RENDIMIENTO de TRANSFORMADORES

Transcripción

1 ENDMENTO de TANSFOMADOES Norberto A. Lemozy NTODCCÓN El conocimiento del rendimiento de cualquier máquina, disositivo o sistema tiene una gran imortancia or el valor económico que ello reorta, tanto desde el unto de vista del costo de oeración como del ambiental. En general el rendimiento de una máquina, normalmente indicado con la letra griega eta η, está dado or el cociente de las otencias de salida y de entrada: η otencia de salida otencia de entrada En el caso articular de los transformadores se está en resencia de una máquina de características excecionales: su rendimiento es muy elevado y requieren muy bajo mantenimiento; todo ello debido a su condición de máquina estática. En las máquinas eléctricas, como en otros casos también, ocurre que las de mayor otencia son las más eficientes. Esto se uede demostrar analizando cómo varían las érdidas y cómo lo hace la otencia de la máquina. En efecto tanto las érdidas en el hierro como las del cobre deenden, a igualdad de condiciones de diseño y materiales, de los resectivos volúmenes de hierro V y cobre V, es decir del cubo de las dimensiones lineales: ( + ) V h k h f B n máx π a + 6ρ f B máx V [W] () Donde: h érdidas or histéresis [W/m 3 ]. érdidas or corrientes arásitas [W/m 3 ]. k h Constante del material magnético. f Frecuencia [Hz]. B máx Valor máximo de la inducción magnética [T]. n Exonente de Steinmetz. a Esesor de las chaas del núcleo [m]. ρ esistividad de las chaas del núcleo [Ωm]. ρ esistividad del cobre [Ωm]. J Densidad de corriente [A/m ]. or otro lado la otencia aarente de la máquina vale: ρ J V [W] () S 3 [VA] (3) Como en la mayoría de los casos la diferencia entre la tensión y la fuerza electromotriz inducida E es muy equeña, se uede oner:

2 S 3 E π 3 f N S B máx J S [VA] (4) Aquí también a igualdad de condiciones de diseño y de materiales, la fuerza electromotriz inducida deende de la sección del núcleo y la corriente de la sección del conductor; or lo tanto la otencia aarente es función de las dimensiones lineales a la cuarta otencia. Entonces a medida que aumentan las dimensiones de la máquina, crece más ráidamente su otencia que sus érdidas y or lo tanto mejora su rendimiento. Lamentablemente no todo es tan sencillo y en las máquinas de gran otencia aarecen otros factores que comlican su funcionamiento, or ejemlo la forma de evacuar el calor que roducen las érdidas ara mantener la temeratura de oeración dentro de los límites admitidos or los materiales aislantes. DETEMNACÓN DEL ENDMENTO. Medición directa na forma de obtener el rendimiento de una máquina es medir las otencias absorbida, la de salida y realizar su cociente: η (5) En la figura se muestra esquemáticamente un osible circuito ara hacer esas mediciones: ed de CA A W V V W A Carga Transformador Fig.. Determinación directa. Si bien en un transformador ambas otencias son eléctricas y or lo tanto fáciles de medir, se resentan otros roblemas. Los transformadores son máquinas que se construyen ara otencias muy grandes y uede resultar imosible disoner tales otencias en los laboratorios, lo mismo que las cargas donde disiarlas. Este roblema se resenta aún en los transformadores de distribución, que si bien son de otencias menores, son los más utilizados. n roblema adicional aarece en el cálculo de la otencia de érdidas er que resulta de la diferencia de dos magnitudes róximas entre sí y al hacer la roagación de errores, el resultado uede quedar con un error relativo inadmisible. n ejemlo numérico uede aclarar la situación: suóngase que las otencias valen kw y 95 kw lo que daría un rendimiento del 95% y una otencia de érdidas de 5 kw. Si cada una de las otencias se mide con un error relativo de aroximadamente %, es decir kw, la otencia indicada or el wattímetro de la entrada estaría comrendida entre los valores: Y la otencia entre: 99 kw

