023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z:

Transcripción

1 Solucionario 3 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z: x y z x y z x y z = z = = y = = x = Determina la posición de estas recta ( x, y, z) = (, 5, 3) + t (,, ) x 3 y z + = = P (, -5, 3) W u = (,, ) Q( 3,, - ) W v = (,, ) PQ W = (3, 5, -5) Rango = Las rectas son paralelas. - Rango - = Determina las posiciones relativas de las siguientes recta ( x, y, z) = (,, ) + t (,, ) ( x, y, z) = (,, ) + t (,, ) P (,, ) W u = (,, ) Q(,, ) W v = (,, ) PQ W = (-, -, -) Rango = Rango = Las rectas son secantes.

2 Producto escalar x 5 y 3 z Dada la recta: = = 5 y el plano π: x + y 3 z + 8 = : a) Decide su posición relativa y, en caso de cortarse, el ángulo que forman. b) calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π. a) uw r = (, 5, ) nw p = (,, 3) Como uw r = nw p Los vectores no son perpendiculares. La recta corta al plano. Wu Wn a= 9 arc cos = 9 arc cos = 66, Wu Wn 5 b) Calculamos el plano p' que contiene a r y corta perpendicularmente p. P( 5, 3, 7 ) r Wu r = (, 5, ) p': Wn = (,, 3) p x 5 y 3 z p': x + y + z 3= = x 6y 8z + = La recta s, proyección ortogonal de la recta r sobre p, es el corte de los planos p y p'. x = 5+ λ x + y 3z + 8 = y = λ x + y + z 3= z = λ calcula el punto simétrico de P (6,, ) respecto del plano x + 3y + 7z =. Hallamos la proyección ortogonal Q del punto P sobre el plano p. Recta perpendicular a p que pasa por P. x = 6+ λ P ( 6,, ) y = + 3λ Wn p = (, 3, 7 ) z = + 7λ Intersección entre la recta y el plano. x = 6+ λ y = + x = 3λ = y Q(,, ) z = + 7λ = x + 3y + 7z = z λ = 3 Q es el punto medio entre P y su punto simétrico P'(a, b, c) a = (,, ) = a b c,, b = 8 c = El punto simétrico del punto P respecto del plano p es P'( 6, 8, ). 38

3 Geometría en el espacio x + y z = 68 calcule la ecuación de la recta paralela a la recta que pasa por el punto (,, ). x y + z = (Cataluña. Septiembre 6. Cuestión 3) x = z = x + y 3 x = 3x = y =- + t La recta paralela es y = + t 3 z = t z = t 69 Sea r la recta definida por x = y k = z y s la recta definida por 3 x + y z = = 3. Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. 3 P(, k, ) Q( -,, ) W 3 PQ v = (,, 3) Wu = (-3,-, -) W = (-, - k, 3) = 3 Rango = k -3 = 8k- = k = 3 7 Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,, ) y se apoya en las siguientes recta x = + t r : y = + t x y + z + = z = + t x + 3y z 3= Calculamos la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta Q(,, ) r PQ W = (6,, 6) Wv r = (,, ) x + y + z + π: 6 6 =- x + z + 8 = π: x - z- = Calculamos la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta x =--t x - y + z + = y = 5t R(-,, -) s PR W = (,, ) - 7y + 5z + = z =- + 7t Wv s = (-, 5, 7) x + y + z + σ: =-3x - 9y + 6z + 9 = σ: x + 3y - z- 3= x - z- = La recta buscada es m: x + 3y -z - 3=

4 Solucionario 76 Encuentra la ecuación de la recta contenida en el plano π : x + y + 6z = que corta a los ejes Y y Z. (Cataluña. Junio 7. Cuestión ) x + y + 6z - = x = A(,, ) es el punto de intersección del plano z = con el eje Y. x + y + 6z - = x = B y =,, 3 es el punto de intersección del plano con el eje Z. Así, un vector director de la recta contenida en π que corta a los ejes Y y Z es AB W =, -, 3. x = r : y = -t z = t 3 x y + z = 77 Dados los puntos A(,, 3) y B(, 6, 5), y la recta x + y 3z =, averiguar si existe alguna recta tal que contenga los puntos A y B y corte a la recta r. razonar la respuesta. (Castilla-La Mancha. Septiembre. Bloque. Pregunta B) La recta que contiene a A y B e AB W = (,, 8) x = + t y = 6+ t z = 5+ 8t Calcularemos un vector director de r : x = t x - y + z = r : r : y =- + 5t Wv r = (, 5, 3) 3x - z = z =- + 3t P(, -, -) r AP W = (,, ) Estudiamos las posiciones relativas de r y s. Rango = =- Rango 5 3 Las rectas no se cortan, se cruzan. 7

5 Geometría en el espacio 6 Expresa en forma continua la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 5,, ) y es paralela a la recta r, cuyas ecuaciones paramétricas son: x = λ y λ z = + λ a) Está el punto (, 3, 3) en dicha recta? b) Y ( 3, 7, )? x + 5 y z - = + = 3 a) b) = - + = - El punto pertenece a la recta = El punto no pertenece a la recta Dados los puntos A( 3,, 9), B(,, 7) y C(,, 3): a) Halla la ecuación de la recta que pasa por A y B. b) Están los tres puntos alineados? a) AB W = (, -, -6) x = + t y =-t z =-7-6t b) = + t t =- =-t t - C no pertenece a la recta que pasa por A y por B. Los puntos no están alineados. 6 calcula el valor que debe tomar m para que las siguientes rectas se corten en un punto. x m y z = + = + x = 3 y = 6+ λ z = + λ P( m, -, - ) 3 W v = (-,, ) Q( 6,, - ) W u = (,, ) - - =- Rango - - = PQ W = ( -m, 6, ) - Las rectas se cortan si Rango - =. - m = - 8m+ 3 = m = - m 6

