Modelo Simplificado para la Evaluación del Daño en Muros Estructurales Bajos de Concreto Armado Sujetos a Cargas Laterales

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DOCTORADO EN CIENCIAS APLICADAS Modelo Simplificado para la Evaluación del Daño en Muro Etructurale Bajo de Concreto Armado Sujeto a Carga Laterale Tei preentada en cumplimiento parcial de lo requiito para la obtención del título de Doctor en Ciencia Aplicada Candidato: Ingº Edward D. Thomon B. Tutor: Prof. Julio Flórez López Mérida, Venezuela Junio de 2003

2 AGRADECIMIENTOS Al profeor Julio Flórez López por haberme etimulado y ofrecido u guía continuamente en el trancuro del dearrollo de ete trabajo. Lo profeore Pether Inglei, Mónica Puglii y Ricardo Picón por u ayuda pretada y u apoyo permanente. A mi epoa e hijo quiene tuvieron paciencia conmigo. A lo técnico del Laboratorio de Materiale y Enayo, Eli Saúl, Oneide, Rafael, por u valioa colaboración en la contrucción de lo epecimene y en el poterior enayo de ello. En general, a todo lo que de una forma u otra contribuyeron a la culminación de ete trabajo. 2

3 CONTENIDO 1. Introducción ANTECEDENTES OBJETIVOS REVISION BIBLIOGRAFICA Mecanimo de reitencia al corte Etado actual del conocimiento en relación a la predicción de la reitencia de muro etructurale a carga laterale monotónica Etado del arte en el análii no-lineal de muro etructurale ometido a carga horizontale de carácter hiterético Programa experimental Introducción Definición geométrica de lo muro y u caracterítica reitente Decripción del itema de carga Decripción del itema de adquiición de dato Reultado experimentale Modelo de daño por corte para accione monotónica Introducción Deplazamiento generalizado Deformacione generalizada y efuerzo generalizado de un miembro Fuerza interna generalizada Fuerza externa Ecuacione de compatibilidad Ecuacione de equilibrio 45 3

4 4.8 Ley de comportamiento para el cao elático Ley de comportamiento para modelo elato-plático degradable Función de fluencia de un miembro dañado Identificación de la función de reitencia al agrietamiento Cálculo de lo parámetro del modelo Significado fíico de la variable de daño por corte Modelo de daño por corte para accione hiterética Ley de etado para un miembro ometido a carga hiterética Ley de evolución del daño Ley de evolución del daño con fatiga de bajo ciclaje Ley de evolución de la deformacione permanente para el cao hiterético Implementación numérica del modelo hiterético en ABAQUS Introducción Reolución numérica de una etructura de muro con daño por corte IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN ABAQUS Simulacione numérica Introducción Enayo del muro MC Simulación de un muro enayado por Paulay Simulación de un muro de tre nivele enayado por Vulcano Concluione RECOMENDACIONES REFERENCIAS APÉNDICE A Procedimiento para el cálculo de lo parámetro del modelo 113 4

5 11.2 Cálculo de lo parámetro del modelo para el muro MC Cálculo de lo parámetro del modelo para el muro MC

6 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Tipo de muro etructurale 12 Figura 1.2 Definición de variable geométrica 13 Figura 2.1 Falla por tracción diagonal 16 Figura 2.2 Falla parcial por tracción diagonal 16 Figura 2.3 Falla por compreión diagonal 17 Figura 2.4 Aplatamiento generalizado del concreto 17 Figura 2.5 Falla por delizamiento 18 Figura 3.1 Vita del itema de carga el lo muro 27 Figura 3.2 Hitoria de deplazamiento impueto para el muro MC Figura 3.3 Enayo del Muro MC Figura 3.4 Etado del muro MC-01 al fin del enayo 29 Figura 3.5 Hitoria de deplazamiento impueto para el muro MC Figura 3.6 Enayo del muro MC Figura 3.7 Etado del muro MC-02 al final del enayo 31 Figura 3.8 Preparación del muro MC Figura 3.9 Hitoria de deplazamiento para el muro MC Figura 3.10 Enayo del muro MC Figura 3.11 Etado del muro MC-04 al final del enayo 33 Figura 3.12 Hitoria de deplazamiento para muro MC-05, MC-06 y MC Figura 3.13 Enayo del muro MC Figura 3.14 Enayo del muro MC Figura 3.15 Enayo del muro MC Figura 3.16 Etado del muro MC-05 al final del enayo 36 Figura 3.17 Etado del muro MC-06 al final del enayo 36 Figura 3.18 Etado del muro MC-07 al final del enayo 37 Figura 3.19 Condición del refuerzo del muro MC-05 al final del enayo 38 Figura 3.20 Barra fracturada en el muro MC Figura 3.21 Refuerzo horizontal fracturado en el muro MC

7 Figura 4.1 Deplazamiento generalizado del nodo i 41 Figura 4.2 Deformacione generalizada 42 Figura 4.3 Efuerzo generalizado 42 Figura 4.4 Fuerza interna de un miembro 42 Figura 4.5 Fuerza externa 43 Figura 4.6 Deplazamiento diferenciale del nodo i 44 Figura 4.7 Enayo del muro MC Figura 4.8 Función de reitencia al agrietamiento 54 Figura 4.9 Simulación del enayo del muro MC Figura 4.10 Simulación del enayo del muro MC Figura 4.11 Muro MC-01 =4 mm d = 0,16 57 Figura 4.12 Muro MC-01 =6 mm d = 0,31 58 Figura 4.13 Muro MC-01 =8 mm d = 0,47 58 Figura 4.14 Muro MC-01 =10 mm d = 0,59 59 Figura 4.15 Muro MC-02 =6 mm d = 0,17 59 Figura 4.16 Muro MC-02 =8 mm d = 0,27 60 Figura 4.17 Muro MC-02 =10 mm d = 0,36 60 Figura 4.18 Muro MC-02 =14 mm d = 0,51 61 Figura 4.19 Muro MC-02 =16 mm d = 0,57 61 Figura 4.20 Muro MC-02 =18 mm d = 0,63 62 Figura 4.21 MC-02 =20 mm d = 0,67 62 Figura 5.1 Significado fíico de la variable de daño 64 Figura 5.2 Superpoición de enayo MC-05, MC-06 y MC Figura 5.3 Fricción de Coulomb 71 Figura 5.4 Interacción entre funcione de fluencia 75 Figura 5.5 Efecto del parámetro γ obre lo lazo hiterético 75 Figura 6.1 Flujograma general 87 Figura 6.2 Flujograma UEL 87 Figura 6.3 Flujograma SUPERDEG 89 Figura 6.4 Flujograma DEFTOT 90 7

