3D Visual Servoing Control for Robot Manipulators Without Parametric Identification

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1 3D Visual Servoing Control for Robot Manipulators Without Parametric Identification M. A. Pérez and M. Bueno, Member, IEEE 1 Abstract Visual servoing control of robot manipulators represents a natural option in unstructured environments and it is specially attractive when the task to achieve can be expressed directly in image coordinates. In the present work a control law is developed for trajectory tracking of three degrees of freedom robot manipulators. The main characteristic of the proposed algorithm is that it does not need any dynamic model of the system and image coordinates are employed directly for feedback, while an observer is designed for velocity estimation. To carry out 3d movements no stereoscopic vision is used. Rather, a simpler configuration employing two fixed cameras is proposed which makes unnecessary their calibration and helps avoid occlusions for most of the robot s workspace. The developed theory was successfully tested in an industrial manipulator. Keywords No cameras calibration, observer design, unknown dynamic model, visual servoing control, 3d vision. I. INTRODUCCIÓN A REALIZACIÓN de tareas por parte de robots L manipuladores en entornos estructurados con presencia de objetos cuya posición y orientación son conocidas, es un problema suficientemente estudiado en la actualidad [1] [2]. Sin embargo, llevar a cabo tareas en entornos donde la configuración del sistema puede variar presenta numerosas dificultades aún no resueltas en su totalidad. Los ambientes no estructurados se caracterizan porque la labor se define en función de la información disponible, que puede ser obtenida a través de diferentes tipos de sensores como son de posición, velocidad, fuerza, tacto o visión. Este último es sin duda el que puede proporcionar la mayor cantidad de información necesaria acerca del entorno y del propio robot para realizar con éxito una gran variedad de trabajos; incluso, para complementar aquellos donde la principal medición proviene de algún otro sensor, como de posición o de fuerza [3]-[7]. Al esquema que hace uso de la información visual para cerrar el lazo de control se le denomina servovisual o visual servoing. Una parte importante del esfuerzo de investigación se concentra en las ciencias computacionales, donde se trabaja arduamente en la visión activa por computadora y en el diseño de cabezas robóticas y de sistemas de visión inspirados biológicamente, como se muestra en [8]. Sin embargo, también en el área de control automático se realizan avances cotidianamente. Por ejemplo, es latente el problema de la perdida de información visual cuando se ejecuta una tarea, es decir, qué hacer cuando por los propios movimientos del robot o por los de algún objeto involucrado, las características de imagen elegidas desaparecen momentáneamente o por un 1 M. A. Pérez, Universidad Nacional Autónoma de México, México D.F., México, marteagp@unam.mx M. Bueno, Universidad de La Salle, Bogotá D.C., Colombia, maxbueno@unisalle.edu.co periodo prolongado de tiempo. Para afrontar esta dificultad se han propuesto diferentes soluciones. En [9] se muestra un algoritmo que usa el difeomorfismo de un conjunto de configuraciones visibles del robot al espacio de imagen, de forma que los movimientos del manipulador son controlados para que los puntos de interés sean siempre visibles. Por otra parte, en [1] se presenta un esquema de control que aprovecha el cambio de visibilidad en las características de la imagen, mientras que en [11] se emplean predictores de oclusiones y estimadores de los parámetros de imagen ocluidos basados en el filtro de Kalman. Otro problema de considerable importancia es el hecho de contar con una adecuada calibración del sistema de visión, pues el desempeño del controlador suele depender en buena medida de la aproximación que se haga de la matriz de interacción y de la forma en que se elija a esta, particularmente en los sistemas monoculares. Por ello, es mejor disponer de algoritmos que no requieran de un procedimiento de calibración. Al respecto, en [12] se propone un método que toma ventaja de una configuración particular de la cámara, de tal forma que se considera solo un subconjunto de todos los parámetros posibles para formular el problema de calibración como la resolución de ecuaciones lineales. Por otro lado, en [13] se utilizan leyes de control adaptable para estimar los parámetros del sistema de visión. Aparte de los problemas antes citados, un factor importante para la implementación de controladores servovisuales es el cálculo preciso del modelo dinámico del robot. Cabe señalar que son pocos los algoritmos que no lo requieren o que se consideran incertidumbres paramétricas. Por ejemplo, en [13] se propone un esquema de control adaptable que evita el conocimiento del modelo dinámico del sistema. Adicionalmente se introduce un observador para estimación de velocidades y aceleraciones. En [14] se propone un control servovisual adaptable que permite no sólo seguimiento de trayectorias, sino también regulación de fuerzas cuando el robot entra en contacto con su entorno. Es importante resaltar que para llevar a cabo control de movimiento en 3D se requiere resolver el problema de la profundidad. Cuando se dispone de una sola cámara, esta puede moverse para tomar imágenes desde diferentes puntos de vista y llevar a cabo un análisis fuera de línea para obtener la información requerida. Sin embargo, una solución más apropiada es el uso de dos cámaras. Esto tiene la ventaja de requerir menos cálculos a cambio de un poder de procesamiento mayor. Un ejemplo de este procedimiento se encuentra en [15]. El método empleado en este artículo se basa en el esquema expuesto en [16] y como características principales tiene que no se requiere el modelo dinámico del robot para la implementación, así como tampoco la calibración del sistema de visión. Para lograr el seguimiento en 3D se ubican las

2 cámaras de manera perpendicular una de otra, lo que facilita el diseño del controlador y evita oclusiones del efector final. Solo se requiere el conocimiento de un ángulo de rotación para la implementación. El artículo está organizado de la siguiente forma: en la Sección 2 se muestra el modelo dinámico del robot, así como la relación entre el sistema de visión y las coordenadas articulares del manipulador. El esquema de control se desarrolla en la Sección 3, mientras que en la Sección 4 se muestran resultados experimentales. Algunas conclusiones son dadas en la Sección 5. II. MODELADO MATEMÁTICO DEL SISTEMA las lentes de las cámaras, con i = 1, 2. Usualmente se incluyen también los sistemas asociados al plano de imagen en el arreglo CCD de la cámara y a la imagen que se observa en la pantalla de la computadora, i.e. Σ y Σ, respectivamente. Es de este último sistema de coordenadas de dónde se obtiene la información necesaria para la retroalimentación visual. Sin ninguna pérdida de generalidad se puede considerar que todos estos marcos de referencia son paralelos y la representación de un punto en particular difiere básicamente en factores de escalamiento (positivos o negativos) y offsets de los distintos orígenes. Por facilidad se incluyen en la figura la dirección de las coordenadas(y,y ) y (y,y ). El lector interesado puede consultar detalles en [17]. A. Modelo del robot manipulador. La dinámica de un brazo manipulador rígido con articulaciones de revolución puede ser descrita por medio de las ecuaciones de Euler Lagrange como se explica en [2]. El modelo resultante es: () +(, ) + +() = (1) donde R es el vector de coordenadas generalizadas de las articulaciones, () R es la matriz simétrica definida positiva de inercias generalizadas, (, ) R es el vector de Coriolis y fuerzas centrifugas, () R es el vector de fuerzas gravitacionales, R es la matriz diagonal semidefinida positiva que contiene los coeficientes de fricción viscosa, R es el vector de torques generalizados actuando en las articulaciones y R representa cualquier perturbación externa acotada o bien términos de fricción desconocidos. En adelante se supondrá que el robot tiene tres grados de libertad, i. e. se tiene n = 3 en (1). Considérese un punto en el espacio cartesiano dado por (x, y, z) que se proyecta sobre una pantalla