6 Solucionario 5 5 Qué valor debe tomar t para que los vectores Wu = (3, t, 5) y Wv = (, 7, t) sean perpendiculares? Y para que sean paralelos? Para que sean perpendiculares, su producto escalar ha de ser. ( 3, t, 5) (, 7, t) = 6 t = t Para que sean paralelos deben ser proporcionale 3 t 5 = = No tiene solución. 7 t No existe ningún valor de t para el que los vectores sean paralelos. 6 Escribe un vector de módulo que sea ortogonal al vector de coordenadas (,, ). (Extremadura. Junio 7. Opción B. Ejercicio ) Llamamos uw = (u, u, u 3 ) al vector que buscamos. uw = ( u, u, u ) (,, ) ( u, u, u ) (,, ) = u + u + u = Un vector que cumple esta condición es uw = (,, ), pero no es unitario. Como W u = 5, un vector unitario que cumple esta condición e vw = = 5 (,, ) 5, 5, 7 cuánto debe valer m para que los puntos A(5, m, 7), B(3,, ) y C(6, 5, ) formen un triángulo rectángulo con el ángulo recto en B? Los vectores BA W = (, m+, 3) y BC W = ( 3, 6, ) deben ser perpendiculares. BA W BC W = 6+ 6m+ 6 = m = 8 calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano π: x 5y z = 8 que pasa por el punto P(3, 3, 5). Vector normal a p: Punto: Wn p = (, 5, ) P ( 3, 3, 5 ) x 3 y 3 z = = + 5 x x Halla la ecuación de un plano perpendicular a la recta = y + = y que la corte en el punto P (5,, 9). 3 El vector director de la recta es el vector normal del plano: Wn = ( 3,, ) p : 3x + y z + D = p P( 5,, 9) p ( 9) + D = D = 33 El plano es p: 3x + y z 33=. 5 5 Demuestra que en cualquier triángulo, sus lados verifican que a + b > c. Consideramos como lados del triángulo los vectores uw, vw y uw + vw. Supongamos que no es cierta la hipótesis a+ b > c, es decir, que se cumple Wu+ Wv > Wu + W v. 83

7 Producto escalar Por ser ambos miembros positivo Wu+ Wv > ( Wu + Wv ) Wu+ Wv = ( Wu+ Wv) ( Wu+ Wv) = Wu + Wu Wv + Wv = Wu + Wu Wv cos a + Wv ( Wu + Wv ) = Wu + Wu Wv + Wv Si Wu+ Wv > Wu + W v, entonce Wu + Wu Wv cosa + Wv > Wu + Wu Wv + Wv Wu Wv cos a > Wu Wv Como cos a <, la desigualdad no es cierta. 5 Determina el plano paralelo a 5x 3y + z 7 = que pasa por el punto P (,, ). Si los planos son paralelos tienen el mismo vector normal. Wn= ( 5, 3, ) p: 5x 3y + z + D = P(,, ) p D = D = p: 5x 3y + z = 5 realiza de dos modos diferentes el siguiente problema: Qué posición relativa x y + 3z = 8 tienen la recta r : y el plano π: x y + 3z =? x + y + z Y la recta r y el plano γ: 3x 3y + z = 6? Posición relativa de r y p. Primera forma. Estudiamos las soluciones del sistema de ecuaciones conjunto. 3 A = 3 3 A* = Rango ( A) = Rango ( A* ) Sistema compatible determinado. La recta y el plano se cortan en un punto. Segunda forma. Comparamos los vectores director y normal. Calculamos el vector director de la recta. 9 8 x = λ y = λ vw r = ( 8, 7, 3) 3 3 z = λ Como nw p vw r, la recta y el plano no son paralelos ni la recta está contenida en el plano, entonces, se cortan. Posición relativa de r y g. Primera forma. 3 A = A* = Rango ( A) = Rango ( A*) Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos. 8

8 Solucionario 5 Segunda forma. Wv r = ( 8, 7, 3) ( 8, 7,3) (3, 3,) = Wn g = ( 3, 3, ) Los vectores son perpendiculares, por tanto, la recta es paralela al plano o está contenida en él. P(,, ) r y P (,, ) g, la recta y el plano son paralelos. 53 Expresa en forma implícita la ecuación del plano perpendicular al vector Wn = (3,, ) y que pasa por el punto P ( 3, 3, ). Pertenece el punto Q (,, 5) a dicho plano? El plano será de la forma p: 3x y + z + D = P( 3, 3, ) p 3 ( 3) ( 3) + + D = D = p: 3x y + z = El punto Q cumple que: 3 ( ) + 5 Q p x + y z 5 con las rectas ( x, y, z) = (,, ) + λ (,, m) y = = 8 6, halla m para que: a) las rectas sean paralelas. En este caso, halla el plano que las contiene. b) las rectas sean perpendiculares. Se cortan? Si es así, determina el punto de corte. Escribimos un punto y un vector director de cada recta. Wvr = (,, m) Pr (,, ) PP #$ r s = (,, ) Wvs = ( 8,, 6) Ps (,, ) a) 8 = m = Las rectas son paralelas si m. 6 Calculamos el plano que las contiene. Dos vectores del plano son vw s y PW r Ps y un punto P r (,, ), por tanto: x = 8λ µ p: y = + λ µ z = 6λ + µ b) Wv Wv Wv Wv = (,, m) ( 8,, 6) = 3 6m = r s r s m = 7 3 Estudiamos su posición relativa. Rango 7 Las rectas no se cortan, se cruzan

