Análisis y Control de Sistemas Lineales. Modelado de Sistemas mecánicos

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Análisis y Control de Sistemas Lineales. Modelado de Sistemas mecánicos"

Vanesa Rodríguez
hace 5 años
Vistas:

1 Análisis y Control de Sistemas Lineales Modelado de Sistemas mecánicos

2 Contenido Modelos de elementos mecánicos de traslación Ejemplos Modelos de elementos mecánicos de rotación Ejemplos Ejercicios

3 Modelos de elementos mecánicos de traslación x x x

4 El efecto de la gravedad d y M + Ky = dt y = ( x ) f ( t) d x M + Kx = f ( t) + dt Mg d x M + Kx = f ( t) + dt K

5 Ejemplo : Modelo de un sistema masa resorte m d x/dt d x dx m + b + kx= dt dt F ext. ms G( s) X( s) + bsx ( s) + kx( s) = Fext.( s) X ( s) = Fext.( s) ms + bs + k = m = kg N s b = 0. m N k = 5 m F 9. N ext. = 8

6 Ejemplo : Modelo de un carrito con resorte y amortiguamiento m + x bx + kx= u(t) U ( s) = m X ( s) s + b s + k m m

7 Ejemplo 3: Masas en movimiento y,v y,v K K M M B B M y + B y + Ky + K( y y) = M y + B y + K ( y y) = 0 0 ( K + K) y K y + B y + M y K y + K y + B y + M y = = 0 0

8 Ejemplo 4: Sistema de suspensión de un automóvil M es la masa de la llanta, M es ¼ de la masa del chasis del automóvil, K es la constante elástica de la llanta y K es la constante elástica del resorte de suspensión y B es la constante del amortiguador. La entrada r(t) es el nivel de la calle y la salida y(t) es la posición vertical del chasis del automóvil respecto a algún punto de equilibrio. Chasis de automóvil Llanta M K B M K y(t) = salida q(t) r(t) = entrada

9 Ejemplo 4: Sistema de suspensión de un automóvil M K B M K F = M / 4 = 5kg = 357N / m = 357N s / m = 0kg = 7855N / m ent. = 544 N Chasis de automóvil Llanta M K B M y(t) = salida q(t) F ent es producida por el desplazamiento r(t) K r(t) = entrada M q + B ( q y ) + K( q y) + Kq = Kr M y + B( y q ) + K( y q) = 0

10 Ejercicio : Encuentre el modelo A) B)

11 Ejercicio : Encuentre Y(s)/F(s) Considere que antes de la aplicación de la fuerza f(t), el sistema se encontraba en reposo. Encuentre: k b Las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico f(t) M k y(t) La función de transferencia de la posición de la masa respecto a la fuerza de entrada. M x(t)

12 Modelos de elementos mecánicos de rotación M k = K ( ) Fricción viscosa rotacional M B = B ( )

13 Ejemplo 5: Flecha de un motor Consideraciones La barra es indeformable La fricción es viscosa B J M m TL J + B = M m T L

14 Ejemplo 6: Sistema de polea con contrapeso x T T m J f r B K El momento de inercia de la polea respecto al eje de rotación es J; la constante de fricción en el eje es B. El radio de la polea es r. La constante del resorte es K, la masa del objeto es m y la tensión de la cuerda es T. Se aplica una fuerza f en el sentido de la fuerza de gravedad ( J + m r ) + B + K r = f r

15 Ejemplo 8: Transmisión de torque sin pérdidas Considere La relación de radios La conservación de la potencia T = T T El torque de reacción en cada flecha. J + T = T J = T TL Poner todo en términos de J + J r r ) = T r = r = ( ) T ( r ) ( L r r r T T r,j r,j TL

16 Ejemplo 9: Péndulo simple Consideraciones El ángulo es pequeño sen( )= Sin fricción en el pivote La masa m está suspendida del techo por una barra indeformable de longitud l. J = l m J = lmg sen( ) T mg sen( ) l m mg l = g sen( )

17 Ejemplo 0: Péndulo con restricción Consideraciones El ángulo es pequeño. Sin fricción en el pivote La masa m está suspendida del techo por una barra indeformable de longitud l. La barra está restringida a la distancia a por medio de dos resortes con constantes K y K. K a T l m K mg

18 Ejemplo 0: Péndulo con restricción () El desplazamiento en el eje x x = a sen( ) El brazo de palanca en el eje y y = a cos( ) El equilibrio de momentos alrededor del punto de pivote K y x a T l K mg sen( ) m J = l m J + K x y + K x y = lmg sen( ) mg l m + ( K + K) a sen( ) a cos( ) = lmg sen( )

19 Ejercicio 3: Barra y bola Consideraciones La bola NO rueda, sino, simplemente se desliza SIN fricción por la barra. El ángulo α es pequeño α Se aplica un torque T al eje conectado al centro de la barra con fricción B.

