PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 1

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Juan Francisco Naranjo
hace 5 años
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1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 1 Problema 1. Sea {Y n } una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución P {Y n = k} = 1 N + 1 Sea X 1 = Y 1, X n = mín(x n 1, Y n ). para k = 0, 1,..., N a) Probar que {X n } es una cadena de Markov. b) Determinar la distribución de X n. c) Probar que X n 0 casi seguro.

2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 2 Problema 2. Una urna A contiene n r bolas blancas y r bolas negras, mientras que otra urna B contiene s bolas blancas y n s negras. Se extraen bolas con reemplazamiento, de la urna A si en la extracción anterior se obtuvo bola blanca y de la urna b si en el resultado anterior fue bola negra. Determinar la probabilidad de que en la k-ésima extracción se obtenga bola negra y su límite, supuesto que la primera extracción se hace de A.

3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 3 Problema 3. a) Una partícula se mueve entre los puntos de abscisa entera de una recta, con probabilidad 1/2 de saltar desde cada estado a cada uno de los adyacentes. Calcular la probabilidad de estar en el origen en la etapa n. Probar que el número esperado de visitas al origen es infinito y concluir que la probabilidad de regresar al origen es 1. Determinar f (n) i,j. b) Si una partícula se mueve entre los puntos de coordenadas enteras de un plano, con probabilidad 1/4 de saltar una unidad en cada dirección, determinar la probabilidad de estar en el origen en la etapa n. Probar que el número esperado de visitas al origen es infinito y concluir que la probabilidad de regresar al origen es 1. Sigue siendo ello cierto en el espacio de tres dimensiones?

4 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 4 Problema 4. Dada la cadena de Markov de espacio de estados E = {0, 1, 2,...} y probabilidades de transición: probar que es recurrente nula. p k,0 = 1 k + 2, p k,k+1 = k + 1 k + 2

5 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 5 Problema 5. Dada la cadena de Markov de espacio de estados E = {0, 1, 2,...} y probabilidades de transición: p k,0 = k + 1 k + 2, p k,k+1 = 1 k + 2 probar que es recurrente positiva y determinar la distribución estacionaria.

6 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 6 Problema 6. Dos monedas tienen probabilidades p 1 y p 2 de cara respectivamente, ambas desconocidas. Para decidir cuál de las probabilidades es mayor, se adopta el siguiente criterio: Se lanzan ambas simultáneamente hasta que el número de caras de la primera supere en tres al de la segunda o bien el número de caras de la segunda supere en tres al de la primera; en el primer caso se decide p 1 > p 2 y en el segundo p 1 < p 2. a) Determinar, en función de p 1 y p 2, la probabilidad de tomar la decisión equivocada. b) Determinar, en función de p 1 y p 2, el número medio de lanzamientos antes de tomar la decisión.

7 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 7 Problema 7. Una sucesión se define por el procedimiento siguiente: X 0 = 1 ; cuando se conoce X n, se elige al azar una cifra entre 0 y 9, se multiplica por X n y se suman sus cifras hasta obtener una única cifra: X n+1. a) Plantear una cadena de Markov que describa la sucesión X n y proponer la máxima reducción posible. b) Determinar la probabilidad de que la sucesión contenga algún 9. c) Determinar el número medio de treses que contiene la sucesión. d) Si cuando X n = 0 se define X n+1 = 1, calcular la proporción de veces que cada cifra aparece en la sucesión.

8 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 8 Problema 8. De una urna que contiene 3 bolas distintas se realizan extracciones sucesivas con reemplazamiento. Sean: M = número de extracciones realizadas hasta que los tres últimos resultados sean distintos entre sí. N = número de extracciones realizadas hasta que entre los tres últimos resultados no haya dos seguidos iguales. a) Determinar E[M] b) Determinar la distribución de N. c) Hallar la distribución del número de veces que la sucesión de resultados acaba en dos iguales antes de la primera vez que acaba en tres distintas.