9 Producto escalar 55 Dados los planos π: mx + y + z 7 = y π': 3x + y + z + =, halla m para que los plano a) Sean paralelos. b) Sean perpendiculares. a) m = = No existe ningún valor para m que cumpla estas igualdades. 3 Por tanto, p y p' no pueden ser paralelos. b) Wn Wn Wn Wn = ( m,, ) ( 3,, ) m+ + = m = p p' p p' 56 Sea r : ( x, y, z ) = (, 3, 3) + t (,, ). Demuestra que: a) r está contenida en el plano π: 3x + y z =. b) r es paralela al plano π': 3x + y z 5=. a) vw r = (,, ) P r (, 3, 3) nw p = (3,, ) vw r nw p = ( ) = vw r nw p r y p paralelos o r contenida en p. P r (, 3, 3) p = r está contenida en p. b) vw r = (,, ) P r (, 3, 3) nw p' = (3,, ) vw r nw p' = ( ) = vw r nw p' r y p' paralelos o r contenida en p'. P r (, 3, 3) p' r es paralela a p. x + y + z + 7 = 57 Dada la recta r :, halla la ecuación de un plano 6x y + z + 8 = que la contenga y que sea perpendicular a π: x + y z 7 =. Escribimos las rectas r en forma paramétrica. 5 x = λ 5 3 y = λ P, 5, z = λ vw = (5, 3, ) El plano p' está determinado por P r, vw r y el vector normal de p, nw p = (,, ). p': 5 x + y + z 5 3 = 9x 3y z 87 = p': 3x + y + z + 9 = 86

10 Geometría en el espacio 7 Estudia y resuelve, según los valores de λ, el sistema: x + y + z = x y = λ y + 3 z = λ x y + z = Si las dos primeras ecuaciones representan una recta r y las dos últimas otra recta s, interpreta geométricamente los resultados obtenidos. (La Rioja. Junio. Propuesta B. Ejercicio 5) - - =-7 Rango l - 3 l - = l- = l = Si l : el sistema es incompatible y las rectas se cruzan. Si l = : el sistema es compatible determinado, es decir, las rectas se cortan en un punto. 7x + 8y z = x y = 8 Estudia la posición relativa de los cuatro planos siguiente x + 3y 5z = (Baleares. Septiembre. Opción B. Cuestión ) x + y = = 7 Rango = Rango = Los cuatro planos no tienen una intersección común. Estudiamos las posiciones relativas de los tres primeros planos = 7 Rango - - = Rango Los tres primeros planos se cortan en un punto. Como el cuarto plano no es paralelo a ninguno de los otros tres, este plano corta en una recta a cada uno de los otros planos. 5

11 Solucionario 9 considera las recta z x y z m x = y = 5 5 = 3 = donde m R. a) Estudia, según los valores del parámetro m, las posiciones relativas de las dos rectas. En caso de que se corten las rectas r y s, calcula el punto de corte. b) cuando sean coplanarias, determina la ecuación general del plano que las contiene. c) Estudia la posición relativa del plano del apartado anterior con el plano que pasa por los tres punto A(3,, 5), B (5,, 3) y C (,, ). indicación: no es necesario construir el plano que pasa por esos tres puntos. (Cantabria. Septiembre 6. Bloque 3. Opción B) P ( 3,, 5) a) W u = (,, ) PQ W = (,, m - 5) Q( 5,, m) W v = (-,-, ) = Rango - - = m - 5 = m + 3 Si m + 3 m - 3: El rango de la matriz de coeficientes es y el de la ampliada 3, las rectas se cruzan. Si m + 3 = m = - 3: El rango de las dos matrices es, las rectas son secantes. Calculamos en este caso la intersección entre las dos rectas. Para ello igualaremos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. 3+ l = 5- t + = - l =- l t C (,, ) es el punto de corte. 5+ =- 3+ t = l t b) Las rectas son coplanarias si son secantes, es decir, si m = - 3. El plano que buscamos pasa por P (3,, 5) r y tiene como vectores directores los vectores directores de r y s. x -3 y - z - 5 π: = π: x - 6y + z + 7 = - - c) A (3,, 5) r B (5,, -3) r C (,, ) - 3 = - = - 5 C r Los puntos A, B y C pertenecen a las rectas r y s por lo que también están en el plano. El plano que pasa por estos tres puntos es coincidente con el anterior. 55

