6. Análisis en el dominio de la frecuencia. Teoría de Control

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1 6. Análisis en el dominio de la frecuencia Teoría de Control

2 Introducción El término respuesta en frecuencia, indica la respuesta en estado estacionario de un sistema a una entrada senoidal. La respuesta en frecuencia se obtiene mediante generadores y buenos medidores de señales. En el análisis de la frecuencia, los métodos no están restringidos al orden de la función. Permite medir la sensibilidad al ruido y la variación de parámetros. 2

3 Respuesta en frecuencia Los métodos empleados en respuesta en frecuencia son: Nyquist y Bode. r(t) S.L.I.T. y(t) Si la entrada en la figura es: r(t) = R sen ω0t La salida será: y(t) = R sen ( ω0t + φ ) 3

4 Respuesta en la frecuencia Aplicando Laplace Y(s) = M(s)R(s) Para realizar el análisis en el estado senoidal permanente s=jω Y(jω) = M(jω) R(jω) Y(jω) = Y(jω) < Y(jω) donde Y(jω) = M(jω) R(jω) <Y(jω) = <M(jω) +<R(jω) 4

5 Y (S ) R(S ) Respuesta en frecuencia de un lazo retroalimentado Y ( s) G( S ) M ( s) = = R( s) 1 + G ( S ) H ( S ) Para el estado senoidal permanente s=jω Y ( jω ) G ( jω ) M ( jω ) = = R ( jω ) 1 + G ( jω ) H ( jω ) M ( jω ) = M ( jω ) M ( jω ) 5

6 Respuesta en frecuencia de un lazo retroalimentado En términos de su parte real e imaginaria: M(jω) = Re [M(jω)] + j Im [M(jω)] La magnitud de M(jω) es: G ( jω ) M ( jω ) = 1 + G ( jω ) H ( jω ) Y el ángulo es: M ( jω ) = G ( jω ) (1 + G ( jω ) H ( jω )) 6

7 Respuesta en frecuencia de un lazo retroalimentado Sí M(s) representa la función de transferencia de entrada-salida de un filtro eléctrico, la magnitud y fase M(jω) indican las características del filtro sobre la señal de entrada. Esta figura muestra las características de ganancia y fase de un filtro pasa-bajas ideal con frecuencia de corte en ωc. Sí ωc se incrementa en forma indefinida, la salida Y(jω) podría ser idéntica a la entrada MC Jacob J. Vásquez Sanjuanpara todas las frecuencias. 7

8 Respuesta en frecuencia de un lazo retroalimentado En sistemas de control el controlador además de responder a la señal de entrada, debe ser capaz de rechazar y suprimir el ruido y las señales no deseadas. 8

9 Especificaciones en el dominio de la frecuencia Las siguientes especificaciones se emplean en la práctica. Pico de resonancia M. r Frecuencia de resonancia ωr. Ancho de banda (BW). 9

10 Especificaciones en el dominio de la frecuencia 10

11 Magnitud en función de la frecuencia normalizada (ω/ωn) 11

12 Respuesta en el tiempo 12

13 Mr en función del factor de amortiguamiento relativo 13

14 Frecuencia de resonancia normalizada 14

15 Ancho de banda en función del factor de amortiguamiento 15

16 Relaciones entre los dominios del tiempo y la frecuencia El pico de resonancia Mr de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado depende de ζ solamente. El ancho de banda es directamente proporcional a ωn. También el BW disminuye con el incremento de ζ. Ya que el tiempo de levantamiento aumenta cuando ωn disminuye, el BW y el tiempo de levantamiento son inversamente proporcionales. El ancho de banda y Mr son proporcionales entre sí para 0 ζ

17 Relaciones frecuencia-tiempo ω s + 2ζ ω s + ω 2 r(t) n 2 2 n y(t) n Cuando ωn se hace más grande, la distancia del polo al origen se hace mayor. Cuando ζ se hace más grande, la distancia angular desde el eje real negativo se hace más pequeña. 17

18 Relaciones frecuencia - tiempo ξ ξ t ω 2 r BW = ω [ (1 2ξ ) + 2 n 4ξ 2ξ + 2 ] n Cuando ωn se hace mayor, tr disminuye y el sistema responde más rápido. Cuando ωn se incrementa el ancho de banda se incrementa. Cuando ξ se hace mayor tr se incrementa y el sistema se hace más lento Cuando ξ se incrementa el ancho de banda se reduce. 18

