ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre

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1 1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas ALGEBRA LINEAL 2015 Segundo Semestre VICTORIA VAMPA

2 2 1. Espacios Vectoriales 1.1. Definición de espacio vectorial. Ejemplos El conjunto de los números reales y el conjunto de los numeros complejos, con los cuales ya se trabajó, tienen propiedades similares. En ambos pueden definirse dos operaciones + y. que satisfacen ciertas propiedades y reciben el nombre de cuerpo. Trabajaremos tanto con el cuerpo de los reales, R como con el cuerpo de los complejos C, denotándolos por K. Al estudiar vectores en el plano y en el espacio, hemos definido la suma de vectores y la multiplicación por un número real, y se vieron las propiedades que satisfacían. También para el conjunto de polinomios. Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares es conveniente axiomatizar éstas y darles un nombre al ente resultante, con la ventaja que estudiando esta estructura, quedan estudiadas todas las estructuras que en ella se encuadran. Cuando en un conjunto se da una estructura similar a la de los ejemplos anteriores, se dice que se tiene un espacio vectorial.

3 3 DEFINICIÓN: Un conjunto V, cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, si en él se han definido dos operaciones: la suma, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u + v de V, denominado suma de u y v, y la multiplicación por escalares, de manera que a todo elemento u de V y a todo elemento a de K se le hace corresponder el elemento a u de V, que satisfacen las siguientes propiedades: 1. Conmutativa u + v = v + u para todo u y v de V 2. Asociativa u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 3. Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, tal que u + 0 = u para todo u de V. 4. Para todo elemento u de V, existe un elemento designado por u y denominado opuesto de u, tal que u + ( u) = u = u para todo u de V, donde 1 denota el elemento unidad de K 6. a(b u ) = (ab) u para todo u de V, y todo a y b de K 7. (a + b) u = a u + b u para todo u de V, y todo a y b de K 8. a( u + v ) = a u + a v para todo u, v de V, y todo a de K

4 4 NOTAS: Los elementos del espacio vectorial reciben el nombre genérico de vectores Las primeras cuatro propiedades se refieren a la suma, las dos que siguen a la multiplicación por escalares y las dos últimas son las distributivas de una operación con respecto a la otra. Si K es R se dice que V es un espacio vectorial real, y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo. EJEMPLO 1: R es un espacio vectorial sobre Q, C es un espacio vectorial sobre R y sobre Q Vectores en el plano, o vectores en el espacio, R 2 o R 3 con las operaciones usuales son espacios vectoriales sobre R EJEMPLO 2: K n = {(x 1, x 2,, x n ), x j K, j = 1, 2,, n} con las operaciones usuales es un espacio vectorial sobre K. En particular, R n es un espacio vectorial real y C n es un espacio vectorial complejo.

5 5 EJEMPLO 3: Sea P K [x] el conjunto de todos los polinomios en la variable x sobre el cuerpo K, es decir, todos los elementos de la forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n a j K Con las operaciones suma de polinomios y multiplicación por escalares, P K [x] es un espacio vectorial sobre K. EJEMPLO 4: Sea C([a, b]) el conjunto de todas las funciones continuas definidas en el intervalo real [a, b], con valores en R, con las operaciones, y (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a(f(x)) puede comprobarse que C([a, b]) es un espacio vectorial. El elemento neutro es la aplicación nula. EJEMPLO 5: Un ejemplo importante es el conjunto S(A) de soluciones del sistema homogéneo AX = 0, donde x = (x 1, x 2,, x n ) R n.

6 6 Los siguientes son algunos resultados que se deducen de las propiedades que definen un espacio vectorial. El elemento neutro de un espacio vectorial es único El opuesto de cada elemento en un espacio vectorial es único Para todo u de un espacio vectorial V, 0. u = 0 Para todo elemento u de un espacio vectorial V, ( 1) u es su opuesto. En todo espacio vectorial V, a 0 = 0, donde a K y 0 es el elemento neutro de V Subespacio vectorial Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios vectoriales con las operaciones definidas en V ; éstos subconjuntos especiales reciben el nombre de subespacios vectoriales de V. DEFINICIÓN: Un subespacio vectorial de un espacio vectorial V es un subconjunto V 1 de V, que a su vez es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V.

