Luego es más probable obtener una vez un seis doble en 24 tiradas que obtenerlo al menos una vez. En cambio para 25 tiradas cambian las cosas pues:

Transcripción

1 PROBABILIDAD 0. Introducción Cierto día del año 654, Blaise Pascal ( ) matemático francés, hacía un viaje en compañía de un jugador más o menos profesional conocido como el caballero de Meré, quien era una persona apasionada por todo lo relacionado con el juego de los dados y las cartas, siendo además un hombre noble e ilustrado. Este caballero creía que había encontrado una "falsedad" en los números al analizar el juego de los dados, observando que el comportamiento de los dados era diferente cuando se utilizaba un dado que cuando se empleaban dos dados. La "falsedad" partía simplemente de una comparación errónea entre las probabilidades de sacar un seis con un solo dado o de sacar un seis con dos dados. Para el caballero debía existir una relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para conseguir el efecto deseado en uno y otro caso. El problema estaba en que el citado caballero no tuvo en cuenta que en el segundo caso estaba analizando una probabilidad compuesta en donde las distintas probabilidades se deben calcular multiplicativamente. Este y otros problemas planteados por el caballero a Pascal sobre cuestiones relacionadas con diferentes juegos de azar, dieron origen a una correspondencia entre el propio Pascal y algunos de sus amigos matemáticos, sobre todo con Pierre de Fermat (60-665) de Toulouse, abogado de profesión, pero gran amante de las matemáticas. Esta correspondencia constituye el origen de la teoría moderna de la probabilidad. En una carta de Pascal a Fermat, en la que narraba la anécdota anteriormente mencionada, concluía que "el caballero de Meré tiene mucho talento, pero no es geómetra; esto es, como sabéis un gran defecto" (carta del 29 de julio de 654). Otro de los problemas famosos planteados por el caballero a Pascal fue resuelto por éste y Fermat tras el carteo de manera independiente, llegando ambos a la misma solución: En una partida de dados intervienen dos jugadores y apuestan 32 doblones de oro cada uno, eligiendo un número diferente, gana el juego el primero que obtenga tres veces el número que eligió. Después de un rato de juego, el número elegido por el primer apostador ha salido dos veces mientras el otro jugador sólo una vez ha acertado, en este instante la partida debe suspenderse. Cómo dividir los 64 doblones de oro apostados? En qué proporción ha de ser compensado cada jugador? En la correspondencia que siguió a este problema, tanto Pascal como Fermat estuvieron de acuerdo en que el primer jugador tiene derecho a 48 doblones de oro. Veamos también el último de los problemas históricos (al ser su solución parte del inicio de la probabilidad actual) que propuso Meré y resolvieron Pascal y Fermat: El juego consistía en lanzar 24 veces un par de dados y el problema era decidir si es lo mismo apostar a favor o en contra de la aparición de por lo menos un seis doble. Solución: A= {No sacar un seis doble en una tirada de dos dados}, P(A)=35/36 35 P(A y A y A 24 veces.y A)= 36 Este número vale y por tanto la probabilidad del suceso contrario será - P(A y A.24 veces y A)= = Luego es más probable obtener una vez un seis doble en 24 tiradas que obtenerlo al menos una vez. En cambio para tiradas cambian las cosas pues:

2 35 - = Experimentos aleatorios Espacio muestral y sucesos. Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no se puede predecir el resultado y de ellos se trata aquí. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles resultados es un suceso elemental. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman. Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que es el mismo espacio muestral. EJEMPLOS: a) Tirar una moneda E { C, } b) Tirar un dado E {,2,3,4,5,6 } c) Al tirar una moneda y un dado, una forma de representar el espacio muestral es: E {( C,);( C,2),( C,3);...,(,5),(,6)} e) d) Al tirar tres monedas (o una moneda tres veces) el espacio muestral es: 2

3 e) Tirar dos dados y sumar los resultados E {2,3,4,5,6,7,8,9,0,,2} f) Tenemos una urna con una bola blanca, una verde y una roja. Si sacamos una bola al azar E { B, V, R} Si sacamos dos bolas al azar con reemplazamiento E { BB, BR, BV, RB, RR, RV, VB, VR, VV} Sin reemplazamiento: E { BR, BV, RB, RV, VB, VR, } OPERACIONES CON SUCESOS El suceso contrario a uno dado A, está formado por todos los sucesos del espacio muestral que no están en A. Es el que ocurre cuando no sucede A y se indica Ā. El suceso contrario del seguro es el suceso imposible, que no se verifica nunca, se indica con Ø. Con los sucesos de un experimento aleatorio se pueden realizar distintas operaciones. Dados dos sucesos A y B: La unión de A y B, AUB, es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Ocurre cuando sucede A ó sucede B ó ambos. La intersección, A B, es el suceso formado por los sucesos elementales comunes a A y B. Se verifica cuando ocurren A y B a la vez. La diferencia de A y B, A-B, es el suceso formado por los sucesos elementales de A que no están en B. Ocurre si sucede A pero no B. EJEMPLOS: a) Tirar un dado E {,2,3,4,5,6 } A= sacar par B= sacar número primo A { 2,4,6} B {2,3,5} A B {2} A B {2,3,4,5,6} A {,3,5} B {,4,6} b) Tirar dos dados: E {(,),(,2),...,(6,5),(6,6)} A= sacar 2 B= sacar 4 A {(,)} B {(,3),(3,),((2,2)} c) Si sacamos dos bolas al azar con reemplazamiento E { BB, BR, BV, RB, RR, RV, VB, VR, VV} A= sacar al menos una bola roja B= sacar bola una bola verde A { BR, RB, RR, RV, VR} B { BV, RV, VB, VR} A B { RV} 3

