FISICA IV. Física Cuántica Marco A. Merma Jara Versión

Transcripción

1 FISICA IV Física Cuántica Marco A. Merma Jara Versión 8.015

2 Contenido Inicios de la física moderna Constante de Planck El efecto fotoeléctrico Energía relativista Teoría cuántica de Bohr Pozo potencial Densidad de probabilidad Ecuación de Schrödinger Referencias

3 Inicios de la Física Moderna Física Clásica Física Moderna Radiación térmica de los cuerpos Propagación de la luz FISICA CUANTICA FISICA RELATIVISTA ~ 1900

4 Constante de Planck En su estudio de la radiación de cuerpo negro, Max Planck descubrió que la energía electromagnética se emite o absorbe en cantidades discretas. Ecuación de Planck: E = hf (h = 6.66 x J s) La luz consiste de pequeños paquetes de energía llamados fotones Fotón E = hf

5 Energía en electronvolts Las energías de fotón son tan pequeñas que la energía se expresa mejor en términos del electronvolt. Un electronvolt (ev) es la energía de un electrón cuando se acelera a través de una diferencia de potencial de un volt. 1 ev = 1,60 x J

6 Ejemplo Cuál es la energía de un fotón de luz amarillo-verde (λ = 555 nm)? De la ecuación de onda: λf=c f c = ; E = hf = λ hc λ E = 34 8 (6.66 x 10 J s)(3 x 10 m/s) x 10 m E = 3,58 x J=.4 ev 1 ev = 1,60 x J

7 Útil conversión de energía Dado que la luz con frecuencia se describe mediante su longitud de onda en nanómetros (nm) y su energía E está dada en ev, es útil una fórmula de conversión. (1 nm = 1 x 10-9 m) E E hc = = λ 9 hc(1 x 10 nm/m) = -19 (1.6 x 10 J/eV) λ -19 ; 1 ev 1.60 x 10 J Si λ está en nm, la energía ev se encuentra de: 140 E = λ

8 El efecto fotoeléctrico Un haz de luz monocromática, incide sobre una superficie metálica Electrón liberado Superficie metálica

9 Explicación de Einstein (Premio Nobel 191) 1905 explica Einstein El haz de luz considerado como un chorro de paquetes de energía ( quanta ) Un electrón absorbe la energía de un quanto Un quanto es llamado FOTON (por Einstein) φ E =hf Función trabajo φ h Constante de Planck f Frecuencia de la radiación

10 Efecto fotoeléctrico Experimento de Frank-Hertz En una cápsula al vacío Luz monocromática incidente Cátodo Ánodo C A - + Amperímetro A

11 El efecto fotoeléctrico Cátodo - C Luz incidente Ánodo + Amperímetro A A La luz incide sobre el cátodo C de una fotocelda, se expulsan electrones de C y los atrae el potencial positivo de la batería. Existe cierta energía umbral, llamada función de trabajo ϕ, que se debe superar antes para emitir un electrón

12 Ecuación fotoeléctrica Cátodo C Luz incidente Ánodo A E hc = = φ + λ 1 mv - + Amperímetro A Longitud de onda umbral λ ο φ = hc λ 0 De la conservación de energía La energía de la luz entrante hc/λ sea igual a la función de trabajo Φ de la superficie más la energía cinética ½mv de los electrones emitidos.

13 Ejemplo: La longitud de onda umbral de la luz para una superficie dada es 600 nm. Cuál es la energía cinética de los electrones emitidos si luz de 450 nm de longitud de onda incide sobre el metal? hc φ K λ = + hc hc = + λ λ0 K λ = 600 nm K = hc hc λ λ = 450 nm 600 nm 0 K =.76 ev.07 ev K = ev=1.10 x J A

14 Potencial de frenado V s =V o Se usa un potenciómetro para variar el voltaje V o entre los electrodos. Cátodo Luz incidente Ánodo El potencial de frenado es aquel voltaje V o que apenas frena la emisión de electrones y por tanto iguala su Energía cinéntica original. Ecuación fotoeléctrica: E = hf = φ + ev 0 V Potenciómetro V A + - K max = ev o 0 h φ = f e e

15 Cómo encontrar la constante de Planck, h Se traza una gráfica para el potencial de frenado para algunas frecuencias de luz incidente V 0 h φ = f e e pendiente h = e V o Cómo encontrar la constante h f V o Pendiente La ordenada al origen f o es la frecuencia umbral. f o Frecuencia f

16 Ejemplo 3: En un experimento para determinar la constante de Planck, se elabora una gráfica de potencial de frenado contra frecuencia. La pendiente de la curva es 4.13 x V/Hz. Cuál es la constante de Planck? V o Potencial de frenado V 0 h φ = f e e Pendiente = e h = V/Hz f o f h = e( pendiente) = ( C)( V/Hz) Constante de Planck experimental h= 6.6 x J/Hz

17 Ejemplo 4: La frecuencia umbral para una superficie dada es 1.09 x Hz. Cuál es el potencial de frenado para luz incidente cuya energía de fotón es 8.48 x J? Ecuación fotoeléctrica: E = hf = φ + ev 0 ev = E φ; φ = hf 0 0 Cátodo V Luz incidente A + - Ánodo Φ= = (6.63 x Js)(1.09 x Hz) =7.0 x Js ev 0 = 8.48 x 10 J 7.0 x 10 J = 1.8 x 10 J x 10 J 0-19 V = 1.6 x 10 J Potencial de frenado: 19 J V o = V

