M Dolores Redondas Curso

Transcripción

1 M Dolores Redondas E.U. Arquitectura Técnica U.P.M. Curso

2 2 Problemas básicos de la estadística aplicada Algunos problemas básicos que suelen presentarse en la investigación cientíca son los siguientes: 1. Ordenación de la información. (Estadística descriptiva.) 2. Búsqueda de un modelo que explique el comportamiento de. (Probabilidad e inferencia.) 3. Análisis de la veracidad de una conjetura. (Inferencia.) 4. Estudio de la relación causal entre distintas variables. (Análisis de la varianza, diseño de experimentos y regresión.)

3 Objetivo de la Estadística Descriptiva El objetivo de la estadística descriptiva es obtener información de un conjunto de datos. La información de se obtiene mediante tablas de frecuencias, indicadores numéricos y grácos.

4 Algunas definiciones previas Algunas deniciones previas En el manejo de modelos estadísticos se utilizan tres conceptos fundamentales: Población: es el conjunto de todos los elementos que verican una cierta característica considerada de interés para el estudio estadístico. Individuo: cada uno de los elementos de una población. El número de individuos dene el tamaño de la población. Muestra: es cualquier subconjunto representativo de la población considerada.

5 Algunas definiciones previas Los individuos de una población poseen una serie de cualidades o propiedades que queremos estudiar. Existen dos clases de estas propiedades: Cuantitativas, susceptibles de expresarse mediante números. Por ejemplo, la edad, el número de hijos, el peso o la estatura. Cualitativas, que sólo pueden explicarse mediante palabras, como el color del pelo, la nacionalidad, el sexo, el estado civil, etc.

6 Algunas definiciones previas Las variables cuantitativas, también pueden clasicarse en: Cuantitativas discretas, toman únicamente valores enteros, como el número de hermanos, el número de asignaturas de las que estoy matriculado o los valores resultantes de lanzar dos dados. Cuantitativas continuas, toman valores en un intervalo y corresponden a medir magnitudes continuas, como la estatura, el peso, una distancia, una velocidad, el tiempo que transcurre entre la llegada de dos autobuses, etc.

7 7 Técnicas de estadística descriptiva En función de las características de la variable, las herramientas habituales de la estadisitica descriptiva son: 1. Tablas 2. Índices numéricos 3.

8 Tablas En las tablas se representa, de forma resumida, la frecuencia relativa y absoluta de cada uno de los sucesos. Frecuencia Absoluta: es el número de veces que un dato aparece en un conjunto. Frecuencia Relativa: es el número de veces que un dato aparece en un conjunto comparado con el número total de datos.

9 Tablas Tabla de frecuencias de cualitativa. Clases Frecuencia Frecuencia relativa Corte de las hojas Mala impresión Tinta irregula Encuadernación Portada Lomo Total Defectos de libros en una imprenta. 9 X f (frecuencia) fr (frecuencia relativa)

10 10 Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa Corte de las hojas Mala impresión Tinta irregula Encuadernación Portada Lomo Total Tabla de frecuencias de cuantitativa discreta. Tablas X f (frecuencia) fr (frecuencia relativa) Total 90 1 Número de llamadas recibidas en centralita durante un minuto.

11 Tablas Total 90 1 Tabla de frecuencias de cuantitativa continua. Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa Tiempo en minutos en realizar una operación. 11 Intervalo Frecuencia Frecuencia Frecuencia Porcentaje relativa acumulada % % % %

12 12 Tablas Intervalo Frecuencia Frecuencia relativa Tabla de frecuencias con información adicional. Intervalo Frecuencia Frecuencia Frecuencia Porcentaje relativa acumulada % % % % % Tiempo en minutos en realizar una operación.

13 13 Tablas Tabla DURACIÓN de frecuencias DE del INGRESOS StatGraphics. HOSPITALARIOS Lower Upper Relative Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency at or below -10,0 0 0, ,0 6, , , , , ,0 94 0, , ,0 31, , ,0 56, , , , , ,0 5 0, , ,0 81, , ,0 106,667 98, , , , ,0 1 0, , ,0 131, ,0000 above 140,0 0 0, Duración de los ingresos hospitalarios.

14 Tablas Problema de las tablas: Pueden ser poco informativas. Dependiendo del tipo de datos hay representaciones grácas que dan más información.

15 Medidas de Centralización Medidas de Centralización Informan sobre los valores en torno a los cuales se situa la variable. Media Mediana Moda

16 6 Medidas de Centralización La media es el valor promedio de los datos. x = x x n n Es un valor muy intuitivo y fácil de calcular. Es muy sensible a datos erróneos o anómalos (los llamaremos atípicos).

17 17 Medidas de Centralización Ejemplo Le preguntamos a 10 personas el número de plantas que tienen en casa. La media de estos datos es (3, 2, 6, 4, 1, 0, 1, 0, 9, 3) x = = 2,9

18 Medidas de Centralización La mediana es el valor central de los datos ordenados. Si n es par es el promedio de los dos valores centrales, si n es impar, es el valor central. Por ejemplo en los datos anteriores: (0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 6, 9) Si fuesen sólo 9 observaciones: 2 = 3,5 (0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9) 2.