en un plano de imagen. Tal proyección se compone únicamente de dos coordenadas, (, ). Para formar un sistema dextrógiro con tres coordenadas de imagen, i. e. (,, ), en este trabajo se considera un arreglo de dos cámaras como el que se muestra en la Fig. 1. Respectivamente, las coordenadas asociadas a cada cámara son (, ) (, ). La primera se encuentra situada paralela al plano (, ) y se asociará a las coordenadas (, ), mientras que para la segunda el eje es paralelo al eje y. De este modo se obtiene la coordenada. Observación II.1. La elección del arreglo de cámaras permite formar con facilidad el sistema dextrógiro de coordenadas de imagen (y,y,y ) y hace más difícil que se presenten oclusiones del efector final. Sin embargo, el origen (y,y ), y el de y no coinciden y adicionalmente los factores de escalamiento pueden no ser iguales. A pesar de ello el diseño de la ley de control de la Sección III permite el empleo de este sistema de coordenadas directamente y sin necesidad de calibrar las cámaras. Nótese, sin embargo, que la información del eje y no se utiliza en absoluto. Observación II.2. Para hacer la Fig. 1 más clara, solo se muestran en ella los sistemas de coordenadas Σc asociados a Figura 1. Arreglo de un sistema de visión con dos cámaras. B. Modelo de la cámara Para describir la relación entre la posición del efector final dada por las coordenadas (, ) (, ) de la cámara 1 se pueden emplear transformaciones homogéneas y proyecciones de perspectiva. El procedimiento detallado se presenta en [17]. Combinando los modelos de las dos cámaras se obtienen las expresiones (2) a (5) = c' o o u v +, (2) o u

3 . (3) Donde es un factor de conversión de metros a pixeles, 1 es la distancia focal de la Cámara 1, y [ ] es el offset del centro de la imagen. De manera conveniente se pueden hacer las siguientes definiciones: (4) 1 (5) o o (6) o (7) u Con base en (4) (7) se puede reescribir (2) como: La derivada de (8) es: Si se define: = ( ) +. (8) = + ( ). (9) o = o = Se puede calcular la derivada de A como: = (1), (11). (12) Esta relación permite calcular después de cierta manipulación matemática como: =. ( ) ( ) ( ) (13) Como es bien sabido, la velocidad del efector final se relaciona con la velocidad de las coordenadas articulares,, Por medio del Jacobiano geométrico () R : = (). (14) Por tanto, es posible reescribir (13) como: = (). (15) Siempre que el robot no se encuentre en una singularidad y que la inversa de la matriz exista es posible obtener: Nótese que =. = (). (16) Observación II.3. Evitar que el robot pase por una singularidad, de tal manera que J (q) exista, es principalmente un problema de planeación de trayectorias. Por lo general las singularidades se presentan en la frontera del espacio de trabajo, aunque hay excepciones. Por ejemplo, en [2] se muestra que para un manipulador con configuración articulada se tendrá una singularidad si el efector final se encuentra sobre el eje de giro de la base. Por simplicidad, en este trabajo se supondrá que la trayectoria deseada en coordenadas de imagen está libre de singularidades. Observación II.4. La existencia de la inversa de la matriz B está garantizada si det (B) No es difícil mostrar por cálculo directo que este será el caso si se satisface: o yo z o y λ o z λ. (17) Puesto que las cámaras 1 y 2 se sitúan lejos una de la otra y en las posiciones que se observan en la Fig. 1, se deben tener o o y o o.entonces considerando que las distancias focales son despreciables, la relación (17) debe ser válida para todo el tiempo. III. CONTROL SERVOVISUAL EN 3D En esta sección se introduce una ley de control servovisual para el sistema (1) empleando la relación (15). El algoritmo se basa en el método propuesto en [16] y ha sido empleado con éxito en el control servovisual en 2D, como se muestra en [3]. Para su implementación solo es necesario el conocimiento de los vectores de coordenadas de imagen y, y el de las coordenadas articulares q. Este último se utiliza para la evaluación del Jacobiano geométrico del manipulador (). El controlador emplea un estimado de la velocidad de las coordenadas de imagen, que se obtiene por medio de un observador, definido como: z y - (18) = + + () = (19) = ( ) + + (), (2) Donde es el valor estimado de y, z es el error de observación,, R son matrices diagonales definidas positivas, es una constante positiva y R esta dado en (26). Por otro lado, el error de seguimiento en coordenadas de imagen se define como:. (21)

