Convergencia de las soluciones (modelos básicos de la electrostática) de la fuerza entre conductores esféricos a potencial constante

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1 Convergenc e ls solucones (moelos báscos e l electrostátc) e l fuerz entre conuctores esfércos potencl constnte Arán Coron Cruz Fcult e Cencs Físco-Mtemátcs Benemért Unvers Autónom e Puebl Aprto Postl C. P. 7 Puebl Méxco. E-ml: coron@fcfm.bup.mx (ecbo el 7 e Abrl e 9; cepto el e Myo e 9) esumen A pregunts sobre el expermento e Coulomb; cómo Coulomb se seguró que urnte ls mecones ls crgs en ls esfers se mntenín constntes?; cómo él puo vrr y cuntfcr con precsón l cnt e crg en ls esfers? cómo se tomó en cuent el efecto nuctvo que fect l strbucón e l crg en los conuctores? efectos que proucen esvcones respecto l moelo e strbucones esfércmente smétrcs e crg e l ley e Coulomb se hn resuelto grcs l ctul tecnologí (fuentes poer e lto-voltje blnzs e lt sensbl) y el uso e herrments mtemátcs. En éste trbjo mostrmos l convergenc e l fuerz entre conuctores e los prncples moelos teórcos reportos l ecucón colombn; Teorem e unc y prncpo e superposcón (Purcell); Energí electrostátc (Lnu); Métoo e mágenes (Jkson); Métoo e mágenes e Mxwell; Evlucón e fuerzs eléctrcs entre esfers conuctors por meo e funcones rmóncs besfércs (Coron- Ley). Plbrs clve: Coulomb fuerz electrostátc potencl Mxwell. Abstrct About some questons of Coulomb experments; how Coulomb ensure tht urng the mesurements the chrges n the spheres were hel constnt? How coul he vry n ccurtely quntfy the mount of chrge n the sphere? How ws the nuctve effect ffectng the chrge strbuton n the conuctors consere? effects proucng evtons on the chrge spherclly symmetrc strbuton moel of Coulomb lw hve been resolve thnks to the current technology (Hgh voltge power sources hgh senstvty scles) n the use of mthemtcl tools. In ths pper we show the force convergence between conuctors on the mn reporte theoretcl moels to the Coulombn equton; Unqueness theorem n energy superposton prncple (Purcell); Electrosttc energy (Lnu); Metho of mge chrges (Jckson); Mxwell metho of mges; Electrcl power between conuctng spheres evluton by mens of bsphercl hrmonc functons (Crown-Lw). Key wors: Coulomb electrosttc force potentl Mxwell. PACS:..-.+b ISSN e los tos (nformó sólo e tres mecones pr sustentr I. INTODUCCIÓN sus resultos) en lo generl fue cepto. Durnte los últmos sglos contnumente se h probo rect o L fmos ecucón funmentl e l electrostátc nrectmente l vlez e l Ley (esquem clásco publc en 78 por el frncés Chrles Augustn Coulomb nvento por Henry Cvensh [ ]). En 79 obnson fue l prmer ley cuntttv en l hstor el usno por prmer vez un blnz tpo Cvensh electromgnetsmo que jugó un ppel funmentl en ls etermno el exponente e l stnc como. sn grnes contrbucones l esrrollo e l electrc y embrgo trbuyo tl resulto errores expermentles fue mgnetsmo. Coulomb relzó lo que se conser el hst el sglo que se nterpretó conserno l ms el expermento crucl pr comprener los fenómenos fotón. Tles resultos hn confrmo que l ley e electrostátcos ; construyó un l blnz (e torsón) con l Coulomb form prte e ls leyes funmentles e l físc. que mó l repulsón y trccón entre os esfers El hstoror e cencs Heerng (99) [] con el fn eléctrcmente crgs emostrno que l fuerz vrí en e repetr el expermento reconstruyo etllmente l proporcón nvers l curo e l stnc entre los blnz e Coulomb. Encontró que ebo l poc centros e os esfers. esulto que no obstnte lo básco precsón el nstrumento y por más cuo que se puser Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My 9 9