3 94 96 kw Si la mala suerte hace que uno de los wattímetro indique or defecto y el otro or exceso, la otencia de érdidas resultaría entre los valores: kw Entonces, resecto del valor exacto de 5 kw resultaría: er 5 ± 5 ± 4% kw er Error excesivamente alto y que invalida la medición. Lo anterior es absolutamente cierto y uede ocurrir toda vez que se hace una determinación como diferencia de dos magnitudes con valores róximos entre sí. Otro inconveniente de la determinación anterior es que no se sabe qué valor le corresonde a cada una de las érdidas or searado.. Determinación a artir del circuito equivalente Como en el caso del transformador el circuito equivalente es un modelo que se aroxima mucho a la realidad y sus arámetros se ueden determinar con facilidad y exactitud, aún en unidades de gran otencia, es referible determinar el rendimiento a artir del mismo, que es la forma indicada en las normas y or lo tanto se denomina convencional. El rendimiento se uede exresar como: En un transformador monofásico esas otencias valen: η (6) er (7) r (8) e (9) Donde generalmente es el valor nominal n que es constante; la corriente y el factor de otencia cos ϕ definen la carga ara la cual se quiere calcular el rendimiento, es decir se eligen. Como se está trabajando con magnitudes del secundario, los arámetros r e y deben estar referidos a ese arrollamiento. eemlazando resulta: η + r Si se reresenta el rendimiento, en función de la corriente de carga ara distintos valores de factor de otencia, resultan curvas como las de la figura, a las que les corresonde cos ϕ igual e + () 3

4 a y,7. Éstas, como todas las curvas de rendimiento, salen de cero, asan or un máximo y luego tienden asintóticamente a cero. Como es común en la ráctica corriente de máquinas eléctricas, se uede calcular el rendimiento utilizando valores en tanto or uno (u). La exresión () también es válida si se onen todas sus magnitudes y arámetros en tanto or uno; si además la tensión de salida se toma como la nominal: [ ] () n y además se recuerda que en condiciones nominales resulta: [ ] [ ] [ ] r () e cc [ ] [ ] G (3) Como la tensión secundaria del transformador varía muy oco con la carga, la otencia aarente de salida, que a veces se la indica como carga k, en or unidad, resulta rácticamente igual a la corriente de salida, también en or unidad: eemlazando en la exresión () queda: k [ ] S [ ] [ ] (4) nn n η (Todo en u) (5) + cc + Forma muy cómoda ya que utiliza las otencias medidas en los ensayos en cortocircuito y en vacío en u.,,,8,6,4 cos, cos,7 fe cu,,,,5, Fig.. endimiento y érdidas en función de la carga en u. En la exresión () se suone que tanto las érdidas en el cobre como las del hierro varían cuadráticamente con la corriente y con la tensión de salida resectivamente, otro tanto ocurre en la exresión (5) donde además a la tensión se la consideró constante e igual a la nominal. Esto 4

5 equivale a utilizar circuitos equivalentes aroximados ara la determinación de las érdidas. Los valores de rendimiento así obtenidos difieren muy oco de los reales del transformador y, ara la mayoría de las alicaciones, no se justifica erfeccionar su determinación. Si además, la otencia de cortocircuito se exresa a la temeratura normalizada, or ejemlo 75 C ara los transformadores en aceite, al rendimiento calculado de esa forma se lo denomina convencional es decir de acuerdo a una norma establecida de común acuerdo entre las artes interesadas..3 endimiento máximo La ubicación del máximo de rendimiento es imortante ya que conviene que el transformador trabaje la mayor arte del tiemo cerca de ese unto. ara hallar ese máximo hay que hacer la derivada de la exresión () o de la (5) e igualarla a cero. ara simlificar el roceso conviene dividir esas exresiones or la corriente, y luego hallar el mínimo de su denominador, haciendo su derivada e igualándola a cero. artiendo de la exresión () resulta: De donde: d d η + r e + (6) denominador) re (7) ( re (8) Es decir que el máximo del rendimiento se roduce cuando las érdidas en el cobre (cuadráticas) son iguales a las del hierro (constantes). La corriente de carga que roduce esta condición se obtiene desejándola de la ecuación (7): η (9) r e eemlazando este valor en la exresión () o (6) se obtiene el valor del rendimiento máximo: η ηmáx re + () η + En el ejemlo mostrado en la figura el máximo de rendimiento ocurre al 8,65 % de la carga nominal del transformador. Dado que en diseño del transformador se ueden variar los valores de las érdidas, el fabricante uede hacer que el rendimiento máximo del transformador se roduzca en el valor de carga más conveniente. rocediendo a artir de la exresión (5) se llega a: [ ] η () cc 5