12 Geometría en el espacio PREPARA TU SELECTIVIDAD responde a estas cuestiones. a) Están alineados los puntos A(,, ), B(,, ) y C(3,, )? Justificar la respuesta. b) En caso afirmativo, determinar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo, determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. (Canarias. Junio. Opción A. Cuestión ) a) AB W = (-,, 3) AC W = (,, ) Los vectores AB W y AC W no son proporcionales, por tanto, los puntos A, B y C no están alineados. x - y z + b) π: - 3 = x + y -z- = π: x + 5y - z- = Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta dada por r : 3 x + y + z = x y + z =. Existe algún valor de s tal que el punto ( 3, s, s) pertenezca a la recta? razona la respuesta tanto en caso afirmativo como negativo. (País Vasco. Septiembre. Bloque B. Cuestión B) x =-3t 3x + y + z = r : r : y = 5t x + 3z = z = t - 3=-3t t =- s = 5t s =-5 s = t -5 - Noexiste valor de stal que( -3, s, s) r. 3 calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano π: x + y z + 6 = con la recta x = y = z + y es paralela 3 3x + y = a la recta r :. x 3y + z = (Andalucía. Junio. Opción A. Ejercicio ) x t y = + t z =- + t Calculamos la intersección entre s y π. π: x + y - z + 6 = 3t + + t--+ ( t) + 6 = t =-3 P (-9, -, -) es el punto de intersección del plano π y de la recta s. 56

13 Solucionario x = t 3x + y - = r : r : y = -3t x - 3y + z - = z = 3-3t x =- 9 + t La recta que buscamos e r': y =--3t z =--3t considera un plano π: x + y + mz y la recta x = y = z. a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π? (Andalucía. Septiembre 5. Opción A. Ejercicio ) x = y - x y - =- x = z- x - z =- - = = + m - m = a) Si + m = m = - : El rango de la matriz de coeficientes es y el de la matriz ampliada es 3. La recta r y el plano π son paralelos. b) El rango de la matriz ampliada es 3 para cualquier valor de m, por lo que no hay ningún valor para el que la recta r esté contenida en el plano π. 5 Estudia la posición relativa de los plano π: x + y + z = β: x + my + mz = + m α: mx + y + ( + m)z = según los valores de m. (Cataluña. Septiembre 7. Cuestión ) m = m - m m m + m = m - m+ m + m = - m m Si m : el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada es 3, los planos se cortan en un único punto. Si m = : el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada es, los planos son coincidentes. 57

14 Geometría en el espacio x y z k 6 Dadas las rectas x y z = + = + y : 3x + z = a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano. b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene. (Madrid. Septiembre 3. Opción A. Ejercicio ) x - =-y - x y a) + = x - =- z + k x + z = k + Las rectas son coplanarias si no se cruzan, es decir, si la matriz ampliada no tiene rango. - - k + k- = k = Si k =, las rectas están contenidas en el mismo plano b) - = Rango Rango Si k =, las rectas se cortan en un punto. Calculamos el punto de intersección entre r y s. x + y = x =- x + z = 5 y = - x - y + z = 3x + z = z 7 El punto de intersección entre r y s es P (-,, 7). Determinamos un vector director de s. s x y z x = t - + : y =--t 3x + z = Wv = (, -, -3) z = -3t El plano que buscamos pasa por P (-,, 7) r s y tiene como vectores directores los vectores directores de r y s. x + y - z - 7 π: - =-x - y + z- 5= π: x + y - z + 5 =

15 Solucionario 7 Sea r la recta definida por x = y k = z 3 5 por x + y z = = 3. 3 y s la recta definida a) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. b) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. (Andalucía. Año 7. Modelo 3. Opción A. Ejercicio ) a) P(, k, ) Q( -,, ) 3 W u = ( 3,, 5) Wu = (-,, 3) -3 - = 3 5 Rango = -3 5 Las rectas se cortan si Rango - 3 =. - -k = 8+ k= k = k 3 PQ W = (-, - k, 3) b) El plano que buscamos pasa por Q (-,, 3) s y tiene como vectores directores los vectores directores de r y s. π: x + y - z = x - y + z- = π: x- 7y + 5z - 6 = 8 calcula el valor de a para que la recta 5 x y + z = sea paralela x y z = al plano π: ax 6y + z = 5. (La Rioja. Junio. Propuesta B. Ejercicio ) Para que la recta y el plano sean paralelos, el rango de la matriz de coeficientes debe ser, y el de la matriz ampliada, = a -6 - = a = 8 El rango de la matriz ampliada es 3 para cualquier valor de a. El rango de la matriz de coeficientes es si se cumple: a - 5 = a = 6 59

16 Solucionario 99 Estudia las posiciones relativas de las parejas de rectas siguientes. x y y z a) r : z x = + = = + = 3 3 x 3 y x y z b) = z = + + = 5 = + x 3 y z x z c) = + = 3 + = 3 5x y z = 6 x + z = x y z d) + = 8 x + 3y + z = 3x y + 3z = 8 x + y z = x y z e) + + = x + y + z = 3 x y + 3z = x + y z = 7 x y f) = x + y + z = 3 = z + P (, -, 3) a) W u = (-3,, ) = Rango = = Rango = Las rectas son secantes. P ( 3,, - ) b) Q( -,,- ) W 5 u = (, -, ) Wv = (-,, - ) Rango = =- Rango = Las rectas son paralelas. P ( 3, -, ) c) W u = (-,, 3) Q(, -6, ) W PQ W = (-3, -, 9) v = ( 8,, -3) Q(, -, ) W PQ W = (, -, ) v = (, -,- ) PQ W = (-, 3, 3) x = t 3x + z = y = t 5x - y - z = 6 z = - 3t 35