18 Energía relativista total Recuerde que la fórmula para la energía relativista total es: Energía total, E E = ( m c ) + ( pc) 0 Para una partícula con cantidad de movimiento cero p = 0: E = m o c Un fotón de luz tiene m o = 0, pero sí tiene cantidad de movimiento p: E = pc

19 Ondas y partículas Se sabe que la luz se comporta como onda y como partícula. La masa en reposo de un fotón es cero y su longitud de onda se puede encontrar a partir de la cantidad de movimiento. E = pc = hc λ Longitud de onda de un fotón: λ = h p Todos los objetos, no sólo las ondas EM, tienen longitudes de onda que se pueden encontrar a partir de su cantidad de movimiento. Longitud de onda de De Broglie: λ = h mv

20 Cantidad de Movimiento Al trabajar con partículas con cantidad de movimiento p = mv, con frecuencia es necesario encontrar la cantidad de movimiento a partir de la energía cinética K dada. Recuerde las fórmulas: K = 1 mv K = p m p = mv p = mk

21 Ejemplo 5: Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón de 90 ev? (m e = 9.1 x kg.) K = = 1 ev A continuación, encuentre la cantidad de movimiento a partir de la energía cinética: p = x 10 J ev 1.44 x 10 J (9.1 x 10 kg)(1.44 x 10 J) p = 5.1 x 10-4 kg m/s h λ = = p x 10 J x 10 kg m/s - e - 90 ev p = mk h h λ = = p mv λ = 0.1 nm

22 Teoría Cuántica de Bohr Postulado1 El electrón orbita alrededor del núcleo describiendo trayectoria circular, gobernados por la ley de Coulomb (Clásico) Postulado En una transición electrónica los electrones emiten energía cuantizada E=hf Postulado 3 Una orbita es estable si no emite ni absorbe energía Postulado 4 El tamaño de las órbitas electrónicas esta dado por la cuantización del momento angular (cuántico) e + e F = k r v r Átomo de Bohr e

23 Cuantización de la energía E energía cuantizada 13.6eV E n = n n =4 n =3 E E ,6 = 16 = 13,6 9 ev ev n =1,,3,.. n = E = 13,6 4 ev n =1 E1 = 13,6eV

24 Cuantización del momento angular L momento angular L =nħ n = 1,,3,... Núcleo

25 Dualidad onda materia Lois D Broglie La materia a veces se comporta como onda y a veces como partícula Materia Tiene naturaleza dual Ondulatoria Corpuscular λ = p = h p h λ

26 Pozo potencial Partícula en un pozo potencial E n = h 8mL n n =1,,3,... L

27 Función de onda en un pozo potencial Función de onda U 0 x< 0 ψ( x) Asenkx 0< x< L 0 x > 0 E L

28 Valores máximos y mínimos El número de onda K= (π/λ) Sin la función de onda es máxima Sen kx =1 Kx = n (π/) n =1,3,5,7 x=n(λ/4) Si la función de onda es mínima Sen kx=0 Kx = n π n=0,1,,3, x=nλ

29 Densidad de probabilidad Densidad de probabilidad ψ( x) ψ( x) x

30 Función de Probabilidad La función de probabilidad P(r) En todo el espacio, desde infinito al + infinito dv el elemento del volumen (espacio) r = (x,y,z) Px) + probabilidad es P(x) En 1D la función de + = ψ Pr ( ) ( r) dv ( ψ = ( x) dx

31 Principio de Normalización La máxima probabilidad es la unidad (100%) La normalización de una función de onda Permite determinar la amplitud de la onda + Pr ( ) = ψ( r) dv = 1 El volumen del espacio dv = d 3 r En una dimensión + P( x) = ψ( x) dx = 1

32 Valor esperanza De la posición < x >= xψ ( x) dx Del momento lineal < px >= p ψ( x) dx x

33 Principio de incertidumbre de Heisemberg Posición y momento lineal x p x ħ Energía y tiempo E t ħ

34 Ecuación de Schrödinger Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ψ( x) me ( U) = ψ( x) x ħ ψ( x) E U Función de onda Energía Energía potencial

35 Pozo potencial infinito Pozo potencial de paredes infinitas La partícula existe con naturaleza dual Onda estacionaria Para x<0 no hay partícula Para x>l no hay partícula Solo en 0<x<L La partícula existe U d ψ me = ψ = k ψ dx ħ L E L Ancho del pozo U Energía potencial ψ( x ) = Asenkx

36 Pozo potencial finito La función de onda existe en las tres regiones d ψ dx c ψ = 0 ψ cx ( x) = Ae + Be cx ψ ( x) = Asenkx + Bcoskx U ψ( x) ψ( x) 1 ψ( x) 3 L E cx Ae x < 0 cx cx ψ( x) = Ae + Be 0 < x < L cx Be x > L

37 Referencias Física Universitaria, Vol II, 1va edición, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, Addisson Longman, México, 1999 Física, Vol II, Serway,Jewet, 7ma Edición, McGraw-Hill, 009 Fisica, Tippens, 7ma edición, McGraw-Hill, 1999