9 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 9 Problema 9. Una sucesión de cifras se construye por el siguiente procedimiento: X 0 = 8 ; cuando se conoce X n, X n+1 se elige al azar (si ha lugar) entre las cifras de X 2 n. a) Plantear una cadena de Markov que describa la evolución X n, poniendo atención en reducirla lo más posible. b) Determinar la probabilidad de que la sucesión contenga algún 4. c) Determinar el número medio de cuatros que contiene la sucesión. d) Si cuando X n = 1 se define X n+1 = 8, calcular el tiempo medio que tarda en aparecer el segundo 8.

10 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 10 Problema 10. Una persona ha decidido plantar un árbol cada año y tiene probabilidad p de que sobreviva al año siguiente. Por otra parte, cada árbol de edad superior a un año tiene probabilidad r de secarse a lo largo de un año. Calcular: a) El número medio de árboles que tendrá al cabo de n años. b) La probabilidad de que al cabo de n años no quede ningún árbol.

11 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 11 Problema 11. Dos jugadores tienen dos urnas A y B con proporciones respectivas p y q de bolas blancas (p + q = 1) y el resto negras. Se hacen extracciones con reemplazamiento de acuerdo con las siguientes reglas: La primera extracción se hace de A y a continuación cada bola se extrae de A si la anterior fue negra, o de B si la anterior fue blanca. Por otra parte, cada vez que aparece bola blanca, el primer jugador recibe una moneda del segundo y, cada vez que aparece bola negra, el primero paga una moneda al segundo. Supuesto que el primer jugador dispone de i monedas y el segundo de a i, determinar la probabilidad de ruina de cada uno y el tiempo medio que tarda en producirse la ruina de alguno de ellos.

12 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 12 Problema 12. Una partícula se mueve sobre los vértices de un polígono regular de N lados, pudiendo en cada etapa saltar al vértice siguiente (en el sentido de las agujas del reloj) con probabilidad p, o bien al anterior con probabilidad 1 p. Se considera que la partícula realiza un ciclo si el primer regreso a la situación de partida lo hace desde el vértice contrario al que ocupó tras el primer salto. a) Hallar la probabilidad de que la partícula realice un ciclo. b) Hallar el número esperado de visitas a un estado k antes de la primera visita al otro estado j. c) Determinar el número medio de etapas que se tarda en alcanzar el estado j.

13 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 13 Problema 13. De una urna que contiene 6 bolas diferentes, una de las cuales es roja, se realizan extracciones sucesivas con reemplazamiento. Determinar: a) El número medio de extracciones hasta que o bien aparece la bola roja o bien han aparecido las otras 5 bolas. b) La distribución del número de bolas distintas aparecidas antes de que se obtenga por primera vez la bola roja.

14 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 14 Problema 14. De una urna que contiene 5 bolas diferentes se realizan extracciones sucesivas con reemplazamiento. Determinar: a) El número medio de extracciones necesarias para obtener 5 bolas consecutivas distintas. b) La probabilidad de que se produzcan 5 resultados consecutivos distintos antes de que se produzcan dos resultados consecutivos iguales.

15 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Primera Prueba. 15 Problema 15. Una urna contiene inicialmente 2 bolas blancas. En cada etapa, se lanza una moneda y se introduce en la urna una bola blanca, si sale cara, y una bola negra si sale cruz; después, se extrae una bola al azar de la urna. Las bolas extraídas se van colocando en fila. a) Hallar la distribución del número de bolas blancas que hay en la urna tras n etapas. Cuál es la distribución límite? b) Hallar el número medio de bolas blancas entre las N primeras de la fila. Supongamos ahora que el mismo mecanismo, se aplica en una urna en la que hay inicialmente tres bolas blancas. c) Determinar el número medio de etapas necesarias para que, por primera vez, la urna contenga tres bolas negras. d) Determinar la distribución del número de veces que la urna contendrá sólo bolas negras, antes de que la urna vuelva a contener sólo bolas blancas.

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