UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES GUÍA N 11 CÁLCULO I. Profesor: Carlos Ruz Leiva DERIVADAS. Derivadas de orden superior. Ejemplos

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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS Profesor: Carlos Ruz Leiva GUÍA N CÁLCULO I DERIVADAS Derivaas e oren superior Ejemplos Hallar las siguientes erivaas f ( ) para f ( ) 5 La primera erivaa es ) 0 6 La seguna erivaa es f ( ) 60 6 f ( ) para f ( ) La primera erivaa es ( )() ( )( ) ) ( ) ( ) ( )( ) La seguna erivaa es f ( ) ( ) ( ) para y

2 La primera erivaa es ( ) La seguna erivaa es ( ) para y a La primera erivaa es a La seguna erivaa es a La tercera erivaa es La cuarta erivaa es a a 5 para y + ( ) La primera erivaa es ( + ) () 9( + ) La seguna erivaa es 8( + )() 5( + ) La tercera erivaa es 6 + 6

3 ( )() ( )( + ) La primera erivaa es ( ) ( ) ()( )( ) La seguna erivaa es ( ) ( ) 7 + Poemos erivar e afuera hacia entro Seguimos erivano ( + ) + ( + ) Seguimos erivano ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ()( + ) + 6 ( + ) ( + ) 6 + ( + ) ( + 6 ( ) ) + ( + ) 8 para f ( ) sen La primera erivaa es La seguna erivaa es sen + sencos sen + sen cos + 8sen cos + cos sen sen + sen cos + cos sen

4 9 f ( ) para f ( ) e cos Primera erivaa Seguna erivaa ) e cos e sen - f ( ) e cos + 6e sen + 6e sen 9e cos f ( ) 5e cos + e sen Tercera erivaa f ( ) 0e cos + 5e sen e sen + 6e cos f ( ) 6e cos 9e sen Ejercicios Hallar las erivaas siguientes para cos y para y ln ( ) para y + a para y + a 5 f ( ) para f ( ) (5 ) 6 ) para + f ( ) [( ) ] Verifique sus respuestas usano Maple, como por ejemplo La solución e, es: + > f:/(+); f : +

5 > iff(*iff(f,$),); 6 ( + ) ( + ) > simplify(%); + ( + ) Derivaas e funciones inversas Sean f y g iferenciables, con g f la función inversa e f Entonces ( f g)( ) ( g f )( ) La erivaa e la composición e funciones es ( f g) ( ) g( )) g ( ) Luego, la erivaa e la función inversa g f, es: g ( ) ( f ( )), si f ( )) 0 g( )) f ( )) Ejemplos: Como f y n ( ), es inyectiva para > 0 f ( ) / n su inversa Entonces, la erivaa e la función f ( ) / n es (/ n) ( )) n / n n / n ( f n( f ( )) n( ) n n

6 π π Como f ( ) sen tiene, en el intervalo, su inversa f ( ) arcsen Entonces, f ( )) f ( )) cos( f ( )) cos(arcosen) ( Con α arcosen, tenemos que senα Luego, cos( arcosen) cosα, como muestra la figura Por lo tanto, ( f ( )) cos(arcosen) En resumen ( f ( )) (arcsen) La inversa e la función f ( ) e, es f ( ) ln, > 0 Su erivaa, es ( f ( )) ln f ( )) e En resumen ( f ( )) (ln), > 0 La función y arctan, ], + [ es la inversa e la función y tan, π π ], [ Ya que (tan ) sec nunca es cero, la inversa e la función tangente es cos iferenciable en toas partes Su erivaa se obtiene e tan(arctan )

7 Entonces, (tan(arcta n ) Por lo tanto sec (arctan ) (arctan ) Epresano la función secante en términos e la tangente, obtenemos ( + tan (arctan )) (arctan ) Es ecir, ( + ) (arctan ) En resumen (arctan ) + Derivar las siguientes funciones: y arctan( +) y arctan y arcsen y arcsen 5 5 arctan f ( ) e 6 u ( arcsen) 7 arctan y 8 f ( ) arctan 9 y arctan(ln ) 0 θ arcsen( - r ) a + r θ arctan f ( ) arcsen(5 - ) a ar Demuestre que: (a) (arcsec ), para > (b) (c) (arccos ), para 0 < < ( arc cot ) +, para > 0 () (arccosec), para > Usano Maple

8 > iff(arccsc(),); > simplify(%); El resultao es el mismo como puee verse Diferenciación e funciones implícitas Poemos obtener e la función y + y + 5 0, espejano la variable epeniente y, 5 y + ( + )() ( 5)( + ) y luego erivano,, obtener ( + ) ( + ) Otra forma e realizar esta operación, es erivar la epresión y + y + 5 0, suponieno que y es una función que epene e Esto es, y + y y + + y + 0 Despejano, obtenemos + 5 Reemplazamos y, en la epresión anterior Es ecir, Simplificano, se obtiene Esta ( + ) técnica se enomina iferenciación e funciones implícitas

9 Usano Maple, se obtiene: > iff(^*y()-*+*y()+50,); > solve(%,iff(y(),)); y( ) y( ) y( ) y( ) 0 y( ) + y( ) ( + ) Este proceimiento es muy útil cuano no se puee espejar la variable epeniente y e la epresión aa Ejemplos: Hallar, si 5 + y y 0 Solución: ( + 5y y ) (0) 6 + 5y + 5 y y y y ( 5 + y ) Hallar, si 5y y + Solución: Derivamos 5y + 5 y + 6 Despejamos 5y + 6 y 5 Derivamos nuevamente,

10 (5 + )(y 5) (5y + 6 )(6y 5), obtenemos: (y 5) (5 + )(y 5) (5y + 6 )(6y 5) (y 5) ( 5y 5 + y 6 y) + 6y 0 + 5y 0 (y 5) Reemplazamos 5y + 6 y simplificano, se obtiene: y 5 50 y 50y + 60y + y + 08y (y 5) + 00 y 6 y Usano Maple, tenemos: > iff(5**y()-y()^+*^*-,); 5 y( ) > :solve(%,iff(y(),)); y( ) y( ) y( ) 6 : 5 y( ) y( ) > iff(%%,); y( ) 5 y( ) 6 y( ) y( ) y( ) y( ) 0 > :solve(%,iff(y(),$)); : 5 + y( ) y( ) y( ) 6 5 y( )

11 > subs(iff(y(),),%); 5 y( ) + 6 y( )( 5 y( ) + 6 ) y( ) ( 5 y( ) ) 5 y( ) > simplify(%); ( 5 y( ) + 70 y( ) 50 0 y( ) + 08 y( ) 7 y( ) + y( ) 5 y( ) ) ( 5 y( ) ) Ejercicios: Hallar en función e e y por meio e la iferenciación e funciones implícitas + y ay 0 + y a + y + y + ay + y b Hallar la peniente en el punto inicao y 7 ; (,) 6 + y + y 8; (-,-) 7 Cuáles son los ángulos en que se cortan las parábolas y + p p y y p p? 8 Cuál es el ángulo en que corta la recta y a la curva y + y 8? 9 Demostrar que la hipérbola y 5 y la elipse + 9y 7 se cortan formano ángulos rectos Hallar en función e y y 0 + y 6 a + y + by

12 Epresar en función e y solamente + y y a Hallar las ecuaciones e las tangentes a la elipse + y 7 que pasan por el punto (,)