal cambió su política monetaria. En cuarto lugar, los coeficientes relacionados con la inflación y el crecimiento de la producción industrial muestran el mayor cambio en torno a 1974, debido a la crisis del petróleo, los altos niveles inflación y la desaceleración en el crecimiento económico. En quinto y último lugar, [RAVA06] encuentra un cambio estructural en los coeficientes de la base monetaria. Las concesiones de crédito muestran grandes cambios estructurales en Octubre de

109 Capítulo 7 - Software econométrico 7.1 Introducción El software econométrico ha ido evolucionando mucho los últimos 30 años. Antes el software era solo un conjunto de instrucciones, pero hoy en día existe una amplia gama de programas y lenguajes de programación. Estos lenguajes son muy intuitivos y fáciles de usar, gracias a lo cual se han extendido en las comunidades universitarias y empresariales. Es un tipo de software estadístico que se ha especializado para el análisis econométrico. Este tipo de software ofrece un análisis de regresión incluyendo el análisis de series temporales y el análisis de corte transversal. El software econométrico mejora el proceso de formulación del modelo, la estimación y validación. Además y proporciona útil información gráfica, así como tablas de salida. Los programas más destacados SAS, R o S-PLUS. También destacan programas como MATLAB o Mathematica, programas muy potentes y muy útiles para realizar operaciones estadísticas. Los programas econométricos se pueden clasificar software libre y software propietario. Dentro del software libre destacan las siguientes cuatro aplicaciones: 84

110 Aplicación Gretl Draco R Grocer Breve descripción Regresión, econometría y Biblioteca de Series temporales Econometría y paquete estadístico Estadística computacionales y sistema de gráficos Toolbox econométrica desarrollada para series temporales Tabla 7.1-Descripción de aplicaciones de software econométrico 7.2 SAS El paquete software estadístico Statistical Analysis Systems (SAS) se crea a finales de los 60 en la Universidad de Carolina del Norte. Posteriormente la compañía creció situándose en la quinta posición mundial de fabricantes de software empresarial. La funcionalidad de SAS se basa en cuatro tareas comunes en cualquier aplicación: acceso, gestión, análisis y presentación de datos. Y tiene un diseño modular. Es un software en continua actualización y evolución. Dominó el mercado de software econométrico. La última versión salió en Marzo de 2009 bajo el nombre de SAS 9.2 e incorpora una lista de características añadidas que serán lanzadas gradualmente en tres fases: 1) Los productos estarán basados en MVA. 2) Una Plataforma de Inteligencia Empresarial. 3) El software de cliente para los metadatos de análisis y soluciones de negocio. Sus componentes más populares en el pack de software son: SAS/ETS - Econometría y Series Temporales. SAS/IML - Programación Matricial Interactiva. SAS/STAT - Análisis de datos. 85

111 SAS/INSIGHT - Análisis de Datos interactivo. Figura 7.1-Calculo de una autocorrelación en SAS 7.3 S-PLUS La herramienta S-PLUS sirve para realizar análisis estadístico debido a que incorpora el potente lenguaje de programación S. El paquete comercial incluido contiene más de 4200 funciones de análisis de datos que se actualizan en función de los desarrollos estadísticos. Además, permite que el usuario introduzca sus propias funciones o modelos, o incluso que modifique los existentes. El programa dispone de librerías complementarias referidas a diferentes áreas como optimización, análisis clínicos, estadística medioambiental o el tema que ocupa este proyecto, predicción de volatilidad. Dentro de S-PLUS Software diseñado por Adrian E. Raftery y/o Chris Volinsky, se tienen los siguientes programas: Bayesian Model Averaging para el Modelo lineal generalizado. 86