4 d) Propiedades de las operaciones con sucesos La unión e intersección de sucesos y el suceso contrario cumplen: La unión de un suceso y su contrario es el suceso seguro; la intersección es el suceso imposible. El contrario de A es A : A A El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. El contrario de la intersección es la unión de los contrarios. Sucesos compatibles e incompatibles En un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y sucesos que no. Dos sucesos se dicen compatibles si tienen algún suceso elemental común. En este caso A B Ø, pueden ocurrir a la vez. Dos sucesos se dicen incompatibles si no tienen ningún suceso elemental común, en este caso A B=Ø y no pueden ocurrir a la vez Un suceso y su contrario son siempre incompatibles, pero dos sucesos incompatibles no siempre son contrarios, como se puede ver en el ejemplo: 4

5 2. Probabilidad de un suceso. La regla de Laplace Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles). Este resultado se conoce como regla de Laplace. Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables. Ejemplo: Extraemos una carta de una baraja de 40: P(bastos)=0/40=0, P(as)=4/40=0, P(as de bastos)=/40=0,0 Frecuencia y probabilidad Con la regla de Laplace podemos calcular la probabilidad de un suceso en experimentos regulares, pero si la experiencia es irregular o desconocemos la probabilidad de cada uno de los posibles resultados entonces es preciso recurrir a la experimentación. Como sabes la frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparece cuando se repite un experimento aleatorio, y la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida por el número de veces, n, que se repite el experimento aleatorio. Cuando este número n es muy grande, la frecuencia relativa con que aparece un suceso tiende a estabilizarse hacia un valor fijo. Este resultado, conocido como ley de los grandes números, permite definir la probabilidad de un suceso como ese número hacia el que tiende la frecuencia relativa al repetir el experimento muchas veces. x)=0,002x+0,05 Propiedades de la probabilidad Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se cumple que: La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y. La probabilidad del suceso seguro es y la del suceso imposible 0. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles A y B es: P(AUB)=P(A)+P(B). Y de éstas se deduce además que: La probabilidad del contrario es P(A)=-P(A) La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B) 5

6 3. Experimentos compuestos Regla de la multiplicación Un experimento compuesto es el que está formado por varios experimentos simples realizados de forma consecutiva. Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas ocasiones, hacer un diagrama de árbol que represente todas las opciones. Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. Observa en el ejemplo cómo construir un diagrama de árbol. Si te fijas en el ejemplo anterior, al indicar la probabilidad de cada rama del camino, se obtiene la probabilidad de cada suceso compuesto calculando el producto de los respectivos sucesos simples. Para calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se multiplican las probabilidades de los sucesos simples que lo forman. EJEMPLOS:. Tiramos una moneda tres veces seguidas, cuál es la probabilidad de obtener tres caras? P( C C C )= 2 o utilizando la regla de Laplace P( C C C )= En una urna tenemos 3 bolas negras y dos rojas. Sacamos dos bolas. a) Calcula la probabilidad de que las dos sean rojas. b) Calcula la probabilidad de que una sea roja y la otra negra. c) Calcula la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda roja. d) Calcula la probabilidad de que las dos sean del mismo color. a) b) 2 2 P ( R R ) P( R N2 ) P( N R2 )

7 c) d) 2 3 P ( N R ) P ( R R2 ) P( N N2 ) Extracciones con devolución y sin devolución Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracción sucesiva de cartas o de bolas de una urna,... en estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacar la siguiente o no. EJEMPLOS:. Sacamos sucesivamente dos cartas de una baraja de 40, cuál es la probabilidad de que las dos sean de copas? CON DEVOLUCIÓN: 0 0 P ( C C) SIN DEVOLUCIÓN: 0 9 P ( C C)

8 Probabilidad condicionada Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. Los sucesos "el día está gris" y "llevar paraguas" influyen entre sí. Los sucesos estudiar y aprobar, son sucesos que se favorecen; cuando se estudia, aumenta la probabilidad de aprobar. La probabilidad de que ocurra un suceso B cuando está ocurriendo otro, A, se llama condicionada, y se expresa P(B/A). Dados dos sucesos, se dice que son independientes si la presencia del uno no influye en la probabilidad del otro, es decir, si P(B/A)=P(B); en caso contrario son dependientes. A y B independientes: P(B/A)=P(B) y al tener en cuenta la formula anterior para P(B/A), A y B independientes: P(A B)=P(A) P(B) NOTA: PRINCIPALMENTE UTILIZAREMOS DOS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS: LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y LAS TABLAS DE CONTINGENCIA O DE DOBLE ENTRADA. 8