7 7 Para demostrar que un subconjunto es un subespacio vectorial no es necesario comprobar de nuevo que satisface todas las propiedades del espacio vectorial. En realidad, es suficiente demostrar que la suma de dos elementos de V 1 es otro elemento de V 1, y que la multiplicación de un elemento de V 1 por un elemento del cuerpo K, es otro elemento de V 1 ; es decir 1. Si u y v V 1, u + v V 1 2. Si a K y u V 1, a u V 1 EJEMPLO 1: Caracterizar subespacios de R 2 a) S = {(0, 0)} es un subespacio b) Supongamos S un subespacio que contiene algún elemento u no nulo. Entonces para todo a R a u S. Si esos son todos los elementos de S, S es un subespacio y gráficamente es una recta por el origen. c) Si S contiene a un v que no es a v, contiene a sus múltiplos a v. Luego contiene a dos rectas L u y L v por el origen. Por la regla del paralelogramo cualquier w R 2 es suma de un elemento de L u y uno de L v. En consecuencia S = R 2

8 8 EJEMPLO 2: Sea V un espacio vectorial sobre K a) S = { 0} es un subespacio de V b) V es un subespacio de V c) Si v V, S = {a v, a K} es un subespacio de V (dem) Este subespacio se denomina el subespacio generado por v, y se nota S = v d) Sean v 1, v 2,, v n V. Entonces S = {a 1.v 1 +a 2.v 2 + +a n.v n, a i K 1 i n} es un subespacio de V (dem) EJEMPLO 3: P (n) R [x] es un subespacio vectorial de P R [x]; a su vez, P R [x] es un subespacio vectorial de C(R).

9 9 EJEMPLO 4: Sea S = { u 1, u 2,, u n } un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. Definimos n L(S) = L( u 1, u 2,, u n ) = a j u j a j K, j = 1, 2,, n j=1 El conjunto L(S) es un subespacio vectorial de V (falta dem.), que recibe el nombre de subespacio vectorial generado por S Como ejemplo ver que L( u 1, u 2, u 3 ), donde u 1 = (1, 0, 1), u 2 = ( 1, 1, 0) y u 3 = (1, 1, 2), es un subespacio vectorial de R 3. EJEMPLO 5: Sean a 1, a 2,, a n K fijos. S = {(x 1, x 2,, x n ) K n, a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0, } es un subespacio de K n (dem)

10 10 EJEMPLO 6: Dada una matriz A de m filas y n columnas, y de rango r, todas las soluciones del sistema de ecuaciones homogéneo AX = 0, X R n constituyen un subespacio vectorial de R n. Ver cuál es el subespacio vectorial en el sistema homogéneo siguiente: 2y z + w = 0 3x + y + 10z + 5w = 0 x + 3z + w = 0

11 Base y dimensión de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K; un número finito de vectores v 1, v 2,,, v n se dice que son linealmente dependientes si existen n elementos de K, a 1, a 2,,, a n no todos nulos, tal que a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 Si los vectores v 1, v 2,,, v n no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes; por lo tanto los vectores v 1, v 2,,, v n son linealmente independientes si cualquier igualdad como la anterior implica que todos los elementos de K, a 1, a 2,,, a n son nulos. Si en la igualdad anterior a n es no nulo, podemos escribir v n = a 1 v a 1 a 1 v n a 2 + a n 1 v n a n 1 n decimos entonces que v n es una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,, v n 1. En general, diremos que v es combinación lineal de los vectores v 1, v 2,, v k, si existen k números a 1, a 2,,, a k de K tal que v = a 1 v 1 + a 2 v a k v k

12 12 Un conjunto finito de vectores { v 1, v 2,, v k } de un espacio vectorial V se dice que es un sistema de generadores de V si todo elemento de V puede escribirse como una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,, v k. Antes de exponer algunos ejemplos es conveniente realizar algunas observaciones. En primer lugar, observamos que todo conjunto finito de vectores que contiene al elemento neutro es linealmente dependiente; basta observar que para cualquier a K. a v v n = 0 En segundo lugar observaremos que todo conjunto finito de vectores linealmente independientes no puede contener un subconjunto de vectores que sean linealmente dependientes.