112 Bayesian Model Averaging para el Modelo proporcional de riesgos. Bayesian Model Averaging par el Modelo de regresión lineal. Bayesian Model Averaging para el modelo logístico de regresión. Bayesian generalized par el modelo lineal y el de comparación. Figura 7.2-Gráfico de la población de la Ciudades de USA elaborado en S-PLUS 7.4 Lenguaje de programación R Es un lenguaje para el análisis estadístico y gráfico. Fue inventado por Ross Ihaka y Robert Gentleman en Universidad de Auckland, Nueva Zelanda, a principios de Actualmente está siendo desarrollado por el R Development Core Team. Es un lenguaje más modernos y con más peso en la actualidad, que SAS o S-PLUS. Este lenguaje esta dentro del software libre y está disponible para los principales sistemas operativos y se puede integrar con otros lenguajes de programación como C o Fortram. 87

113 Dentro de R hay un software específico para el promediado Bayesiano. El promediado Bayesiano como hemos explicado antes, ayuda a la hora de elegir un modelo. Se ha aplicado exitosamente a la hora de elegir entre muchos modelos estadísticos como el modelo de regresión, el modelo lineal generalizado o el modelo de regresión Cox. Figura 7.3-Diagramas de caja y bigotes en R 7.5 MATLAB MATLAB se creó a finales de 1970 por Cleve Moler, en la Universidad de Nuevo Méjico. Es un programa que integra computación, visualización y programación orientado a matemáticas. Es un programa muy popular con más de un millón de usuarios. Según [KILI11] MATLAB se utiliza ampliamente entre los profesionales y entre los investigadores. Además, es indispensable para la carrera profesional si se aspira a trabajar en Wall Street, la Reserva Federal o de investigador en cualquier universidad, entre otros sitos. 88

114 Se define MATLAB como el software más útil y versátil, aunque puede que no sea el único software que se ha de dominar. MATLAB está disponible en UNIX y en Windows. El sistema de MATLAB está dividido en cinco partes principales: El lenguaje MATLAB: el lenguaje del programa sirve para que los usuarios creen funciones, programas o diversas aplicaciones. La librería matemática: conjunto extenso de algoritmos y funciones de distintos grados de dificultad. Gráficos: el programa tiene salidas de 2 ó 3 dimensiones, con muy buena calidad gráfica. Aplicación del programa de interfaz (API): sirve para programar conjuntamente con los lenguajes C y Fortran. Entorno MATLAB: conjunto de herramientas para usar funciones y archivos incluidos en el programa. Figura 7.4-Carga de una serie temporal de Divisas utilizando MATLAB 89

115 7.6 Gretl El nombre del programa Gretl, responde a las siglas "Gnu Regression, Econometrics and Time-series Library". Su mejor definición es que es software econométrico gratuito. Se trata de una aplicación útil y su campo de uso se encuentra entre los profesionales dedicados a la estimación de modelos econométricos, como para estudiantes. La aplicación Gretl utiliza una gran variedad de técnicas, entre las que se destacan mínimos cuadrados ordinarios, ponderados, en dos etapas, mínimos cuadrados no lineales, máxima verosimilitud, estima modelos lineales y modelos no lineales. Además también trata series temporales (ARIMA, ARCH, VAR, VECM) y realiza contrastes de raíces unitarias y de cointegración. El programa permite introducir los datos de forma similar a como se introducen en una hoja de cálculo o bien importarlos de Excel, Eviews, CSV, Stata, etc., y realizar con los mismos todo tipo de transformaciones: logaritmos, diferencias, potencias, etc. y representaciones gráficas. La aplicación posee una interface muy intuitiva y fácil de aplicar, y además cuenta con un manual de ayuda, algo similar a programas como MATLAB. El software se utiliza mediante menús desplegables o instrucciones de guión. Además se pueden ejecutar programas para realizar simulaciones y estimaciones interactivas. Se distribuye bajo los términos de Licencia Pública General (GNU), por tanto es gratuito como se decía anteriormente. Tiene versiones para Windows, Linux, y Mac. 90