19 Efectos de la adición de un cero en la función de transferencia de la trayectoria directa ω (1 + T s ) M ( s) = s + ( 2ξ ω + T ω ) s + ω n Z 2 2 n Z n 2 n 19

20 Efectos de la respuesta en frecuencia con la adición de un cero T=0 T=0.1 T=1.0 T=1.414 M(jw) T=5 G( s) = 1 + Ts s ( s ) w(rad/seg) 20

21 Respuesta en el tiempo (adición de un cero) T=0 T= = T Cuando T se hace más grande, el cero de la función de transferencia en lazo cerrado, s=1/t,se mueve muy cerca del origen causando que el sistema tenga constantes de tiempo muy grandes. Por tal razón el tiempo de levantamiento es rápido, pero la constante de tiempo larga del cero cercano al origen del plano s causa que el tiempo de asentamiento sea mayor. 21

22 El efecto general de añadir un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa es incrementar el ancho de banda del sistema en lazo cerrado. 22

23 Efecto de la adición de un polo en la función de transferencia de la trayectoria directa 2 ωn Y (S ) ωn s ( s + 2ξ ω n ) = = 2 2 R( S ) ωn TpS 3 + S 2 (1 + 2ξ ω ntp ) + 2ξ ω ntp + ω n 1+ (1 + TpS )( S + 2ξ ω n ) S 23

24 Respuesta en frecuencia G( s) = 1 s( s )(1 + Ts ) 24

25 Respuesta en el tiempo G( s) = 1 s( s )(1 + Ts ) 25

26 6.3 Criterio de estabilidad de Nyquist Características del criterio de Nyquist: Proporciona información de la estabilidad relativa. La traza de Nyquist de G(s)H(s) es fácil de obtener. La traza de Nyquist da información de las características en el dominio de la frecuencia: Mr, Wr y BW. Las trazas de Nyquist es útil para sistemas con retardos puros. 26

27 Encierro e Inclusión Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la trayectoria. Un punto o región se dice incluido por una trayectoria cerrada si está encerado en la dirección SCMR, o el punto o región está a la izquierda de la trayectoria cuando ésta se recorren en la dirección prescrita. A B AA B 27

28 Funciones de fase mínima Una función de transferencia de fase mínima no tiene polos o ceros en el semiplano derecho del plano s o sobre el eje jw (sólo un polo en el origen). El valor de la función de transferencia de fase mínima no puede ser cero o infinito en ninguna frecuencia distinta de cero. Siempre tendrá un corrimiento de fase más positivo cuando w varía desde a 0. O igualmente cierto siempre tendrá una fase más negativa cuadno w varía de o hasta. Para una función de transferencia de fase mínima L(s) con m ceros y n polos, cuando s=jw, y w varía desde a 0, la variación total en fase es (n-m)π/2 radianes. 28

29 Criterio de Nyquist para sistemas con función de transferencia de fase mínima Para un sistema de lazo cerrado con función de transferencia de lazo L(s), que es de tipo de fase mínima, el sistema es estable si la gráfica de L(s) que corresponde a la trayectoria de Nyquist no encierra al punto (-1, j0), si el punto (-1, j0) está encerrado por la traza de Nyquist, el sistema es inestable. 29

30 Ejemplo K L( s ) = G ( s ) H ( s ) = s( s + 2)( s + 10) 30

31 Criterio de estabilidad de Nyquist para funciones de transferencia de fase no mínima y mínima Para que el sistema en lazo cerrado sea estable, Z debe ser igual a cero. Por tanto el criterio de Nyquist para la estabilidad del sistema en lazo cerrado es: Φ11=-(0.5Pw+ P)180 Donde: Z = número de ceros de 1+L(s) que están en el semiplano derecho del plano s. P = número de polos de 1+L(s) que están en el semiplano derecho del plano s. Pw= número de polos de L(s) o de 1+L(s) que están sobre el eje jw, incluyendo los del origen. 31

32 Relación entre las trazas de nyquist y las respuestas al escalón y en frecuencias 32

33 Relación entre las trazas de nyquist y las respuestas al escalón y en frecuencias 33

34 Margen de ganancia El margen de ganancia (GM) es uno de los criterios más usados par medir la estabilidad relativa. El cruce de fase es un punto en el cual la traza se intersecta con el eje real negativo. La frecuencia de cruce de fase ωp es la frecuencia en el cruce de la fase, o donde: Cruce de fase ω=ωp L( jω p ) =