13 13 En efecto, si { v 1, v 2,, v n } son linealmente independientes y suponemos que { v 1, v 2,, v k }, k n son linealmente dependientes tendríamos v = a 1 v 1 + a 2 v a k v k = 0 con no todos los a j igual a cero; basta observar que, entonces a 1 v 1 + a 2 v a k v k + 0 v k v n = 0 con lo cual los originales serían linealmente dependientes. EJEMPLO 1: Tres vectores no nulos de R 2 son siempre linealmente dependientes EJEMPLO 2: En general, n + 1 vectores de K n son siempre linealmente dependientes.

14 14 EJEMPLO 3: Las funciones p 0 (x) = 1, p 1 (x) = x, p 2 (x) = x 2,, p n (x) = x n, son linealmente independientes, ya que si tenemos la igualdad a a 1 x + a 2 x 2 +, a n x n = 0 para todo x R, resultan a 0 = a 1 = a 2 = a n = 0. EJEMPLO 4: Las funciones f(x) = cos 2 (x), g(x) = sen 2 (x) y h(x) = 1 son linealmente dependientes en C([0, 2π]) ya que cos 2 (x) + sen 2 (x) = 1 DEFINICIÓN: Un conjunto finito de vectores { e 1, e 2,, e n } se dice que es una base de un espacio vectorial V si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Los vectores e 1, e 2,, e n son linealmente independientes, y 2. Todo elemento de V es una combinación lineal de los vectores e 1, e 2,, e n

15 15 Observar que la segunda condición de esta definición es equivalente al hecho de que el conjunto de vectores e 1, e 2,, e n sea un sistema de generadores de V. Sin embargo, no todo sistema de generadores de un espacio vectorial V es una base. EJEMPLO 5: Si e j = (0, 0,, 1,, 0) K n, donde 1 ocupa el lugar j, se tiene que e 1, e 2,, e n son linealmente independientes y además si x = (x 1, x 2,, x n ) K n, se tiene que n x = x j e j j=1 Por lo tanto { e 1, e 2,, e n } es una base de K n, que recibe el nombre de base canónica, E, de este espacio. EJEMPLO 6: Dada una matriz A de m filas y n columnas, y de rango r, todas las soluciones del sistema de ecuaciones homogéneo AX = 0, X R n constituyen un subespacio vectorial de R n generado por n r vectores (ver EJEMPLO 6 pág.10)

16 16 EJEMPLO 7: El conjunto {1, x,, x n } es una base de P (n) K [x], ya que son linealmente independientes de acuerdo con el resultado del Ejemplo 3, y todo polinomio p de grado inferior o igual a n puede escribirse de la forma p(x) = a a 1 x + a 2 x a n x n EJEMPLO 8: El conjunto {1, x,, x n } no es una base de P K [x], ya que el polinomio p(x) = x n+1 no es combinación lineal de éstos. Si { e 1, e 2,, e n } es una base de un espacio vectorial V y v es cualquier elemento de V podemos escribir a v como combinación lineal de e 1, e 2,, e n, de la forma v = v 1 e 1 + v 2 e v n e n con v j K. Los números v 1, v 2,, v n se denominan componentes de v con respecto a la base e 1, e 2,, e n.

17 17 Las componentes de un vector v con respecto a una base son únicas, ya que si tenemos y se tiene también que v = v 1 e 1 + v 2 e v n e n v = v 1 e 1 + v 2 e v n e n 0 = ( v 1 v 1 ) e 1 + ( v 2 v 2 ) e ( v n v n ) e n Puesto que e 1, e 2,, e n son linealmente independientes debe ser v 1 = v 1, v 2 = v 2,, v n = v n, que era lo que queríamos demostrar. EJEMPLO 9: Sea V = R 3 y sea E la base canónica, entonces (x, y, z) E = (x, y, z). Si la base es B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} entonces (x, y, z) B = (z, y z, x y).