8 Figura 6.5 Flujograma DEG 92 Figura 6.6 Flujograma RESIDUAL 93 Figura 6.7 Flujograma RESIDU 94 Figura 6.8 Flujograma CAL_JACOB 95 Figura 7.1 Enayo del muro MC Figura 7.2 Simulación del enayo del muro MC Figura 7.3 Epécimen Wall 1 de Paulay 99 Figura 7.4 Enayo del epécimen Wall 1 de Paulay 101 Figura 7.5 Simulación del enayo del epécimen Wall 1 de Paulay 101 Figura 7.6 Sección tranveral Specimen 6 de Vulcano 103 Figura 7.7 Proyección vertical del Specimen 6 de Vulcano 103 Figura 7.8 Enayo del Specimen 6 de Vulcano 104 Figura 7.9 Simulación del Specimen 6 de Vulcano 105 8

9 LISTA DE TABLAS Tabla 3.1 Dimenione de lo muro 26 Tabla 3.2 Caracterítica del refuerzo en muro 27 Tabla 4.1 Caracterítica reitente de lo muro MC-01 y MC Tabla 4.2 Parámetro del modelo para lo muro MC-01 y MC Tabla 7.1 Caracterítica reitente del muro MC Tabla 7.2 Parámetro del modelo para el muro MC Tabla 7.3 Caracterítica de lo epecimene de Paulay 100 Tabla 7.4 Caracterítica reitente del muro Wall 1 de Paulay 100 Tabla 7.5 Parámetro del modelo para el muro Wall 1 de Paulay 100 Tabla 7.6 Propiedade reitente del Specimen 6 de Vulcano 103 Tabla 7.7 Parámetro del modelo para el Specimen 6 de Vulcano 104 Tabla 11.1 Caracterítica reitente del muro MC Tabla 11.2 Parámetro del modelo para el muro MC Tabla 11.3 Caracterítica reitente del muro MC Tabla 11.4 Parámetro del modelo para el muro MC

10 RESUMEN En ete trabajo e preenta el dearrollo de un nuevo modelo implificado de daño por corte que toma en cuenta la reducción de rigidez y reitencia debida al agrietamiento diagonal y la deformacione permanente que ocurren debido a la fluencia del refuerzo y al delizamiento por corte a travé de la grieta. El modelo etá baado en lo principio de la mecánica de la fractura y la mecánica del daño en medio continuo. En el capítulo 1 e introduce el tema de muro de cortante y u modo de falla. En el capítulo 2 e revia la literatura diponible obre el análii no lineal de muro de corte de concreto armado. En el capítulo 3 e preenta el programa experimental dearrollado con el fin de calibrar el modelo de daño propueto. En el capítulo 4 e dearrollan la expreione del modelo para carga monotónica. Se propone una función de fluencia y una función de daño baada en el criterio de Griffith. Se explica la identificación de la función de reitencia al agrietamiento necearia para la aplicación del criterio de Griffith. Se preenta la imulación numérica de do muro enayado bajo carga monotónica. En el capítulo 5 e dearrollan la expreione del modelo para carga hiterética. Se generaliza la función de fluencia para incluir efecto de endurecimiento iótropo y e agrega una función de delizamiento por corte para tomar en cuenta el etrangulamiento de lo lazo hiterético. Se upone comportamiento unilateral para generalizar la función de daño para carga hiterética. En el capítulo 6 e explica la implementación del modelo en un programa de elemento finito comercial (ABAQUS, 2001), como un elemento de uuario. En el capítulo 7 e realizan varia imulacione numérica de enayo experimentale. En el capítulo 8 e preentan la concluione y en el capítulo 9 la recomendacione. 10

11 1. INTRODUCCIÓN Lo muro etructurale de concreto armado comprenden todo aquello elemento verticale de una etructura cuya eccione tranverale on de forma alargada, e decir, u largo e mucho mayor que u epeor. En la Figura 1.1 e muetran diferente tipo de muro etructurale que e diferencian tanto por u ección tranveral como por u forma en elevación. Lo muro etructurale on muy uado para dar a la etructura reitencia ante carga laterale proveniente de imo, viento, etc. Tienen la ventaja de poeer una alta rigidez y elevada reitencia a dicha carga iempre que etén aplicada dentro de u plano. 11

12 Alzado Sección Alzado Sección hueco concreto hueco Figura 1.1 Tipo de muro etructurale De acuerdo a u comportamiento, pueden claificare en: Muro de corte: la deflexione y la reitencia on controlada por efuerzo cortante. Muro de corte y flexión: la deflexione y la reitencia on controlada por efuerzo de flexión. Muro dúctile: poeen buena caracterítica de diipación de energía bajo carga reverible. Una caracterítica importante de lo muro etructurale e el cociente H/L w (H: altura del muro, L w : largo del muro, ver Figura 1.2). Se ha determinado de manera aproximada que para H/L w >2 la deflexione etán dominada por lo efecto de flexión, mientra que para H/L w <1,5 la deflexione etán dominada por lo efecto de corte. 12

13 L w V t H Figura 1.2 Definición de variable geométrica El preente trabajo e limita al etudio de muro etructurale de pequeña altura ( low-rie hearwall o quat hearwall en inglé) con H/L w <1,5, cuyo comportamiento etá dominado por corte. Debido a eto la ductilidad que e puede lograr en eto muro e muy limitada. La razón e que lo mecanimo de reitencia al corte en elemento de concreto armado on muy frágile y no permiten dearrollar una ductilidad muy grande en comparación con lo mecanimo de reitencia a flexión, que por naturaleza on muy dúctile. 13

14 1.1 ANTECEDENTES Dede el año 1991 e ha venido dearrollando en la Univeridad de Lo Ande un modelo implificado de daño para miembro de concreto armado (ver Referencia: Flórez-López, J. 1993a, 1993b, 1995; Cipollina, A. 1992; Puglii, M. 1994; Thomon, E. 1996, Thomon, et al, 1998). A travé del tiempo e ha ido refinando dicho modelo hata incluir en el etado actual vario efecto como: platicidad y daño bajo carga monotónica e hiterética, daño por fatiga de bajo ciclaje, eccione aimétrica y el efecto de la carga axial. Dicho modelo aunque batante refinado requiere de mejora, ya que olamente e capaz de decribir adecuadamente el comportamiento de alguno miembro de concreto armado, en lo cuale lo efuerzo producido por flexión on lo que controlan el comportamiento no-lineal. 1.2 OBJETIVOS En alguno miembro de concreto armado, principalmente en muro etructurale, ucede que el comportamiento no-lineal e controlado por la magnitud de lo efuerzo de corte ante que por lo efuerzo debido a flexión. De allí que en el preente proyecto e dearrolla un modelo capaz de modelar miembro dominado por corte, iguiendo lo lineamiento generale de la mecánica de la degradación. Una vez dearrollado y refinado dicho modelo, e demuetra la poibilidad de integrar ete modelo con el dearrollado anteriormente para miembro dominado por efecto de flexión. Como culminación, e demuetra la aplicabilidad práctica de la utilización de eto modelo para la evaluación de etructura exitente bajo imo reale, aí como la poibilidad de evaluar dieño de edificacione nueva con el fin de predecir u comportamiento durante un imo y poder mejorar el dieño de tal forma que el daño durante un movimiento ímico pueda er controlado adecuadamente para evitar un colapo catatrófico de la etructura. 14

