UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS PERIODO: 2015-A

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1 UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS PERIODO: 2015-A Asignatura: Electiva: Sistemas Dinámicos Código: Semestre: I Descripción: Teórica Profesor: Héctor Andrés Granada Díaz hagranadad@ut.edu.co Intensidad Horaria por actividad académica y número de créditos Presencial por semana Individual por semana Total Semestre N. Créditos MISIÓN INSTITUCIONAL La Universidad del Tolima es una institución de educación superior de carácter público que fomenta el desarrollo de capacidades humanas para la formación integral permanente, apoyada en valores éticos de tolerancia, respeto y convivencia mediante la búsqueda incesante del saber, la producción y la apropiación y divulgación del conocimiento en los diversos campos de la ciencia, el arte y la cultura, desde una perspectiva inter y transdisciplinar, como aporte al bienestar de la sociedad, al ambiente y al desarrollo sustentable de la región, la Nación y el mundo. PRESENTACIÓN DE LA PROPUESTA ACADÉMICA DE ASIGNATURA La propuesta académica de la asignatura de Sistemas Dinámicos busca desarrollar competencias interpretativas, argumentativas y propositivas en los estudiantes del programa de Maestría en Matemáticas en el análisis cualitativo y no lineal de los sistemas dinámicos para lo que se hace necesario el uso de métodos numéricos que permitan solucionar diversos problemas de las matemáticas. El trabajo de los estudiantes se realizará de forma autónoma desarrollando destrezas, habilidades y capacidades humanas en el análisis e interpretación de los sistemas dinámicos discretos, continuos, lineales, no lineales, autonomos y no autonomos con el propósito de caracterizar los conjuntos invariantes, la estabilidad y bifurcaciones que se puedan presentar para que posteriormente le posibiliten un avance claro y preciso de su conocimiento aplicable a diversos problemas. 1

2 JUSTIFICACIÓN La Teoría de sistemas dinámicos es uno de los temas de mayor crecimiento desde los trabajos de Poincaré y Birkhoff en el siglo XX. Esta teoría abarca una gran variedad de técnicas matemáticas lo que permite interactuar con otras disciplinas y resolver problemas de física, biología, ecología, economía, ingeniería y ciencias de la computación. PRERREQUISITOS Álgebra Lineal, Programación, Análisis Numérico, Análisis vectorial, Ecuaciones diferenciales. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA OBJETIVO GENERAL: Introducir al estudiante en el estudio de la computación científica y de los sistemas dinámicos enfatizando en la fundamentación, aplicación y en la implementación de algoritmos que permitan interpretar, analizar y resolver sistemas dinámicos discretos y continuos. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Conceptuales (Saber) (a) Resaltar la importancia de los sistemas dinámicos en la solución de problemas aplicados. (b) Implementar algoritmos que permitan interpretar y analizar los sistemas dinámicos con el software MATLAB. (c) Identificar las bifurcaciones que un sistemas puede presentar. (d) Justificar con conceptos los argumentos que se llevan a cabo en las demostraciones de los teoremas referentes a los sistemas dinámicos. (e) Analizar diversos sistemas dinámicos. (f) Abstraer las propiedades más relevantes de cada Sistema dinámico. (g) Analizar e interpretar los resultados obtenidos del ordenador. 2

3 2. Procedimentales (Saber Hacer) (a) Aplicar teoremas de estabilidad para el análsis de los sistemas dinámicos. (b) Aplicar los sistemas dinámicos en la solución de problemas. (c) Comprobar la eficiencia de los métodos numéricos. (d) Calcular soluciones de sistemas de ecuaciones ODEs y ADEs. (e) Programar en el software MATLAB. (f) Formular hipótesis y plantear conjeturas. (g) Definir diferentes tipos de problemas. (h) Proponer algoritmos. (i) Explorar ejemplos y contraejemplos. (j) Demostrar la validez de teoremas y proposiciones. (k) Utilizar el software MATLAB para facilitar actividades que conllevan a la solución de problemas. 3. Actitudinales (Ser) (a) Percibir la matemática como una disciplina que responde a las necesidades de resolver problemas prácticos y teóricos formando así buenos hábitos de trabajo y estudio. (b) Valorar el desempeño individual y autónomo de las tareas para conseguir los objetivos. (c) Generar interés por el estudio de los sistemas dinámicos y sus aplicaciones. (d) Reflexionar sobre cómo los conocimientos adquiridos en la asignatura de sistemas dinámicos dinamizan el conocimiento. (e) Reforzar los conocimientos necesarios para abordar adecuadamente los conceptos que se estudian en la asignatura. (f) Promover la creatividad, imaginación, confianza, honestidad, el respeto, la solidaridad, la seguridad, la inventiva, liderazgo, responsabilidad, tolerancia, autoestima, la crítica y la excelencia como valores fuente del desempeño académico. 3