116 Figura 7.5-Ejemplo de una distribución Normal calculada con Gretl 7.7 Mathematica Mathematica es un software de álgebra computacional y un lenguaje de programación. Fue desarrollado por StephenWolfram en 1986, aunque no salió oficialmente hasta Es considerada como la única plataforma de desarrollo que integra cómputos plenamente en corrientes de trabajo completas, y para realizar operaciones estadísticas y financieras específicas son necesarias librerías concretas. Es una aplicación usada por millones de personas de compañías Fortune 500, administración pública y miles de universidades de todo el mundo, la tecnología de Mathematica es la base de muchos de los proyectos, procesos y organizaciones que se realizan actualmente. 91

117 Su última versión Mathematica 8.0.1, salió en Marzo de 2011, he introduce entrada lingüística de forma libre. La forma libre de introducir datos consiste en ingresar inglés simple para obtenga resultados inmediatos, sin necesidad de sintaxis específica. La nueva versión se ha actualizado con 500 funciones adicionales y 7 áreas de aplicación, incluyendo las capacidades estadísticas más avanzadas del mundo y procesamiento de imágenes de última generación. Una de las destacas son sus nuevas visualización estadísticas para tratar datos económicas y financieros. Figura 7.6-Visualizaciones estadísticas-financieras en Mathematica 92

118 7.8 EVIEWS EVIEWS es un paquete estadístico para Microsoft Windows. Su utilidad se encuentra dentro del análisis econométrico. La primera versión de EVIEWS se publico Y su última versión es la 7.0. Es un software flexible y de fácil manejo que permite obtener análisis dentro de los campos de econometría e informática, con relativa facilidad. Se puede emplear para análisis estadístico general siendo especialmente útil para realizar análisis econométricos. Además combina la tecnología de hoja de cálculo con tareas tradicionales encontradas en software estadístico tradicional. Y la última versión incluye un amplio rango de gráfico como: line graphs, bar graphs, filled area graphs, pie charts, scatter diagrams, mixed line-bar graphs, high-low graphs, scatterplots, y boxplots. Figura 7.7-Tipos de gráficos que ofrece EVIEWS 93

119 Capítulo 8 - Herramienta de predicción en los mercados de divisas Se ha programado una interfaz gráfica para MATLAB para aplicar distintos modelos de predicción regresivos, aplicar promediado Bayesiano y distintos test de raíz unitaria. A continuación se documenta su funcionamiento. 8.1 Entorno de programación La interfaz ha sido desarrollada completamente mediante el potente lenguaje matemático MATLAB. La parte gráfica se ha construido mediante el entorno de desarrollo GUIDE de MATLAB. La herramienta se inicia desde MATLAB, seleccionando index.m y ejecutántandolo. Una vez ejecutado aparece la ventana de inicio Figura

120 Figura 8.1-Ventana Inicial 8.2 Módulos de la aplicación La aplicación incluye distinto módulos de trabajo. Una vez iniciada la aplicación lo primero que hay que hacer es cargar los datos para poder ejecutar cualquier módulo. Los datos se cargan pulsando la tecla Load Variable en la figura 8.2 y se carga un fichero de excel llamado datos.xls. 95

121 Figura 8.2-Menu principal La ventana después de cargar los datos tiene el aspecto que refleja la Figura 8.3, en el primer gráfico se carga la serie y en el segundo gráfico se carga el diferencial. Figura 8.3-Menu principal con datos cargados 96

122 8.3 Componentes que proporcionan información adicional de la serie La herramienta proporciona un gráfico de caja y bigotes para el conjunto de datos cargados previamente. Figura 8.4-Diagrama de caja y bigotes La herramienta también incorpora los tests que sirven para detectar la existencia de raíz unitaria, como el test de Philips-Perron: Figura 8.5-Ventana del test de Philips-Perron 97

123 Otros test para detectar la existencia de raíz unitaria es el test aumentado de Dickey-Fuller: Figura 8.6 -Ventana del test Aumentado de Dickey-Fuller Figura 8.7. Dentro de las ventanas de análisis la aplicación incorpora un análisis de la serie, Figura 8.7-Ventana con información de la serie. 98

