AUTO-ENSAMBLAJE Y BALDOSAS DE ADN

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1 AUTO-ENSAMBLAJE Y BALDOSAS DE ADN 7 de eptiembe de 4

2 Índice geneal Intoducción. Computación y embaldoado ADN y eaccione báica Citalización: un poceo de auto-enamblaje Definicione y eultado báico. El modelo de auto-enamblaje Reultado báico Complejidad de poduci únicamente un T -enamblaje Deteminimo 3 3. Lattice ditibutivo Condicione uficiente paa poduci únicamente un T -enamblaje Complejidad en la pogamación de ectángulo 3 4. Tempeatua contante y ectángulo delgado Tempeatua contante y ectángulo gueo Aumentando la Tempeatua a T = Concluione 4

3 Capítulo Intoducción Una bacteia E. Coli mide apoximadamente nanómeto cúbico. Gueamente, el mimo tamaño de un tanito en chip de computadoe modeno. En vez de almacena un único bit de infomación, la E. Coli almacena má de un megabyte de infomación genética en u ADN. Éta e ólo una mueta de cómo la tecnología biológica puede upea vatamente la tecnología indutial actual. Leonad Adleman decubió que la denidad del almacenamiento de infomación en el ADN, combinada con el paalelimo de la eacione química, tiene potencial paa ealiza cómputo matemático enome. En 994, Adleman [] eolvió una pequeña intancia del poblema del camino Hamiltoniano uando paa ealiza lo cómputo, molécula de ADN. Ete nuevo método poee numeoa ventaja páctica. Po ejemplo, milímeto cúbico de olución puede almacena bit de infomación codificada como ADN, y eaccione química, tale como actividad enzimática o imple hibidación, pueden pocea eta infomación en paalelo. El método que Adleman uó e baa en una búqueda combinatoial a tavé de la ceación de una libeía de heba de ADN en cuya ecuencia e encuentan codificada la olucione potenciale del poblema. Po medio de técnica de biología molecula tale como PCR (polymeaa chain eaction), epaación magnética y gel electophoei, la libeía puede e filtada paa enconta la olución. En ecencia, eta técnica pemite tanfoma un poblema que equiee tiempo exponencial en uno que equiee epacio exponencial. Pegunta tale como cuále on la mejoe técnica de laboatoio paa la computación molecula o cómo uala de manea óptima, etán aún abieta. En eto témino e paticulamente inteeante conidea la vaiedad de mecanimo que ocuen en el contol de lo poceo intacelulae, en aa de entende la etuctua de lo algoitmo que con ete tipo de método e puede implementa. Una teoía geneal de computación molecula debeía ugei el cómo dieña itema bioquímico capace de efectua cualquie algoitmo.

4 .. COMPUTACIÓN Y EMBALDOSADOS. Computación y embaldoado El Poblema del embaldoamiento (The tiling Poblem) fue intoducido po Hao Wang en 96 [] paa etudia una pegunta de lógica matemática. La pegunta e imple: dado un conjunto finito de baldoa geomética (po ejemplo polígono), detemina cuándo éta pueden e dipueta (uando cada baldoa tanta vece como ea neceaio) paa cubi el plano completo in upeponee. La epueta a eta imple pegunta e que no exite ningún algoitmo que entegue, paa todo lo cao, la epueta coecta: el tiling Poblem e indecidible [5]. La demotación de ete eultado e baa en la contucción de patone de embaldoamiento capace de imula una máquina de Tuing. E peciamente en eta elación ente embaldoado y computación donde e centa nueta atención y nueto inteé. Paa iluta mejo eta elación conideemo un ejemplo: en la figua. e mueta un conjunto de 7 baldoa, que embaldoan el plano al mimo tiempo que implementan un contado binaio. El objetivo e implemente conta,, 3, 4, 5,..., peo en bae. E deci,,,,,,... La foma de la baldoa epeenta la infomación uada en el cómputo: lo lado de aiba y de abajo codifican el valo del bit en el contado, mienta que lo lado de la deecha y de la izquieda e uan paa indica i el bit debe o no cambia u valo. La baldoa emilla S deata el cómputo y la baldoa de acotamiento poveen la condicione iniciale. La baldoa de acotamiento po abajo codifican lo bit iniciale... La baldoa de acotamiento po la deecha poducen una eie de comando paa incementa el último bit en cada columna. Po último, la cuato baldoa de egla, que epeentan la egla de cálculo, implementan la iguiente lógica: i el bit de la deecha no e de cambio, el bit mantiene u valo, i el bit de la deecha e de cambio, cambia a, y cambia a. E impotante nota que, paa que en el ejemplo anteio el patón eultante ea el coecto, e neceaio que la baldoa de acotamiento e enamblen a la baldoa emilla ante de ua la baldoa de egla y que la baldoa de egla ean agegada olamente cuando ya etán peente la baldoa de la deecha y la de abajo. Eta condicione pevienen la fomación de embaldoado en auencia de la baldoa de acotamiento (como un embaldoado peiódico que contenga únicamente baldoa con u cuato lado de tipo ) como también pevienen la fomación de embaldoado incompleto. Eic Winfee [] motó cómo, uando la tempeatua, eta condicione pueden e implementada en un cieto tipo de baldoa moleculae o baldoa de ADN contuida en bae a ecuencia epecífica de hibidación y dieñada paa auto-enamblae epontáneamente y foma embaldoado que ealicen cómputo o adopten una foma o figua pedefinida.. ADN y eaccione báica La química fundamental del ADN etá baada en una doble hélice fomada po do heba unida bajo el pincipio de complementaiedad de Waton-Cick. Cada heba e una ecuencia 3

5 .. ADN Y REACCIONES BÁSICAS Figua.: Un itema de 7 baldoa que foman un embaldoado apeiódico, la fila en el embaldoado epeentan enteo, ecito en binaio. 4

6 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Enlace covalente 3 A A G G C T 5 Puente de hidogeno. 5 T A T C C G 3 Figua.: Lo puente de hidógeno ólo pueden fomae ente lo nucleótido A y T o ente C y G. Paa que do heba de ADN e unan (hibidación) deben e anti-paaela y complementaia. de unidade enlazada covalentemente. Cada unidad conite de do pate: la pimea pate e común a toda la unidade y coeponde al azúca-fofato. La egunda pate e la que identifica a la unidad etiquetándola con una de la cuato bae: adenina, timina, citoina y guanina (A, T, C, G). La heba on oientada; tienen extemo 3 y 5. Cuando el ADN da luga a una hélice de doble heba, la heba deben e antipaalela, y la bae e deben alinea de manea complementaia (A con T, C con G). Tale heba eciben el nombe de ecuencia Waton-Cick complementaia (Figua.). La heba complementaia eaccionan fomando puente de hidógeno, contituyendo una nueva molécula de ADN. En la figua.3 a.7 apaecen, junto con alguna eaccione que debemo conidea, la molécula que eta eaccione foman..3 Citalización: un poceo de auto-enamblaje Paa motiva el modelo de auto-enamblaje, conideemo el poceo fíico de citalización. En témino geneale, la citalización e el nombe que ecibe el poceo mediante el cual la mateia cambia u etado dede gaeoo o líquido a ólido. La patícula que componen la mateia en etado gaeoo o líquido flotan libemente en el medio en el que e encuentan. Al diminui la tempeatua, la patícula (que eciben el nombe de monómeo) foman enlace ente ella oganizándoe egún un patón deteminado que depende del tipo de monómeo que componen el itema, dando luga a un cital. A medida que lo enlace e foman y el cital va ceciendo, lo monómeo on agegado uno a uno a la upeficie del cital, enlazándoe en itio epecífico. En el cao en que exita má de un tipo de monómeo, pueden habe ditinto tipo de itio de enlace, cada uno con afinidad paa ditinto tipo de 5

