Ejercicios resueltos. Computación. Tema 4

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1 Ejercicios resueltos. omputación. Tema 4 Ejercicio.-Sea P un programa GOT O tal que #(P ) = 16. a) uántas instrucciones tiene P? b) Dar todas las instrucciones de P. c) Generalizar el resultado anterior a todos los programas P de código #(P ) = p k 1 donde p k representa al k ésimo número primo. Sea P ( 1, 2,..., n ) un programa de longitud P = n. Sabemos que #(P ) = [#( 1 ), #( 2 ),..., #( n )] 1; es decir, #(P ) + 1 = [#( 1 ), #( 2 ),..., #( n )]. Por tanto, P = Long(#(P ) + 1). a) En nuestro caso, P = Long(16 + 1) = Long(17) = Long([0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]) = 7 Es decir, nuestro programa tiene 7 instrucciones. b) omo #(P ) + 1 = 17 = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1], las seis primeras instrucciones tienen código 0, #( i ) = 0, i = 1,..., 6 y la última tienen código 1, #( 7 ) = 1 Por tanto, como 0 = 0, 0, 0 y 1 = 1, 0, 0 nuestro programa se escribirá: P [] c) hora #(P ) + 1 = p k = p k ; o sea, P = Long(p k ) = Long([0, 0,..., 0, 1]) = k. De #(P ) + 1 = [0,.., 0, 1] con longitud k, resulta que el programa tendrá k instrucciones de las que todas son de código 0 salvo la última que es de código 1. En consecuencia, el programa será: P [] (k instrucciones... Ejercicios omputabilidad (V) (OMP.). J. Pérez, M.J.Pérez.- pág. 1

2 Ejercicio.-Se efectúa la computación de un cierto programa: 1 [] Z 2 Z P 6 X X F X 2 0 GOT O para un cierto estado inicial σ = Y = 0, X = 2, Z = 0, X 2 = 1, Z 2 = 0}. l cabo de k 1 pasos se sabe que la descripción instantánea s k, es tal que #(s k ) = 6, a) Obtener #(s k+1 ), #(s k+2 ) y #(s k+3 ). b) Obtener el valor almacenado en la variable Y para la descripción instantánea s k+3. Primeramente observemos que: El estado σ k, de una descripción instantánea s k = (j, σ k ), suele expresarse con el siguiente orden en las variables: σ k = Y = y, X = x, Z = z, X 2 = x 2, Z 2 = z 2,...}, es decir, primero la variable Y y, a continuación, ordenadas alternativamente, las variables de entrada y auxiliares, comenzando por X. El código de σ k es entonces el número: #(σ k ) = [y, x 1, z 1, x 2, z 2...] = p y 1 px 2 p z 3 p x 2 4 pz 2 5. ada variable del estado está asociada a un número primo. Sea s k tal que #(s k ) = j, n, donde j es la instrucción a ejecutar y n = #(σ k ) = p i 1 1 p i 2 2 p ij j pir r. Entonces: Para incrementar en 1 la variable V, representada por el número primo p i, se efectuará el producto: n.p i Para decrementarla en 1 (si no es cero) se efectuará el cociente: qt(n, p i ) Para saber si el valor de dicha variable es o no cero chequearemos el predicado: qt(n, p j ) = 0. a) En este ejercicio el estado de la descripción instantánea s k = (6, σ k ) verifica: = #(σ k ) = 2 y 3 x 5 z,7 x2 11 z 2, por tanto: Obtención de #(s k+1 ) Estado: omo 6 X X + 1, es decir, el nuevo estado se obtendrá incrementando en 1 el valor de X, para lo cual multiplicaremos el código del estado por el primo p 2 = 3, asociado a la variable X: #(σ k+1 ) = = ontrol: pasará a la instrucción que está a continuación. Por tanto, #(s k+1 ) = 7, Obtención de #(s k+2 ) Estado: omo 7 X F X 0 GOT O es una instrucción condicional, el estado no se altera, es decir, σ k+2 = σ k+1 ontrol: hequeamos el valor de la variable X 2 -representada por el primo p 4 = 7- evaluando el predicado qt(155232, 7)? = 0. Resulta que es distinto de a cero, por lo que el control pasará a la primera instrucción etiquetada con [], en este caso, 1. Por tanto, #(s k+2 ) = 1, Obtención de #(s k+3 ) Estado: omo 1 Z 2 Z 2 1, el nuevo estado se obtendrá decrementando en 1 el valor de Z 2, para lo cual dividiremos el código del estado σk + 2 por el primo que representa a la variable Z 2 -que es 11-: #(σ k+3 = qt(155232, 11) = ontrol: pasará a la instrucción que está a continuación. Por tanto, #(s k+1 ) = 2, b) Finalmente, para obtener el valor de la variable Y en la d.i. s k+3 calcularemos el exponente de 2 -que representa la variable Y - en la descomposición del número 14112: = Por tanto, #(s k+3 (Y )) = 5. Ejercicios omputabilidad (V) (OMP.). J. Pérez, M.J.Pérez.- pág. 2