15 2. REVISION BIBLIOGRAFICA 2.1 Mecanimo de reitencia al corte. Paulay, et.al. (1982) decriben lo mecanimo de reitencia a corte preente en muro de poca altura, lo cuale e mencionan a continuación Falla por tracción diagonal. Cuando el refuerzo horizontal por corte e inuficiente, puede dearrollare un plano de falla diagonal como e muetra en la Figura 2.1. Ete modo de falla etá controlado cai excluivamente por la reitencia del refuerzo horizontal en el muro. Una falla por tracción diagonal también puede dearrollare a lo largo de un plano de falla má inclinado (Figura 2.2). Si exite la poibilidad de tranferencia de cortante por la porción retante del muro, tal grieta diagonal no neceariamente conduce a la falla. La prevención de la falla por tracción diagonal en muro etructurale reitente a imo debe lograre por medio del dieño de uficiente refuerzo horizontal capaz de tranferir un cortante utancialmente mayor al que produce la fluencia del acero vertical por flexión. 15

16 Figura 2.1 Falla por tracción diagonal Figura 2.2 Falla parcial por tracción diagonal Falla por compreión diagonal. Cuando el efuerzo cortante promedio en el muro e grande y exite adecuado refuerzo horizontal, el concreto puede aplatare bajo compreión diagonal como e muetra en la Figura 2.3. Cuando e aplica carga cíclica reverible de tal forma que do conjunto de agrietamiento diagonale e han dearrollado (Figura 2.4), la falla por compreión diagonal puede ocurrir a un nivel de cortante mucho menor. La grieta diagonale que e interectan, y que e abren y cierran de manera cíclica con la carga, reducen coniderablemente la reitencia a compreión del concreto. A menudo el aplatamiento del concreto e extiende rápidamente a lo largo del muro (Figura 2.4). La falla por compreión diagonal reulta en una dramática e irrecuperable pérdida de reitencia. Por lo tanto, la falla por compreión diagonal e muy indeeable en muro que deberían reponder de una manera dúctil. La limitación del máximo efuerzo cortante que ocurre 16

17 en el momento de alcanzare la máxima reitencia a flexión permite verificar que una falla por compreión diagonal no impida el dearrollo de un comportamiento dúctil. Figura 2.3 Falla por compreión diagonal Figura 2.4 Aplatamiento generalizado del concreto Falla por delizamiento a lo largo de un plano horizontal. La falla por tracción diagonal y por compreión diagonal pueden prevenire mediante la colocación de uficiente refuerzo horizontal y la limitación del efuerzo cortante nominal en el muro, como e ha decrito ante. Luego, e eperaría que la deformacione inelática requerida para diipación de energía podrían dearrollare principalmente en la deformación pot-fluencia del acero vertical por flexión. Sin embargo, depué de vario ciclo de carga reverible que produzcan fluencia apreciable en el refuerzo vertical, puede ocurrir delizamiento a lo largo de grieta de flexión que e interconectan y forman un plano aproximadamente horizontal (Figura 2.5). Tale deplazamiento on reponable de una reducción ignificativa de rigidez, particularmente para valore pequeño de la carga horizontal, y conecuentemente, una reducción de la diipación de energía. 17

18 Figura 2.5 Falla por delizamiento 2.2 Etado actual del conocimiento en relación a la predicción de la reitencia de muro etructurale a carga laterale monotónica. La reitencia de muro etructurale a carga laterale e función de divero parámetro. A continuación e trancriben la ecuacione que decriben la reitencia lateral de eto muro en función del tipo de falla que e pueda producir Reitencia lateral aociada a la reitencia a flexión (V nf ). La reitencia a flexión de un muro e puede determinar aplicando la teoría convencional de columna de concreto armado, con la hipótei comúnmente aceptada. Como e bien abido, eta reitencia e principalmente función de la cuantía de refuerzo vertical en el muro. Para el cao particular de muro con refuerzo vertical uniforme, Cárdena, et al (1973) propuieron la iguiente ecuación: M N n c = 0,5A f L 1+ 1 Af y Lw n y w Ecuación 2.1 donde, A : e el área total de acero de refuerzo vertical en el muro f : e el efuerzo de fluencia del refuerzo vertical L y N w n : longitud del muro (ver Fig. 1.2) : carga axial que actúa imultáneamente en la ección c : profundidad del eje neutro en la ección 18

19 Eta ecuación e obtiene al aplicar la teoría convencional de concreto armado para columna, introduciendo alguna implificacione. De eta manera e obtiene una buena aproximación a la reitencia a flexión para columna ometida a carga axiale menore a la balanceada, que e uada extenamente por dieñadore en la actualidad. La profundidad del eje neutro c puede calculare con: c L w ω + α = 2ω + 0,85β 1 Ecuación 2.2 donde, N α = Ecuación 2.3 Ltf n ' w. c ω = A f tl. f Ecuación 2.4 w y ' c β f 0,85 i f 280kg cm ' 2 c ' 1 = fc ' 2 1,05-0, 65 i fc > 280 kg cm 1400 t : epeor del muro c : reitencia a la compreión del concreto Una vez determinada la reitencia a flexión, la reitencia a carga laterale e obtiene por imple equilibrio: M n Vnf = Ecuación 2.5 H donde, H e la altura del muro o ditancia dede el punto de aplicación de la carga hata la bae del muro. Se ua acá la notación V nf para ditinguir ete valor de la reitencia del muro a corte propiamente dicho que e denota V n. 19

20 2.2.2 Reitencia al corte propiamente dicha (V n ). La reitencia a cortante en muro e debe tanto al concreto (V c ) como al refuerzo de acero (V ), iendo el total: V = V + V Ecuación 2.6 n c Para calcular la reitencia del concreto (V c ), deben coniderare do cao: el agrietamiento diagonal por corte ( web hear cracking ), y el agrietamiento diagonal por efecto de flexión ( flexural hear cracking ) Agrietamiento diagonal por corte. Ete agrietamiento comienza en la parte media del muro debido a lo efuerzo principale de tracción producido por la carga lateral. La ecuación emi-empírica deducida uando el círculo de Mohr para calcular lo efuerzo principale en el muro e la mima que e publica en la Norma ACI 318 (1999) con el número y que e trancribe a continuación para unidade del itema métrico: V c Nd n = 0,88 fctd. + Ecuación L w donde, d = 0,8. Lw El reto de la variable han ido definida ante en el texto Agrietamiento diagonal por flexión. El agrietamiento diagonal por flexión e refiere a grieta que inicialmente on debida a flexión (aparecen en dirección horizontal), pero que luego e inclinan hacia la dirección diagonal. La expreión deducida coniderando la formación de una grieta por flexión a una altura de L w /2 por encima de la bae del muro, y ajutando con repecto a reultado experimentale e la que e muetra en la Norma ACI 318 (1999) con el número y que e trancribe a continuación para unidade del itema métrico: 20