124 Y por último la aplicación tiene un módulo para calcular los Outliers, que ayuda a detectar la ruptura estructural en la serie, Figura 8.8. El módulo de Outliers consiste en en calcular la diferencia en valor absoluto que hay entre dos puntos consecutivos de la serie de datos. La aplicación selecciona el mayor e indica que puede ser un posible punto de ruptura. Por último la aplicación también hacer una representación gráfica de esos valores, para ayudar a detectarlo visualmente. Figura 8.8-Ventana de Outliers 8.4 Modelos seleccionados Aplicaciones de análisis de la regresión existen casi en cualquier campo. En económicas, la variable dependiente puede ser el índice bursátil Ibex 35 y las variables independientes los índices DowJones y el FTSE 100. En ciencias políticas, la variable dependiente puede ser el nivel de gasto en bienestar del estado y las variables independientes medidas de opinión pública y variables institucionales que pueden causar al estado tener mayores o menores niveles de gasto en bienestar. 99

125 La aplicación primero muestra en un gráfico la autocorrelación, Figura 8.9. Figura 8.9-Ventana de Autocorrelation Después de analizar la serie la herramienta da la posibilidad de calcular prediciones, para ello incluye los siguientes modelos autorregresivos: Figura 8.10-Modelos autorregresivos incluidos en la herramienta 100

126 8.4.1 MLRAR- Multiple linear regresión with AR(p)- Modelo de Regresión Lineal Múltiple Bayesiana El modelo de regresión lineal Bayesiano univariable intenta explicar la variabilidad de una variable (llamada la variable dependiente) con la ayuda de una o más variables (llamadas variables explicativas o independientes) afirmando una relación lineal entre ellas. El modelo de regresión lineal múltiple con p variables explicativas (o regresores) X1,..., Xp será: E. 8.1 Y = β +β.x +β.x + +β.x +ε, i=1,2,...,n SLR- Simple Linear regression - Modelo de regresión lineal simple El modelo SLR considera una variable explicativa X, y supone que la relación estadística entra la variable respuesta Y y esta variable explicativa es lineal, siguiente la siguiente ecuación: E. 8.2 Y = β +β.x +ε Multiple Linear Regression (MLR)- Regresión Lineal Clásica Múltiple Cuando se necesita más de una variable independiente que ayude a explicar un modelo, se ha de usar una estructura múltiple de la regresión. 101

127 8.4.4 Modelos Autorregresivos Simples (AR (p)) La principal característica de estos modelos es la regresión de la variable Y t sobre sí misma, es decir sobre sus valores pasados. Los modelos autorregresivos usan y tienen en cuenta los valores significativos en la función de autocorrelaciones del periodo t-1 para el periodo t. Los modelos AR utilizan estos datos para hacer previsiones. El modelo más sencillo es AR (1), que se explicará posteriormente. 8.5 Benchmarks seleccionados La aplicación desarrollada incluye los siguientes Benchmarks, que pueden ser seleccionados a través de una lista desplegable Figura 8.10: Figura 8.11-Lista desplegable de Benchmarks de la herramienta AR (1) La principal característica de este modelo es la regresión de la variable Y t sobre sí misma, es decir sobre sus valores pasados.el modelo AR(1) tienen en cuenta los valores significativos en la función de autocorrelaciones del periodo t-1, solo se fija en el periodo anterior a t. El modelo responde a la siguiente ecuación: E. 8.3 = + + 1< <1 102

128 8.5.2 La media (Mean) Es un método de predicción que calcula la media de todos los valores anteriores y predice que el próximo valor de la serie es igual a la media de todos los anteriores Método ingenuo (naïve) El método de predicción ingenuo (naïve) 1 utiliza la observación más reciente disponible como predicción Reparto igual de pesos (equal weights) La metodología reparto igual de pesos es un concepto es similar a la media aritmética. La metodología asigna a todos los modelos seleccionados el mismo peso, es decir todos los contribuyen igualmente para obtener el resultado final y por tanto tienen la misma importancia en el resultado final AR (2) El modelo AR(2) tienen en cuenta los valores significativos en la función de autocorrelaciones del periodo t-1 y t-2, solo se fija los dos periodos anterior a t. El modelo responde a la siguiente ecuación: 8.5 = < <1 La herramienta permite seleccionar el modelo de predicción y el benchmark en la misma ventana, que se corresponde con la Figura