18 18 Un mismo espacio vectorial puede poseer varias bases; nuestro próximo objetivo es demostrar que todas ellas han de poseer el mismo número de elementos. PROPOSICIÓN: Si V es un espacio vectorial que posee una base con n elementos, cualesquiera n + 1 vectores de V son linealmente dependientes. Demostración De esta proposición se deduce un resultado un poco más general: en un espacio vectorial V que posee una base con n elementos, cualesquiera m vectores de V, con m > n son linealmente dependientes. Basta observar que n + 1 de los m vectores dados han de ser linealmente dependientes, debido a la proposición anterior, y por lo tanto, todos ellos han de formar un conjunto de vectores linealmente dependiente. Este resultado se aplica en la demostración del siguiente teorema:

19 19 PROPOSICIÓN: Todas las bases de un mismo espacio vectorial V poseen el mismo número de elementos. Demostración { Sean { e 1, e 2,, e n } y e 1, e 2,, e } m dos bases de un espacio vectorial V ; por el razonamiento anterior m n, ya que en caso contrario los vectores de la segunda base serían linealmente dependientes. Similarmente n m ya que en caso contrario los vectores de la primera base serían linealmente independientes. Se tiene, por lo tanto, que n = m. El número de elementos que posee una base cualquiera de un espacio vectorial V recibe el nombre de dimensión de V ; este número será designado mediante { } dim(v ). Si el espacio vectorial sólo contiene un elemento, es decir V = 0 tiene dimensión cero.

20 20 De los ejemplos anteriores podemos deducir los siguientes resultados: 1. La dimensión de K n es n 2. La dimensión de P (n) K [x] es n En el ejemplo 4 ver que L( u 1, u 2, u 3 ), donde u 1 = (1, 0, 1), u 2 = ( 1, 1, 0) y u 3 = (1, 1, 2), es un subespacio vectorial de R 3 de dimensión 2. PROPOSICIÓN: Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Todo conjunto de n vectores de V que sean linealmente independientes son una base de V. Demostración Una forma de encontrar una base de un espacio vectorial V es agregar vectores a un conjunto de vectores linealmente independientes de V. En la demostración de la proposición que sigue se explica la forma de agregarlos.

21 21 PROPOSICIÓN: Sea V un espacio de dimensión finita n; todo conjunto de vectores linealmente independientes de V puede completarse para obtener una base, es decir, dados k vectores e 1, e 2,, e k, k < n, de V, linealmente independientes, existen n k vectores e k+1, e k+2,, e n de V tal que el conjunto { e 1, e 2,, e k, e k+1, e k+2,, e n } es una base de V. Demostración Supongamos que V es un espacio vectorial de dimensión finita n; acabamos de probar que k vectores linealmente independientesde V pueden completarse para obtener una base. Puede demostrarse que si S es un sistema de generadores de V, de él puede extraerse un subconjunto S 1 que sea una base de V. Ahora unos comentarios acerca de la dependencia o independencia lineal de subconjuntos infinitos de un espacio vectorial.

22 22 Un conjunto infinito S de elementos de un espacio vectorial V se dice linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de S es linealmente independiente. En caso contrario, S se dice linealmente dependiente; es decir S es linealmente dependiente si existe un subconjunto finito de él que es linealmente dependiente. Un espacio vectorial V en el que se puede encontrar un subconjunto S linealmente independiente y con infinitos elementos, se dice que tiene dimensión infinita. Los espacios vectoriales P K [x], y C([0, 2π]), introducidos en la sección anterior, son espacios vectoriales de dimensión infinita. Puede demostrarse que el conjunto S = {x n, n N} es un conjunto linealmente independiente de P K [x] mientras que el conjunto S = {cos(nx), sen(mx)} n,m N es un conjunto linealmente independiente de C([0, 2π]).