35 1 Margen de ganancia = GM = 20 log10 = 20 log10 L( jω p ) L( jω p ) Conclusiones: La traza L(jωp) no intercepta al eje real negativo: L(jωp) = 0 GM = db La traza L(jωp) intercepta al eje real negativo entre el 0 y el punto < L(jωp) < 1 GM > 0 db La traza L(jωp) pasa por (-1, j0) L(jωp) = 1 GM = 0 db 7. La traza L(jωp) encierra al punto (-1, j0) L(jωp) > 1 GM < 0 db 35

36 Margen de ganancia El margen de ganancia es la cantidad en db que se puede añadir al lazo antes de que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. 1 Margen de ganancia = GM = 20 log10 = 20 log10 L( jω p ) L( jω p ) 36

37 Margen de fase El margen de fase (PM) es la cantidad de retardo puro que se puede añadir al sistema antes de que el sistema en lazo cerrado se vuelva inestable. Margen de Para sistemas de fase mínima: fase PM = L( jω g )

38 Ejemplo Encuentre los márgenes de ganancia y de fase, de la función de transferencia de lazo de un sistema de control : 2500 L( s ) = s( s + 5)( s + 50) 38

39 Solución 39

40 6.4 Análisis de estabilidad con las trazas de Bode Ventajas: Se pueden obtener sin necesidad de una computadora, mediante segmentos de línea recta. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist. Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre las de Nyquist. 40

41 Gráficas de Bode : Sistemas de fase mínima y no mínima. Los sistemas de fase mínima son los cuales no tienen polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s. Los sistemas de fase no mínima son los que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano s. 41

42 Diagramas de Bode: determinación de sistemas de fase mínima y no mínima. Un sistema de fase mínima tiene una pendiente de la curva de magnitud logaritmica cuando ω tiende a infinito de -20(n-m) db/década. Donde m y n son los ordenes del númerador y denominador, respectivamente, (n m). debe Por otra parte el ángulo de fase en ω=, ser igual a -90 (n-m). Si lo anterior no se cumple el sistema es de fase no mínima. 42

43 Margen de ganancia y fase en las trazas de Bode Región estable para intersección Sobre la curva de fase en el cruce De fase; margen de fase positivo. 43

44 Observaciones sobre la estabilidad del sistema respecto a las propiedades de la traza de Bode El margen de ganancia es positivo y el sistema es estable si la magnitud de M(jω) al cruce de fase es negativo en db. Esto es, el margen de ganancia se mide abajo del eje 0 db. Si el margen se mide arriba del eje 0 db, el margen de ganancia es negativo y el sistema es inestable. El margen de fase es positivo y el sistema es estable si la fase de M(jω) es mayor que -180 en el cruce de ganancia. Esto es, el margen de fase se mide arriba del eje Si el margen se mide abajo del eje -180, el margen de fase es negativo, y el sistema es inestable. 44

45 Margen de fase y de ganancia: Definición El margen de ganancia se define como: 1 GM =20 log10 = 20 log10 L j p L j p El margen de fase (PM) se define asi: PM = L j g

46 Ejemplo del comando margin M( s ) = 2500 s( s + 5 )( s + 50 ) B o d e D ia g r a m G m = d B ( a t ra d / s e c ), P m = d e g (a t r a d / s e c ) 50 M a g n i tu d e ( d B ) P h a s e (d e g ) F r e q u e n c y ( r a d /s e c )

47 Diagrama de Bode de sistemas con retardos puros El efecto del retardo puro (retardo de transporte) es añadir una fase T d radianes a la curva de fase, sin afectar la curva de magnitud. Ejemplo : Encuentre el tiempo crítico de retardo, del siguiente sistema: Ke Td s L( s ) = s( s + 1 )( s + 2 ) 47

48 Respuesta sin retardo 48

49 Efectos del retardo El retardo añade una fase de -ωtd radianes en la curva de fase sin afectar la curva de magnitud. Para encontrar el valor crítico del tiempo de retardo para la estabilidad se tiene: π T ω = d despejando: g 53.4 (π ) T = = 2.09 seg 180 (1.414) d 49

50 Ejemplo: Para el ejemplo anterior encuentre el valor crítico de K, si el tiempo de retardo es de 1 segundo. 50

51 De la figura anterior se puede observar que el margen de ganancia es de 4.5 db y la frecuencia de cruce de fase es de 0.66 rad/s. Empleando la definición de margen de ganancia, Y despejando: GM = 20 log L( jω ) / 20 p = 1.68 por lo tanto este es el valor crítico de K para estabilidad. la 51

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