6 η máx η η + + cc (Todo en u) () La conclusión obtenida más arriba, que el rendimiento máximo ocurre cuando las érdidas cuadráticas son iguales a las érdidas constantes, es válida aún cuando se tengan érdidas de variación lineal. Si bien estas érdidas no existen en los transformadores, ueden estar resentes en las máquinas rotativas, y resulta oortuno analizarlo. Suóngase el rendimiento de una máquina cuya otencia de érdidas tiene un término lineal: η + A + B + C C + A + B + Al hacer la derivada del denominador, ara hallar el máximo del rendimiento, el término lineal desaarece y el máximo ocurre cuando las érdidas cuadráticas son iguales a las constantes: 3 ENDMENTO CÍCLCO (3) A C (4) La imortancia del conocimiento del rendimiento de una máquina radica en que a artir del mismo se uede obtener la otencia de érdidas er y con ésta calcular el costo de oeración de esa máquina. er ( η) (5) η Como lo que se aga es la energía erdida W er ara obtenerla se deberá integrar la otencia de érdidas en el intervalo deseado: t W W + W dt (6) er A fin de obtener directamente esta energía de érdidas, se define un rendimiento, semejante al de la ecuación (6), ero en base a energías: er t er W W W η (7) W W + W W + W + W ara calcular las resectivas energías se debe establecer un determinado intervalo de tiemo y, or razones rácticas, conviene tomar un laso en el que las condiciones de carga del transformador se vuelvan a reetir, or ejemlo 4 horas, una semana, un mes, etc. Como ara que los resultados sen veraces, las condiciones de carga se deben reetir cíclicamente, al rendimiento calculado de esta forma se lo denomina rendimiento cíclico. La curva que relaciona la otencia consumida or la carga en función del tiemo se denomina curva de carga y uede tener distintas formas deendientes del tio de consumo, or ejemlo uede ser una carga constante, or ejemlo un roceso que rara vez se interrume; en este caso el rendimiento cíclico y el convencional resultan iguales. La curva de carga de un edificio de oficinas, donde se utiliza mayormente iluminación artificial, tendrá un valor casi constante durante las horas de trabajo y se reducirá a un mínimo en las horas nocturnas. Si en esas oficinas hay incidencia de la luz solar, aarecerá un ico de 6

7 consumo cuando baja la luz natural y aún se continúa trabajando. or el contrario en un sistema de alumbrado úblico, durante las horas diurnas, el consumo será mínimo y aumentará en el horario nocturno. En la figura 3 se muestra la curva de carga corresondiente a un día hábil de una facultad de la BA donde se trabaja en horarios diurnos y vesertinos y además hay equios de laboratorio en funcionamiento ermanente. 4 otencia Hora Fig. 3. rva de carga. ara el cálculo del rendimiento, utilizando la ecuación (7), se deben calcular las distintas energías. La energía que suministra el transformador está reresentada or el área encerrada or la curva de carga y el eje de abscisas la que se uede obtener or medio de algún método de integración gráfica; y si no se necesita una gran exactitud, se ueden tomar rectángulos de base t y de altura y realizar una sumatoria. N W dt k t k (8) Si se trabaja con la carga relativa, ecuación (4), la otencia de salida se uede escribir como: Y la energía como: k ( ) ϕ n (9) S S cos N n k ( ) W S k k tk (3) Con este mismo criterio la energía de érdidas en el cobre se uede oner como: W N cc k ( ) k tk (3) Si la tensión es constante, las érdidas en el hierro también lo serán y la energía de érdidas resulta: W N t t k c (3) k 7

8 Donde t c es el tiemo de conexión, es decir el tiemo durante el cual el transformador está conectado a la red y se roducen érdidas en el hierro. Si las energías son grandes, es muy robable que resulte más cómodo exresar las otencias en kva o kw y los tiemos en horas. eemlazando estas tres energías en la exresión (7) se uede calcular el rendimiento cíclico que le corresonde al transformador en ese intervalo de tiemo. 4 BBLOGAFÍA EE Staff del MT: Circuitos Magnéticos y Transformadores Editorial everté, 943. Corrales Martín J.: Teoría, Cálculo y construcción de Transformadores Editorial Labor, 945. Lawrence.. y ichards H. E.: rinciles of Alternating rrent Machinery Mc. Graw Hill Co Moeller F. y Werr Th.: Electrotecnia General y Alicada Tomo, rimera arte, Editorial Labor, 97. ng. Norberto A. Lemozy 9 8