23 Intersección y suma de subespacios vectoriales Una pregunta que surge es si al considerar las operaciones de unión e intersección entre subespacios de un espacio vectorial V (que son subconjuntos de V ) se preserva la estructura de subespacio. Veremos que se preserva en la intersección pero no en la unión. Dados dos subespacios V 1 y V 2 de un espacio vectorial V podemos definir su intersección y su suma V 1 V 2 = { u, u V 1 u V 2 } V 1 + V 2 = { u 1 + u 2, u 1 V 1 u 2 V 2 } Como puede demostrarse fácilmente (ver en la práctica) estos dos nuevos subconjuntos son también subespacios vectoriales de V. La relación que existe entre las dimensiones de estos subespacios vectoriales y las dimensiones de los subespacios V 1 y V 2 queda plasmada en el siguiente resultado:

24 24 PROPOSICIÓN: dim(v 1 ) + dim(v 2 ) = dim(v 1 + V 2 ) + dim(v 1 V 2 ) para cualesquiera subespacios vectoriales V 1 y V 2 de un espacio vectorial V de dimensión finita. Demostración NOTA: Puede demostrarse que S + T es el menor subespacio (con respecto a la inclusión) que contiene a S T EJEMPLO 1: S = {(x 1, x 2,, x n ) K n { a11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 } es un subespacio de K n, pues S = m i=1 S i, donde S i = {(x 1, x 2,, x n ) K n, a i1 x 1 + a i2 x a in x n = 0, }, 1 i n y cada S i es un subespacio de K n (ver EJEMPLO 5, pág. 9)

25 25 EJEMPLO 2: Dos subespacios vectoriales V 1 y V 2 en R 2 ambos de dimensión 1, tienen una suma que coincide con todo R 2, ya que dim(v 1 + V 2 ) = dim(v 1 ) + dim(v 2 ) dim(v 1 V 2 ) = = 2 En este ejemplo podemos volver sobre el comentario realizado al comenzar la sección. Si V 1 y V 2 son los subespacios generados por los vectores (1, 0) y (0, 1) respectivamente, la unión de V 1 y V 2 no es un subespacio, ya que (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) / S T pues (1, 1) / S y (1, 1) / T. DEFINICIÓN: Un espacio vectorial V es suma directa de dos subespacios V 1 y V 2 si 1. V 1 + V 2 = V 2. V 1 V 2 = 0 Utilizaremos la notación V = V 1 V 2 para indicar que V es suma directa de los subespacios V 1 y V 2.

26 26 Observaciones 1. El plano R 2 puede escribirse como suma directa de dos rectas no coincidentes que pasan por el origen 2. El espacio R 3 puede escribirse como suma directa de un plano que pasa por el origen y una recta que le corta en ese punto 3. De la proposición anterior deducimos que si V = V 1 + V 2, se tiene que dim(v ) = dim(v 1 V 2 ) = dim(v 1 ) + dim(v 2 ) ya que el subespacio 0 tiene dimensión 0. Además, si B 1 es base de V 1 y B 2 es base de V 2, B = B 1 B 2 es una base de V. EJEMPLO 1: S = { x R 3, x 1 + x 2 + x 3 = 0, } y T = (1, 1, 1). Se tiene que dim(s) = 2, dim(t ) = 1 y S T = 0. Entonces, dim(s + T ) = 3, y S + T = R 3.

27 27 Si V = V 1 + V 2 todo elemento v V puede escribirse de la forma v = v 1 + v 2 con v 1 V 1 y v 2 V 2. Si la suma es directa, esta descomposición es única. PROPOSICIÓN: Sean V 1 y V 2 subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. V = V 1 V 2 2. Para todo v V existe una descomposición única de la forma v = v 1 + v 2 con v 1 V 1 y v 2 V 2. Demostración También podemos definir la intersección, la suma y la suma directa de más de dos subespacios vectoriales.

28 28 En general, dados n subespacios vectoriales V 1, V 2,, V n de un espacio vectorial V, definimos y n j=1 n V j = j=1 V j = { u V, u V j, j = 1,, n } n j=1 u j, u j V j, j = 1,, n que reciben el nombre de intersección y suma, respectivamente, de los subespacios vectoriales dados. Estos dos nuevos subespacios son también subespacios vectoriales de V.