7 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Figua.3: Eta e una eacción canónica paa el ADN. Do heba con ubecuencia complementaia fomaán puente de hidógeno (hibidación) ente lo pae de bae complementaio, fomando una nueva molécula. La etabilidad de eta eacción (la cual e eveible) depende pincipalmente de la tempeatua y de la concentación de ale. La tempeatua umbal (bajo la cual la molécula piede u etabilidad, ya que e ompen lo puente de hodógeno y la heba e epaan, denatuándoe) depende a u vez del númeo de pae de bae enlazado. Figua.4: Eta eacción e un cao epecial de la anteio donde la ubecuencia complementaia ocuen en lo extemo de cada heba. Note que la egione no enlazada ( extemo pegajoo ) etán diponible paa eaccione poteioe con má ADN. 6

8 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Figua.5: La eacción anteio puede e uada paa uni do molécula de doble heba con extemo pegajoo complementaio. Si la enzima ligaa etá peente en la olución, la dicontinuidade que quedan en cada heba pueden e epaada a tavé de la fomación de enlace covalente obteniendo do heba continua que foman una ola molécula de doble heba. Figua.6: Éta e la ma imple de la eaccione con má de do heba. El poceo de enamblado de eta etuctua e ecuencial. Aquí olo e mueta la molécula final. 7

9 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Figua.7: Éta e la etuctua ma complicada que conideaemo. Eta molécula, llamada DAE (heba en hélice antipaalela con doble cuzamiento), poee buena popiedade de igidez y una dipoición iempe plana. Note lo extemo pegajoo. monómeo. Típicamente, la unidade (monómeo) eultan en un odenamiento peiódico. En ete cao el ólido final contituye un mateial homogéneo. La pegunta de cuándo ete odenamiento eulta neceaiamente peiódico ha ido etudiada en matemática en el contexto de embaldoado (tiling) en do dimenione. Un eultado opendente en la teoía de embaldoado e que exiten conjunto de baldoa que admiten ólo embaldoado apeiódico del plano [5]. Seá poible taduci eto eultado puamente matemático de vuelta al mundo fíico, paa poduci citale apeiódico, o incluo citale que ealicen cómputo? Como ya mencionamo, Eic Winfee [] motó como cieto tipo de molécula de ADN (DAE) puede e uado paa contui baldoa moleculae uceptible de e pogamada paa autoenamblae (citalizae) en un cital capaz de imula cualquie autómata celula. El modelo que conideaemo en ete tabajo fue popueto po Eic Winfee [9] con el nombe de Tile Aembly Model. La unidade fundamentale en ete modelo (lo monómeo) on baldoa cuadada (tile) con pegamento en cada una de u aita. La baldoa e pegaán ente í (e fomaán enlace ente lo monómeo) ólo cuando la aita adyacente tengan pegamento compatible. Eic Winfee [] demotó expeientalmente que un modelo emejante puede e implementado en un itema molecula: cada baldoa e epeentada po una molécula de ADN con doble cuzamiento (DX) con cuato extemo pegajoo cuya ecuencia epeentan lo pegamento de la aita (Figua.8). 8

10 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Figua.8: Repeentación de la baldoa con ADN. (a) Una baldoa molecula (molécula de doble cuzamiento). La molécula conite de una egión etuctual inteio (en nego) y cuato bazo de doble heba, cada uno teminado po un extemo pegajoo. Lo pegamento on implementado uando extemo pegajoo con ecuencia única. Lo cuzamiento etán enceado en cículo, y lo punto nego denotan lo extemo 5 de cada heba. Lo coloe e uan paa indica la etiqueta (el pegamento) de cada aita epeentada, po lo tanto cada heba e multicolo. 9

11 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Como vimo ante, la etabilidad de lo enlace ente molécula de ADN depende fuetemente de un paámeto exteno: la tempeatua peente en el medio. En el modelo de auto-enamblaje cada pegamento tiene aociado un pode que detemina, en elación a la tempeatua, la etabilidad de la unione ente la baldoa. La baldoa no pueden e otada ni eflejada. De cada tipo de baldoa, el cual etá completamente definido po lo pegamento de u aita, hay una cantidad infinita de ejemplae flotando en una upeficie bidimenional. La baldoa e van agegando una po una a una etuctua ya enamblada. Cuando una baldoa colinda con el bode de la etuctua, e agega a ella i e atiface imultáneamente que lo lado colindante tengan pegamento compatible y que el pode de dicho pegamento ea uficiente en elación a la tempeatua. Se aume que lo podee de lo pegamento actúan de manea coopeativa. E deci, i lo lado colindante que tienen pegamento compatible on má de uno, entonce la uma de dicho podee e la cantidad que debe e uficiente en elación a la tempeatua paa mantene etable la unión. La hipótei biológica paa que dicha molécula e compoten acode al modelo de auto-enamblaje on:. La molécula de doble cuzamiento pueden e dieñada en el laboatoio paa autoenamblae en citale bidimenionale (figua.9). Eto ha ido demotado en un itema expeimental ([]).. El pode de lo pegamento puede e implementado dieñando extemo pegajoo con enegía epecífica de hibidación. El pode de hibidación del ADN depende pincipalmente del númeo de bae de pae. Aí, po ejemplo, extemo pegajoo má lago pueden e uado paa epeenta pegamento má podeoo (figua.9). 3. La hibidación de la molécula DX, cuando do extemo pegajoo on complementaio, e coopeativa. Luego, lo podee e uman. Evidencia empíica de eto e peenta en []. Paa pode fomula con claidad la pegunta de nueto inteé aceca del modelo debemo pecia, po ejemplo, qué ignifica que un pode ea uficiente paa mantene etable un enlace. Paa ello e neceaio intoduci el modelo matemático.

12 .3. CRISTALIZACIÓN: UN PROCESO DE AUTO-ENSAMBLAJE Figua.9: Repeentación de la baldoa con ADN. (b) El auto-enamblaje de 9 baldoa moleculae, de 5 tipo ditinto. Lo extemo naanjo y ojo iendo má lago epeentan pegamento ma podeoo.