21 V c = f td + 0,16 c. ftd+ 0,33 c. 0, 21 M u VL u w 1 2 Nd n L w Ecuación Reitencia al corte provita por el refuerzo horizontal. Depué de la formación de la grieta inclinada, e puede deducir la expreión que permite calcular la fuerza cortante capaz de er reitida por lo etribo, que e la fórmula de la Norma ACI (1999): Av f yd V = Ecuación donde, A v : área total de refuerzo horizontal dentro de una ditancia 2 2 : eparación del refuerzo horizontal Ecuación de Barda (V nb ) Barda, et al (1977) proponen la iguiente ecuación baada en enayo realizado obre muro bajo con elemento de borde. f f H N f d t ' ' n Vnb = 2,12 c 0,66 c + + ρ y. Lw 4. Lwt Ecuación 2.10 donde, ρ : cuantía geométrica de refuerzo ( el menor entre ρ y ρ ) ρ f y 1, 59 f ' c h v Reitencia al agrietamiento por flexión. La reitencia al agrietamiento por flexión no determina la falla de un muro, in embargo, e un valor que e conveniente conocerlo, epecialmente a nivel experimental, cuando e deea decribir el comportamiento de un muro dede carga cero hata la falla. E relativamente fácil de determinar aplicando la teoría de la elaticidad. Incluyendo el efecto de la carga axial e obtiene la iguiente expreión: 21

22 V cr = 2 f + 2 N tl. w c tl. w 6. H Ecuación Etado del arte en el análii no-lineal de muro etructurale ometido a carga horizontale de carácter hiterético. Exiten en la literatura mucho modelo matemático que permiten imular el comportamiento no-lineal de elemento de concreto de manera adecuada. Eto modelo pueden claificare en tre grande grupo: a) Modelo de platicidad concentrada; b) Modelo de platicidad ditribuida; c) Modelo multicapa. Lo modelo de platicidad concentrada on ma encillo y fácile de implementar, por cuanto conideran concentrado todo lo efecto de no linealidad de lo materiale (platicidad, agrietamiento, delizamiento, etc) en reorte o articulacione de longitud cero, cuyo comportamiento e decrito mediante regla ma o meno complicada, dependiendo del modelo. Alguno de lo modelo má comúnmente uado han ido decrito por Mahin y Bertero (1975), Bazant y Bhat (1977), Ma, et al (1976) y Reinhorn, et al (1992). La dificultad inherente a eto modelo etá en la determinación de lo parámetro de calibración, lo cuale requieren de mucho reultado experimentale. Aún actualmente, no e conoce bien el efecto de la diferente variable de dieño (cuantía del refuerzo, ebeltez del miembro, refuerzo tranveral por corte y por confinamiento, etc), obre dicho parámetro. En reumen, eto modelo funcionan muy bien en la imulación de reultado experimentale, pero en análii reale, cuando no e pueden enayar lo miembro involucrado, no hay mucha confianza en la ecogencia de lo parámetro en cuetión. Lo modelo de platicidad ditribuida on algo ma complicado que lo anteriore, ya que toman en cuenta la ditribución de lo efecto inelático a lo largo de una longitud finita como e decrito por Kunnath, et al (1990). Son meno populare que lo anteriore porque, ademá de tener la mima deventaja de lo modelo de 22

23 platicidad concentrada tienen una incertidumbre adicional que e la determinación de la longitud de la zona en que e ditribuyen lo efecto inelático. Lo modelo multicapa, baado principalmente en el método de elemento finito, uan una alta dicretización de cada miembro para lograr repreentar detalladamente cada material, incluo cada barra de refuerzo. Adicionalmente, el comportamiento de cada material e repreentado por leye contitutiva que generalmente on bien conocida. De eta manera, cualquier configuración del concreto y del refuerzo puede er repreentada. Lo reultado obtenido por modelo de ete tipo on en general muy bueno. Sin embargo, aún en el momento actual, con el gran avance en la capacidad de lo itema de computación, el coto computacional para reolver etructura de tamaño regular a bae de eto modelo, e prohibitivo. Vulcano (1992) claifica lo modelo uado para predecir el comportamiento no lineal de muro etructurale en do grande grupo: a) modelo detallado, derivado de la mecánica de lo ólido y baado en una interpretación detallada del comportamiento local (enfoque microcópico); b) modelo baado en una idealización implificada, que on capace de predecir un comportamiento global epecífico con preciión razonable (enfoque macrocópico). El mimo autor analiza alguno modelo macrocópico que han ido propueto y compara lo reultado analítico con lo experimentale para evaluar la efectividad y confiabilidad de lo modelo eleccionado. Lo modelo analizado on: el modelo de viga equivalente, el modelo de armadura equivalente y alguna variante de modelo de múltiple elemento verticale. Se concluye que lo modelo de muro baado en el enfoque macrocópico on má efectivo que lo modelo de elemento finito microcópico, para el análii no lineal de etructura de múltiple nivele. Lo modelo de viga equivalente y armadura equivalente preentan mucha limitacione. En particular el modelo de viga equivalente no puede repreentar la variacione del eje neutro de la ección, lo cual da origen a errore en la decripción de la interacción del muro con el reto de lo miembro de la etructura. Por u parte, la implementación del modelo de armadura equivalente tiene mucha dificultade para definir la propiedade de lo elemento de la armadura, epecialmente bajo carga cíclica. Ete autor conidera que lo modelo de múltiple elemento verticale reultan er lo mejore para el propóito 23

24 mencionado arriba, epecialmente en lo que e refiere a tomar en cuenta la variación de la poición del eje neutro. Según demuetra, un modelo multi-componente predice de manera precia la repueta a flexión, aún uando el mínimo número de elemento verticale (n=4), con la ventaja de un coto computacional mínimo. Sin embargo, la preciión de la predicción depende de la correcta ecogencia del valor de un parámetro que depende de la eperada ditribución de la curvatura a lo largo del miembro. Se indica que la incertidumbre en la determinación de ete parámetro puede eliminare al aumentar el número de elemento verticale, pero a un mayor coto computacional. Ademá, bajo efuerzo cortante de gran magnitud la interacción de la repueta a corte y la repueta a flexión introduce un elemento adicional de incertidumbre en el modelo que hace difícil una buena predicción de la repueta. Colotti (1993) y Ghobarah (1999) reportan modelo multi-componente imilare al propueto por Vulcano (1992) incluyendo alguno refinamiento que permiten aproximar mejor el comportamiento real, in embargo tienen el mimo problema que todo lo modelo de ete tipo, e decir, un alto coto computacional, tanto en la preparación de lo dato de entrada como en el análii propiamente dicho. 24