29 29 La definición de suma directa de varios subespacios vectoriales es un poco más complicada en general, que si solamente hay dos. Diremos que V es suma directa de los subespacios vectoriales V 1, V 2,, V n y escribiremos V = V 1 V 2 V 3 V n si todo vector v V tiene una descomposición única de la forma v = ni=1 v i con v i V i, i = 1,, n. NOTAS: Si n = 2, la proposición anterior muestra que ésta definición y la dada anteriormente son equivalentes. Para n 3 se puede demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: V = V 1 V 2 V 3 V n V = n i=1 V i y V i ( { } n k i V k ) = 0

30 Cambio de base Supongamos que un espacio vectorial V de dimensión finita posee dos bases. Veremos que con la ayuda de una matriz se pueden obtener las coordenadas de un vector con respecto a una base de V a partir de las coordenadas del vector en otra base. { Supongamos que B = { e 1, e 2,, e n } y B = e 1, e 2,, e m} son dos bases de un espacio vectorial V de dimensión n. Todo elemento de la base B se escribe como combinación lineal de los elementos de la base B : e 1 = a 11. e 1 + a 21. e a n1. e n e 2 = a 12. e 1 + a 22. e a n2. e n (1) e n = a 1n. e 1 + a 2n. e a nn. e n que en forma abreviada puede escribirse e j = n a ij. e i, j = 1, n i=1

31 31 Diremos entonces que la base B se obtiene de la base B mediante la siguiente matriz a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn donde la j-ésima columna de A son las componentes del vector e j con respecto a la base e j, j = 1, 2,, n. La matriz A se denomina matriz del cambio de base de B a B. Cuando, por necesidades de notación sea necesario hacer constar las bases B y B escribiremos P B,B. Si B y B coinciden se tiene que P B,B = I n n, esto sucede para cualquier matriz de un cambio de base, como se demuestra en la siguiente proposición:

32 32 PROPOSICIÓN: La matriz A del cambio de base de B a B es invertible y su inversa es la matriz del cambio de base de B a B. Podemos, por lo tanto, escribir Demostración P 1 B,B = P B,B = A 1 EJEMPLO 1: Dadas las bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} B = { e 1, e 2, e 3 } (base canónica de R 3 ), la matriz de cambio de base de B a B es, P B,B =

33 33 Tratemos ahora de relacionar entre sí las coordenadas de un mismo vector en las bases nueva B y antigua B. Supongamos que x V, y además x = x 1. e 1 + x 2. e x n. e n x = x 1. e 1 + x 2. e x n. e n Sustituyendo Ec.(1) en la primera expresión obtenemos x = x 1.( n i=1 a i1 e i ) + x 2.( n i=1 a i2 e i ) + + x n.( n i=1 a in e i ) = (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n ) e 1 + (a 21 x 1 + a 22 x a 2nx n ) e (a n1 x 1 + a n2 x a nn x n ) e n

34 34 Comparando esta última igualdad con la segunda expresión podemos escribir Si convenimos en escribir X = x 1 = a 11.x 1 + a 12.x a 1n.x n x 2 = a 21.x 1 + a 22.x a 2n.x n (2) x n = a n1.x 1 + a n2.x a nn.x n x 1 x 2 x 3 x n y X = x 1 x 2 x 3 x n a las componentes del vector x en la antigua y en la nueva base, respectivamente, Ec.2 se escribe brevemente de la forma X = AX

35 35 Esto nos permite obtener las coordenadas del vector x en la base antigua conociendo las coordenadas del mismo vector en la nueva base. EJEMPLO 2: Dadas las bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} B = { e 1, e 2, e 3 }, se quiere encontrar las coordenadas del vector x = (3, 2, 3) B en la base B. De acuerdo a lo anterior, la matriz de cambio de base, P B,B es Entonces (1, 0, 0) = 0(1, 1, 1) + 0(1, 1, 0) + 1(1, 0, 0) (0, 1, 0) = 0(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + ( 1)(1, 0, 0) (0, 0, 1) = 1(1, 1, 1) + ( 1)(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) P B,B = X = P B,B X = (3)