4 COMPETENCIAS Y ACCIONES A DESARROLLAR 1. COMPETENCIAS: (a) Interpretativas (b) Argumentativas (c) Propositivas (d) Programáticas. 2. ACCIONES Y HABILIDADES: (a) Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. (b) Capacidad para aplicar los conocimientos en la práctica. (c) Capacidad para organizar y planificar el tiempo. (d) Conocimientos sobre el área de estudio y la profesión. (e) Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente. (f) Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de diversas fuentes. (g) Capacidad crítica y autocrítica. (h) Capacidad para actuar en nuevas situaciones. (i) Capacidad creativa. (j) Capacidad para identificar, planear y resolver problemas. (k) Capacidad para tomar decisiones. (l) Capacidad de trabajo en equipo. (m) Habilidades interpersonales. (n) Capacidad de motivar y conducir hacia metas comunes. (o) Habilidad para trabajar en forma autónoma. (p) Compromiso ético. (q) Compromiso con la calidad. (r) Capacidad de investigación. 4

5 Estas competencias y acciones se llevarán a cabo mediante el planteamiento, diseño y desarrollo de una situación problemática, planteada desde el quehacer profesional como un proyecto de investigación y así fomentar el espíritu científico e investigativo. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS QUE CONTRIBUYEN AL LOGRO DE LOS OBJETIVOS Y DE LAS COMPETENCIAS El desarrollo del curso se llevará a cabo mediante la modalidad de seminario de investigación de acuerdo a acta curricular del programa, se tendrán presente las siguientes estrategias metodológicas: De acompañamiento directo al estudiante: 1. Exposición magistral. 2. Desarrollo de talleres o ejercicios de aplicación. 3. Desarrollo de técnicas de trabajo grupal. 4. Asesoría directa a los estudiantes. 5. Lectura e interpretación dirigida de textos de referencia bibliográfica. De trabajo independiente del estudiante: 1. Revisión de lecturas complementarias e investigación bibliografica. 2. Solución de problemas propuestos en forma individual y/o grupal. 3. Consulta e investigación, organización de información, análisis de temas específicos. 4. Consultas a través de Internet. 5. Realización de un proyecto. 6. Exposición de teoría y proyecto. 7. Implementación de algunos métodos numéricos en MATLAB. 8. Sometimiento de un artículo referente a lo realizado en el proyecto. RECURSOS Instalaciones de la Universidad del Tolima, Aulas B33-302, B y Sala de computo de estadística, computadoras personales, Internet y software MATLAB. 5

6 EVALUACIÓN Los procesos de evaluación se realizarán según el cronograma y la normativa de la Universidad del Tolima, del cual quedará acta mediante el acuerdo pedagógico. Sin embargo se propone la siguiente forma de evaluar: 1. Exposición teórica (20%) 2. Seguimiento del proyecto investigativo (20%) 3. Sustentación del proyecto Investigativo (50%) 4. Sometimiento de artículo (10%). CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA 1. Introducción a los Sistemas Dinámicos (3 semanas) 1.1. Definición de Sistema dinámico Espacio de Estados Sistemas discretos Sistemas Continuos Técnicas Numéricas. 2. Sistemas Lineales (4 semanas) 2.1. Una dimensión a tiempo discreto 2.2. Una dimensión a tiempo Continuo 2.3. R n a tiempo discreto 2.4. R n a tiempo Continuo 2.5. Sistemas no diagonalizables Técnicas Numéricas. 3. Sistemas No Lineales (4 semanas) 3.1. Puntos Fijos Estabilidad. 6

7 3.3. Linealización Funciones de Lyapunov Sistemas Gradiente Técnicas Numéricas. 4. Periodicidad y Caos (4 semanas) 4.1. Tiempo Continuo Bifurcaciones en STC Sistemas discretos Estabilidad de puntos periodicos Bifurcaciones en STD Caos Técnicas Numéricas. BIBLIOGRAFÍA 1. D. Kincaid, W. Cheney. Análisis Numérico. Las matemáticas del cálculo científico. Addison, Wesley Iberoamericana, John.H. Mathews, Kurtis D. Fink, Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, Madrid Edward R. Scheinerman. Invitation to Dynamical Systems. Department of Mathematical Sciences The Johns Hopkins University. 4. Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems. Springer. 5. Steven H. Strogatz, Studies in Nonlinearity: Nonlinear Dynamics and Chaos with applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. perseous books, Massachusetts. 6. Morris W. Hirsch and Stephen Smale. Differencial Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, University of California. 7. Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert L. Devaney. Differencial Equations, Dynamical Systems, and An Introduction to Chaos, Elsevier. 7

8 8. Thomas S. Parker, Leon O. Chua, Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems, Springer. 9. Willy J.F. Govaerts, Numerical Methods for Bifurcations of Dynamical Equilibria, SIAM. 10. Guckenheimer, J. Holmes, P.J. Nonlinear Oscillatons, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York Yuri A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer. 8