17 Geometría en el espacio - - =- -3 Rango = = Rango = Las rectas son secantes. d) =- Rango =-8 Rango -3 - = Las rectas se cruzan. e) =-3 Rango = Rango Las rectas son secantes. x = -3t x + y - z = 7 f ) r : r : y = t 6y + 3z z = -t P (,, ) W u = (-3,, - ) Q(,,-) W PQ W = (-3,, -) v = ( 3, -, ) Rango = Rango = Las rectas son coincidentes. 36

18 Solucionario Decide si las dos rectas se cortan, y en caso de que sea así, calcula el plano que las contiene. x λ x + 3 y z + r : = = y = + λ z = λ P (-,,- ) 3 Q( 3,, ) Wu = (,, -) W v = ( -,, - PQ W = (6,, ) ) = 6 Rango = = Rango - - = Las rectas son secantes. El plano que las contiene e x + 3 y - z + π: - - =- x + y + 6z- = π: x - y -6z + = - - Di si las dos rectas son o no paralelas. x = 3λ x + y z = 3 r : y = + λ x y 7z = 6 z = λ En caso afirmativo, determina la ecuación del plano que las contiene. x = 9+ 3t x + y - z = 3 r : r : y = -t y + z = z = t P ( 9,, ) Q(,, ) W u = ( 3, -, ) W v = ( - 3,, - PQ W = (-8,, ) ) Rango 3 Rango = = Las rectas son paralelas. El plano que las contiene e x - y - z π: -3 - =-8y - 8z + 6 = π: y + z- = -8 37

19 Geometría en el espacio Decide si estas dos rectas se cortan y, en caso afirmativo, determina el punto de corte. x = + 7λ x = λ r : y = λ y = + λ z = z + λ P (-,,- ) Q(,, 3) Wu = ( 7,, ) W PQ W = (5,, ) v = (-,, ) -7 - = 7 3 Rango - - = = Rango - = -5-5 Las rectas son secantes l = -t = + l = l t P ( 3,, -) es el punto de corte. - = + t =- 3 t 3 Decide las posiciones relativas de las siguientes parejas formadas por un plano y una recta. x λ a) y = π: x 3y + z = z = + 3λ x + y 3z + 3= b) r : π: x + 3 y z 5= 5x + 5y 7z + = x = λ + µ x + y z + 3= c) π: y = + λ µ x + y + z + = z µ x - 3 z x z a) r : - = =- - 3 r : x + z- = r : 3 8 y y = = y - = = Rango Rango La recta y el plano se cortan en un punto. 38

20 Solucionario b) = = 5 Rango = = Rango = La recta está contenida en el plano. x + y - z - 3 c) π: - =-x - y - z + 3= π: x + y + z- 3 = = = 6 Rango = = 6 Rango La recta y el plano son paralelos. Estudia las posiciones relativas de las parejas de planos. x = + λ + µ a) π: y = + λ 3µ π' : 5x + 5y + z = z = + 5µ b) π: x y + z = π' : x + 5y 3z + = x = λ µ c) π: y + λ + 3µ π' : x y + z + = z = + 3λ + µ x - y + z - a) π: = x- y-8z- = π: 5x-5y - z - = -3 5 Rango = = Rango = Los planos son paralelos. 39

21 Geometría en el espacio b) - = Rango = Rango = Los planos son secantes. x y -3 z - c) π: - 3 =- x + y - z = π: x - y + z + = - 3 Las ecuaciones de π y π' son iguales, es decir, los planos son coincidentes. Haciéndolo por rango - Rango - - Rango - Los planos son coincidentes. 5 Estudia las posiciones relativas de los tríos de planos siguientes. a) π: x + y + 3z + = π' : 3x + 5y + z 7 = π'' : y + 3z 6 = b) π: x y + 3z = π' : x + y z + 5= π'' : 7x y + 7z + 7 = c) π: 6x 3y + 9z = π' : x + y z + = π'' : x y + 6 z + 5= d) π: x 3y + z = π' : x y + z + 5= π'' : 6x 5y + 9z = a) = Rango Rango Los planos se cortan en un punto.

22 Solucionario b) = = 5 Rango - - = = Rango = Como no hay dos planos coincidentes, los tres planos se cortan en una recta. c) = = 9 Rango = = 5 Rango Como π y π'' son paralelo = - - = 6-7 Tenemos dos planos paralelos que cortan al tercero. d) = = Rango - = =- Rango Como no hay planos paralelos, los planos se cortan dos a dos.

23 Geometría en el espacio 6 Determina la posición relativa de las siguientes recta 7x + 5y 7z = 5x 5y z 6 = x + 3z + = 3x y 7 = (Aragón. Junio 7. Opción B. Cuestión ) = 6 Rango =-55 Rango = Las rectas se cruzan. 7 Determínese si el plano π: x + 3y = corta o no al segmento de extremos A(,, 3) y B(3,, ). (Castilla y León. Junio. Prueba A. Cuestión ) Calculamos la ecuación de la recta que pasa por A y por B. AB W = (,, -) x = + t x y z r : y = + t r : = = z -t - x - = y - x - y - = r : r : - x + = z-3 x + z - 7 = =-5 Rango Rango La recta y el plano se cortan en un punto. Calculamos su intersección. 3 7 ( + t) + 3 ( + t) - = t =- P,, Este punto no está situado entre A y B, por tanto, el plano no corta al segmento.