13 Capítulo Definicione y eultado báico. El modelo de auto-enamblaje Fomalmente, una baldoa t = (σ N, σ E, σ S, σ O ), σ i Σ, e una unidad cuadada y oientada, con u lado note, ete, u y oete etiquetado con algún pegamento de un alfabeto Σ. Aumimo que null Σ. Diemo que una función g : Σ Σ N {} e de pode i g(x, y) = g(y, x) x, y Σ y g(null, x) = x Σ. Paa cada baldoa t denotaemo la etiqueta de u lado i = {N, E, S, O} como σ i (t) Σ. Repeentaemo la diección opueta a i como i. Ademá uaemo N, S, E, O paa epeenta funcione de Z Z : N(x, y) = (x, y + ), S(x, y) = (x, y ), E(x, y) = (x +, y), O(x, y) = (x, y). Sea T un conjunto finito de baldoa. Aumiemo que T contiene una baldoa epecial vacía= (null, null, null, null). Una configuación de T e una función C : Z Z T. Ecibiemo (x, y) C i C(x, y) vacía. Una configuación C e diá no vacía i exite (x, y) C. Dada una baldoa t T, y un pa (x, y) Z Z, denotaemo po C (x,y) t a la configuación que veifica: C (x,y) t (i, j) = { t i (i, j) = (x, y) vacía en oto cao Definimo la uma C de do configuacione A y B como C = A + B donde: A(x, y) i B(x, y) = empty C(x, y) = B(x, y) i A(x, y) = empty en oto cao Note que C = A+B eá una configuación i y olo i A y B on configuacóne dijunta. Decimo que {A, B} e una patición de C.

14 .. EL MODELO DE AUTO-ENSAMBLAJE Fontea ente y C C C C Figua.: Fontea ente C y C. Definimo la unión J de do configuacióne A y B como J = A B donde: A(x, y) i A(x, y) = B(x, y) o B(x, y) = vacía J(x, y) = B(x, y) i A(x, y) = B(x, y) o A(x, y) = vacía en oto cao Note que = A B eá una configuación i y ólo i coinciden en lo punto del plano en que e upeponen. Definimo la enegía de una configuación C como la uma de todo lo podee de inteacción ente baldoa: G(C) = x,y Z i g(σ i (C(x, y), σ i (C(i(x, y)) Decimo que una configuación C e un T -enamblaje (o bien que C e T -etable) i no puede e paticionada en do ubconfiguacione no vacía C y C tale que el pode de inteacción en la fontea ente ella ea meno que la tempeatua T, e deci, tale que g(c, C ) < T (donde g(c, C ) = G(C) [G(C ) + G(C )] ve figua..) Sea C T el conjunto de todo lo T -enamblaje de T. Un itema de baldoa T e una 4-tupla T,, g, T donde T e el conjunto de baldoa, e una baldoa epecial que llamaemo emilla, g e la función de pode y T e la tempeatua. También denotaemo po al T -enamblaje S = {C (,) }. Nueta dinámica etaá definida po una elación ente T -enamblaje de T. Ecibiemo C T C i exite una baldoa t T y una poición (x, y) tal que C = C + C (x,y) t. 3

15 .. EL MODELO DE AUTO-ENSAMBLAJE En ota palaba, una baldoa t puede e agegada a un T -enamblaje C i la uma de lo podee de inteacción ente t y u vecino en C, e al meno la tempeatua T. Sea T la ceadua eflexiva y tanitiva de la elación T. Sea T= T, S, g, T un itema de baldoa. Se define el conjunto de T -enamblaje poducido po T como: Pod(T) = {A C T t.q. T A} y el conjunto de T -enamblaje teminale de T como: Tem(T) = {A Pod(T) t.q. B A t.q. A T B} Note que i C etá en el Pod(T), entonce C debe contene a la emilla. Note que, en geneal, Tem(T) Pod(T) C T. En adelante llamaemo nodo a lo elemento del Pod(T), y hoja a lo elemento del Tem(T). Nooto entendeemo T con u dinámica como un gafo diigido G(T) = (V, E) donde: V = { N / N e nodo de T } E = { (N, N ) V / N T N } Si T e tal que V < y exite una única hoja H diemo que T poduce únicamente H. Paa iluta ete modelo, conideemo la 7 baldoa de la figua.. Hay cuato pegamento difeente, de podee,,,. A tempeatua T =, cualquie monómeo puede agegae de manea etable, po lo que configuacione aleatoia on poducida. A tempeatua T =, al meno un lado debe e compatible paa que el monómeo pueda agegae de manea etable, la configuacione poducida dependen de la ecuencia paticula en que lo monómeo fueon agegado. A tempeatua T =, paa cada poición exite una única baldoa que puede agegae en ea poición, independiente de la ecuencia de evento. Bajo eta condicione, ete conjunto de baldoa poduce el Tiángulo de Siepinki, calculando el Tiángulo de Pacal mod. A tempeatua T = 3, ninguna configuación e poducida, pue ningún monómeo puede agegae de manea etable. Etamo en condicione de adentano en la pegunta que on el objetivo puntual de eta memoia. No efeimo a pegunta que conidean el auto-enamblaje como una heamienta que podía pemiti la contucción maiva de objeto a una ecala molecula y con peciión nanomética. En ete contexto, un itema de baldoa puede e vito como un pogama paa contui una figua deeada. 4

16 .. RESULTADOS BÁSICOS Figua.: El Conjunto de baldoa e mueta en (d). Lo podee etán indicado numéicamente, y lo pegamento etán denotado gáficamente. En (a), (b) y (c) la baldoa pequeñita indican la poibilidade paa agega una baldoa de manea etable. (a) Cuando T =, cualquie baldoa e puede agega de manea etable, po lo tanto e poducen -enamblaje aleatoio. (b) Cuanto T =, típicamente también exiten vaia poibilidade paa cada poición, po lo tanto e poducen -enamblaje aleatoio. (c) Cuando T =, exite una única poibilidad paa cada poición, eultando en un único patón de fomación.. Reultado báico Que un itema de baldoa poduzca una figua dada ignifica que, independientemente de la ecuencia de evento, iempe la etuctua final debe e dicha figua. Eto intoduce el concepto de auto-delimitación (cece ólo hata un tamaño fijo), condición que debiea eta implícita en el dieño de la baldoa que contituyen el itema de baldoa. Una de la pegunta inteeante que uge de manea natual a popóito de lo anteio e cuándo un conjunto dado de baldoa pemite un cecimiento incontolable. Eto e, cuándo enamblaje de tamaño abitaiamente gande pueden e poducido po un itema de baldoa. Sea S = {T : T e un itema de baldoa que poduce un T -enamblaje de tamaño 5

17 .. RESULTADOS BÁSICOS abitaiamente gande}. Leonad Adleman [3] demotó que el conjunto S e indecidible paa todo T. La demotación conite en poba, vía educción dede el Tiling Poblem, la indecidibilidad del conjunto C = { T: T e itema de baldoa que poduce una culeba infinita}, y luego mota que el conjunto S e idéntico a C. El eultado anteio conidea itema de baldoa abitaio que, en geneal, e compotan de manea no deteminita (pueto que paa una etuctua en fomación, i elegimo una poición libe en el bode, pueden exiti má de una baldoa uceptible de agegae de manea etable a la etuctua en ea poición). Si emovemo eta condición, y conideamo Sitema de Baldoa deteminita (en un entido que peciaemo) e poible demota que ahoa cuando T =, el conjunto S e decidible. Má aún, exite un algoitmo polinomial que lo decide. Sin embago, cuando T, el conjunto S igue iendo indecidible incluo paa el cao deteminita. Definición... Un itema de baldoa T e diá deteminita i paa todo pa (i, j) Z Z y paa todo pa de nodo N y N de T tale que (i, j) petenece a N y a N, e cumple que N(i, j) = N (i, j). En ota palaba, T e deteminita i paa toda poición exite una única baldoa que puede, eventualmente, agegae en ea poición. Definiemo el gafo de adyacencia G(C) de un T -enamblaje C como igue. Lo vetice etaán dado po V = {(i, j) Z Z/C(i, j) }. Habá un un aco ente do poicione (i, j ) y (i, j ) i y olo i i i + j j =. Teoema... Paa itema de baldoa deteminita, i T = entonce el conjunto Sd = {T : T e un itema de baldoa que poduce un -enamblaje de tamaño abitaiamente gande} e decidible. Má aún, exite un algoitmo que lo decide en tiempo polinomial. Demotación: Conidee el iguiente algoitmo: DECIDOR(T= T,, g, ) A =, n = Mienta n ( T + ) hace: i (exite t T tal que A + t Pod(T)) A A + t; n + +; i no acepta echaza 6