36 36 Así obtuvimos las coordenadas del vector x en la base antigua B conociendo las coordenadas del mismo vector en la nueva base B. EJEMPLO 3: Sean e 1 y e 2 dos vectores perpendiculares unitarios en R 2 en la dirección d elos ejes de coordenadas cartesianas. Girando los ejes de coordenadas un ángulo φ en sentido positivo, contrario a las agujas del reloj se obtine una nueva base e 1, e 2. Cuál es la matriz de cambio de base? Por el dibujo, se observa que { e 1 = cos(φ) e 1 + sen(φ) e 2 e (4) 2 = sen(φ) e 1 + cos(φ) e 2 con lo que la matriz del cambio de base es A = ( ) cos(φ) sen(φ) sen(φ) cos(φ)

37 37 Así, si φ = π/4 Las coordenadas respecto a la base e 1, e 2 del vector (2, 3) son ( cos(π/4) sen(π/4) sen(π/4) cos(π/4) ) 1 ( 2 3 EJEMPLO 4: Dadas las bases de P 2 (x) B = { 3, 1 + x, x 2} B = { 1, x + 3, x 2 + x }, se tiene que y P E,B = P E,B = donde E = { 1, x, x 2} es la base canónica. )

38 38 La matriz de cambio de base de B a B es P B,B = P B,E P E,B = (P E,B ) 1 P E,B = 1/3 2/3 1/ B = 1/3 1 1 B = x 2 + x 1/3 2/3 1/

39 39 2. Aplicaciones Lineales entre Espacios Vectoriales Las transformaciones lineales son las funciones con las que se trabaja en Algebra Lineal. Son funciones que van de un espacio vectorial a otro Definición de aplicación lineal. Ejemplos DEFINICIÓN: Sean V y W dos espacios vectoriales, una aplicación lineal T de V en W es una aplicación T : V W tal que: 1. T ( v + w) = T ( v) + T ( w) para todo v, w V. 2. T (a v) = a T ( v) para todo a K y todo v V. NOTA: V y W deben ser espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Las aplicaciones O : V W, O( u) = 0 W para todo u V y I d : V V, I d ( u) = u son transformaciones lineales

40 40 EJEMPLO 1: Dado un número real a, la aplicación que asocia a cada polinomio del conjunto P R [x] su valor en x = a es una aplicación lineal. Esta aplicación queda definida mediante las siguientes expresiones: T : P R [x] R T (p(x)) = p(a) El hecho que T es una aplicación lineal se deduce de las siguientes igualdades T (p(x) + q(x)) = T ((p + q)(x)) = (p + q)(a) = p(a) + q(a) = T (p(x)) + T (q(x)) y T (cp(x)) = T (cp)(x) = (cp)(a) = c(p(a)) = ct (p(x)) para todo número real c.

41 41 Aplicando repetidas veces las propiedades 1 y 2 de la definición de aplicación lineal entre espacios vectoriales se puede ver que la imagen, mediante una transformación lineal, de una combinación lineal de vectores del espacio vectorial inicial es una combinación lineal de vectores del espacio vectorial final, es decir T ( n j=1 c j v j ) = n j=1 c j T ( v j ) donde c j K y v j V para todo j = 1, 2,, n. Otras propiedades que se deducen de la definición de aplicación lineal se enuncian en las proposiciones siguientes:

42 42 PROPOSICIÓN 1: Sea T una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W. Se tienen los siguientes resultados: 1. La imagen del elemento neutro de V mediante T es el neutro de W, es decir, T ( 0 V ) = 0 W 2. La imagen mediante T del opuesto de un elemento v V es el opuesto de T ( v), es decir, T ( v) = T ( v) Demostración PROPOSICIÓN 2: Sea T : V W una aplicación lineal entre espacios vectoriales. La imagen mediante T de cualquier subespacio vectorial V 1 de V, W 1 = T (V 1 ) es un subespacio vectorial de W. Demostración