129 Figura 8.12-Ventana de Tipos de modelos y Benchmarks 8.6 Predicción final Después de haber seleccionado los modelos y los benchmarks deseados, el último paso es obtener información de la predicción y si el usuario considera que los niveles de error en la predicción son aceptables, se elaborará la predicción final, Figura

130 Figura 8.13-Ventana de información sobre el modelo de predicción Figura 8.14-Ventana de predicción final, según el Benchmark y el Forecast (BMA) 105

131 Capítulo 9 - Planificación y desarrollos futuros A continuación se muestran todos los diagramas y estructuras de trabajo realizados para planificar, repartir las tareas y poder calcular el presupuesto del proyecto 9.1 Definición del proyecto Se propone un proyecto para realizar previsiones financieras utilizando el promediado Bayesiano. Su enfoque es promediar distintos modelos en los que existe cierta información a priori que va cambiando con el tiempo. 9.2 Estructura de División del Trabajo El proyecto se divide en varios paquetes de trabajo. Cada paquete de trabajo tiene una duración estimada entre dos y tres semanas. En la siguiente estructura se muestran todas las divisiones del proyecto. 106

132 PFC Planificación- WP1 Estudio-WP2 Análisis de modelos-wp3 Diseño-WP4 Programación- WP5 Conclusiones- WP6 Documentación -WP7 Revisiones-WP8 Preparar bibliografía- WP2.1 Modelos de predicción- WP2.2 Ruptura estructural- WP2.3 Elección modelos WP4.1 Elección de test para ruptura- WP4.2 Programar Modelos-WP5.1 Test de rupturas-wp5.2 Promediado Bayesiano- WP Organigrama del proyecto Se muestran todas las personas que intervienen en la elaboración del proyecto. Coordinador- Eduardo Alcalde Director de proyecto Carlos Maté Jefe proyecto- Pablo Bajo Analista-Pablo Bajo Diseñador- Pablo Bajo Analista programador- Pablo Bajo Programador- Pablo Bajo 9.4 Planificación del Proyecto La planificación del proyecto se hace por días, considerando que en los sábados y los domingos no se trabaja. Se planifican unas, 2 horas al día, es decir 20 horas a la semana de trabajo. Hay semanas en las que el proyecto no se avanza debido a temporadas de exámenes. El proyecto se entrega finalizado el 7 de Septiembre de

133 Tabla 9.1-Planificación 9.5 Presupuesto del Proyecto El presupuesto del proyecto está basado exclusivamente en el coste de las horas de trabajo dedicadas. A cada tipo de trabajador se le asigna un precio por hora de trabajo diferente, realizando los cálculos pertinentes se obtiene el presupuesto total. Tabla 9.2-Presupuesto del Proyecto 108

134 Presupuesto por empleados: Tabla 9.3-Presupuesto por empleado 9.6 Control En el presente apartado se exponen las métricas seguidas a lo largo del proyecto, para realizar el proyecto dentro del tiempo planificado y no excederse del presupuesto. La forma acordada entre el director y el alumno para controlar los avances y la calidad de los mismos es la siguiente: Fase de estudio, análisis y diseño La primera reunión de cada fase. Las reuniones se producen los viernes. En dicha reunión el director le presenta documentación al alumno y le encarga todo lo que tiene que hacer para la siguiente. Los lunes, el alumno después de haber trabajado durante el fin de semana, envía por la información al profesor, sus conclusiones y resúmenes. El director va revisando el contenido y preparando más bibliografía. 109