18 .. RESULTADOS BÁSICOS Veamo que DECIDOR acepta una entada w i y olo i w / Sd. En efecto, i DECIDOR acepta w entonce claamente A e un hoja de T. El deteminimo implica que T poduce únicamente A y po lo tanto w / Sd. Si DECIDOR echaza w, entonce debe exiti una poición (x, y) tal que A(x, y) con max{ x, y } > T +, digamo A(x, y) = t. Sea P un camino ente la emilla y la baldoa t en el gafo de adyacencia de A. Claamete P > T luego deben exiti al meno do poicione p y p tale que A(p ) = A(p ) = i. Ahoa el deteminimo de T implica que el camino P ente la poicione p y p e epitiá indefinidamente, pue e -etable (figua.3). Luego w Sd. i... i P i t P A(x,y) T + S i P T + Figua.3: Cuando T =, el deteminimo de T implica que el camino P e epetiá indefinidamente. Teoema... Paa itema de baldoa deteminita, i T entonce el conjunto S d = {T : T e un itema de baldoa que poduce un T -enamblaje de tamaño abitaiamente gande} e indecidible. Demotación: La demotación e baa en la contucción de un itema de baldoa T que imula una máquina de Tuing deteminita abitaia M. Aumiemo que la entada paa M e de la foma ǫσ σ...σ n. El itema de baldoa e tal que: T / S d i y ólo i M(ǫσ σ...σ n ) temina en tiempo finito. En la figua.4 y.5 e exhiben la baldoa de T. La tempeatua e T. 7

19 .. RESULTADOS BÁSICOS σ σ Paa cada σ σ σ en Σ: σ σ Paa cada pa (q, σ) q,σ q,σ q,σ q q q σ σ σ (i q no e de paada) q q,#* σ Paa cada pa (q, ) (i q e de paada) σ q q q σ σ q Paa la entada σ σ... σ n σ, σ σ n σn σ σ σ... σ n n n n Figua.4: Si Σ y Q on el alfabeto y el conjunto de etado de una máquina de Tuing M, entonce ete conjunto de baldoa compone la bae del itema de baldoa T que imula M. Lo podee e aignan como igue: Lo lado note y u tienen pode, a meno que etén macado con do egmento (en cuyo cao tienen pode T ). Lo lado ete y oete tienen pode T, a meno que etén macado con do egmento (en cuyo cao tienen pode T ). 8

20 .. RESULTADOS BÁSICOS Paa cada egla (q, ) (q,, ): σ σ σ q q, σ σ q q,σ Paa cada egla (q, σ) (q, σ, ): σ σ q q q, σ q,σ Figua.5: Si Σ y Q on el alfabeto y el conjunto de etado de una máquina de Tuing M, entonce ete conjunto de baldoa implementa la egla de M. Lo podee e aignan como igue: Lo lado note y u tienen pode, a meno que eten macado con do egmento (en cuyo cao tienen pode T ). Lo lado ete y oete tienen pode T, a meno que etén macado con do egmento (en cuyo cao tienen pode T ). Cualquiea de la baldoa que codifican la entada puede elegie como baldoa emilla. Obeve que a tempeatua T toda la baldoa que codifican la entada e enamblaán paa foma una fila, que llamaemo fila emilla. La baldoa e van agegando a la fila emilla fomando nueva fila. Cada fila epeenta un pao de M. Al temina, la alida de M etaá codificada en la última fila, y toda la hitoia de M e puede lee en el enamblaje miando po fila. La baldoa con pegamento macado con ólo pueden agegae en la última columna. Dado que la demotación anteio conite en imula diectamente una Máquina de Tuing con un itema de baldoa deteminita, el iguiente coloaio e diecto. Coolaio... El modelo de auto-enamblaje deteminita con T e Tuing-Univeal. En la figua.6 y.7 e peenta un ejemplo. La máquina M, cuya función e ineta un # al pincipio de la entada (i ecibe como entada ǫ σ...σ n, devuelve ǫ # σ...σ n ) e imulada po el itema de baldoa T M. En la figua e muetan la máquina, la baldoa, y el enamblaje final. 9

21 .. RESULTADOS BÁSICOS q σ δ( q,σ) Paa cada pa (q, σ ) : Paa cada egla: Paa cada σ en Σ: (,, ),,,* *,#*,,* * * (,, ),,,*,#* *,,* * * # # #* # (a, #, ),#,#,#*,#* # # #* # a,# #* a,#* # # #* (,, ),,, *,#*,, * a (b, #, ) a, a, a,* a,#* a a a a * # # b b a, a,* Paa la entada σ σ... σ n a (c, #, ) a, a, a,* a,#* a a a a * # # c c a, a,*, σ σ... a # (a, #, ) a,# a,# a,#* a,#* a a a a # # #* a,# a,# a,#* a,#* σ σn n σn n σ σ n a (h,, ) a, a, a, * a,#* a a a a h h a, a, * b (,, ) b, b, b,* b,#* * b b b b * b, b,* b (,, ) b, b, b,* b,#* b b b b * b, * b,* b # (,, ) b,# b,# b,#* b b b # # #* b,#* b b,# * b,#* b (h,, ) b, b, b, * b,#* b b b b h h b, b, * c (,, ) c, c, c,* c,#* c c c c * c, c,* c (,, ) c, c, c,* c c c * c,#* c c, c,* c # (,, ) c,# c,# c,#* c,#* c c c c # # #* c,# c,#* c (h,, ) c, c, c, * c,#* c c c c h h c, c, * Figua.6: En el cuado de la izquieda, el conjunto de egla de una máquina de Tuing M que ineta un # al comienzo de la palaba que ecibe como entada. A la deecha de cada egla, la baldoa que le coeponden.

22 .. RESULTADOS BÁSICOS h h a, # a, # a a,#,# # # b a, a, a,,,, b,# b,# b # # a,#,# # # c a, a, a,, c,# c,# c # # a,#,# # # b a, a, a,*,* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * b,#* b,#* b #* #* a,#*,#* Figua.7: Enamblaje final únicamente poducido po el itema de baldoa T M en la entada ǫ.