24 Solucionario 8 Sea r la recta de ecuación x 5 y + z = = y la recta s dada 3x y + z = por x + y 3z = a) Determina la posición relativa de ambas rectas. b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (Andalucía. Año 6. Modelo. Opción A. Ejercicio ) x t x y z a) 3 = = y = + t Q(,, ) y - z = z = t W v = (,, ) P ( 5, -, ) W PQ W = (-3,, ) u = (, -, ) - - = 5 Rango - - = Las rectas se cruzan. x - 5 y + z Rango b) π: - = π: 9x -y -5z - 9 = 9 Sean r y s las rectas dadas po x y = m x y + = z + y x + z a) Halla m para que ambas rectas se corten. b) Para m =, halla la ecuación del plano que contiene a r y a s. (Castilla y León. Junio 6. Prueba A. Problema ) a) El rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada tiene que ser =-3 Rango m - m = 5m -5 Rango m =

25 Geometría en el espacio x = t x - y = b) r : r : y =- + t z + y z = 5-t x -t x + y = y =- + t x + z z = t El plano que buscamos pasa por el punto A (, -, 5) r y tiene como vectores directores los vectores directores de las rectas r y s. x y + z -5 π: - = π: x + 7y + 6z - 3= - Estudia, según los valores del parámetro k, la posición relativa de las rectas siguiente y + z x y x k = z k = k + = = + (Baleares. Septiembre 6. Opción A. Cuestión ) P( k, -, ) Wu = (, k-, ) Q(,, - ) W PQ W = (-k, 3, -) v = ( k +, -, ) k - =- k( k + ) k + - k + k - - =-k - = k + k - - k = k + 7k + 3 -k 3 - k =-3 k + 7k + 3= k = =- Si k - R -3, - : el rango de la matriz formada por Wu, Wv y PQ W es 3 y el de la matriz determinada por Wu y Wv es, por tanto, las rectas se cruzan. Si k = -3: los rangos de ambas matrices valen, luego las rectas son secantes. Si k =- : el rango de la matriz formadapor Wu, Wv y PQW es y el de la matriz determinada por Wu y Wv es, por lo que las rectas son paralelas.

26 Solucionario x x y z Dadas las recta = y 3 = = + λ = + λ 3 z = + λ a) Estudia su posición relativa. b) calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. (Galicia. Septiembre 7. Bloque. Opción ) P (,, ) a) Q( 3,, ) W u = (, -, -3) W PQ W = (,, -) v = (,, ) Rango = Las rectas se cruzan =-6 Rango x y - z - b) π: = π: 5x - y + 3z - = Dadas las siguientes recta x a y z = + = + x + y z = x + z = calcula el valor de a de tal manera que ambas rectas se corten. Determina el punto de corte. (Baleares. Septiembre. Opción A. Cuestión ) s x y z x = t + - = : y = -3t x + z = z = -t P( a, -,- ) Wu = (-,-, ) = Rango = Q(,, ) W v = (, -3,-) PQ W = (-a,, ) Las rectas se cortan si la matriz formada por Wu, Wv y PQ W tiene rango a - - = - 8a = a = l = t l = -- l = -3t - + l = -t t = P,-,- es el punto de corte. 5

27 Geometría en el espacio x z = x y z 3 Sean r y r las rectas de ecuacione + + = y z = y + z a = Determina el valor de a para que r y r sean coplanarias. (La Rioja. Junio 5. Propuesta A. Ejercicio 5) Las rectas son coplanarias si no se cruzan. Así, la matriz formada por las dos rectas no puede tener rango a =-a- 6 = a =- x = + t Se consideran la recta y = + t, el plano π: x y z = z + 3t y el punto P(,, ). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π que pasa por el punto P y es paralelo al plano π. b) Determinar la ecuación general del plano π que contiene a la recta r y pasa por el punto P. (Canarias. Junio 8. Bloque. Opción B) a) π: x y z = l = m = l-m x - y - z - π : = π : x -y - z + = - Q(,, 3) b) W PQ W = (,, ) u = (,, 3) x - y - z - π : 3 = π : x + y - z - = 5 x y z calcula a para que la recta: r + = x y z = sea paralela al plano π: ax 6y + z = 5. (La Rioja. Junio. Propuesta A. Ejercicio ) = 8 Rango a La recta es paralela al plano si la matriz de coeficientes tiene rango = a- 5= a = 6 a -6-6

28 Solucionario 6 Sea π el plano de ecuación x + 3y + z = a y r la recta que contiene al punto P(,, ) y tiene como vector de dirección a Wv = (,, ). Existe algún valor de a para el cual la recta esté contenida en el plano? razonar la contestación en caso negativo. En caso afirmativo encontrar el valor de a. (País Vasco. Julio 6. Bloque B. Cuestión B) x - y - z + x - y = r : = = r : - x + z = = = Rango - = La recta está contenida en el plano si la matriz ampliada tiene rango a = a- = a = 7 Para qué valores del parámetro m la recta: x = y + = mz es paralela 3 al plano x + y + z = 9? Determinar el punto de intersección de la recta y el plano para m =. (Aragón. Septiembre 6. Opción A. Cuestión ) x = y + x y r : - = r : 3x = -mz 3x + mz = =-3 Rango 3 - m La recta es paralela al plano si la matriz de coeficientes tiene rango m - 3m = m = - - Rango m = - - Calculamos la intersección para m =. x = t Si m = y =- + t Sustituyendo en el plano: 3 z = - t 3 t- + t + - t = 9 t P ( 3,, ) es el punto de intersección. 7