43 43 PROPOSICIÓN 3: Sea T : V W una aplicación lineal entre espacios vectoriales. Si U es un subespacio de W, entonces T 1 (U) = { v, V, T ( v) U} Demostración Volviendo a la Prop. 2, si el subespacio V 1 de V tiene { v 1, v 2,, v k } como base, todo elemento w de W 1 puede escribirse como combinación lineal de los vectores T ( v 1 ), T ( v 2 ),, T ( v k ). Esto es cierto ya que tomando v V 1 tal que T ( v) = w se tiene que w = T ( v) = T ( k c j v j ) = j=1 k c j T ( v j ) Por lo tanto, W 1 coincide con el subespacio generado por los vectores T ( v 1 ), T ( v 2 ),, T ( v k ), es decir W 1 = L(T ( v 1 ), T ( v 2 ),, T ( v k )). En consecuencia, la dimensión de W 1 no puede superar k. Hemos probado el siguiente resultado: j=1

44 44 PROPOSICIÓN 4: La imagen mediante una aplicación lineal de un subespacio vectorial de dimensión k es un subespacio vectorial de dimensión no superior a k. Demostraremos con el teorema que sigue que una aplicación queda determinada cuando se conocen las imágenes de los elmentos de una base del espacio vectorial inicial. TEOREMA 5 Sea B = { e 1, e 2,, e n } una base de un espacio vectorial V y sean w 1, w 2,, w n n vectores cualesquiera de otro espacio vectorial W. En estas condiciones, existe una única aplicación lineal T de V en W tal que Demostración T ( e j ) = w j, j = 1, 2,, n

45 Matriz de una Aplicación Lineal. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Sea B = { e 1, e 2,, e n } una base de V y B { = f1, f 2,, f } n una base de W. El elemento T ( e 1 ) es un vector de W, y por lo tanto podemos escribir, Análogamente, T ( e 1 ) = a 11 f1 + a 21 f2 + + a n1 fn T ( e 2 ) = a 12 f1 + a 22 f2 + + a n2 fn T ( e n ) = a 1n f1 + a 2n f2 + + a nn fn

46 46 Estas igualdades se escriben abreviadamente de la forma T ( e j ) = n i=1 a ij fi, j = 1, 2, n En estas condiciones diremos que T = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a n1 a n2 a n3 a nn es la matriz de la aplicación T con respecto a las bases B y B. Observar que la j-ésima columna de la matriz de la aplicación lineal T son las componentes de T ( e j ) con respecto a la base B de W.

47 47 Preferimos denominar a la matriz con la misma letra que a la aplicación (aunque para ser precisos sería necesario designar a la matriz T con un símbolo que incluyera las bases B y B). Dado x V, podemos escribir e x = n j=1 x j e j n y = T ( x) = y ifi La rel. entre las coordenadas y i y x j viene dada por la matriz T. En efecto, i=1 n i=1 n n y ifi = T ( x) = T ( x j e j ) = x j T ( e j ) = j=1 n n x j ( a ijfi ) = n ( j=1 i=1 i=1 j=1 j=1 n a ij x j ) f i

48 48 de donde, y i = n j=1 a ij x j, i = 1, 2, n o sea, la relación entre las coordenadas y i y x j viene dada por la matriz T. Vimos que si en los espacios vectoriales V y W, de dimensión finita n y m, respectivamente, se fijan bases, existe una correspondencia biunívoca entre las aplicaciones lineales de V en W y el conjunto de las matrices M m n (K), de orden m n sobre el cuerpo K. Puesto que el conjunto M m n (K) posee una estructura de espacio vectorial, también lo tiene el conjunto de todas las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y al que denominamos L(V, W ). Las dos operaciones que le dan estructura de espacio vectorial son:

49 49 Si T y T son elementos de L(V, W ), definimos la suma mediante (T + T )( v) = T ( v) + T ( v) para todo v V Si T es un elemento de L(V, W ) y c es un elemento de K, se define la multiplicación de c por T mediante (ct )( v) = c(t ( v)) para todo v V Las operaciones recién definidas tienen ciertas propiedades que coinciden con las enumeradas para matrices, y se resumen en el teorema a continuación: TEOREMA 1 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K; el conjunto L(V, W ) de las aplicaciones lineales entre V y W, con las operaciones anteriormente definidas. Demostración NOTA: Si V y W coinciden escribimos L(V ) en lugar de L(V, V ).