25 3. PROGRAMA EXPERIMENTAL 3.1 Introducción El programa experimental fue dieñado para cumplire en tre etapa. En la primera etapa e enayaron do muro MC-01 y MC-02 bajo carga monotónica, con el fin de permitir la calibración del modelo de daño que e propone en el Capítulo 4. En la egunda etapa e enayaron do muro MC-03 y MC-04 bajo carga hiterética con el fin de validar el modelo de daño que e propone en el Capítulo 5 para carga hiterética. En la tercera etapa e enayaron tre muro MC-05, MC-06 y MC-07 bajo carga hiterética con el fin de etudiar el efecto de la condicione de adherencia en la barra horizontale obre el efecto de etrangulamiento pinching obervado en lo reultado experimentale. Todo lo enayo mencionado arriba e llevaron a cabo en el Laboratorio de Materiale y Enayo, de la Facultad de Ingeniería en la Univeridad de Lo Ande, Mérida, Venezuela. 3.2 Definición geométrica de lo muro y u caracterítica reitente Lo muro fueron contruido con do geometría báica: Tipo I y Tipo II. Lo valore de la variable geométrica definida en la Figura 1.2 e muetran en la Tabla

26 Tabla 3.1 Dimenione de lo muro Geometría tipo L w (mm) H (mm) t (mm) Tipo I Tipo II Lo muro MC-01, MC-04, MC-05, MC-06 y MC-07 fueron contruido con la geometría Tipo I, mientra que lo muro MC-02 y MC-03 fueron contruido con la geometría Tipo II. La caracterítica del refuerzo para cada muro etán dada en la Tabla 3.2. La variable indicada en la tabla correponden a: ρ v : cuantía de refuerzo vertical en el muro ditribuido uniformemente; ρ h : cuantía de refuerzo horizontal en el muro ditribuido uniformemente; A : área de acero vertical adicional en cada extremo del muro. La reitencia a compreión del concreto a lo 28 día en todo lo muro fue de aproximadamente 370 kg/cm 2. La reitencia nominal a la fluencia del refuerzo (f y ) fue de 5000 kg/cm 2 en el refuerzo vertical y horizontal uniformemente ditribuido (alambre de 5 mm de diámetro nominal) y de 4200 kg/cm 2 en el acero vertical adicional (cabilla de ½ de diámetro nominal). Todo lo muro e dieñaron para que u reitencia a cortante reultara menor que u reitencia a flexión, iendo eta condición una neceidad para el dearrollo del modelo de daño por corte como e explica en el capítulo iguiente. Obviamente, el dieño de un muro dúctil requiere que el modo de falla eté dominado por flexión ya que ete tipo de falla e ma dúctil y fácil de controlar que la falla dominada por corte, in embargo, en el preente trabajo la intención no fue de evaluar dieño de muro dúctile, ino la de dearrollar un modelo capaz de poder modelar muro que pudieran fallar por corte ante que por flexión, o que por lo meno u falla etuviera dominada por efecto de corte. 26

27 Tabla 3.2 Caracterítica del refuerzo en muro Muro ρ v ρ h A (cm 2 ) MC-01 0,0033 0,0026 2,54 MC-02 0,0028 0,0026 2,54 MC-03 0,0028 0,0026 2,54 MC-04 0,0033 0,0026 2,54 MC-05 0,0033 0,0026* 3,81 MC-06 0,0033 0,0026** 3,81 MC-07 0,0033 0,0026*** 3,81 Nota: * barra recta in doblar alrededor del acero vertical (mínima adherencia) ** etribo con tuerca oldada para mejorar adherencia (máxima adherencia *** etribo doble, cada etribo abarcando cuatro barra verticale (adherencia med 3.3 Decripción del itema de carga En la Figura 3.1 e muetra una foto del itema uado para aplicar una carga horizontal al tope del muro, con el fin de imular el tipo de carga que e impueto por un imo a una etructura conformada por muro etructurale. El itema conite en un marco de carga rígido, un actuador hidráulico de kg de capacidad, controlado electrónicamente a travé de un oftware epecializado y una viga de oporte en la bae a la cual e fija el epécimen. Figura 3.1 Vita del itema de carga el lo muro Todo lo enayo e realizaron bajo la modalidad de control de deplazamiento, en la cual la magnitud del deplazamiento e impone en forma de rampa con una 27

28 velocidad contante. La velocidad de impoición del deplazamiento uada en todo lo enayo fue de 0,01 mm/eg, por lo cual e conideran eto enayo como cuaietático. 3.4 Decripción del itema de adquiición de dato El itema de adquiición de dato forma parte integral del itema de carga y permitió el regitro de la fuerza aplicada en el tope del muro y el deplazamiento horizontal correpondiente. El regitro de eta do variable e realizó a una rata de do lectura por egundo, mientra e aplicaba la carga o e decargaba. Adicionalmente, e regitró mediante una cámara digital, el etado de agrietamiento del muro, a intervalo regulare durante el enayo. 3.5 Reultado experimentale Muro MC-01 Ete muro fue enayado bajo carga monotónica con decarga repetida a diferente deplazamiento hata llegar a la falla. En la Figura 3.2 e muetra la hitoria de deplazamiento impueto al muro y en la Figura 3.3 e muetra la hitoria de carga v deplazamiento obtenida en el enayo. = 12 mm = 10 mm = 8 mm = 6 mm = 4 mm = 2 mm V=0 V=0 V=0 V=0 V=0 tiempo Figura 3.2 Hitoria de deplazamiento impueto para el muro MC-01 28

29 Fuerza horizontal en el tope (Kg) Deplazamiento horizontal en el tope (mm) Figura 3.3 Enayo del Muro MC-01 En la Figura 3.4 e oberva el etado de agrietamiento del muro al final del enayo. Como puede obervare, la falla del muro e produjo por agrietamiento debido a tracción diagonal, lo cual e evidencia de la predominancia de lo efecto de corte obre lo efecto de flexión en concordancia con la hipótei planteada en el dieño. Figura 3.4 Etado del muro MC-01 al fin del enayo Muro MC-02 Ete muro también fue enayado bajo carga monotónica con decarga repetida a diferente deplazamiento hata llegar a la falla. En la Figura 3.5 e muetra la hitoria 29