2 Arán Coron fue mposble obtener los resultos que Coulomb reportó. Esto h hecho que versos nvestgores hgn suposcones que vn ese técncs e es teórcs no reports por Coulomb él uso el formlsmo e l ley e l grvtcón e Newton hst l e el cuchreo. De lo que no hy u es que Coulomb sbí lo que buscb y que con sólo unos cuntos tos logró lo que en l ctul se está pereno l hbl pr tener un ntucón profun cerc e l nturlez Trumpler []. Con propóstos cómo el hcer objetvos los cursos báscos e electromgnetsmo se hn mplemento un conjunto e sstems mecáncos pr obtener l funcón e l fuerz con l stnc; l blnz e popote el profesor ogers (PSSC) [] blnzs e torsón [] y sstems formos por un pr e esfers crgs suspens [7]; con l ntencón e entfcr ls es o consercones hechs por Coulomb se h reprouco l blnz e torsón (Crl von Ossetzky) [ 8]; y métoos bsos en ls os esfers metálcs (Cvensh) concéntrcs pr vlr l msm ley [ ]. Ahor mnteneno ls esfers potencles constntes por meo e un blnz e torsón o electrónc se me l fuerz [9 ]. A pregunts; cómo Coulomb se seguró que urnte ls mecones ls crgs en ls esfers se mntenín constntes?; cómo él puo vrr y cuntfcr con precsón l cnt e crg en ls esfers? cómo se tomó en cuent el efecto nuctvo que fect l strbucón e l crg en los conuctores? vrcones que proucen esvcones respecto l moelo e crgs monopolres e l ley e Coulomb [9]. Actulmente se hn resuelto grcs l tecnologí (fuentes poer e lto-voltje blnzs e lt sensbl) y el uso e l solucón numérc (mtemátcs) [ 7 8 ]. II. CONVEGENCIA DE LA FUEZA ELECTOSTÁTICA ENTE CONDUCTOES MANTENIDOS A UNA DIFEENCIA DE POTENCIAL L fuerz electrostátc entre objetos crgos se h trto formlmente ese Tretse on Electrcty n Mgnetsm e Mxwell (87) [] l fech Evluton n Mesurement of forces between two conuctng spheres e Coron-Ley () [9]. En éste trbjo mostrmos l convergenc e l fuerz entre os conuctores e los prncples moelos teórcos reportos l ecucón colombn: ) teorem e unc y prncpo e superposcón (Purcell); c) energí electrostátc (Lnu); métoo e mágenes (Jkson); métoo e mágenes e Mxwell; ) evlucón e fuerzs eléctrcs entre esfers conuctors por meo e funcones rmóncs besfércs (Coron-Ley). A. Teorem e unc y prncpo e superposcón (Purcell) Conserno un pr e conuctores roeos por un cp conuctor potencl φ como se ve en l fgur con respecto és referenc los potencles e los os conuctores son φ y φ. El teorem e unc grntz que os φ y φ el cmpo eléctrco que etermno en too el espco. Se euce que ls crgs y en los conuctores tmbén están unívocmente etermns. Por conservcón e l crg en l superfce e l cp que roe los conuctores sempre es ( + ) []. φ φ FIGUA. Sstem e conuctores en el que por meo e un fuente no mostr se relzo trbjo pr colocr l crg en uno e los cuerpos queno un potencl φ e nuce un crg en el conuctor conecto ( terr) y potencl φ l gul que el conuctor que los contene l sum totl e l crg en los conuctores eberá ser cero. Uno e los estos posbles el sstem es que el conuctor que los roe este potencl cero hceno que φ = entonces ls crgs y eberán ser proporconles φ = Cφ Cφ φ =. El sgno e l crg ebe ser opuest l el potencl nuceno y por consguente (C < ). S el potencl (φ ) el conuctor no conecto terr es postvo. Entonces el potencl es postvo en too el espco su menor vlor (cero) es el el conuctor conecto terr. Ls constntes e proporconl (coefcentes e cpc) sólo epenen e l form y sposcón e los conuctores. Pr etermnr l mgntu e l crg en el conuctor terrzo stuo en ls vecnes el conuctor potencl φ con un crg. Se conser el sguente rreglo electrostátco: un conuctor crgo ( ) y otro conuctor en sus vecnes terrzo en el que se nuce un crg. S el conuctor crgo no exster y el potencl el conuctor terrzo es φ el potencl en el punto one estrí el prmer conuctor serí φ entonces e [] = φ φ se tene φ' + φ' = e one = - φ' /φ'. En el cso e por ejemplo un crg un stnc el centro e un esfer terrz e ro ( >> ) entonces φ' = φ' / y l crg nuc en l esfer es: = - /. () elcón que muestr l epenenc l mgntu e l Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My 9 9