29 Geometría en el espacio 8 Estudiar la posición relativa del plano π:5x + λy z + = x y = y la recta r : según los valores del parámetro λ. x y + z = (Canarias. Septiembre 5. Opción B. Cuestión ) l = Rango =- 5 l =-l-8 Si l - El rango de la matriz de coeficientes es 3 y coincide con el de la matriz ampliada, por tanto, la recta y el plano se cortan. Si l = - El rango de la matriz de coeficientes es, distinto al de la matriz ampliada, así la recta y el plano son paralelos. 9 Sean los plano π : x + 3y + z = π : x + y z = a) Determina la posición relativa de los mismos. b) calcula una recta que esté contenida en el plano π : x + y z =, sea paralela a la intersección de esos dos planos y que pase por el punto (5, 3, ). (Asturias. Junio 3. Bloque 5) a) 3 3 =- - Rango - = 3 - Rango - = Los planos son secantes. x = -t x + 3y + z = x 3y z b) r : + + = r : r : y t x + y - z = 3x + y z =-t El punto (5, -3, ) pertenece a esta recta (t = -), por tanto, dicha recta es la que cumple las condiciones del ejercicio. 8

30 Solucionario consideramos las recta x y y r : + = 5 r r3 y z : = + = x y z 6 : x y = + + = y z Se pide: a) Demuestra que las rectas r y r se cortan en un único punto. b) Halla las ecuaciones en forma continua de la recta que pasa por el punto de intersección de r y r y es paralela a r 3. (Castilla-La Mancha. Junio 7. Bloque. Pregunta A) a) b) 5 6 =- Rango 5 = Rango 6 Las rectas r y r se cortan en un punto. x + y = 5 y + z = P (,, ) es el punto de intersección de r y = y r. x + y + z = 6 x = + t r3: y + t x - y - z - La recta es = = z = t Estudie si existe algún punto que pertenezca a la vez a los tres planos siguientes. calcule los puntos en común (si existen). x = + λ π: x y + z = π: z = y π3 : y = + λ + µ z = + λ µ (Murcia. Septiembre 7. Bloque. Cuestión B) x - y - z - π : =- 3x + y + z + = π : 3x - y - z- = =-6 Rango - - = Rango Los tres planos se cortan en un punto. 9

31 Geometría en el espacio x - y + z = x - y + z = x - y + z = y - z = y - z = y - z = 3x - y - z = y - z = 3z =- El punto de intersección e P,-, x = 6 y =- 6 z =- 3 Discute, según los valores de a, la posición relativa de los siguientes planos indicando las figuras que determinan (no es necesario resolverlo). π :( a+ ) x + y + z π : x + y + az = π : x + ay + z = a 3 (La Rioja. Septiembre 3. Propuesta A. Ejercicio 5) a + 3 a =-a - a + 6 a a a = 3 -a - a + 6a = - a( a + a- 6) = a = a =-3 Si a R -{-3,, }: el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es compatible determinado, es decir, los planos se cortan en un punto. - x + y + z Si a =-3: x + y - 3z = x - 3y + z =-6 - =-5 El rango de la matriz de coeficientes es =-5 El rango de la matriz ampliada es 3. Como no hay planos paralelos, los planos se cortan dos a dos. Si a = : 3 x + y + z x + y = x + z = = El rango de la matriz de coeficientes es. =- El rango de la matriz ampliada es 3. Como no hay planos paralelos, los planos se cortan dos a dos. 5

32 Solucionario 3x + y + z Si a = : x + y + z = x + y + z = 3 = 5 El rango de las dos matrices es. Dos planos coinciden y cortan al primero en una recta. 3 Determina a y b para que los plano x + y + z = x + 3y + z ax + y + z = b se corten en una recta r. Da algún tipo de ecuaciones para r (las que quieras). (La Rioja. Septiembre 7. Propuesta B. Ejercicio 5) 3 = Los planos se cortan en una recta si el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada es. Entonce 3 a = - a = a = = b- = b = 7 b x = -t x + y + z = y = t x + 3y + z z = + t x - - = y = z - En el espacio se consideran los tres planos de ecuacione π: x + y + z = π: px + y + pz = π3 : px + y + z = donde p es un parámetro real. a) averigüe para qué valores de p los tres planos se cortan en un único punto. Halle este punto cuando p =. b) Hay algún valor de p que hace que la intersección común sea una recta? Si es así, escriba la ecuación vectorial de esta recta. c) Encuentre cuál es la posición relativa de los tres planos cuando p =. (Cataluña. Junio 7. Problema 6) a) Los planos se cortan en un punto si el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada es 3. p p p p = = p - 5p+ = p = 5