20 Euler-Lagrange: Definiciones Coordenadas generalizadas q i : Conjunto de coordenadas independientes que se requieren para describir completamente el movimiento de un sistema Cantidad de coordenadas generalizadas: número de grados de libertad Lagrangiano: L = T U Donde T es la energía cinética U es la energía potencial

21 Euler-Lagrange: Lagrangiano El Lagrangiano L es función de la coordenadas generalizadas q i, de las derivadas de las coordenadas generalizadas q ሶ y del tiempo t. L = L(q i, ሶ q i, t) Ecuación de Euler-Lagrange para sistemas conservativos, o ecuación de movimiento de Lagrange para n coordenadas generalizadas d dt L q i ሶ L q i = 0, (i =,,, n)

22 Ejemplo : Péndulo simple por Euler-Lagrange La energía cinética T = m l θሶ Si para = 0 la energía potencial es cero, la energía potencial U = mgl( cos θ ) l l El Lagrangiano L es m L = T U = m l ሶ θ mgl( cos θ ) mg

23 Ejemplo : Péndulo simple por Euler-Lagrange () La ecuación de Lagrange d dt L ሶ θ L θ = 0 d dt ml ሶ θ + mglsen(θ) = 0 l l ml ሷ θ + mglsen(θ) = 0 m ሷ θ + g l sen(θ) = 0 mg

24 Ejercicio 4: Péndulo con restricción Consideraciones: El ángulo es pequeño. Sin fricción en el pivote La masa m está suspendida del techo por una barra indeformable de longitud l. La barra está restringida a la distancia a por medio de un resorte con constante K. La fuerza ejercida por el resorte es cero cuando = 0 K a l m mg

25 Ejercicio 5: Péndulo móvil Consideraciones Es un sistema de dos grados de libertad. La energía potencial cuando x = 0 y = 0 se toma como cero. El ángulo es pequeño. No hay fricción en el pivote del péndulo ni en el carrito. La posición horizontal de la masa respecto al sistema coordenado tiene dos partes. La velocidad de la masa tiene componente horizontal y vertical. La barra que sostiene la masa no se deforma y su masa es despreciable. K M x m l mg

26 Función de disipación de Raleigh En los sistemas no conservativos, se disipa energía (sistemas amortiguados). D es la función de disipación de Raleigh. Suponiendo r amortiguadores viscosos, la función D se define como: D = (b δ + b δ + + b r δ r ) Donde b i es el coeficiente del i-ésimo amortiguador viscoso y δ i es la diferencia de velocidad a través del i- ésimo amortiguador viscoso, la cual puede expresarse en función de las velocidades generalizadas q i ሶ.

27 Euler-Lagrange para sistemas no conservativos Para sistemas no conservativos, mediante el uso de la función de disipación de Raleigh tenemos: d dt L q i ሶ L q i + D q i = 0, (i =,,, n) Si además existen fuerzas de entrada (generalizadas), con Q i como la fuerza generalizada para la i-ésima coordenada generalizada d dt L q i ሶ L q i + D q i = Q i, (i =,,, n)

28 Ejemplo : Encuentre Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange Considere que antes de la aplicación de la fuerza f(t), el sistema se encontraba en equilibrio. Encuentre las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico. k M f(t) M b k y(t) x(t)

29 Ejemplo : Encuentre Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange () La energía cinética T = M xሶ + M yሶ M y(t) La energía potencial, la cual considera 0 cuando x=0 y y=0. U = k x + k x y La función de disipación de Raleigh es: k M f(t) x(t) D = (b xሶ ) Con f(t) como la fuerza generalizada para la coordenada x, el Lagrangiano es: b k L = T U = M xሶ + M yሶ k x k x y

30 Ejemplo : Encuentre Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange (3) Las ecuaciones de Lagrange d dt d dt L xሶ L yሶ Son: d dt M x ሶ + k x + k (x y) + b x ሶ = f(t) d dt M yሶ k (x y) + 0 = 0 finalmente L x + D x = f(t) L y + D y = 0 M x ሷ + b x ሶ + k x + k (x y) = f(t) M y ሷ + k (y x) = 0 k M f(t) M b k y(t) x(t)

31 Referencias Ogata, Katsuhiko. Dinámica de Sistemas, Prentice Hall, 987, México. Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automático, Ed. 7, Prentice Hall, 996, México. Alciatore G., David; Histand B., Michael. Introduction to mechatronics and measurement systems. ª Ed., McGraw Hill, USA, 003.

Documentos relacionados

Ejemplos de los capítulos I, II, III y IV

Ejemplos de los capítulos I, II, III y IV 1. Considere el péndulo compuesto mostrado a continuación. Dicho péndulo consiste de una barra esbelta de longitud L, masa m, pivotada en el punto O. Utilizando el desplazamiento angular de la barra θ