3 Convergenc e ls solucones (moelos báscos e l electrostátc) e l fuerz entre conuctores potencl constnte crg nuc como funcón e l stnc y form e los El no obtener un solucón en form cerr el sstem conuctores. L fuerz entre los conuctores se clcul en el formo por os esfers conuctors se ebe que el cmpo sguente ncso. e os crgs puntules ls superfces equpotencles no es esférco. Consecuentemente l fuerz pr stncs grnes en B. Energí el cmpo electrostátco térmnos e ls crgs converge l ley coulombn: L energí electrostátc e un conjunto e conuctores crgos en térmnos e sus potencles es: W = C φφ j j j pr el cso e os conuctores uno un potencl V (φ = V) y otro conecto terr (φ = ) l energí se reuce : V W = C one C se le conoce como coefcente e cpc y epene e l form y poscón reltv e los conuctores. Pr el cso e os esfers (e ro ) e cpctncs C = C = colocs un stnc >> se tene como coefcente e cpc C y el coefcente e nuccón electrostátc C []: C C + C C = + CC C = =. = L fuerz l obtenemos e l erv e l energí: W F = = V ecucón que en térmno e ls crgs se reencuentr l expresón colombn. En relcón e ls crgs: = C φ j j j = Cφ + Cφ = CV = V + = C + Cφ = CV = V φ expresones que tmbén corresponen ls obtens como esrrollo en seres e ls relcones obtens en los csos nterores. V V. F C. Métoo e mágenes = V =. () Este métoo se poy en l hpótess e que es posble colocr un conjunto e crgs mgen en un lo e un superfce conuctor pr proucr el msmo efecto que l crg rel nuc sobre l superfce por un conjunto e crgs colocs frente ell []. Pr obtener l fuerz e nterccón entre os esfers conuctors l prmer con su centro en el orgen eléctrcmente terrz y l segun un stnc un ferenc e potencs V. L esfer e ro por estr un ferenc e potencl V se conser contener un crg = V con otr esfer (nclmente escrg) se crg por nuccón (suponeno un prmer crg mgen) con un crg = - (/) loclz un stnc = / el orgen. Ést crg mgen nuce en l prmer esfer un crg = - /( - ) loclz un stnc = /. Éste proceso se repte n veces. V FIGUA. Sstem formo por os esfers conuctors e ro colocs ese sus centros un stnc l e l erech potencl V y l zquer conect terr sn crg. Se muestr l crg mgen que se nuce en l esfer y que se conser loclz un stnc el orgen. Pr < será l crg totl nuc. L fuerz coulombn (conserno ls prmers mágenes) entre tles crgs en form smplfc: F V V ( ) ( ) pr stncs grnes ( >> ) en térmnos e l ferenc e potencl ecucón que se reuce ; F = V + Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My

4 Arán Coron ecucón que se nterpret como l sum e os contrbucones l prmer como l fuerz eb os crgs monopolres colocs un stnc o ley e Coulomb; F V = V V = y un termno conoco como el ebo un contrbucón curupolr. F b V V = V P () one P = se conoce como el momento curupolr. Nuevmente s l stnc es grne respecto l tmño e ls esfers obtenemos l ecucón coulombn y l msm relcón entre ls crgs. D. Métoo e mágenes e Mxwell El Métoo e Imágenes consste en suponer que un conjunto e crgs mgen en un lo e un superfce conuctor prouce el msmo efecto que l crg rel nuc sobre l superfce por un conjunto e crgs colocs frente l superfce (teorem e unc) [7]. Los coefcentes e cpctnc e nuccón e un pr e esfers conuctors A y B con ros respectvmente son y y cuyos centros están un seprcón l esfer B un potencl V y l esfer A conect terr o potencl cero se obtenen loclzno os esfers e nversón centrs en un punto común y etermnno l poscón y mgntu e ls crgs mgen en l esfer A suponeno que ést nclmente coloc en su centro.... ȯ B A o P ( + + )( + )( )( + ) = y senhα = senh β = w = β - α. L fuerz e trccón entre ls esfers es por lo tnto: q V = = F V = senh αα. ( ϖ α ) En el cso e >> = = y el esrrollo en sere e / se obtene: 7 ( A V ) ( B V + + ) conserno los prmeros térmnos se reencuentrn ls expresones pr ls crgs ecucón. 