3 Potencias y raíces de números

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1 Potecis y ríces de úeros reles. Potecis de expoete turl. Defiició. El producto tiee sus siete fctores igules. Este producto se puede idicr de for brevid coo. se ll poteci, y l fctor, bse. El úero de veces que se repite el fctor se ll expoete. L poteci x se ll cudrdo, y l poteci x, cubo. Ls siguietes se ll curt, quit, sext.y, e geerl, eési poteci. L poteci, ( > ), es el producto de fctores igules l bse: L ( veces) Ls propieddes. El producto de dos potecis de l is bse es otr poteci que tiee por bse l is y por expoete l su de los expoetes. El cociete de dos potecis de l is bse es otr poteci que tiee por bse l is y por expoete l difereci de los expoetes. :

2 El producto de dos potecis co el iso expoete es otr poteci que tiee por bse el producto de ls bses y por expoete el iso. b ( b) El cociete de dos potecis co el iso expoete es otr poteci que tiee por bse el cociete de ls bses y por expoete el iso. : b ( : b) L poteci de u poteci es otr poteci que tiee por bse l is y por expoete el producto de los expoetes. ( ) Potecis de expoete etero. Ls potecis de expoete etero se defie sí: L 0 ( > ) ( > 0) Co est defiició, ls propieddes de ests potecis so ls iss que ls de ls potecis de expoete turl. Potecis de 0. Notció cietífic. U úero e otció cietífic N,bcd. 0 cost de: U prte eter ford por u sol cifr o ul. U prte decil. U poteci de bse 0 co expoete etero. E est otció el expoete idic el orde de l gitud. Ejeplos: L velocidd de l luz /s L s de l Tierr, 0 Kg U ño luz, 0 L s de u protó, 0 Kg s

3 Ríz de u úero. Qué úero positivo ultiplicdo por sí iso tres veces d? El úero es y se ll ríz cúbic de b b E, es u úero til. se ll ídice, rdicl, y rdicdo Núero de ríces. Rdicles equivletes. Núero de ríces. Si el ídice es pr hy tres posibiliddes: Rdicdo positivo: existe dos ríces opuests. ± Rdicdo igul 0: tiee por ríz 0. Rdicdo egtivo: o tiee ríces, y que todo úero elevdo u poteci de expoete pr es positivo. Si el ídice es ipr, todo úero tiee u sol ríz: positiv, si el rdicdo es positivo egtiv, si el rdicdo es egtivo, y ul si el rdicdo es 0. Ejeplo: 0 0 Rdicles igules o equivletes. Coprció. Los rdicles L, K Estos rdicles se dice que so igules o equivletes. Dos rdicles so igules o equivletes si tiee ls iss ríces. Si se ultiplic o se divide el ídice de u rdicl y el expoete del rdicdo por u iso úero turl distito de cero, se obtiee otro rdicl equivlete. k Est regl perite: siplificr rdicles, obteer dos rdicles co el iso ídice y coprr rdicles. De los rdicles 0 y 0 se puede psr 0 y 0 ultiplicdo ídice y expoete por e el prier rdicl y por e el segudo. De dos rdicles co el iso ídice es yor el que tiee yor rdicdo. k

4 Potecis de expoete frcciorio. Observeos lo que ocurre l plicr l defiició de ríz y l propiedd del producto de potecis de l is bse: Aplicdo l defiició de ríz Aplicdo l propiedd del producto de potecis de l is bse Si los resultdos so igules, los fctores tbié debe serlo Ests igulddes perite defiir, e geerl, ls potecis de expoete ( ) ( ) U poteci de expoete frcciorio es igul u rdicl dode : El deoidor de l frcció es el ídice de l ríz, y El uerdor de l frcció es el expoete del rdicdo. L iguldd de rdicles se puede estblecer prtir de l iguldd de potecis de expoete frcciorio: Dos potecis de expoete frcciorio so igules o equivletes si los rdicles correspodietes lo so, o tbié, si ls frccioes de ests potecis so equivletes: q p p q p q Est propiedd perite siplificr, obteer potecis co el iso ídice y coprr potecis. El proceso es siilr l utilizdo co frccioes.