33 Geometría en el espacio Si p - R, : el sistema es compatible determinado, es decir, los tres planos se cortan en un único punto. Si p = : x + y + z = x + y + z = x = x + y + z = y = y = x + y + z = y - z = z = El punto de intersección es P(,, ). b) Si p = : x + y + z = x + y + z = x + y + z = =-3 Como la segunda y la tercera ecuación son iguales, el rango de ambas matrices es. Un plano corta a dos planos coincidentes en una recta. x = -t 3 x+ y+ z = r : r : x+ y+ z = y = = r : ( x, y, z ),, t (-,, ) z = t c) Si p = : x + y + z = x + y + z = x + y + z = 3 = El rango de la matriz de coeficientes es. 3 =- El rango de la matriz ampliada es 3. Como los dos primeros planos son paralelos, el tercero los corta en dos rectas paralelas. 5

34 Geometría en el espacio 6 Estudia la posición relativa de estas recta x + y z = x + y z + = x + y z = x y + z = = Rango = Rango Las rectas son secantes. 7 Estudia la posición relativa de las recta y z 3= x z + = y + z = x 3y + z = Rango = 9 Rango = Las rectas se cruzan. 8 calcula la posición relativa de la recta y el plano: x + y z + = π: x + 3y z + = x + z + = = 6 Rango = Rango La recta y el plano se cortan en un punto.

35 Solucionario 9 Halla la posición relativa de la recta y el plano: x y z = + = π: x 5y + 3z + 3= x y z x y x = + = - = + - y - = - - x = z- x + z- = = Rango - = Rango La recta y el plano se cortan en un punto. 3 Halla la posición relativa de estas parejas de planos. a) π : x + y z = π : x y + z + = b) π : x z + = π : y z + = a) Rango = =- - Rango = Los planos son paralelos. b) =- - Rango - - = - - Rango - - = Los planos son secantes. 3 Estudia la posición relativa de los planos. a) π : 6x + 5y 3 z + = π : x y + z = b) π : x y z + = π : x + y z + 3 = a) = = Rango = Los planos son secantes b) - - =- - - Rango = Rango = Los planos son secantes. 3

36 Geometría en el espacio 3 Escribe la ecuación vectorial de un plano que sea paralelo al plano que pasa por los puntos A(,, ), B(,, 3) y C(,, ). cuántos planos hay que verifiquen esta condición? El plano que buscamos tiene como vectores directores AB W = (-,, ) y AC W = (, -, ), y puede pasar por cualquier punto que no pertenezca al plano que pasa por A, B y C. El punto D (,, ) no pertenece a ese plano. (x, y, z) = (,, ) + l(-,, ) + m(, -, ) Hay infinitos planos paralelos al plano que pasa por A, B y C. 33 Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las recta x y 3 z x y z = = + = + 3 = 3 A( 3,,- ) Wu = (, -, 3) x y z B(, -, ) Wv = (, -3, ) π: - 3 = π: 8x -7y - 5z = - - AB W = (-, -, ) 3 Escribe la ecuación de tres planos en el espacio que se cortan en el origen de coordenadas. comprueba que verifican la condición de planos que se cortan en un punto. π: x - y + z = Respuesta abierta. Por ejemplo: π: x + y - z = π3: x + y + z = Rango - - = Rango - - Secantes en un punto Da la ecuación vectorial de tres planos distintos que contengan al eje X, y comprueba que verifican la condición de ser planos concurrentes en una recta. Respuesta abierta. Por ejemplo: π:( x, y, z ) = (,, ) + l(,, ) + m(,, ) π : y - z = π :( x, y, z ) = (,, ) + l(,, ) + m(, -, ) π : y+ z = π3 :( x, y, z ) = (,, ) + l(,, ) + m(, -, ) π3 : y + z = = Rango - - = Rango - = - - Los planos verifican la condición de ser secantes en una recta.

37 Solucionario 36 Determina la posición relativa de estos plano π : 6x + 3y z = π : 3x y + z 3= π 3 : y z + = Rango = Rango Los planos se cortan en un punto. 37 Estudia la posición relativa de los plano π : x z + = π : x + y + 3z + 3 = π 3 : 3x + 8y + 7z + = =- Rango -3 = Rango Los planos se cortan en un punto. 38 Dados los vectores Wu = (3, 5, ) y Wv = (6,, ), realiza las siguientes operaciones. a) Wu + 3Wv b) 5Wu Wv c) Wu + Wv d) Wu Wv a) Wu+ 3Wv = ( 6,, ) + ( 8, -, - 6) = (, -, -) b) 5Wu- Wv = ( 5, 5, 5) -(, -6, - 8) = (-9, 3, ) c) - Wu+ Wv = (-3,-5,- ) + (, -8,- ) = ( 9, -3,-5) d) -Wu- Wv = (-6, -, -)-( 6, -,- ) = (-,-6, ) 39 Halla dos vectores Wu y Wv que verifiquen las siguientes condiciones simultáneamente: Wu + Wv = ( 3,, ) 3Wu Wv = ( 8, 3, 9) uw + Wv = (-3,, -) W + u + W v = (-6, 8, -) 3Wu- Wv = (-8, 3, -9 ) 3uW - vw = (-8, 3, -9 ) 7Wu = (-,, - ) Wu = (-, 3, -3 ) Wu + Wv = (-3,, -) Wv = (-3,, -) - Wu Wv = (-3,, -)-(-, 3, - 3) = (, -, 5) 5