23 .3. COMPLEJIDAD DE PRODUCIR ÚNICAMENTE UN T -ENSAMBLAJE.3 Complejidad de poduci únicamente un T -enamblaje Al pena en la pogamación de un itema de baldoa que poduzca únicamente un enamblaje epecífico, un aunto báico e el númeo de baldoa ditinta que e equieen. Se define la complejidad de pogamacion de un enamblaje epecífico A como el númeo mínimo de tipo de baldoa ditinto que e equieen paa poduci únicamente A. Rothemund y Winfee [9] motaon que la complejidad en la pogamación de un cuadado de n n cuando T = e n. En geneal, i definimo el tamaño de un enamblaje como el númeo de nodo de u gafo de adyacencia, no e difícil ve que i T =, entonce la complejidad de pogamación de cualquie enamblaje e del oden de u tamaño. Paa T Rothemund y Winfee [9] pobaon que la complejidad en la pogamación del cuadado de n n e Θ(log(n)/ log(log(n)). En u contucción uan T =. Adleman et al. [3] demotó que el poblema de detemina un itema de baldoa minimal que poduzca únicamente un enamblaje epecífico e NP-completo en geneal, peo que paa cieta familia de enamblaje (cuadado y ábole), puede e euelto en tiempo polinomial. Nooto analizaemo la complejidad en la pogamación de ectángulo y motaemo cómo podemo diminui dicha complejidad al pemiti vaiacione en la tempeatua.

24 Capítulo 3 Deteminimo Si lo que queemo e enconta un itema de baldoa que e autoenamble en una figua dada, lo que pedimo e que tenga una cantidad finita de T -enamblaje poducido y que cualquiea que ea el camino patiendo dede la emilla, éte iempe llegue al mimo T - enamblaje final. En ota palaba i T e un itema de baldoa y G(T) e el gafo aociado, entonce queemo que éte tenga una única hoja. Si conideamo el oden (V (G(T)), ) -donde A B A T B-, entonce lo anteio e equivalente a que (V, ) tenga un máximo global, lo cual e atiface paa lattice finito. 3. Lattice ditibutivo Un cote de un T -enamblaje e un cote del gafo de adyacencia del T -enamblaje. Ademá paa cada aco e i en un cote, e define el pode i del aco e i como el pode del pegamento que etiqueta la aita de la baldoa (adyacente) coepondiente a e i. Definimo también el pode de un cote c como Σ i paa cada aco e i en el cote. Lema 3... En todo itema de baldoa deteminita T, la unión de T -enamblaje e T -enamblaje. Demotación: Sean C y C do T -enamblaje del mimo itema de baldoa deteminita T tal que C C. El deteminimo de T no dice que i (x, y) C y (x, y) C entonce C (x, y) = C (x, y), luego A = C C e una configuación de T (queda bién definida). Veamo que A e T -etable. Paa ello debemo poba que todo cote c A de A tiene pode mayo o igual a T. Peo i c A e un cote de A entonce c A C i e un cote de C i paa i =,. Pueto que el pode de c A e mayo que el de c A C i, la T -etabilidad de C i no entega el eultado. 3

25 3.. LATTICE DISTRIBUTIVO M A M B M* S Figua 3.: La inteección M = M + M + M de do T -enamblaje A y B puede e diconexa. M e la componente conexa que contiene a la emilla. Lema 3... T e deteminita i y olo i (V, ) e un lattice. Demotación: Sea T un itema de baldoa deteminita. Sean A y B nodo. Sea M = A B definido como: A(x, y) i A(x, y) = B(x, y) M(x, y) = vacía i A(x, y) = vacía o B(x, y) = vacía en oto cao Notemo que M e una configuacón de T (queda bién definida) pueto que i A y B e inteectan en la poición (i, j), entonce el deteminimo no dice que coinciden en ea poición. Notemo que M podía no e T -etable, pueto que el gafo de adyacencia de M podía e diconexo, lo que implica la exitencia de un cote c de pode (figua 3.). Sea M la configuación que coeponde a la componente conexa que contiene a la emilla, e clao que M e el mínimo (meet) del lattice paa A, B. El lemma 3.. no dice que A B e un nodo de T, luego e clao que A B e el máximo (join) del lattice paa A, B. La ditibutividad e diecta del hecho que cada pao en la dinámica equiee la adición de exactamente una baldoa. Sea (i, j) una poición. Sean N y N nodo no vacío en (i, j). El join de N y N e un uceo común, po lo que N y N deben e iguale en (i, j). 4

26 3.. CONDICIONES SUFICIENTES PARA PRODUCIR ÚNICAMENTE UN T -ENSAMBLAJE Si (V (G(T)), ) e un lattice, diemo implemente que T o que G(T) e un lattice. Note que T poduce únicamente H i y ólo i T e un lattice finito cuyo máximo global e H. Aquí etamo inteeado en dinámica deteminita. Má aún, centaemo nueta atención a lattice finito cuyo máximo global coeponde al enamblaje final. Recodemo que la foma de ete enamblaje final e el objeto en el cual etamo inteeado. Dado que no e poible abe a pioi i un itema de baldoa T e un lattice finito, i lo que queemo e enconta y exhibi Sitema de Baldoa que poduzcan únicamente un T -enamblaje A, neceitamo un método que no pemita veifica, dado A, que A e únicamente poducido po T. E deci, neceitamo condicione uficiente obe A y obe T paa que T poduzca únicamente A. Paa eto debemo intoduci nueva nocione. 3. Condicione uficiente paa poduci únicamente un T -enamblaje Diemo que una baldoa en la poición (x, y) e encuenta al note de ota baldoa en (x, y ) i y > y. Similamente e define paa la ota dieccione. Diemo que una baldoa en la poición (x, y) e encuenta diectamente al note de ota baldoa en (x, y ), i y > y y x = x. Similamente e define paa la ota dieccione. Sea t = (σ N, σ E, σ S, σ O ) = A(x, y) con A Pod(T) y A(, ) = donde S = {}. Diemo que t e una N-baldoa i g(σ S (t), σ S (t)) y y >. E deci i e encuenta al note de la emilla y u lado u e de pode al meno. De manea análoga e define E-baldoa, S-baldoa y O-baldoa. Note que e una i-baldoa, i, e una popiedad que depende de la baldoa y de u poición en el enamblado. Diemo que un nodo A de T cumple la popiedad RC i: cada fila al note de la emilla tiene exactamente una N-baldoa, cada fila al u de la emilla tiene exactamente una S- baldoa, cada columna al ete de la emilla tiene exactamente una E-baldoa, y cada fila al oete de la emilla tiene exactamente una O-baldoa. Note que la popiedad RC e fácilmente veificable (polinomial). Definición 3... Sea A un nodo de T y t T. Definimo el conjunto de configuacione T -etable de T que llegan a A y que no contienen a t como: Pod A t (T) = {B Pod(T) t.q. t / B, B T A y B + t Pod(T)}. Definición 3... Una baldoa t = A(x, y) e diá pimea en y i B Pod A t (T) e tiene B(, y) = vacía, y e diá pimea en x i B Pod A t (T) e tiene B(x, ) = vacía. 5