7 F = V + + () el comportmento e l ecucón en sus prmeros térmnos es gul los e l ecucón y con su prmer térmno coulombno. E. Crg puntul en presenc e un esfer conuctor terrz mnten potencl V Un crg puntul q coloc un stnc e un esfer conuctor e ro mnten un ferenc e potencl V experment un fuerz eb l crg nuc y un crg =V sobre l superfce e l esfer por ser conuctor equvle un crg coloc en el centro e l esfer []. B A FIGUA. Sstem formo por os esfers conuctors. Se muestr con línes puntes ls esfers e nversón. El punto P represent l poscón ncl e l crg en l esfer A. V q Ls expresones pr ls crgs totles: one = Vq = V A B = Vq b = = V senh ϖ = ( α ) ( ) senh ϖ FIGUA. Sstem formo por un esfer conuctor e ro potencl V conect terr y un crg puntul coloc un stnc. Se muestr l crg mgen nuc un stnc el centro e l esfer. elcones pr l mgntu e crg mgen y su poscón: = -q / = /. L fuerz entre ls crgs en l superfce e l esfer l nuc y l crg q es: Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My

5 Convergenc e ls solucones (moelos báscos e l electrostátc) e l fuerz entre conuctores potencl constnte qv q qv q F = + = ( ) = V Cl (coshη ) [( )( )]. + = l senh l η η ( ) [( )( )] [( )( )] l + cosh l + η η C (coshη ) senh l + η η C (coshη ) l l η ( ) pr grnes stncs ( >> ) l ecucón que se reuce V l + Cl (coshη ) Cl (coshη) = ; l = senh[ ( l + )( η η )] qv q F = en l fgur se muestrn ls enses superfcles e crg en c un e ls esfers. Un mnfestcón más en térmnos e ls crgs: sobre l form en que se restrbuye l crg ntercconr con ls crgs el otro conuctor. Es relevnte ver que el uso V q e coorens props el sstem permte escrbr con precsón nlítc confrontble con vlores expermentles. one es l crg sobre l esfer conuctor potencl V y l crg nuc como funcón e l stnc y form el conuctor. L fuerz se puee expresr como l sum e os fuerzs: qv q F = y F b q. Se observ que me que ls esfers se lejn F b tene cero queno sólo el térmno Coulombno. F. Métoo e coorens besfércs Con l funcón e Green e Drchlet pr os esfers conuctors en funcones rmóncs besfércs se obtene l solucón e l ecucón e Posson con vlores e potencl o en l superfce e los electroos que en éste cso φ = V y φ = (l fuerz electrostátc entre os objetos conuctores mntenos un ferenc e potencl v respecto terr expermentlmente se obtene conectno el borne negtvo e l fuente terr) con l que se obtene l ntens eléctrc ens superfcl e crg y crgs totles e os esfers conuctors ferenc e potencl fjo. Integrno ests ecucones sobre l superfce e c esfer se obtene l crg totl en l superfce e c esfer [9];. s s.... (σ potencl V). (σ esfer potencl cero) FIGUA. Ls gráfcs en coorens besfércs muestrn l strbucón e l crg en c esfer como se observ l crg en l esfer potencl V est más ens en l reccón e l esfer conect terr l que se le nuce l crg. x x L fuerz esfers conuctors se clculó por meo el tensor e esfuerzos e Mxwell. ( l + ) ( )( ) F V k B B l BB B = cosh η l l+ + l l l l= l+ l+ l l+ FIGUA. Sstem formo por os esfers conuctors en un sstem cooreno besférco. Se muestrn mente línes contnus l form e ls superfces equpotencles y con línes punts el cmpo electrostátco. one se h uso l efncón ( l + ) Cl (coshη) N l B =. l senh (( l + )( )) η η Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My

