Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene la fórmula de integración por partes:

Transcripción

1 Intgración por parts Spón q tnmos dos fncions ( ) y ( ) continamnt difrnciabls dfinidas n n intralo abirto I. D acrdo con la rgla d la difrncial dl prodcto tnmos q: O qialntmnt: d ( ) = d + = d ( ) d Al intgrar cada mimbro d sta cación s obtin la fórmla d intgración por parts: Fórmla d intgración por parts = d La fórmla antrior s útil cando no s na intgral sncilla, pro las intgrals y d si lo son. Para l caso d intgrals dfinidas tnmos l sigint torma. Torma: Si y = ( ) y y = ( ) son fncions continamnt difrnciabls dfinidas n n intralo abirto I, ntoncs para todo ab, I tnmos Ejmplos b b a a a b ( ) = ( ) ( ) ' d ( ) ( ) ' d Ejmplo 1. Usa l método d intgración por parts para calclar la intgral ln ( ) d Como no d los factors s ln ( ), s connint lgir Entoncs = ; = d. ln ( ) 1 d = d ; = d = + C 1

2 Utiliando la fórmla d intgración por parts, obtnmos: d ln( ) d = ln( ) + C1 C1 sando intgral por parts, + = ln( ) + C1ln( ) C1ln( ) + C 4 dsarrollando, = ln( ) + C 4 simplificando. Obsra q la constant C 1 no aparc n la rspsta final porq s limina n l procso. Est rsltado s rdadro n gnral y no s ncsario scribir la constant d intgración al intgral. d Ejmplo. Calcla la intgral d D acrdo con la tabla 1, lgimos = y = d. Entoncs d = d y = = d Usando la fórmla d intgración por parts, obtnmos: d = d. La intgral ds más sncilla q la intgral original, pro no s dircta. Por lo q intgrarmos por parts na sgnda. Ahora = y = d, ntoncs d = d y = =. d Tnmos q d = d = Finalmnt, rgrsando a la intgral original, obtnmos

3 = = = + + d d C Ejmplo 3. Calcla la intgral 3 d En st jmplo tomarmos = & = d. Entoncs d = d & = d Para calclar tiliamos l método d cambio d ariabl. Sa q d = d y = por lo d 1 1 = d= = = Utiliando la fórmla d intgración por parts, obtnmos: 3 d = d= + C Ejmplo 4. Dtrmina na prsión para cos( ) d En st jmplo s indistinta la lcción d y, tommos, por jmplo: Entoncs d Intgrando por parts tnmos: = y cos( ) = d. = d y = cos( ) d = sn( ) cos( ) d= sn( ) sn( ) d Esta última intgral la calclarmos sando namnt intgración por parts. San ahora

4 = d. = y sn( ) Entoncs d Finalmnt, obtnmos: = = = d y sn( ) d cos( ) sn( ) d= cos( ) + cos( ) d Sstityndo n la intgral original s tin: = sn( ) + cos( ) cos( ) d cos( ) d= sn( ) sn( ) d= sn( ) cos( ) + cos( ) d Dspjando la intgral cos( ) d s obtin 1 cos( ) d= ( sn( ) + cos( ) ) + C Ejmplo 5. Dtrmina na prsión para cos(ln( )) d Utiliamos l cambio d ariabl = ln( ), lgo Sstityndo n la intgral, tnmos: = y d = d. cos(ln( )) d = cos( ) d Usando l rsltado q obtimos n l jmplo 5, Obtnmos l rsltado [ cos( ) + sn( )] cos( ) d = + C [ cos(ln( )) + sn(ln( ))] cos(ln( )) d = + C Ejmplo 6. Calcla la intgral cos ( ) d

5 Utiliamos l cambio d ariabl =, lgo = y d = d. Sstityndo n la intgral, tnmos: ( ) cos d = cos( ) d Considra ahora l no cambio d ariabl = = cos( ) d d = d = sn( ) Finalmnt, sando intgración por parts obtnmos: ( ) cos d= cos( ) d [ ] = sn( ) sn( ) d = sn( ) + cos( ) = sn ( ) + cos( ) + C Ejmplo 7. Calcla la intgral 5 d Para rsolr la intgral ncsitamos sar arias cs l método d intgración por parts. Elgimos primro d 5 = ; 4 = 5 ; = d (I) = (II) Al aplicar l método obtnmos d = 5d La na intgral también s rsl por parts. Elgimos ahora d 4 = 5 ; 3 = 0 ; = d (III) = (IV) Así obtnmos ( 5 0 ) d= d Podríamos sgir con l procso, pro ants obsra q las cacions (III) son las mismas q las cacions (II) y q l intgrando d la na intgral

6 s obtin mltiplicando las cacions d la lína (IV). Admás las ariabls s obtinn, na tras la otra, driando y las ariabls intgrando na sgida d la otra. Finalmnt, los términos q intrsan para la solción s obtinn mltiplicando la ariabl d la lína (I) con la ariabl d la lína (II), dspés la ariabl d la lína (III) con la ariabl d la lína (IV) intrcalando l signo y así scsiamnt. En la tabla s mstra l sqma complto. Signos altrnados y ss driadas y ss antidriadas Tabla. El método tablar d intgración por parts. Obsra q driamos hasta q s anl. Sigindo st procso s obtin como rsltado d= C ( ) = C