30 de deplazamiento impueto al muro y en la Figura 3.6 e muetra la hitoria de carga v deplazamiento obtenida en el enayo. = 2 mm = 4 mm V=0 = 6 mm V=0 = 8 mm V=0 = 10 mm V=0 = 12 mm V=0 = 14 mm V=0 = 16 mm V=0 = 18 mm V=0 = 20 mm V=0 = 22 mm V=0 tiempo Figura 3.5 Hitoria de deplazamiento impueto para el muro MC-02 Fuerza horizontal en el tope (Kg) Deplazamiento en el tope (mm) Figura 3.6 Enayo del muro MC-02 30

31 En la Figura 3.7 e oberva el etado de agrietamiento del muro al final del enayo. Otra vez, puede obervare que la falla del muro e produjo por agrietamiento debido a tracción diagonal, lo cual e evidencia de la predominancia de lo efecto de corte obre lo efecto de flexión en concordancia con la hipótei planteada en el dieño. Figura 3.7 Etado del muro MC-02 al final del enayo Muro MC-03 La modalidad propueta para el enayo de ete muro fue bajo carga hiterética. Adicionalmente, e realizó un cambio en el dipoitivo uado para ujetar el epécimen. Como puede obervare en la Figura 3.8, e colocaron un par de tirante verticale que permitieran introducir una componente vertical de fuerza en ambo extremo del muro. Deafortunadamente, bajo la acción de eto tirante, la reitencia lateral del muro e incrementó por encima de la capacidad del actuador hidráulico, por lo cual el enayo del epécimen fue un fracao. Por eta razón no e incluye en lo reultado. 31

32 Figura 3.8 Preparación del muro MC Muro MC-04 Ete muro e enayó bajo carga hiterética iguiendo una hitoria de deplazamiento impueto como e muetra en la Figura 3.9. La repueta del muro bajo eta hitoria de carga e muetra en la Figura (mm) tiempo P=0 Figura 3.9 Hitoria de deplazamiento para el muro MC-04 32

33 Fuerza horizontal en el tope (kg) ,0-15,0-10,0-5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 Deplazamiento en el tope (mm) Figura 3.10 Enayo del muro MC-04 En la Figura 3.11 e oberva el etado de agrietamiento del muro al final del enayo. Figura 3.11 Etado del muro MC-04 al final del enayo Muro MC-05, MC-06 y MC-07 Eto muro fueron enayado todo bajo carga hiterética con la mima hitoria de deplazamiento como e muetra en la Figura En la Figura 3.13, Figura 3.14, y Figura 3.15, e muetran la repueta de cada uno de eto muro a la hitoria de carga 33

34 dada. Puede obervare que la condición de adherencia en el refuerzo horizontal no tiene efecto aparente obre el etrechamiento de lo lazo hiterético ( pinching ), aunque í tiene efecto obre el máximo deplazamiento alcanzado ante de la falla. (mm) P= tiempo Figura 3.12 Hitoria de deplazamiento para muro MC-05, MC-06 y MC Fuerza en el tope (Kg) Deplazamiento en el tope (mm) 34

35 Figura 3.13 Enayo del muro MC Fuerza en el tope (Kg) Deplazamiento en el tope (mm) Figura 3.14 Enayo del muro MC Fuerza en el tope (Kg) Deplazamiento en el tope (mm) Figura 3.15 Enayo del muro MC-07 35

36 En la Figura 3.16, Figura 3.17, y Figura 3.18, e muetra el etado final de agrietamiento de cada uno de eto muro. Figura 3.16 Etado del muro MC-05 al final del enayo Figura 3.17 Etado del muro MC-06 al final del enayo 36

37 Figura 3.18 Etado del muro MC-07 al final del enayo La caua que produjeron diferencia en el máximo deplazamiento alcanzado por lo muro MC-05, MC-06 y MC-07 e analizan a continuación, baada en la obervación de la condición del refuerzo horizontal al final del enayo, luego de demolere el concreto del muro. El muro MC-05 alcanzó el máximo deplazamiento horizontal ante de la falla, ya que a pear de que la barra horizontale no etaban anclada alrededor del acero vertical, in embargo la adherencia entre la cabilla y el concreto fue buena, alcanzándoe la falla por adherencia ólo en la etapa poteriore del enayo. La falla definitiva e produjo por delizamiento de la cabilla horizontale, ya que luego de demoler el muro e verificó que no hubo fractura en eta barra como puede obervare en la Figura

38 Figura 3.19 Condición del refuerzo del muro MC-05 al final del enayo El muro MC-06 no alcanzó igual deplazamiento máximo debido a la fractura prematura del refuerzo horizontal en la zona adyacente a la tuerca que e le oldaron a ete refuerzo. Evidentemente, la preencia de la tuerca obligó a una concentración de la fluencia del refuerzo en ea eccione, lo cual, depué de lo ciclo iniciale de carga, provocó el debilitamiento y poterior fractura de dicho refuerzo. En la Figura 3.20 e demuetra lo eñalado en el texto. Tuerca Barra fracturada Figura 3.20 Barra fracturada en el muro MC-06 En forma imilar, el muro MC-07 no alcanzó el mimo deplazamiento máximo que el muro MC-05, debido a que la longitud de cada uno de lo etribo era la mitad de la longitud horizontal del muro. Eto implica que la longitud a lo largo de la cual puede fluir cada barra e mucho menor. Como reultado, eta barra e fracturaron para un 38

39 deplazamiento menor del muro. En la Figura 3.21 puede obervare la fractura en el refuerzo horizontal al final del enayo. Figura 3.21 Refuerzo horizontal fracturado en el muro MC-07 39

40 4. MODELO DE DAÑO POR CORTE PARA ACCIONES MONOTÓNICAS 4.1 Introducción Conideremo una etructura (ver Figura 4.1), formada por m miembro deformable conectado entre í por n nodo, ometida a un itema de carga cualquiera. La variable a coniderar en el análii on: lo deplazamiento generalizado de lo nodo, lo efuerzo generalizado de lo miembro y la fuerza externa aplicada. El problema puede coniderare en do parte: el problema global y el problema local. En el problema global e reuelve el itema de ecuacione de equilibrio de lo nodo para obtener lo deplazamiento nodale de la etructura, mientra que en el problema local e calculan la fuerza interna y la contribución de cada miembro a lo deplazamiento de la etructura. 40

41 i j poición deformada U 3 U 2 poición original U 1 Figura 4.1 Deplazamiento generalizado del nodo i 4.2 Deplazamiento generalizado Lo deplazamiento generalizado del nodo i e repreentan mediante el vector: t { } { U,U, U } U = donde U 1 e el deplazamiento horizontal del nodo i, U 2 e el i deplazamiento horizontal del mimo nodo y U 3 e la rotación del nodo i con repecto a la poición inicial como e muetra en la Figura 4.1. Lo deplazamiento nodale de ( ) t t t t toda la etructura e agrupan en el vector: { } { U},{ U},...,{ U} X =. Luego, lo deplazamiento de cualquier miembro b que une lo nodo i y j vienen definido ( ) t t t por el vector: {} { U},{ U} q =. b i j 4.3 Deformacione generalizada y efuerzo generalizado de un miembro Dado un miembro b de una etructura, la deformacione generalizada del t miembro e denotan por: {} φ { φ φ, δ } = i, j, donde: j i j φ i y φ repreentan la rotacione de lo extremo i y j repecto de la cuerda ij del miembro repectivamente y δ repreenta la deformación axial del miembro, egún e muetra en la Figura 4.2. n 41