4 Para la implementación del controlador se introducen las siguientes variables: (22) ( ) +, (23) Donde R es una matriz diagonal definida positiva y R se define en (27). Asimismo, se introduce: = + ( ) + (24) = (25) = () (26) = { () +sings ()}. (27) Donde: () =, sing(s ) =[sing(s ) sing(s ) sing(s )], s es elemento de s, = 1,2,3, > y R es una matriz diagonal definida positiva. Nótese que la definición de fuerza a que () = lo que ayuda a la respuesta transitoria del error a ser más suave. Finalmente, la ley de control está dada por: (28) = (), (29) Donde R es una matriz diagonal definida positiva, y es el valor nominal de. = 1. (3) Observación III.1. El algoritmo (18) (29) es esencialmente el mismo que el propuesto en [1]. Sin embargo, funciona en tres dimensiones en lugar de dos. Adicionalmente, las condiciones para garantizar la convergencia a cero de los errores de seguimiento y de observación son muy distintas. Para llevar a cabo un análisis de estabilidad y convergencia a cero de los distintos errores se requiere plantear la dinámica del sistema en lazo cerrado. Exclusivamente con este fin se definen las siguientes variables: = + (31) () (32) (33) (34) Nótese que y se relacionan por: = () (35) y = (). (36) Ahora bien, es posible reescribir (1) como: () +(, ) + =, (37) donde: () +(, ) + +() + (38) Por otro lado, la ley de control (29) se puede manipular de la siguiente forma: o bien: donde: = () () (), (39) = () (4) = () () (41) = (42) = = 1. (43) En la última relación se tiene = cos (), =() y =. Tomando en cuenta (28), (29) y (34) se tiene = lo que permite combinar (35), (37) y (4) para obtener: () +(, ) + = + () (44) Finalmente, definiendo + se obtiene la dinámica del error de seguimiento como: () +(, ) + = () (45) Calcular la dinámica del error de observación es más bien simple. De (19) (2). = ( ) + + () + + (46) Combinando (21), (24), (31) y (46) se puede obtener: o bien de (26) + = +, (47) + = + +. (48) Para la dinámica de los errores de seguimiento de trayectoria y de observación dada por (45) y (48) se define el estado.. (49) Teorema III.1. Considérese una trayectoria deseada acotada en el espacio de imagen y suficientemente alejada de cualquier singularidad del robot manipulador y con al menos

5 primera y segunda derivadas acotadas. Entonces, para el observador (19) (2) y la ley de control (29) en lazo cerrado con el sistema (1), siempre es posible encontrar una combinación de ganancias k, kd, Λ y, Λ z, K β, K γ y K p tal que los errores de seguimiento y observación asociados a las ecuaciones dinámicas (45) y (48) (,,,) permanezcan acotados y tiendan a cero a condición de que: 1. La ganancia en (41) sea definida positiva 2. Las suposiciones de las Observaciones II.3 y II.4 se satisfagan. Nótese que en el teorema anterior se propone elegir suficientemente alejada de cualquier singularidad para prácticamente garantizar que () exista, siempre que la respuesta transitoria del error de seguimiento no sea demasiado abrupta. Para ello se requiere una apropiada sintonización de ganancias. Adicionalmente, no es difícil satisfacer las condiciones de la Observación II.4. Por otro lado, la demostración del Teorema III.1 es completamente similar a las presentadas en [2] y [1]. El lector interesado puede consultar las referencias. Lo único que se requiere es suponer que es definida positiva, por lo que en el Apéndice A se proporciona una discusión de algunas condiciones suficientes para ello. IV. RESULTADOS EXPERIMENTALES Para probar la teoría de la Sección III se llevó a cabo un experimento en un robot industrial A465 de CRS Robotics. Aunque este manipulador tiene seis grados de libertad, se emplearon sólo las tres primeras articulaciones. El sistema de visión consiste de dos cámaras monocromáticas CCD Pike F-55B, cuya máxima resolución es de pixeles a 15fps. Las imágenes adquiridas son enviadas vía FireWire a una computadora, donde se procesan