27 3.. CONDICIONES SUFICIENTES PARA PRODUCIR ÚNICAMENTE UN T -ENSAMBLAJE Infomalmente, que una baldoa t en A ea pimea en y, ignifica que en cualquie poceo de cecimiento dede la emilla hata A, t eá iempe la pimea baldoa que e agega en la fila y, y lo haá en la poición (x, y). Lema 3... Sea A un nodo de T tal que = A(, ) y A cumple la popiedad RC. Sea t=a(x,y). (a) t e N-baldoa (y > ) o t e S-baldoa (y < ) i y ólo i t e pimea en y. (b) t e E-baldoa (x > ) o t e O-baldoa x < ) i y ólo i t e pimea en x. Demotación: Paa demota la pate (a) bata ve y >. Supongamo que t no e pimea en y, entonce B Pod A t (T) t.q. B(x, y) vacía paa algún x Z. Sin pédida de genealdidad podemo upone que tal x e el único, digamo = B(x, y). Dado que T =, e clao que g(σ S (), σ S ()), po lo tanto e tiene que e N-baldoa. Ete hecho, dado que t e N-baldoa, viola la popiedad RC de A. La ecípoca e evidente. Análogamente e tiene que: t e E-baldoa o t e O-baldoa i y ólo i t e pimea en x. Note que en A, toda fila y toda columna tiene una y ólo una baldoa pimea. Diemo que A Pod(T) e convexo i y ólo i toda fila y toda columna de A etá fomada po un bloque completo. Fomalmente, A debe cumpli que: y i (x, y) A y (x, y) A entonce x tal que x < x < x e tiene que (x, y) A. x i (x, y ) A y (x, y ) A entonce y tal que y < y < y e tiene que (x, y) A. Lema 3... Si A tiene la popiedad RC entonce A e convexo. Demotación: Po inducción en A. Claamente i A = e tiene. Aumamo que e tiene paa A n donde n indica que A = n. Sea t la baldoa que e agega a A n. Si t e pimea en x o pimea en y entonce e clao que A n+ e convexo. Supongamo entonce que t no e pimea en x y que no e pimea en y. Entonce po el lema 3.., t no e ni N-baldoa ni S-baldoa, po lo que t debe pegae en do lado. La convexidad de A n implica que lo lado en que e pega t deben e contiguo, e deci N-E, E-S, S-O, o, O-N. Se concluye la convexidad de A n+. Definición Sea t = A(x, y) tal que t no e i-baldoa, con i. Diemo que t mia al N-E, i B Pod A t (T), x > x y y > y e tiene que B(x, y) = B(x, y ) =vacía. Similamente de define mia al S-E, S-O y N-O. Infomalmente, que una baldoa t en A mie al N-E, ignifica que en cualquie poceo de cecimiento dede la emilla hata A, t e agega iempe pegandoe po u lado u y oete, e deci, en el intante en que t e agega tiene depejada la vita olo hacia el note y el ete (figua 3.). 6

28 3.. CONDICIONES SUFICIENTES PARA PRODUCIR ÚNICAMENTE UN T -ENSAMBLAJE t S Figua 3.: La baldoa t mia al N-E Lema Sea t = A(x, y), tal que t no e ni N-baldoa, ni E-baldoa, ni S-baldoa ni O-baldoa, entonce t mia al N-E i y ólo i e tiene que: o bien t etá al ete de una N-baldoa y t no etá al u de una E-baldoa o bien t etá al note de una E-baldoa y t no etá al oete de una N-baldoa. Similamente e tiene la equivalencia paa N-O, S-O y S-E. Demotación: ( ) Sea t miando al N-E. Sea B Pod A t (T), entonce e tiene que B(x, y ) = vacía x > x y y > y. Cao y >, x >. Po el lema 3.. (a), tenemo que t no e pimea en y. Sea t = A(x, y) la pimea en y (x < x). Como y >, t e N-baldoa, po lo que t etá al ete de una N-baldoa. Po el lema 3.. (b), tenemo que t no e pimea en x, ea t = A(x, y ) la pimea en x (y < y), como x >, t e E-baldoa, po lo que t etá al note de una E-baldoa, luego, t no etá al u de una E-baldoa. Cao y >, x <. Como y >, ya tenemo que t etá al ete de una N-baldoa. Como x <, entonce no exite una E-baldoa en la columna x, luego, t no etá al u de una E-baldoa. Cao y <, x <. Como B(x, y ) = vacía x > x y > y, entonce B + t e diconexo. Luego B + t / P od(t), que e una contadicción, po lo tanto, t = A(x, y) miando al N-E tal que x < y y <. 7

29 3.. CONDICIONES SUFICIENTES PARA PRODUCIR ÚNICAMENTE UN T -ENSAMBLAJE Cao y <, x >. Ya tenemo que x > implica que t etá al note de una E-baldoa. B(x, y) = vacía x > x t no etá al oete de una N-baldoa. ( ) Sea t = A(x, y) tal que (t etá al ete de una N-baldoa y t no etá al u de una E-baldoa) o (t etá al note de una E-baldoa y t no etá al oete de una N-baldoa). Cao en que t etá al ete de un N-baldoa, y que no etá al u de una E-baldoa. Eta al ete de una N-baldoa implica que y >. Sea B Pod A t (T). Note que como A cumple la popiedad RC entonce B también la cumple. Luego po el lema 3.., B e convexo, lo que pemite conclui que B(x, y) = vacía x > x. Falta ve que B(x, y ) = vacía y > y. Supongamo x > y ea t la pimea en x. t e una E-baldoa. Como t no etá al u de una E-baldoa, entonce t debe eta al note de t y, po la convexidad de B, concluimo. Supongamo x <. Al igual que ante, eta al ete de una N-baldoa, digamo n = A(n x, n y ), umado a la convexidad de B, pemite conclui que B(x, y) = vacía x > x. Ademá, como n e N-baldoa, e cumple que C Pod A n (T) C(n x, y ) = vacía y > n y. Eto implica que y con y < y tal que B(x, y ) vacía. La convexidad de B pemite conclui. Cao en que t etá al note de una E-baldoa y que no etá al oete de una N-baldoa. Lo azonamiento on análogo. El lema anteio, ademá de entega una caacteización, no dice que paa detemina i una baldoa en un enamblado con la popiedad RC mia al N-E, e uficiente conoce la poición elativa de la baldoa en el enamblado. Ademá e puede veifica que toda baldoa que no ea pimea en alguna fila o alguna columna, cumple alguna de la cuato caacteizacione. Aí toda baldoa e o bien i-baldoa o bien mia al N-E o al S-E o al N-O o al S-O. La iguiente e una condición neceaia paa que un itema de baldoa poduzca un único enamblado A. Definición Sea el itema de baldoa T= T, {}, g,, y ea A Pod(T) tal que A cumple la popiedad RC. Diemo que: Una N-baldoa t = (σ N, σ E, σ S, σ O ) etá T-deteminada i: [t = (σ N, σ E, σ S, σ O ) T] [t = t]. Similamente definimo paa la ota clae. Una baldoa t = (σ N, σ E, σ S, σ O ) que mia al N-E etá T-deteminada i: [t = (σ N, σ E, σ S, σ O ) T] [t = t]. Similamente definimo paa la ota clae. A e T-deteminita, i toda u baldoa etán T deteminada. 8