42 L o +δ φ i φ j i j L o Figura 4.2 Deformacione generalizada t Lo efuerzo generalizado del miembro e denotan por: { M } ( M,M,N ) =, donde: M i y M j on lo momento flectore en lo extremo i y j del miembro repectivamente, y N e la fuerza axial, como e muetra en la Figura 4.3. i j M i N M j Figura 4.3 Efuerzo generalizado 4.4 Fuerza interna generalizada La fuerza interna generalizada que actúan obre el miembro en la configuración t deformada, etán contenida en el vector: { } ( Q,Q,Q,Q,Q,Q ) Q = como e muetra en la Figura 4.4. Cada una de la fuerza correponde a un deplazamiento nodal poible Q 5 Q 2 Q 4 Q 3 Q 1 Q 6 Figura 4.4 Fuerza interna de un miembro 42

43 4.5 Fuerza externa La fuerza externa e conideran aplicada en lo nodo de la etructura y e t repreentan por el vector: { } ( P,P,P,...,P ) P =. Se incluyen aquí la carga aplicada a la etructura y la reaccione en lo apoyo (ver Figura 4.5) n P 2 P 1 P 3 P 3n-2 P 3n P 3n-1 Figura 4.5 Fuerza externa La olución al problema planteado como e la determinación de lo deplazamiento generalizado de la etructura bajo un itema de carga cualquiera, requiere del planteamiento de ecuacione de compatibilidad, ecuacione de equilibrio y leye de comportamiento, lo cuale e enuncian a continuación. 4.6 Ecuacione de compatibilidad La ecuacione de compatibilidad relacionan la deformacione generalizada con lo deplazamiento generalizado para cada miembro () mediante relacione geométrica. En la Figura 4.6 e muetran la figura en bae a la cuale e determinan la ecuacione de compatibilidad. 43

44 dδ dφ j dφ i dφ j α dφ i dq 2 α dφ i = dq 3 dq 1 dδ Figura 4.6 Deplazamiento diferenciale del nodo i Al dar el deplazamiento diferencial dq i en el nodo i, e pueden determinar la relacione que exiten entre ete deplazamiento y la deformacione φ i, φ j y δ. Dicha relacione on: enα dφi = dq1 L enα dφ j = dq1 L dδ = dq coα 1 ( q) ( q) ( q) Ecuación 4.1 De manera análoga e obtienen la relacione para el reto de lo deplazamiento del nodo i y del nodo j. En reumen, la relacione de compatibilidad pueden expreare en forma matricial de la iguiente manera: { d } = [ B( q) ]{ dq} donde [ ( q) ] φ Ecuación 4.2 B e conoce con el nombre de Matriz de tranformación y queda conformada de la iguiente manera para el cao general de grande deplazamiento: [ B( q) ] en L en = L co α( q) coα( q) enα( q) coα( q) 1 ( q) L( q) L( q) L( q) α( q) coα( q) enα( q) coα( q) 0 ( q) L( q) L( q) L( q) α( q) enα( q) 0 coα( q) enα( q) Ecuación 4.3 Para el cao particular de pequeño deplazamiento, [ B( q) ] [ ], iendo [ ] B o B la matriz de tranformación en la configuración inicial del miembro, por lo que la ecuación de compatibilidad queda: o 44

45 donde, {} = [ ]{} q φ Ecuación 4.4 B o [ B ] o enα Lo enα = Lo coα coα Lo coα Lo enα enα Lo enα Lo coα coα Lo coα Lo enα Ecuación Ecuacione de equilibrio Se deben plantear ecuacione de equilibrio para cada nodo de la etructura y para cada miembro. En la primera, la fuerza externa aplicada deben er iguale a la uma de la fuerza interna, que en el cao etático pueden expreare en forma matricial de la iguiente manera: { } { Q} P b = 0 Ecuación 4.6 m b= 1 En el cao dinámico, deben tomare en cuenta la fuerza inerciale, quedando expreada la ecuación matricial: m m { Q} b + [ m] { q& () t } b P( t) = 0 b= 1 b= 1 & Ecuación 4.7 El egundo conjunto de ecuacione de equilibrio relaciona la fuerza interna necearia para equilibrar lo efuerzo generalizado. De forma matricial, y para el cao de pequeño deplazamiento, eta ecuacione on: t { Q} [ B ] { M } = Ecuación 4.8 o E relativamente fácil demotrar que la matriz [ B e la trapueta de la mima matriz de tranformación definida anteriormente para la ecuacione de compatibilidad. ] t o 45

46 4.8 Ley de comportamiento para el cao elático Eta ley decribe la relación entre lo efuerzo y la deformacione generalizada de un miembro de la etructura, y toma en cuenta la caracterítica propia del material que compone la etructura. La expreión típica de eta ley e muetra en la iguiente ecuación matricial: {} = [ ]{ M } φ Ecuación 4.9 F o donde [ F o ] e la matriz de flexibilidad del miembro en coordenada locale y que puede definire de la iguiente manera incluyendo lo efecto de la deformacione de cortante: a f [ F ] [ F ] + [ F ] + [ F ] o = Ecuación 4.10 o a f La matrice [ ], [ F ] y [ F ] o o o o F repreentan la flexibilidad debida a fuerza axiale, o efecto de flexión y efecto de corte, repectivamente. Eta matrice tienen la iguiente expreione de acuerdo a (): 46

47 0 0 0 o = Ecuación 4.11 L 0 0 EA [ F ] a L L 0 3EI 6EI L L o = 0 Ecuación EI 3EI [ F ] f GAvL GAvL 1 1 F o = 0 GAvL GAvL Ecuación 4.13 donde E e el módulo de elaticidad del material, A e el área de la ección tranveral, A v e el área de corte, uualmente el área de la ección tranveral dividido por 1,2 para eccione rectangulare, I e el momento de inercia de la ección tranveral, G e el módulo de elaticidad a cortante y L e la longitud del miembro. Puede notare que para valore grande de L, la componente debida al cortante e reduce mientra que la componente debida a flexión aumenta. Ete e el cao de miembro ebelto en lo que la deformacione por cortante pueden depreciare. 4.9 Ley de comportamiento para modelo elato-plático degradable En lo modelo que incluyen efecto inelático, la relación entre efuerzo generalizado y deformacione generalizada no e lineal. En eto cao la ley de comportamiento queda plenamente definida por la ley de etado y la leye de evolución de la variable interna incluida en el modelo. En el cao de miembro que ufren daño por efecto de flexión, e ua típicamente un modelo de diipación concentrada (Flórez 47