19 9 Medidas de Centralización Frente a la media, la mediana tiene la ventaja de que no le afectan las observaciones atípicas. Tiene la desventaja de que es más costosa de calcular.

20 Medidas de Centralización La moda es el valor más frecuente. Puede haber ninguno, uno o muchos. La moda es una medida muy adecuada para variables cualitativas o cuantitativas discretas. En las variables continuas, al agrupar por clases, la existencia de más de una moda es síntoma de heterogeneidad. En el ejemplo, el valor 0 y el valor 1 aparecen dos veces, son los más frecuentes.

21 Medidas de Dispersión Medidas de dispersión Informan sobre lo separados que están los datos con respecto a la media. Rango Varianza (cuasi-varianza) Desviación Típica (cuasi-desviación típica) Meda

22 2 Medidas de Dispersión El rango R = max {x i } min {x i } La varianza s 2 = 1 n La desviación típica n (x i x) 2 i=1 s = s 2 La desviación típica, tiene la ventaja frente a la varianza de que las unidades de medida son las mismas que la de la variable.

23 3 Medidas de Dispersión La cuasi-varianza ŝ 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 La cuasi-desviación típica ŝ = ŝ 2

24 Medidas de Dispersión La meda es la mediana de las desviaciones absolutas a la mediana MEDA = mediana x i mediana

25 Otras Medidas Otras Medidas Completan la información proporcionada por las medidas de centralización y dispersión. Coeciente de variación Coeciente de asimetría Coeciente de curtosis Percentiles y Cuartiles

26 6 Otras Medidas El coeciente de variación es el inverso de la señal-ruido. Para datos que representan distintas mediciones de una misma magnitud, CV indica la magnitud del error con respecto a la cantidad medida. CV = s x Si es mayor que 1,5 hay que investigar posibles causas de heterogeneidad.

27 27 Otras Medidas El coeciente de asimetría mide la simetría de los datos con respecto a la media. (xi x) 3 CA = ns 3 Si es negativo, la distribución es alargada respecto a los valores menores que la media. Si es positivo, se alarga respecto a valores mayores de la media.

28 8 Otras Medidas El coeciente de curtosis mide la concentración de probabiliadd alrededor de la media. (xi x) 4 CA p = ns 4 Si es pequeña (menor que 3) los datos son casi uniformes o bimodales. Si es muy grande es que hay muy pocos valores extremos.

29 Otras Medidas El percentil p es el menor valor superior al p % de los datos. El primer cuartil es el percentil 25. El segundo cuartil es el percentil 50 o mediana. El tercer cuartil es el percentil 75. El rango intercuartílico es la diferencia entre el primer cuartil y el tercer cuartil.

30 0 Gráficos Ventajas y Desventajas Resumen la información de permitiendo ver mucha información de un vistazo: zona de concentración de los datos, varaibilidad, homegeneidad, simetría, atípicos,... No dan información precisa. La representación puede ser engañosa.

31 31 Gráficos Adecuación de los grácos Diagrama de barras Variables cualitativas y discretas. Diagrama de pareto Variables cualitativas y discretas. Pictograma Variables cualitativas y discretas. Histograma Variables continuas. Diagrama de Cajas Variables continuas.

32 2 de de ¾Para qué sirve? ¾Cómo se hacen con el Statgraphics? ¾Cómo afectan las transformaciones lineales a una variable? Compuébalo con el Statgraphics.

33 Distribuciones de frecuencias multivariantes Uno de los objetivos del análisis estadísitco es encontrar las relaciones que existen entre un grupo de variables. Por simplicar, suponemos que un conjunto de datos contiene los valores de dos variables (x, y). Llamaremos distribución conjunta de frecuencias de dos variables (x, y) a una tabla que representa los valores observados de ambas variables y las frecuencias relativas de aparición de cada par de valores.

34 34 X Distribución conjunta. Ejemplo. A 200 estudiantes se les ha preguntado cuantas veces van al cine y al teatro al mes, obteniéndose la siguente tabla conjunta de frecuencias relativas. Teatro Cine relativas mensuales de 200 estudiantes.