6 Arán Coron Ls epenencs entre los prámetros e stnc entre ls esfers y sus ros se obtenen e ls relcones e trnsformcón e coorens: Ls ecucones pr ls crgs totles en c esfer esrrolls en seres (/) pr el cso e esfers gules se reuce en térmnos e l stnc y el ro e ls esfers : 7 V V V 9 V V V V V 7 pr el prmer térmno ls crgs se puee relconr como: conserno sólo el prmer térmno: V V. Pr esfers pequeñs y grnes stncs l sere pr l fuerz se reuce : 7 = V F k BB coshη B kv + + en térmnos e ls crgs el prmer térmno: III. CONCLUSIONES L confrontcón entre los moelos físcos y los resultos expermentles es un tem común en ls ferentes áres e l cenc. En nuestro cso es mportnte observr que los moelos escrben con sufcenc el comportmento el sstem formo por esfers conuctors cuno ésts se encuentrn grnes stncs. L esvcón e l ley e Coulomb no es teórc en lo generl ls lmtcones son expermentles. Stucones que grcs l tecnologí y métoo expermentles mplementos h so posble obtener vlores e l fuerz electrostátc entre esfers conuctors mostrno l consstenc que hy entre los moelos en tos stucones. Ls expresones funconles e l fuerz entre electroos conuctores eléctrcmente crgos escrben l restrbucón e crg eb l nuccón como funcón e l seprcón entre los electroos y ls mensones e los electroos el efecto e restrbucón en l superfce e los conuctores se tos ls stncs. En toos los csos quí scutos l fuerz electrostátc mostrron como er e esperrse pr >> el límte coulombno. L fuerz entre os esfers conuctors construs por ferentes stucones converge con ferente rpez hc l ley colombn. Mnteneno l nherente smplc geométrc los estuntes pueen nlzr fáclmente los tos s el sesor segur que >> AGADECIMIENTOS Agrezco l Dr. E. Ley Koo sus vloss clrcones sobre l nterpretcón e fuerz entre los conuctores y su poyo pr resolver el problem usno coorens besfércs. F kv V = kv = k EFEENCIAS y el seguno se reuce : F b kv V = kv P k one P se conoce como el momento curupolr sí: P F k( ). Pr el cso e stncs corts one los efectos e restrbucón e l crg en ls esfers son grnes solucón en coorens besfércs l fuerz electrostátc mostró un ráp convergenc compr con l fuerz clcul e l expresón obten por el métoo e mágenes e Mxwell. [] Lng-Cheng Tu n Jun Luo Expermentl tests of Coulomb s Lw n the photon rest mss Insttute of Physcs Publshng Metrolog s-s Sep (). [] Jckson J. D. Clsscl Electroynmcs n Eton (John Wley & Sons Inc New York 998) Chp.. pp -9. [] Heerng P. On Coulomb's nverse squre lw Am. J. Phys. 988 (99). [] Cuno l Cenc nos Alcnce Cp III El Arte Pero e Cuchrer (L Jorn 7 e e cembre e 99) c_.htm Consulto el e Nov. 8 [] ogers E. Coulomb's Lw n Coulomb's Force Constnt Am. J. Phys. 7 (9). [] Coulomb Blnce () Consulto el e Enero e 9 [7] Wley P. H. n Stutzmn W. L. Smple experment to emonstrte Coulomb lw Am. J. Phys. - (978). [8] Soules J. A. Precse clculton of the electrosttc force between chrge spheres nclung nucton effects Am. J. Phys. 8 9 (99). Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My 9

7 Convergenc e ls solucones (moelos báscos e l electrostátc) e l fuerz entre conuctores potencl constnte [9] Coron A. y Ley Koo E. Evluton n Mesurement [] Mxwell J. C. A Tretse on Electrcty n of forces between two conuctng spheres evst Mexcn Mgnetsm. Vol. (Dover New York 9) pp. -7. e Físc () [] Purcell E. M. Electrc y mgnetsmo ª E. Vol [] Cortel A. Demonstrtons of Coulomb s lw wth n (Etorl everté S.A. Méxco ) p. electronc blnce Phys. Tech (999). [] Lnu L. D. n Lfshtz E. M. Electronmcs of [] Lrson C. O. n Goss E. W. A Coulomb's Lw Contnuos Me Vol. 8 (Ason Wesley Publshng Blnce Sutble for Physcs Mjors n Nonscence Compny Inc. New York 9) p 8-. Stuents Am. J. Phys. 8 9 (97). [] Jckson J. D. Clsscl Electroynmcs n Eton [] Slsko J. n. Brto-Ort. A. On pproxmte (John Wley & Sons Inc New York 998) Chp.. pp 7- formuls for the electrosttc force between two conuctng. spheres Am. J. Phys. - (998) [7] Mxwell J. C. A Tretse on Electrcty n Mgnetsm. Vol. (Dover New York 9) pp. 7. Lt. Am. J. Phys. Euc. Vol. No. My 9

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