30 3.. CONDICIONES SUFICIENTES PARA PRODUCIR ÚNICAMENTE UN T -ENSAMBLAJE Note que el T-deteminimo e una popiedad fácilmente veificable (polinomial). Teoema 3... Sea T= T, {}, g, un itema de baldoa. Sea A Tem(T) un -enamblaje T-deteminita con la popiedad RC. Entonce T poduce únicamente A. Demotación: Pobaemo que i T= T, {}, g, e un itema de baldoa, y i A T em(t) e un -enamblaje T-deteminita con la popiedad RC, entonce i C P od(t), C e T-deteminita, tiene la popiedad RC y C T A. Lo haemo po inducción en C. El cao bae e tivial. Supongamo que el teoema e cieto paa C con C n, y ( = C ) T C... T C n T C n+, donde C n +A (x,y) t = C n+. Claamente, C n = n, luego C n e T-deteminita, tiene la popiedad RC y C T A. Motaemo que lo mimo e tiene paa C n+ donde t = C n+ (x, y) e la nueva baldoa que e agaga a C n. Cao : t e pega con pode. Sin pedida de genealidad upongamo que e pega po u lado u, e deci: g(σ S (t), σ S (t)) =. y t = C n (x, y ) e una S-baldoa, peo en la columna y de C n ya exite una S-baldoa (la pimea en y, que claamente no e t ), lo que viola la popiedad RC de C n. Aí y >, po lo que t debe e una N-baldoa. El T-deteminimo de A implica que C n+ T A (t e la única baldoa que puede agegae en ea poición), po lo que C n+ tiene la popiedad RC, y e claamente T-deteminita. Cao : t e pega con pode. Como la tempeatua de T e, t debe agegae po do de u lado. Como C n tiene la popiedad RC, C n e convexo (lema 3.. ), luego t e agega en lado contiguo. S.p.g., aumamo que eto lado on el u y el oete. Claamente C n+ e convexo y tiene la popiedad RC. Po la convexidad de C n e tiene que C n (x, y ) =vacía x > x y y > y. Luego t mia al N-E en cualquie -enamblaje que extienda a C n, en paticula en C n+, y como A e T-deteminita e tiene que t = A(x, y) (C n+ T A). Luego C n+ e T-deteminita. Ete teoema no pemite veifica, en la contuccióne del capítulo 4, que la figua objetivo on únicamente poducida. 9

31 Capítulo 4 Complejidad en la pogamación de ectángulo 4. Tempeatua contante y ectángulo delgado Una configuación R e un k n-ectángulo i exite una poición (x, y ) tal que (x, y) R i x x < x + k y y y < y + n. Etamo inteeado en cuale k n ectángulo pueden e únicamente poducido po itema de baldoa: R T (k, n) = {N N tal que exite un itema de baldoa T= T, S, g, T, T = N, y T poduce únicamente un k n ectángulo}. Definimo la complejidad C T (k, n) de un k n ectángulo como el mínimo númeo de baldoa ditinta equeida paa poduci únicamente un k n-ectángulo (fíicamente e el númeo de molécula ditinta que deben e pepaada): C T (k, n) = min{n tal que N R T (k, n)} Ecogemo, al igual que Rothemund y Winfee [9], tempeatua T =. Paa mayo claidad comenzaemo con explica en detalle el cao de un 3 n ectángulo. Popoición 4... C (3, n) (n/) /3. Demotación: Sea T el conjunto de baldoa de un itema de baldoa T que poduce únicamente el 3 n-ectángulo. Conideemo, paa el 3 n-ectángulo final, un ub-ectángulo de dimenione 3 (n/) que no contenga a la emilla. El númeo de fila (de lago 3 en ete cao) ditinta que podemo contui con T baldoa e exactamente T 3. Luego, i T < (n/) /3, en ete ub-ectángulo debe exiti al meno una fila que e epite, lo que gacia al deteminimo de T implica que el objeto ceceá indefinidamente. Eto e una contadicción (figua 4.). 3

32 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS DELGADOS j i Figua 4.: Si la fila i y j on iguale entonce el deteminimo de T implica que la fila i + y j + también on iguale. Popoición 4... C (3, n) = O(n /3 ). Demotación: Exhibiemo un itema de baldoa T (3,n) que poduce únicamente el 3 nectángulo. La idea pincipal de la demotación e la de enconta un conjunto de baldoa que funcione como contado. Éta idea fué intoducida po Rothemund y Winfee [9], e u cao, el conjunto de baldoa imulaba un contado binaio en el cual la i ma fila obe el oigen (fila emilla) epeentaba el enteo i (ecito en binaio). Ete itema tiene una limitación: el total de enteo ditinto que pueden e epeentado -que e lo que detemina la altua máxima del ectángulo ( 3 en ete cao)- depende del áncho. Paa oluciona eto, uaemo una bae b tal que la altua n ecita en b-aio pueda e epeentada en témino del ancho (en ete cao neceitamo b = n /3 y el itema de baldoa cuenta en bae b epeentando en cada fila un enteo i ente y n ). Contuiemo el 3 n-ectángulo uando 4b + baldoa (4b baldoa contituián el contado y baldoa agada a la emilla fomaán la fila emilla). Cada baldoa tendá, ademá de u cuato lado, una etiqueta pincipal que entegaá cieta infomación emántica explicando u función. El itema de baldoa funciona como igue: La fila emilla codifica el númeo b 3 n y e fomada po baldoa epeciale agegada a la emilla. La fila i + e enambla a la fila i aumentando el contado en. La ota 4b baldoa apaecen en la figua 4.. Etán calificada en 4 tipo: Type, Type, Type 3, Rightmot. Ademá, i miamo hoizontalmente podemo obeva ota claificación: -baldoa, -baldoa,..., (b-)-baldoa. 3

33 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS DELGADOS Type tile Type tile Type 3 tile Rightmot tile d c() b c(b ) d d c() c() d d F d c() c() a() b a(b ) c() c() c(3) a() d c() d d c() d d c() F d a() d c(b 4) b b 3 c(b 5) d d c(b 4) b c(b 4) d d c(b 3) b b c(b 4) F d a(b ) b b b 3 a(b 3) c(b ) c(b ) d b d b d d b c(b 3) c(b ) F c(b ) ** b F c(b ) F a(b ) b ** b a(b ) Figua 4.: Conjunto de baldoa que imulan un contado en bae b. 3

34 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS DELGADOS Debe habe una X baldoa en el lado note. Si nada e indica debe habe ota C baldoa. X Y C ** La baldoa al oete e Type 3 i y olo i ete indicado apaece. Indica que e tata de una baldoa de tipo Roghtmot. Debe habe una Y baldoa en el lado u. Si nada e indica debe habe ota C baldoa. Figua 4.3: Un C-baldoa y u infomación emántica. En la figua 4.3 e explica como debe e entendida la infomacón emántica de la etiqueta pincipal. Como el pode del lado note de la (b )-baldoa e, cuando el enteo n e codificado, el contado paa. Siguiendo la egla emántica no e dificil convencee de que el ectángulo deeado e efectivamente enamblado. La figua 4.4 no mueta el conjunto de baldoa paa enambla un 3 n-ectángulo paa el cao n = 5. La baldoa emilla puede e cualquiea de la baldoa que foman la fila emilla. Coolaio 4... C (3, n) = Θ(n /3 ) Paa genealiza la contucción anteio a un k n-ectángulo, bata con la 4b baldoa que foman el contado en bae b (con b = n /k ) má k baldoa epeciale (que fomen la fila emilla) que codifiquen el enteo b k n. Ai paa tene complejidad O(n /k ) e neceaio que k ea a lo má n /k. Tenemo: Teoema 4... Paa k n /k e tiene: C (k, n) = Θ(n /k ). 33