35 Distribución conjunta. La información se completa sumando las las y las columnas. Teatro Cine Total Total relativas mensuales de 200 estudiantes. 35 y 1 y 2... y n

36 Teatro Teatro Cine Total Cine Distribución conjunta En general Total 0.72 la distribución conjunta 1 de frecuencias 4de dos variables es de la forma: y 1 y 2... y n x 1 f r (x 1,y 1 ) f r (x 1,y 2 )... f r (x 1,y n ) x 2... X j f r (x 1,y j ) X x m f r (x m,y 1 ) f r (x m,y n ) f r (x m,y j ) X j f X r (x i,y 1 ) f r (x i,y n ) 1 i i Tabla de contingencia y 1 y 2... y n x 1 f r (x 1,y 1 ) f r (x 1,y 2 )... f r (x 1,y n ) f r (x 1 )= X j f r (x 1,y j )

37 Total Distribucióny 1 marginal. y 2... y n X x 1 f r (x 1,y 1 ) f r (x 1,y 2 )... f r (x 1,y n ) f r (x 1,y j ) j Se llama distribución marginal de a la obtenida x 2.. al estudiar la variable aisladamente, con independencia del.. resto. X. x m f r (x m,y 1 ) f r (x m,y n ) Se obtiene de la distribución marginal acumulando f r (x m,y j ) X j en los márgenes de f X r (x la i,y tabla 1 ) i la suma de f r (x las i,y frecuencias n ) 1 i relativas de las las o las columnas. y 1 y 2... y n x 1 f r (x 1,y 1 ) f r (x 1,y 2 )... f r (x 1,y n ) f r (x 1 )= X j f r (x 1,y j ) x 2... x m f r (x m,y 1 ) f r (x m,y n ) f r (x m )= X j f r (x m,y j ) f r (y 1 )= X i f r (x i,y 1 ) f r (y n )= X i f r (x i,y n ) Tabla de contingencia.

38 38 Distribución condicional. La distribución condicionada de y para x = x i es la distribución univariante de la variable y que se obtiene considerando sólo los términos que tienen para la variable x el valor x i. f r (y j x i ) = f r (x i, y j ) f r (x i ) De forma similar se puede denir la distribución condicionada de x para y = y i. f r (x j y i ) = f r (x i, y j ) f r (y i )

39 39 x 1 f r (x 1,y 1 ) f r (x 1,y 2 )... f r (x 1 x 2. Distribución. condicional.. x m f r (x m,y 1 ) f r (x m Para calcular la distribución f condicional con la tabla de r (y 1 )= X f r (x i,y 1 ) f r (y n )= X i contingencia de dos variables: X Y = y i x 1 f r (x 1,y 1 ) f r (y 1 ) x 2 f r (x 2,y 1 ) f r (y 1 ).. f r (x m,y 1 ) x m f r (y 1 ) 1 C Distribución condicionada.

40 40 Varias f r (x Variables m,y n ) f r (x m )= X f r (x m,y j ) j f r (y n )= X f r (x i,y n ) 1 i Distribución condicional. En nuestro ejemplo: Cine Teatro = / / / / Total 0.72/ Distribución condicionada.

41 Independencia de variables. Se dice que dos variables son independientes si el conocimiento de una de ellas no aporta información sobre los valores que toma la otra. En caso contrario se dice que son dependientes. Si las distribuciones condicionadas nos tienen diferencias entre si, ni diferencias con la marginal, se puede intuir que son independientes.

42 2 Covarianza. En el estudio conjunto de variables continuas interesa disponer de una medida descriptiva de la relación entre cada par de variables. Una medida descriptiva de la relación lineal entre variables es la covarianza Cov (x, y) = 1 n (xi x) (y i y)

43 43 Covarianza. La covarianza también se puede expresar como Cov (x, y) = 1 n x i y i xy Para datos agrupados en clases la covarianza es Cov (x, y) = (x i x) (y j y) f r (x i.y j ) i j

44 44 La covarianza depende de las unidades de medida de las variables. Coeciente de Correlación. Una medida adimensional de la relación lineal entre dos variables es el coeciente de correlación r = Cov (x, y) s x s y

45 45 Coeciente de Correlación. Tiene el mismo signo que la covarianza es adimensional, si multiplicamos por k, el coeciente de correlación no varía. si existe una relación lineal exacta (y = ax + b), el coeciente vale 1 (si a > 0) o 1 (si a < 0) si no existe una relación lineal exacta, 1 < r < 1.

46 Coeciente de Correlación. Sólo mide la relación LINEAL r 1 = 0,02, r 2 = 0,94, r 3 = 0,93, r 4 = 0,56

47 Independencia lineal. A partir de la covarianza y de la correlación, sólo podemos medir la independencia lineal. Si dos variables aleatorias son independientes, entonces son incorreladas, pero lo contrario no es cierto.

48 Recta de Regresión Cuando dos variables están relacionadas de forma lineal, los puntos tienden a agruparse en el diagrama de dispersión alrededor de una recta. El objetivo será encontrar una recta y = a + bx de forma que la distancia de los puntos observados y i, y los puntos previstos por la recta para esa observación x i, sea la más pequeña posible. a + bx i

49 49 Recta de Regresión Los parámetros que minimizan esa distancia son a = y bx b = Cov (x, y) s 2 x

50 0 Recta de Regresión. Ejercicio de Statgraphics Calcular la variable estatura promedio de vuestro padres. Calcular la regresión lineal de vuestra estatura, y, con respecto a la estatura promedio de vuestros padres. Repetir el análisis para los hombres y para las mujeres por separado.