3 Ejercicio( ).- 1. Sea P un programa GOTO fijo y e = #(P ). Sea R el predicado sobre N 3 definido por en el paso k de la computación de P sobre x R(x, k, j) se ejecuta la j ésima instrucción de P Pruébese que R es un predicado primitivo recursivo. 2. Pruébese que la siguiente función, F : N 2 N, es recursiva: 1 si la computación del programa de índice e sobre x tiene longitud impar. F (e, x) = 2 si la computación del programa de índice e sobre x tiene longitud par. en otro caso. 3. Pruébese que = #(Q) : x (Q(x) x es primo)} NO es recursivo. 4. Sean f, g : N N funciones recursivas tales que x N, f(x) < f(x + 1). Pruébese que si B, N son recursivos, entonces el conjunto f() g 1 (B) es recursivo. 1) El predicado R se describe así: R(x, k, j) l(desnst (x, e, k)) = j y, por tanto, es primitivo recursivo. 2) El siguiente programa calcula la función F : Y Y + 1 [] F ST EP (x, e, Z) GOT O B Y Y + 1 GOT O E [B] Z Z + 1 F ST EP (x, e, Z) GOT O E Z Z + 1 GOT O 3) El conjunto de funciones F = f : x(f(x) x es primo )} es tal que su conjunto de índices, F es igual al dado: F =. pliquemos el teorema de Rice. a) F P, pues ninguna función total pertenece a F. 0 si x es primo b) F, pues la siguiente función: f(x) = e.o.c. es recursiva y pertenece a F. Por tanto, = F no es recursivo. 4) De la condición f(x) < f(x + 1), resulta que x(x f(x)), lo que garantiza que el siguiente programa (en el que es la función característica del conjunto ) calcula la función característica de f(): [] F (Z) = 0 GOT O E F X = f(z) GOT O B F X = Z GOT O E Z Z + 1 GOT O [B] Y Y + 1 Por tanto, f() es un conjunto recursivo. Por otra parte, g 1 (B) es recursivo pues, x g 1 (B) g(x) B B (g(x)) = 1 Finalmente, como la intersección de conjuntos recursivos es recursiva, resulta que f() g 1 (B) es recursivo. Ejercicios omputabilidad (V) (OMP.). J. Pérez, M.J.Pérez.- pág. 3

4 Ejercicio.-Sea N un conjunto infinito. Probar que son equivalentes: 1) es recursivo. 2) Existe f R tal que x(f(x) < f(x + 1)) y rang(f) =. 2) 1) serto: x(x f(x)) Por inducción en la variable x: aso base: x = 0. Es obvio pues 0 f(0). Paso inductivo: x x + 1: x h.i. f(x) hip. < f(x + 1). Por tanto, x + 1 f(x + 1) Por tanto, se verifica el aserto. Demostremos ahora que es recursivo: Veamos que x z x(f(z) = x) x z(f(z) = x) serto z x(f(z) = x) Recíprocamente, es obvio que: z x(f(z) = x) x. 1) 2) omo no es vacío, existe el mínimo: a = minx : x } Definimos entonces la función: f(0) = a f(x + 1) = miny : y y > f(x)} omo es infinito, es inmediato probar (por inducción en x) que dicha función está bien definida y es total. Por tanto, f puede reescribirse así: f(0) = a f(x + 1) = µy(y y > f(x)) es decir, f es recursiva (pues está definida por recursión a partir de una constante y de la función recursiva h(x, t) = µy(y y > t)). demás, por construcción f es estrictamente creciente. Veamos finalmente que rang(f) =. Por definición, es obvio que rang(f). Probemos, ahora, la inclusión contraria: rang(f) Procedamos por reducción al absurdo: Supongamos que rang(f); es decir que rang(f). En este supuesto, sea b = min( rang(f)) y c = maxx : x x < b}. c existe pues a < b y, además, c rang(f). Por tanto, existe d N tal que f(d) = c. Entonces: f(d + 1) = µy(y y > f(d)) = µy(y y > c) = b: lo que es una contradicción pues suponíamos que b / rang(f). Ejercicios omputabilidad (V) (OMP.). J. Pérez, M.J.Pérez.- pág. 4

5 Ejercicio. Sean g, h : N N funciones recursivas. a) Probar que existe f recursiva tal que: x N, f(x) g(x) h(x) y además, si f(x) entonces f(x) = g(x) o bien f(x) = h(x). b) Podemos exigir, además, que si g(x), entonces f(x) y f(x) = g(x)? a) Sean e 1 y e 2 sendos índices de g y h respectivamente. Para probar que existe una tal f basta con definir: f(x) = µt(st EP (1) (x, e 1, t) ST EP (1) (x, e 2, t)). Si, además, queremos que f(x) = g(x) o f(x) = h(x) si f(x), bastará con definir: f(x) = l(µz(t 1 (x, e 1, z) T 1 (x, e 2, z)). b) En general, la respuesta es negativa. Pongamos un contraejemplo. ϕx (x) + 1 si ϕ Sean h(x) = 0 y g(x) = x (x) que son recursivas. e.o.c. Entonces como h es total, f estaría definida así: g(x) si g(x) f(x) = 0 e.o.c. es decir, f(x) = ϕx (x) + 1 si ϕ x (x) 0 e.o.c. que, como sabemos de un ejercicio anterior, no es recursiva. Ejercicio. Probar que las siguientes funciones, h 1 y h 2, son GOT O-computables: 1 si ϕx (x) h 1 (x) = si ϕ x (x) Sea = a 1,..., a n } finito tal ϕ ai (a i ) (1 i n), y definimos 1 si ϕ x (x) h 2 (x) = 0 si x en otro caso Basta observar que h 1 y h 2 pueden expresarse como sigue: h 1 (x) = 1 (µt(st EP (x, x, t))) h 2 (x) = l(µz[l(z) = 0 x ] [l(z) = 1 ST EP (x, x, r(z))]}) donde l y r son las funciones decodificadoras de la función par. Ejercicios omputabilidad (V) (OMP.). J. Pérez, M.J.Pérez.- pág. 5