5 Propieddes de los rdicles. El producto de dos rdicles del iso ídice es otro rdicl que tiee por ídice el coú (el iso) y por rdicdo el producto de los rdicdos. b b El cociete de dos rdicles del iso ídice es otro rdicl que tiee por ídice el coú (el iso) y por rdicdo el cociete de los rdicdos. b : : b : L poteci de u ríz es otr ríz que tiee por ídice el iso y por rdicdo l poteci del rdicdo. ( ) ( ) L ríz de u ríz es otr ríz que tiee por ídice el producto de los ídices y por rdicdo el iso. Ls propieddes de los rdicles perite itroducir úeros e u rdicl. Así: 0 El proceso cotrrio, es decir, scr fuer del rdicl los fctores que so ríces excts, será: Cálculo co potecis y ríces. Propieddes de ls potecis de expoete frcciorio. Ls potecis de expoete frcciorio verific ls iss propieddes que ls potecis de expoete etero. Ls opercioes co rdicles se siplific si se ps potecis de expoete frcciorio.

6 0 : 0 : ( ) b b ) ( ( ) ( ) b b : : ) ( : ( ) : : : ( ) Rciolizció. E los cálculos coviee evitr deoidores co ríces. El proceso de quitr ls ríces del deoidor se deoi rciolizció. Medite este proceso se obtiee coo deoidor u úero rciol. Csos: ) El deoidor es u ríz cudrd: Se ultiplic el uerdor y el deoidor por el deoidor. Ejeplo: b) El deoidor es u su o difereci de ríces cudrds. Se ultiplic el uerdor y el deoidor por el cojugdo del deoidor. Ejeplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sus y rests co rdicles. Rdicles seejtes. Ls opercioes de sur y restr rdicles sólo puede efecturse e el cso de ser éstos rdicles seejtes.

7 Rdicles seejtes so quellos que tiee el iso ídice y el iso rdicdo y vrí úicete e su coeficiete. Por ejeplo: so rdicles seejtes. Pr relizr u su lgebric de rdicles debeos hllr los rdicles seejtes scdo fuer de l ríz los fctores posibles, operr co los coeficietes y dejr el rdicl. Así: ( ) Producto y cociete de rdicles. Pr ultiplicr o dividir rdicles es ecesrio que esté expresdos co el iso ídice. U vez hecho esto, se utiliz ls propieddes de los rdicles pr operr. Por ejeplo: ) 00 b) : : Extrcció o itroducció de fctores detro del rdicl. Pr scr fuer del rdicl se descopoe el rdicdo e producto de potecis co expoete el ídice de l ríz luego se plic l propiedd del producto de rdicles. Relizdo el proceso cotrrio, se puede itroducir fctores detro de u ríz. Por ejeplo: ) Extrcció de fctores b) Itroducció de fctores RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA RESOLVER UN PROBLEMA Siplificr el proble. Utilizr u digr de árbol. Redoder los resultdos. Geerlizr los resultdos prciles. PROBLEMA: Los luos de tercero C discute sobre el úero de quiiels ecesris pr certr los ctorce resultdos de u jord de fútbol. Después de ciertos tteos coprueb

8 que ls potecis so eseciles pr expresr de for secill los resultdos prciles y el totl Cuáts quiiels diferetes so ecesris pr teer l certez de certr? SIMPLIFICAR EL PROBLEMA: Pr resolver el proble se puede epezr reduciedo su dificultd. Es decir itetrlo co ctiddes ás pequeñs. Así: Cuátos resultdos posibles se puede dr e u sólo prtido? Y co dos prtidos? Y co tres? UTILIZAR LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL: Si l quiiel fuer de u solo prtido los resultdos serí: x Si l quiiel fuer de dos prtidos, los resultdos serí: x x El úero de quiiels l psr de u proble prcil l siguiete qued ultiplicdo por. Así si el úero de prtidos es el úero de quiiels es GENERALIZAR LOS RESULTADOS: Los resultdos prciles sucesivos se puede escribir: Pr u prtido Pr dos prtidos Pr tres prtidos Pr cutro prtidos Pr ctorce prtidos Y pr el pleo l quice serí: 0 quiiels. A C T I V I D A D E S.- Clculr: (-) (-) / ( ) /.- Hllr el vlor de ls potecis:

9 .- Idicr el orde de gitud de ls siguietes edids: ) L s del Sol es:, 0 0 Kg. b) L s del electró es:, 0 - Kg c) L logitud del precio es:, 0 -. ) b) c) d) : e) f ).- Relizr ls siguietes opercioes: 0 ), 0, 0 b ), 0, 0.- Etre qué úeros eteros se ecuetr l ríz cúbic de?.- Expres e for de poteci l relció x.- Siplificr los siguietes rdicles:.- Reducir ídice coú y order:.- Clculr: ) b) 0.- Hllr l su de los siguietes rdicles: Siplificr: ) b) c) d) 0.- Clculr ls siguietes potecis: 0, ) b).- rciolizr: ) b) c).- Escribir coo poteci úic: ) b) d) ( ) ( x) c) ( ) ( ) x e) : x x f) :.- Escribir e otció cietífic: ) b) 0, Escribir e otció ordiri:

10 ), 0 b), Siplificr: ) b) c) d) e) f) 0.- Siplificr ls potecis: ) b) c) d) 0.- Reducir ídice coú: ) b) 0.- Cuál es yor de estos rdicles? c).- Clculr:.- Itroduce e el rdicl los úeros que está fuer: ) b).- Scr fuer del rdicl todos los fctores posibles: ) 0 b) 00.- Clculr los siguietes cocietes de rdicles: ).. : b).. :.- Relizr ls siguietes opercioes: ) b) c) d) 0.- Relizr ls siguietes opercioes utilizdo rdicles y potecis de expoete frcciorio: ) b).- Relizr ls siguietes opercioes: ) ( )( ) b) ( )

11 c) ( ).- Escribir coo rdicl:.- Escribir coo potecis: Relizr ls siguietes opercioes: 0.- Clculr ls siguietes potecis. 0, 0.- Escribir e for potecil ls siguietes expresioes: ( ) x x.- El volue de u cubo es c. Cuáto vle el volue del cubo cuyo ldo es el doble?.- Se sbe que el cociete de dos úeros es Cuáto vle el cociete de sus cudrdos?.- U cubo tiee c de volue. Hllr l rist del cubo y l su de ls áres de tods sus crs..- El áre de u cudrdo ide 0 c cuál es el áre del cudrdo costruido sobre su digol?.- Expresr e otció cietífic los segudos de u ño..- Clculr los K que recorre l luz e u ño. Escribirlo e otció cietífic co dos deciles. (U ño, dís velocidd de l luz, K/s)..- El átoo de hidrógeo pes, 0 - g. Cuátos se ecesit pr obteer, Kg?. 0.- L s de l Tierr es, 0 Kg y l del Sol,, 0 0 Kg Cuáts veces es yor el Sol que l Tierr?.- U precio ide, 0 -. Si estuvier colocdos e líe rect, qué logitud lczrí illó de precios?.- Si u úero x lo ultiplicos por. Cuáto uet su cudrdo? Y su cubo? Y si le ñdios u uidd?

12 .- Arquíedes se plteó el siguiete proble: Si l Tierr estuvier ford por gros de re, cuátos tedrí? Dtos: Logitud del ecudor K. Núero de gros de re que etr e u : 00. Expresr el resultdo e otció cietífic..- Clculr el áre proxid, e etros cudrdos, de l Tierr, todo coo rdio.00 K y el úero π,. Escribir el resultdo e for cietífic co tres cifrs deciles.

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