APUNTES DE PROCESOS E INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS

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1 APUNTES DE PROCESOS E INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS GES II UNIDAD DIDÁCTICA Sistemas Profesora Ana María Zarco García Educación de adultos

2 Unidad didáctica. Sistemas Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández Unidad didáctica : Sistemas de ecuaciones lineales. Concepto de sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede epresar de la forma: ' ' ' c b a c b a Donde a, b, a' b' son números reales que se denominan coeficientes c c' también son números reales llamados términos independientes. Llamamos solución del sistema al par de valores (, ) que satisfacen las dos ecuaciones del sistema. Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen la misma solución. Ejemplo: Son sistemas de ecuaciones lineales, por ejemplo: ; 0 ; ; Ejemplo: No es un sistema lineal 8 porque tiene términos en. Tampoco lo es 8 porque tiene un término en.. Razona si son o no sistemas de ecuaciones lineales los siguientes sistemas: a) b) c) d). Clasificación de sistemas de ecuaciones

3 Unidad didáctica. Sistemas En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada una de las ecuaciones representa una recta en el plano. Estas rectas pueden estar posicionadas entre sí de tres maneras distintas, lo que nos audará a clasificar nuestro sistema en: ) Compatible determinado: el sistema tiene una única solución, por lo que las rectas son SECANTES, se cortan en un punto. ) Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones, por lo que las rectas son COINCIDENTES. ) Incompatible: el sistema no tiene solución, por lo que las rectas son PARALELAS. Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible Rectas secantes Rectas coincidentes Rectas paralelas Actividades resueltas Añade una ecuación a = para que el sistema resultante sea: Solución: a) Compatible determinado b) Incompatible c) Compatible indeterminado a) Para que el sistema sea compatible determinado, añadiremos una ecuación que no tenga los mismos coeficientes que la que nos dan. Por ejemplo, + =. Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández

4 Unidad didáctica. Sistemas b) Para que sea incompatible, los coeficientes de las incógnitas tienen que ser los mismos (o proporcionales) pero tener diferente término independiente. Por ejemplo =, (o = 0). c) Para que sea compatible indeterminado, pondremos una ecuación proporcional a la que tenemos. Por ejemplo =.. Representa los siguientes sistemas clasifícalos: a) b) c) Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández

5 Unidad didáctica. Sistemas. Resolución de sistemas por el método de sustitución El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema sustituir la epresión obtenida en la otra ecuación. Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podemos calcular la incógnita despejada. Con el valor obtenido, obtenemos el valor de la otra incógnita. Ejemplo: Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución: Despejamos de la segunda ecuación: lo sustituimos en la primera: ( ) = = = = = ( )/( ) = Con el valor obtenido de, calculamos la : = = =. Solución:. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a) b) 0 c) 0 Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández 8

6 Unidad didáctica. Sistemas Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández. Resolución de sistemas por el método de igualación El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema e igualar los resultados obtenidos. Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podremos calcular la incógnita despejada. Con el valor obtenido, calculamos el valor de la otra incógnita. Ejemplo: Vamos a resolver el sistema por el método de igualación: Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema: Igualamos ahora los resultados obtenidos resolvemos la ecuación resultante: ) ( Con el valor obtenido de, calculamos la : = = () = Solución:. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a) b) c)

7 Unidad didáctica. Sistemas. Resolución de sistemas por el método de reducción El método de reducción consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplican una o ambas ecuaciones por un número de modo que los coeficientes de o sean iguales pero de signo contrario. Ejemplo: Vamos a resolver el sistema por el método de reducción: Multiplicamos la segunda ecuación por para que los coeficientes de la sean iguales pero de signo contrario sumamos las ecuaciones obtenidas: ( ) sumamos = = ( )/( ) = Con el valor obtenido de, calculamos la : = = + = = / = Solución:. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: a) b) c) 0. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones Para resolver problemas por medio de sistemas de ecuaciones, primero tendremos que pasar a lenguaje algebraico el enunciado del problema luego resolverlo siguiendo los siguientes pasos:. Comprender el enunciado. Identificar las incógnitas. Traducir el enunciado al lenguaje algebraico. Plantear el sistema resolverlo. Comprobar la solución obtenida Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández 0

8 Unidad didáctica. Sistemas Actividades resueltas Vamos a resolver el siguiente problema: La suma de las edades de un padre su hijo es su diferencia. Cuál es la edad de cada uno? Una vez comprendido el enunciado, identificamos las incógnitas que, en este caso, son la edad del padre el hijo. Edad del padre = Edad del hijo =. Pasamos el enunciado a lenguaje algebraico: La suma de sus edades es : Y su diferencia : + = =. Planteamos el sistema lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo. En este caso, lo hacemos por reducción: sumamos = = / = + = + = = =. Solución: El padre tiene años el hijo tiene años.. Comprobación: En efecto, la suma de las edades es + = la diferencia es =.. La suma de las edades de Raquel Luis son años. La edad de Luis más cuatro veces la edad de Raquel es igual a 0. Qué edad tienen cada uno?. La suma de las edades de María Alberto es años. Dentro de 8 años, la edad de Alberto será dos veces la edad de María. Qué edad tiene cada uno en la actualidad? 8. Encuentra dos números cua diferencia sea su suma sea. Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández

9 Unidad didáctica. Sistemas Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a) b) c). Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a) b) 0 c) 8. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: a) b) c). Resuelve de forma gráfica los siguientes sistemas a) b) c). Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más apropiado: a) b) c). Copia en tu cuaderno completa los siguientes sistemas incompletos de forma que se cumpla lo que se pide en cada uno: Compatible indeterminado Incompatible Su solución sea = e = a) b) c) Incompatible Su solución sea = e = Compatible indeterminado

10 Unidad didáctica. Sistemas d) e). Escribe tres sistemas lineales que sean incompatibles. 8. Escribe tres sistemas lineales que sean compatibles indeterminados.. Escribe tres sistemas lineales que sean compatibles determinados. 0. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación comprueba la solución gráficamente. De qué tipo es cada sistema? f) a) 8 b) c) Problemas. En una tienda alquilan bicicletas triciclos. Si tienen vehículos con un total de ruedas, cuántas bicicletas cuántos triciclos tienen?. Cuál es la edad de una persona si al multiplicarla por le faltan 00 unidades para completar su cuadrado?. Descompón 8 en dos factores cua suma sea. El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 8. Qué número es?. La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es. Determina dichos números.. Van cargados un asno un mulo. El asno se quejaba del peso que llevaba encima. El mulo le contestó: Si o llevara uno de tus sacos, llevaría el doble de carga que tú, pero si tú tomas uno de los míos, los dos llevaremos igual carga. Cuántos sacos lleva cada uno?. Qué número multiplicado por es 0 unidades menor que su cuadrado? 8. Calcula tres números consecutivos cua suma de cuadrados es. Dentro de años, la edad de Mario será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace años. Qué edad tiene Mario? 0. Dos números naturales se diferencian en unidades la suma de sus cuadrados es 80. Cuáles son dichos números?. La suma de dos números es su producto es 8. De qué números se trata? Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández

11 Unidad didáctica. Sistemas. María quiere formar bandejas de un kilogramo con mazapanes polvorones. Si los polvorones le cuestan a euros el kilo los mazapanes a euros el kilo, quiere que el precio de cada bandeja sea de euros, qué cantidad deberá poner de cada producto? Si quiere formar bandejas, Qué cantidad de polvorones de mazapanes va a necesitar?. Determina los catetos de un triángulo rectángulo cua suma es cm la hipotenusa de dicho triángulo mide cm.. El producto de dos números es la suma de sus cuadrados. Calcula dichos números. La suma de dos números es 0. El doble del primero más el triple del segundo es. De qué números se trata?. En un garaje ha 0 vehículos entre coches motos. Si en total ha 00 ruedas, cuántos coches motos ha en el garaje?. La edad actual de Pedro es el doble de la de Raquel. Dentro de 0 años, sus edades sumarán. Cuántos años tienen actualmente Pedro Raquel? 8. En mi clase ha personas. Nos han regalado a cada chica bolígrafos a cada chico cuaderno. Si en total había regalos. Cuántos chicos chicas somos en clase?. Entre mi abuelo mi hermano tienen años. Si mi abuelo tiene 0 años más que mi hermano, qué edad tiene cada uno? 0. Dos bocadillos un refresco cuestan. Tres bocadillos dos refrescos cuestan 8. Cuál es el precio del bocadillo el refresco?. En una granja ha pollos vacas. Si se cuentan las cabezas, son 0. Si se cuentan las patas, son. Cuántos pollos vacas ha en la granja?. Un rectángulo tiene un perímetro de metros. Si el largo es metros maor que el ancho, cuáles son las dimensiones del rectángulo?. En una bolsa ha monedas de. Si en total ha 0 monedas, cuántas monedas de cada valor ha en la bolsa?. En una pelea entre arañas avispas, ha 0 cabezas 88 patas. Sabiendo que una araña tiene 8 patas una avispa, cuántas moscas arañas ha en la pelea?. Una clase tiene estudiantes, el número de alumnos es triple al de alumnas, cuántos chicos chicas ha?. Yolanda tiene años más que su hermano Pablo, su madre tiene 0 años. Dentro de años la edad de la madre será doble de la suma de las edades de sus hijos, Qué edades tiene? Autoras: ANA ZARCO Raquel Hernández