y se emplean en la implementación de la ley de control. Un objeto de forma esférica se fija al efector final del robot para facilitar su localización calculando el centroide. El software empleado es Microsoft Visual C El banco de pruebas se muestra en la Fig. 2. El experimento consiste en llevar el efector final de su posición inicial () =[ () () ()] obtenida directamente de las imágenes de las cámaras, a una posición final arbitraria siguiendo de manera precisa una trayectoria suave. Para generar dicha trayectoria se propone emplear: = + () (5) = ( ) (51) Donde, =.1, =.1 =2. Los parámetros empleados en el experimento son: Figura 2. Robot A645 de CRS Robotics con sistema de visión. Es importante notar que a pesar de que la ley de control (29) se presenta en términos de torques generalizados en las articulaciones, la flexibilidad del algoritmo permite implementarlo directamente con voltajes. En las Figs. 3, 4 y 5 se muestra la trayectoria seguida por el efector final en coordenadas de imagen. En todos los casos pueden apreciarse los valores reales, deseados y estimados. El comportamiento del sistema es bastante aceptable. Sólo la coordenada tarda en converger al valor final, pero en general la trayectoria se sigue de manera precisa. En las Figs. 6, 7 y 8 se muestran los respectivos errores de seguimiento. Nótese la rápida convergencia a cero para las coordenadas, y mientras que el error y no es mayor a 5[pixeles] después de un segundo. Es importante resaltar que la trayectoria deseada generada por (5) es en realidad continua, mientras que los pixeles representan números enteros. Si se lleva a cabo un redondeo en las distintas gráficas los resultados son todavía mejores, pero se ha preferido mostrar los datos sin ninguna manipulación extra. En las Figs. 9, 1 y 11 se aprecian los errores de observación. A pesar de que la respuesta transitoria es sumamente oscilatoria durante los primeros dos segundos, el error se

6 mantiene en cero el resto del experimento. Esto muestra un excelente desempeño del observador. Figura 6. Error de seguimiento de trayectoria. Figura 3. Seguimiento de trayectoria para la primera coordenada., ( ) y ( ). Figura 7. Error de seguimiento de trayectoria. Figura 4. Seguimiento de trayectoria para la segunda coordenada., ( ) y ( ) Figura 8. Error de seguimiento de trayectoria. Figura 5. Seguimiento de trayectoria para la tercera coordenada., ( ) y ( ).

7 máximo de ±3V. Esto evita que el manipulador lleve a cabo movimientos demasiados bruscos que puedan dañarlo, aunque tiene el efecto secundario de no poder seguir trayectorias demasiado rápidas. V. CONCLUSIONES Figura 9. Error de observación. En el presente artículo se introduce una ley de control servovisual en 3D para seguimiento de trayectorias de robots manipuladores. El algoritmo no requiere ningún conocimiento previo ni del modelo dinámico del robot ni de los parámetros intrínsecos o extrínsecos del sistema de visión, con excepción de un ángulo de rotación. Para lograr esto se utilizan dos cámaras colocadas perpendicularmente una de la otra y cuyos ejes coinciden con los del sistema inercial de la base del manipulador. El esquema se implementa directamente en coordenadas de imagen y se diseña un observador para estimar sus velocidades. Para probar la teoría desarrollada se llevó a cabo un experimento en un robot industrial. Los resultados fueron muy satisfactorios. Como trabajo futuro se analizara el caso en que los ejes de las cámaras no coincidan con los del sistema de la base del manipulador. REFERENCIAS Figura 1. Error de observación. Figura 11. Error de observación. Claramente el desempeño total del sistema controlador observador ha sido muy bueno, excepto por la coordenada y 1. Para entender mejor la causa de esto, se analizan los voltajes generados por el controlador. Aunque no son demasiado grandes y los motores del robot aceptan una entrada de ±1V, por motivos de seguridad la salida se satura siempre a un [1] Shen, Y., Sun, D., Liu, Y., Li, K., 23. Asymptotic trajectory tracking Of manipulators, using uncalibrated visual feedback. IEEE / ASME Transactions on Mechatronics 8, [2] Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., Oriolo, G., 21. Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer Verlag, London, Great Britain. [3] Arteaga - Pérez, M.A., Bueno - López, M., Espinosa - Romero A., July 29. A simple approach for 2D visual servoing. In: 18th IEEE International Conference on Control Applications. Part of 29 IEEE Multi - conference on Systems and Control. Saint Petersburg, Russia, pp [4] Chaumette, F., Hutchinson, S., December 26. Visual servo control, Part I: Basic approaches. IEEE Robotics and Automation Magazine 13 (4), [5] Chaumette, F., Hutchinson, S., March 27. Visual servo control, Part II: Advanced Approaches. IEEE Robotics and Automation Magazine 14 (1), [6] Cheah, C. C., Hou, S. P., Zhao, Y., Slotine, J.-J. E., 21. Adaptive Visión and force tracking control for robots with constrain uncertainty. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics 15 (3), [7] Kelly, R., Robust asymptotically stable visual servoing of planar Robots. IEEE Transactions on Robotics and Automation 12 (5), [8] Spong, M. W., Hutchinson, S., Vidyasagar, M., 26. Robot Modeling And Control. John Wiley & Sons, U.S. A. [9] Cid, J., Reyes, F., February 29. Visual servoing controller for robot Manipulators. In: IEEE International Conference on Electrical Communications, and Computers. Cholula, Puebla, México, pp [1] Gans, N., Hutchinson, S., 27. Stable visual servoing through hybrid Switched - system control. IEEE Transactions on Robotics 23 (3), [11] Kelly, R., Santibáñez, V., 23. Control de Movimiento de Robots Manipuladores Pearson Prentice Hall, Madrid, España. [12] Kelly, R., Moreno, J., Campa, R., December 24. Visual servoing of Planar robots via velocity fields. In: Proc. 43rd IEEE Conference on Decision and Control. Atlantis, Paradise Island, Bahamas, pp [13] Lippiello, V., Siciliano, B., Villani, L., 27. Position - based visual Servoing in industrial multirobot cells using a hybrid camera Configuration. IEEE Trans- actions on Robotics 23,

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9 Condición A.1. Si la ubicación de home del robot se define por medio de las coordenadas (,, ), elegir =, = y =. Colocar las cámaras de esta manera facilita lograr el objetivo de control. Cabe hacer notar que todas las variables,, dependen también de la colocación de las cámaras. Sin embargo, si las dos cámaras son iguales se pueden obtener condiciones más específicas. En este caso: = y =. (A.15) Combinando (1) y (11) se obtiene por manipulación directa a partir de (A.14). Marco Arteaga-Pérez received the Engineering degree in Computational Engineering from Universidad Nacional Autónoma de México, México, in 1991, and the PhD in Engineering from University Gerhard Mercator of Duisburg, Germany. His current research interest is control of robots manipulators. He is with DEPFI Universidad Nacional Autónoma de México México. Maximiliano Bueno-López received the Engineering degree in Electrical Engineering from Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, in 26, and the PhD in Engineering from Universidad Nacional Autónoma de México, México, in 213. Her current research interest are applications of automatic control in robots manipulators and renewable energies. He is with Universidad de La Salle, Bogotá, Colombia. ( )( ) ( ) + ( ) ( ) >. (A.16) Cómo se hizo anteriormente se puede definir: =í, =á, (A.17) (A.18) De tal forma que en vez de (A.16) se obtiene la siguiente condición: + > (A.19) Lo que implica finalmente que: <. (A.2) Con base en esta última relación se puede establecer una nueva condición para ayudar a que sea definida positiva. Condición A.2. Colocar las cámaras de tal forma que >1. La condición A.2 sirve para maximizar el valor de. Si <1 se tendrá siempre <1. Para lograr satisfacer la posición de la Cámara 1 a lo largo del eje y, i.e., debe estar a algo más de un metro del máximo alcance del robot en esa dirección. Lo mismo debe cumplirse para la Cámara 2 con respecto a y el eje. Por supuesto, mientras más lejos se encuentren las cámaras, mayor será el cociente (tendiendo a ), pero esto se puede disminuir drásticamente en la resolución de las imágenes obtenidas. Finalmente, nótese que las condiciones A.1 y A.2 no se contraponen.