135 Los viernes nuevamente se produce otra reunión, el director y el alumno debaten el trabajo realizado y ven como mejorarlo. Se vuelve a ofrecer más bibliografía y tareas para la semana. 110

136 Anexo A- Conclusiones, casos de estudio y desarrollos futuros A.1 Conclusiones extraídas El presente proyecto se encuentra principalmente dentro del campo de análisis, y los principales campos analizados han sido el mercado de divisas, el promediado Bayesiano de modelos y la ruptura estructural. El objetivo principal era analizar los temas anteriormente mencionados, de tal manera que se contribuya a mejorar las previsiones en futuros trabajos de predicción. En el primer tema analizado, los mercados de divisas, se han estudiado e identificado todas las principales características de estos mercados. Se puede concluir que es el mercado con mayor volumen de transacción y actualmente en crecimiento. También se han detectado factores determinantes en la tasa de cambio. En el mercado de las divisas también se han se han extraído conclusiones sobre las nuevas tendencias que siguen los integrantes del mercado de divisas, el uso de la web y los nuevos algoritmos de trading, que jugarán un papel determinante. A la hora de predecir utilizando BMA, estudios como [WRIG09], muestran el camino. Se puede concluir que no hay un único modelo que sea bueno, y el resto malos, por tanto elegir distintos modelos y saber promediarlos sería la forma más certera de hacer predicciones. 111

137 Dentro del campo de la ruptura estructural, se han estudiado los artículos más recientes relativos al tema. Actualmente se está intentando demostrar como el poder detectar una ruptura estructural ayudaría a elaborar una predicción con BMA mucho más precisa. Se ha descubierto que es un campo poco estudiado, y el proyecto constituye una base para empezar a investigar y muestra las conclusiones más importantes a las que se han llegado hasta la fecha actual. La conclusión final que se extrae es que calcular predicciones sólo con los datos a partir de la fecha de ruptura ayuda a obtener mejores previsiones, pero identificar esa fecha de ruptura es muy complicado, y se encuentran muchas contradicciones en la literatura universal. A.2 Predicciones Para realizar previsiones se han utilizados todos los datos disponibles del PIB del conjunto de países de eurozona, el PIB de Estados Unidos, y los valores del Euro frente al Dólar Americano. Se podrían haber utilizado otras divisas pero realmente las que más valor tienen dentro del contexto español son el Euro frente al Dólar. También hay que destacar que los datos del PIB de los países se ofrecen trimestralmente. 112

138 A.3 Caso de estudio Se realizan tres ejemplos pertenecientes a un caso de estudio que incluye todos los datos disponibles del PIB de la eurozona comparados con los datos del PIB de EEUU. Se elabora una previsión para el próximo Trimestre, las datos se han extraído de: [WEB012], [WEB013] y [WEB012] que ofrecen información del mercado de divisas. Se elije el siguiente BMA: Figura A.1- Selección modelo Y se obtiene la siguiente previsión: 113

139 Figura A.2-Predicción simple El segundo ejemplo, elimina el último valor, un valor conocido(t-1) y se prueba con el mismo modelo: Figura A.3- Predicción para t-1 Se elimina el último valor, un valor conocido(t-2) y se prueba. 114

140 Figura A.4- Predicción para t-2 El tercer ejemplo, analiza donde se puede producir ruptura estructural, a partir de la presencia de ruptura, intentamos calcular t (12) = 1,3149: Figura A.5- Outliers A partir de la información de la gráfica de Outliers, se eliminan los 3 primeros valores, para predecir con los datos posteriores a una posible ruptura. 115

141 Figura A.6-Predicción ruptura El caso de estudio analizado sirve para mostrar la herramienta en funcionamiento con un conjunto de datos reales. En el caso anteriormente ejecutado muestra como la herramienta predice con modelos convencionales y modelos autorregresivos. La herramienta pretende servir de base para realizar análisis estadísticos y predicciones con valores de datos comprendidos dentro del mercado de divisas. 116

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