35 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS DELGADOS ** ** Type tile Type tile Type 3 tile Rightmot tile ** ** ** ** ** ** ** ** Fila emilla Figua 4.4: Conjunto de baldoa que poduce únicamete un 3 5-ectángulo. Lo lado ete y oete tienen todo pode. En ete cao b = 3. La fila emilla codifica el enteo = o i lo ecibimo en 3-aio. 34

36 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS GRUESOS. 4. Tempeatua contante y ectángulo gueo. En la ección anteio vimo que paa ectángulo delgado -eto e k n-ectángulo con k n /k - el valo C (k, n) = Θ(n /k ). Ma peciamente, e neceitan 4( n /k ) baldoa paa el contado y k baldoa paa la fila emilla, lo que dado que k n /k entega una cota upeio paa la complejidad de O(n /k ). Sin embago, i no e tata de un ectángulo delgado, aún aí nueta contucción entega un itema de baldoa que lo poduce únicamente, clao que la cota upeio depende ahoa de k. Aí podemo etablece paa todo k una cota upeio del valo C (k, n) = O(n /k + k). Note que i ponemo k = n (cuadado de n n) obtenemo C (n, n) = O(n). Si bucamo el ancho de un k n-ectángulo que minimice el valo C (k, n), encontaemo que coeponde a k = λ n donde λ n e tal que λ n λ n = n. En ete cao el númeo de baldoa paa contui un λ n n-ectángulo e O(n /λn +λ n ) = O(λ n ). En eta ección motaemo que paa ectángulo con ancho k λ n, e tiene que el valo C (k, n) = O(λ n ) (eta cota upeio no depende de k). Entonce tendemo que C (n, n) = O(λ n ) = O(logn/(log(log n)), valo que alcanza la cota infeio motada po Rothemund y Winfee [9]. Popoición 4... C (λ n, n) = Θ(λ n ). Demotación: La contucción de un λ n n-ectángulo e diecta a pati de la contucción motada en la Sección 3. El conjunto de baldoa motado en la figua 4. también funciona en el cao geneal. Sólo neceitamo pone b = n /λn y agega λ n b baldoa epeciale paa foma la fila emilla a pati de la baldoa emilla. Po lo tanto uamo 4b + λ n 5b baldoa en total. Popoición 4... C (λ n + k, n) = O(λ n ). Demotación: Lo pimeo que neceitamo e C (λ n, n) baldoa paa contui un λ n n-ectángulo paticula. La paticulaidad etá en el hecho que la columna fomada po baldoa de tipo Rightmot etá dividida en do clae de baldoa: la k upeioe y la n k infeioe con epecto a una baldoa epecial t (e la única con pode en u lado ete). La idea e imple: La fila emilla codifica en u lado note el númeo b b k y el númeo b b (n k) en u lado u (figua 4.5). Paa completa el ectángulo neceitamo ota 4 baldoa de elleno. Su tabajo e completa un k n-ectángulo a la deecha de la columna Rightmot. La baldoa t e la clave paa el poceo de elleno (figua 4.6). 35

37 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS GRUESOS. λ n ** b ** b ** ** b b k b b k Fila emilla b b (n k) * n k ** ** ** ** b b b b Figua 4.5: Do contadoe on uado paa contui un λ n n-ectángulo. 36

38 4.. TEMPERATURA CONSTANTE Y RECTÁNGULOS GRUESOS. k * B A B B * k B * A B A B A B A A n k Figua 4.6: La 4 baldoa de elleno y la manea en que actúan patiendo de la columna Rightmot. 37

39 4.3. AUMENTANDO LA TEMPERATURA A T = Aumentando la Tempeatua a T = 4 Hata ahoa hemo conideado la pogamación de Sitema de Baldoa deteminita que poducen únicamente un T -enamblaje epecífico que epeenta la alida del pogama. Hemo etudiado la complejidad de pogama ectágulo, y hemo contatado que la dificultad mayo e peenta en la contucción de ectángulo delgado, pue u pogamación equiee de un alto númeo de baldoa. En eta ección peentaemo un mecanimo que pemite diminui ete númeo, bajando damáticamente la complejidad en la pogamación de ectángulo delgado. Imagine que tenemo, bajo tempeatua T, una etuctua T -etable ya enamblada. Qué ocue i aumentamo la tempeatua a T +? Do coa pueden ocui: La etuctua tiene la enegía uficiente paa mantenee etable bajo la nueva tempeatua. La etuctua no tiene la enegía uficiente paa mantenee etable bajo la nueva tempeatua. En ete cao la etuctua comenzaá a deintegae hata educie a una poción capaz de mantenee unida. El mecanimo que peentaemo paa diminui la complejidad en la pogamación de ectángulo delgado conitiá entonce de do etapa: Contui un ectángulo gueo uando poca baldoa. Calenta el itema paa povoca la deintegación del ectángulo gueo de modo que la etuctua que obeviva al poceo, ea nueto ectángulo delgado objetivo. La popoición 4.3. no habla de la unicidad de la poción obeviviente (que paa nooto eá una poción T + -etable que contenga a la emilla) independiente de la ecuencia de evento que ocuieon en el poceo de deintegación. Popoición Sea D un T -enamblaje poducido po un itema de baldoa deteminita T = (T,, g, T ). Entonce exite un único M D, T + -ubenamblaje maximal (c.. a ), que e poducido po T. Demotación: La baldoa emilla e un T + -eamblaje. Sean C y C do T + - enamblaje poducido po el itema de baldoa. El lemma 3.. no pemite conidea C C como un T + -enamblaje poducido po T. En ete nuevo contexto podemo defini la complejidad de un k n-ectángulo C T + T (k, n), como el mínimo númeo de baloa que poducen únicamente una figua cuyo T + - ubenamblaje maximal e el k n-ectángulo. Volvamo a nueto poblema oiginal en el cual queiamo contiu un 3 n-ectángulo y apliquemo nueto mecanimo. En el modelo con tempeatua contante T = e neceitaban Θ(n /3 ) baldoa ditinta. 38

40 4.3. AUMENTANDO LA TEMPERATURA A T = 4 Si contuimo un (λ n + 3) n-ectángulo cuyo 4-ubenamblaje maximal ea un 3 n- ectángulo y luego incementamo la tempeatua a T = 4, al final del poceo, habemo contuido un 3 n-ectángulo con ólo O(λ n ) baldoa. En ota palaba, haciendo vaiale la tempeatua, la complejidad de contui el ectángulo diminuye damáticamente. Po ejemplo, i n = 6,,, la comlpejidad en el modelo a tempeatua contante e 5 mienta que en el modelo a tempeatua vaiable e 8. Popoición C 4 (3, n) = O(λ n) Demotación: En la figua 4.7 e mueta como contui un (λ n + 3) n-ectángulo cuyo 4-ubenamblaje maximal e un 3 n-ectángulo. Un λ n n-ectángulo e enamblado uando la contucción pevia. Baldoa epeciale alagan la fila emilla paa contui (con baldoa de mayo pode) un 3 n-ectángulo. 39

41 4.3. AUMENTANDO LA TEMPERATURA A T = 4 b n b S Baldoa podeoa Baldoa emilla * * * * * * * * * * * * * * 3 3 b b b b b b b S Fila emilla Figua 4.7: La baldoa de mayo pode e enamblan en un 3 n-ectángulo agegándoe a la deecha del λ n n-ectángulo. Note que la emilla petenece al 3 n-ectángulo. 4

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