48 López, 1993b), en el cual cada miembro e repreenta mediante un enamblaje de un miembro elático y do rótula inelática en lo extremo, en la cuale e conideran concentrado todo lo efecto inelático. En el cao preente e uará un modelo imilar, con la diferencia de que ólo e coniderará la poibilidad de daño por efecto de cortante ditribuido de manera uniforme en el miembro. Eto equivale a uponer que el miembro no ufre daño ni deformacione permanente debido a efecto de flexión, lo cual e una implificación de lo que ocurre en miembro reale, pero necearia para el dearrollo inicial del modelo. En la Mecánica de la Degradación para medio continuo e ua el concepto de variable de daño para medir la intenidad de microfiura y microgrieta en un miembro. Eta variable puede tomar valore en el intervalo [0,1]. El valor cero correponde a un material intacto y el valor uno a un material completamente dañado. La ley de etado para materiale degradable egún eta teoría e exprea de la iguiente manera: ( 1 d). E. ( p ) σ = ε ε Ecuación 4.14 donde σ e el efuerzo nominal, d e la variable de daño, E e el módulo de elaticidad inicial y ε la deformación unitaria. Siguiendo ete mimo concepto por analogía con el modelo dearrollado para flexión por Flórez López (1993b), e introduce una variable de daño para efecto de cortante (d ) de tal forma que la flexibilidad a cortante de un miembro dañado puede expreare de la iguiente manera: GAvL ( 1 d) GAvL ( 1 d) 1 1 F ( d ) = 0 GAvL ( 1 d) GAvL ( 1 d) Ecuación 4.15 De igual manera que en la Mecánica de la Degradación, eta variable de daño puede tomar valore en el intervalo [0,1]. Un valor de cero implica un miembro no dañado que tiene una flexibilidad dada por la ecuación 3.10, mientra que un valor de uno caracteriza un miembro totalmente dañado con flexibilidad a cortante infinita. Se upone que el daño evoluciona continuamente dede cero hata uno en función de la carga aplicada 48

49 al miembro y iguiendo la ley de evolución del daño decrita poteriormente. Fíicamente, la variable de daño mide el grado de agrietamiento del miembro, e decir, d igual a cero indica que no hay agrietamiento, y d igual a uno repreenta un miembro tan agrietado que no poee rigidez por cortante. Entonce, la matriz de flexibilidad de un miembro degradable queda expreada de la iguiente manera: [ ] a f [ F ( d )] [ F ] + [ F ] + F ( d ) = Ecuación 4.16 o o Sutituyendo y umando lo término de la matrice queda: L 1 L EI GAvL ( 1 d) 6EI GAvL ( 1 d) L 1 L 1 F( d ) = EI GAvL ( 1 d) 3EI GAvL ( 1 d) L 0 0 EA Ecuación 4.17 Luego, al invertir la matriz de flexibilidade e obtiene la matriz de rigidece del miembro, la cual e: donde, S11 S12 S13 1 S = S21 S22 S23 Ecuación 4.18 S 31 S32 S33 [ ( d )] = [ F( d )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4EI GAvL 1 d + 3EI S11 = S22 = * 2 L GAvL 1 d + 12EI 2 2EI GAvL 1 d 6EI S12 S21 * = = 2 L GAvL 1 d + 12EI EA S13 = S23 = S31 = S32 = 0 ; S33 = L Ecuación

50 Puede notare que i el coeficiente de cortante GA L 2 ( 1 d ) v e mucho mayor que EI, lo elemento de la matriz de rigidece tienden a lo bien conocido término: 4 EI L y 2 EI L. La expreione para la matrice de flexibilidad y de rigidez en coordenada globale (de orden 6x6) pueden obtenere de la ecuacione 3.17 a 3.19 aplicando lo método convencionale. La ecuación 3.10 muetra que la deformacione de un miembro pueden eparare en tre componente. La primera componente etá relacionada con la fuerza axiale y no genera rotacione en el miembro, olo alargamiento o acortamiento de la cuerda. La egunda componente etá relacionada con lo efecto de flexión y la última componente e debida a efecto de cortante. Cuando la accione obre el miembro exceden algún valor crítico, e producen deformacione plática o permanente en el miembro. Como e ha mencionado anteriormente, e upone (en principio) que no ocurren deformacione permanente en la dirección axial ni rotacione plática por flexión. En otra palabra, olo ocurren deformacione plática debida a lo efecto de corte. Fíicamente eo ignifica que no ocurre fluencia del refuerzo longitudinal. Sin embargo, pueden ocurrir deformacione plática debida a fluencia del refuerzo tranveral. Eta rotacione plática etán relacionada con lo efecto de corte y e tomarán en cuenta en el modelo que e etá proponiendo. Una particularidad de la rotacione relacionada con el cortante e que tienen el mimo valor y igno en ambo extremo. Por lo tanto, la ley de etado para un miembro con deformacione por corte, daño y rotacione plática erá: p { φ φ } = F( d ) { M} Ecuación 4.20 donde el vector de deformacione plática { φ p } tiene la iguiente forma general: { φ p } ( φ p, p φ,0) = Ecuación 4.21 Al introducir la variable interna d y φ p, e hacen necearia ecuacione adicionale para definir el problema, la cuale on conocida como Leye de Evolución de la variable interna, cuya definición e decribe en la ección que igue. 50

51 4.9.1 Ley de evolución del daño La energía de deformación complementaria (W * ) de un miembro dañado e: 1 W * t = { M }[ F( d )]{ M } Ecuación Por lo tanto, de acuerdo a la Mecánica del Daño, la taa de diipación de energía del miembro e define como: G * W = Ecuación 4.23 d Sutituyendo la expreione de M y F(d ) en la ecuación 3.23, la expreión para la energía complementaria queda: * L 1 W = ( Mi + M j ) EI GAvL ( 1 d) L 1 + MM i j + 6EI GAvL 1 d ( ) Ecuación 4.24 entonce, egún la ecuación 3.23, G = ( M + M ) + M M 2 GA L 1 d GA L 1 d ( ) ( ) i j 2 i j 2 G v v ( Mi + M j) 1 = 2 GA L 1 v 2 ( d ) 2 Ecuación 4.25 V = M + M L e la fuerza cortante en el miembro (en auencia Sabiendo que ( i j) de carga aplicada al miembro tranverale a u eje), puede ecribire: G 2 V L 1 = 2 GA 1 v ( d ) 2 Ecuación 4.26 El criterio de Griffith, que e la bae de la Mecánica de la Fractura, etablece que olo puede haber propagación de una grieta i la taa de diipación de energía e igual a la reitencia al agrietamiento del miembro, e decir: 51