Opción A Ejercicio 1.-

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1 Soluciones modelo (Sepiembre de 009) Opción A Ejercicio.- ['5 punos] Se considera la función f: [, + ) R definida por f( ) -+. Deermina la asínoa de la gráfica Evidenemene, la función no iene asínoas vericales, ya que su dominio es [,+ ) Esudiemos la asínoa horizonal hacia la derecha, es decir, para ( + lim f() lim ) Luego, no hay asínoa horizonal para Para - la función no esá definida, por ano, no podemos calcular asínoas hacia la izquierda. La función puede ener una asínoa oblicua hacia la derecha: y m+ n f( ) m lim lim Inde. lim lim ( ) ( ) ( ) ( --)( -+) ( -+) n lim f()-m lim - +- lim -- Inde lim lim lim lim lim lim Luego la asínoa de la gráfica de la función es una asínoa oblicua hacia la derecha cuya ecuación es: y- Ejercicio. La curva y divide el recángulo de vérices A(0,0), B(,0), C(,) y D (0,) en dos recinos a) [0 75 punos] Dibujar dichos recinos b) [ 75 punos] Hallar el área de cada uno de ellos. a) b) El área del recángulo es Abh u a El área desde A hasa a limiada por la parábola y el eje OX será: A d 0 Para calcular a, igualamos la ecuación de la reca DC (y) a la de la parábola:

2 +, pueso que a es posiivo. Así: ( ) ( 0) A d Como 6- AA +A A A-A - u Por ano: A u 6- y A u u Ejercicio. +λy0 a) [ 75 punos] Discue según los valores λ el siguiene sisema: +λzλ +y+z b) [0 75 punos] Resuélvelo para λ0. +λy 0 λ 0 + λzλ A 0 λ Aλ -6λ0 λ0 y λ6 + y+z a) Por ano: Si λ 0 y λ 6, r(a)r(a*) nº de incógnias, luego el sisema será COMPATIBLE DETERMINADO Si λ0, r(a); A* ;r(a*)r r r(a)r(a*)< nº de incógnias, luego el sisema será COMPATIBLE INDETERMINADO Si λ6, r(a); A* ;r(a*)r ; r(a*) r(a) r(a*), luego el sisema será INCOMPATIBLE b) λ z y+ y- y- +y+z + y+z z Ejercicio 4. Considera el puno P(, 0, 0), la reca r definida por y z+ - y la reca s definida - por ( ) ( ) ( ), y, z,,0 +λ -,, 0 a) [ 5 punos] Esudia la posición relaiva de r y s b) [ 5 punos] Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s

3 y z+ A(,0,-) r:- - d(,,-) a) B(,,0) s: (,y,z ) (,,0 ) +λ (-,,0) d'(-,,0) - - r d,d',ab r 0 ; Como y recas son coplanarias, por lo que las recas se corarán en un puno. r d,d',ab y las, ( ) b)si el plano Pasa por P, su puno base será dicho puno. Si es paralelo a r y s, los vecores direcores de las recas serán ambién los del plano: P(,0,0) - - π ud(,,-) y 0 z+y+z+4(-)4+y+4z-40 vd'(-,,0) z - 0 Por ano: π +y+z-0 Opción B Ejercicio [ 5 punos] De enre odos los recángulos cuya área mide 6 cm, deermina las dimensiones del que iene diagonal de menor longiud 6 El área de ese recángulo es: A.y6 y Su diagonal, según el eorema de Piágoras esá dada por la epresión: d +y + + Ya que es un valor posiivo. Calculamos ahora la primera derivada de la función que hemos obenido y la igualamos a cero: d'() Luego: ± 6 ± 4, pero como > 0 +4 Para deerminar si enemos un valor máimo o mínimo para d, calculamos su derivada segunda: ' ' ( -6 ).(. +6 ) 4 ( ) ' ( ) ( ) 4 (. +6) 4-6 d''()

4 Como d''(4) > 0, para +4, la diagonal del recángulo iene un valor 4 ( ) 6 mínimo. Para ese valor de, y 4 ; luego el recángulo de área 6 que iene una 4 diagonal de menor longiud es un cuadrado de lado 4. Ejercicio. ['5 punos] Sea f la función definida por f( ) Halla la primiiva F de f que cumple F(0). (Sugerencia: Uiliza el cambio de variable ) Calculamos la inegral indefinida de la función dada (conjuno de odas sus primiivas), uilizando el cambio de variable propueso: 4 4 d 9 d d F( ) f() d d dd d d ( - ) 9 d arcsen+k arcsen +k Como: 6 F() arcsen + Por ano: 6 F(0) F(0) arcsen 0 +k0+kþk Ejercicio ['5 punos] Sean las marices: A - -,B yc Deermina la mariz X que verifica AX B C (B es la mariz raspuesa de B) AX-B C AXC+B ( ) Si eise A - XA - C+B - A Eise A A + A - - A adj( A ) A - - A + - A A + - A - - A

5 adj A A adj A A ; B 0 - ( ( )) ( ( )) XA ( C+B ) X Luego: Ejercicio 4. -y+0 y+0 Considera la reca r definida por y la reca s definida por +y-z-0 -z+0 a) [ 5 punos] Deermina la ecuación del plano que coniene a r y es paralelo a s b) [ puno] Eise algún plano que conenga a r y sea perpendicular a s?. Razona la respuesa.. Calculamos en primer lugar una deerminación lineal (vecor direcor y puno por el que pasa) de cada una de las recas. i j k -y+0 Reca r: d - 0 i+j+k (,,) ; 0 y z A(0,,) +y-z-0 - i j k y+0 Reca s: d' 0 0-4i-k (-4,0,-); y- ; z0 - B(-,-,0) -z d,, y su puno a) Si el plano coniene a r, uno de sus vecores direcores será ( ) base, A(,, 0 ). Si el plano es paralelo a s, el oro vecor direcor será d' ( 4, 0, ) Por ano, la ecuación del plano pedido es: -0-4 π y (y-)+4(z-)+(y-)--6y+4z+00 z- - π + y- z-5 0 b) Para que conenga a r, debe formar pare del haz de planos que conienen a r: -y++λ +y-z- 0 ( ) Luego el plano sería de la forma: ( ) (+λ)+(-+λ)y-λz+ -λ 0 y su vecor normal sería: n(+λ,-+λ,-λ)

6 Para que sea perpendicular a s, el vecor normal del plano y el direcor de la reca, han de ser linealmene dependienes, es decir, 4 0 rango( d ', n) rango + λ + λ λ Para ello: λ 0 λ + λ + λ 4 4λ+ + λ 0 λ + λ λ Como los valores de λ son disinos, los dos deerminanes nunca podrán ser cero simuláneamene, luego el rango no podrá ser. Por ano d' y n son siempre linealmene independienes y no eise ningún plano que conenga a r y sea perpendicular a s