Unidad VII. Geometría, trigonometría y series

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1 Geometría, trigonometría y series Unidad VII En esta unidad usted aprenderá a: Conocer y utilizar la semejanza de los triángulos. Utilizar algunos elementos de la trigonometría. Aplicar el teorema de Pitágoras. Utilizar las funciones trigonométricas. Le servirá para: Medir y calcular distancias grandes o poco accesibles. Obtener las dimensiones de algunos objetos, difíciles de medir físicamente. Plantear algunas soluciones a problemas relacionados con el uso de series de números. Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4 Triángulos semejantes Teorema de Pitágoras Funciones trigonométricas Series numéricas

2 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 1 Triángulos semejantes A mbrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar? 294 Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro parándose junto a él y marcar su altura con un gis, luego alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura en el muro. Pero este procedimiento no es muy preciso, pues está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro para luego multiplicarla.

3 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio: La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m. La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera: AB = Recta que forma el muro. BC = Recta que forma la sombra del muro a las 11 a.m. AC = Recta imaginaria que se produce cuando el Sol proyecta su sombra sobre el piso. 295

4 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA De la misma manera se puede analizar a Ambrosio y su sombra. DE = La altura de Ambrosio (1.75 m). EF = Longitud de la sombra de Ambrosio a las 11 a.m. (3.0 m). DF = Línea imaginaria que produce la proyección de la sombra de Ambrosio. Observe que los triángulos ABC y DEF son semejantes porque sus tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que existe entre el alto del AB muro y su sombra ( ) es la misma que existe entre la altura de Ambrosio y la BC DE longitud de su sombra ( ). Esto es porque los dos triángulos (ABC y DEF) EF tienen el mismo ángulo a (se lee alfa). La sombra del muro Utilizando el álgebra se puede decir que: AB BC DE EF = r (una cantidad r) = r (la misma cantidad r) La sombra de Ambrosio Por lo anterior se tiene que: AB DE BC EF 296

5 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES También se podría haber dicho que: La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE. AB : DE ; AB DE Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde luego, ambas medidas a las 11 a.m. BC : EF ; BC EF Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tres variables y tiene una incógnita. AB DE = BC EF Incógnita AB = altura del muro (no la conoce). BC = longitud de la sombra del muro (sí la conoce). DE = altura de Ambrosio (sí la conoce). EF = longitud de la sombra de Ambrosio (sí la conoce). Con lo anterior puede plantear una ecuación como la siguiente: x BC = DE EF (x = altura desconocida del muro) Despeja la incógnita x, por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación por BC: x BC BC = DE EF BC Sustituyendo se tiene: 1.75 m x = 16 m 3.0 m x = 9.33 m x = DE EF BC Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de 9.33 m, lo que multiplicado por los 25 m que tiene de base obtendrá su área m x 25 m = m 2 297

6 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Recuerde usted que cuando tiene figuras que son semejantes, conociendo la relación que existe en ellas, se puede estimar cualquier dimensión que falte. En el caso del muro de Ambrosio, la semejanza se puede comprobar de la siguiente manera. Forma algebraica: Cuando se obtiene la misma cantidad en los dos triángulos al dividir a uno de los lados entre otro de sus lados. AB DE = BC EF Forma gráfica: 1. Cuando un triángulo cabe exactamente en una parte del otro. 2. Cuando, al continuar las líneas de un ángulo formado, se puede colocar el otro triángulo pero de manera simétrica: 298 Observe que en ambos casos el ángulo a es el mismo.

7 Ejemplo GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. Cómo podría medir el ancho del río? Para resolver su problema, Martín hace lo siguiente: 1. Identifica un punto determinado al otro lado del río, en donde quiere medir el ancho del río, por ejemplo el árbol (Punto A). 2. Del punto identificado (el árbol), traza una línea imaginaria sobre la longitud que quiere medir. Ésta debe ser perpendicular al cauce del río para que la medida que obtenga sea la adecuada (Punto B). 3. Se desplaza a uno de los lados del punto de observación, también de manera perpendicular, a una distancia considerable (Punto C). 4. De ahí camina de manera perpendicular al cauce, alejándose del río para establecer un segundo punto de observación (Punto D), a una distancia de 3 m. 299

8 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 5. Martín, desde el punto de observación 2, ve hacia el punto de referencia al otro lado del río y pide ayuda para que por donde pasa la línea imaginaria que resulta al mirar el punto de referencia desde el punto D, se ponga una marca (Punto E). Ahora Martín tiene dos triángulos semejantes, como se muestra en el siguiente croquis: Si observa el croquis, se dará cuenta que los triángulos ABE y ECD son semejantes por lo que se puede plantear que: AB AB CD : CD y que: BE : CE Como los dos triángulos son semejantes, se dice que: BE CE AB CD = BE CE 300

9 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Y como lo único que no se conoce de esta ecuación es AB (el ancho del río), este segmento se despeja de la siguiente manera: Se multiplican a ambos términos por CD: AB CD CD = BE CE CD AB = BE x CD CE Con esta ecuación, Martín podrá calcular el ancho del río. Observemos qué sucede si se tienen los siguientes datos: AB =? BE = 17 m CE = 2 m CD = 3 m Aplicando la fórmula obtenida se tiene: BE x CD AB = CE AB = 17 m x 3 m 2 m AB = 25.5 m Con esto Martín sabe que el río tiene un ancho aproximado de 25.5 m. 301

10 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Las razones de semejanza no se deben aplicar de manera directa cuando se manejan relaciones cuadráticas, como las áreas. Observe lo que le pasa a un colocador de pisos. Ejemplo Mauricio es colocador de pisos y va a colocar mosaico en una habitación que mide 3 m x 4 m. Cuántos mosaicos debe comprar Mauricio si los mosaicos seleccionados miden 0.25 m x 0.25 m cada uno? Cuántos mosaicos deberá comprar si los mosaicos seleccionados no alcanzan y se ve obligado a comprar unos que miden, de cada lado, el doble de los seleccionados? Mauricio piensa así: El área de la habitación en la que se van a colocar los mosaicos es: 3 m x 4 m = 12 m 2 El área de cada mosaico de 0.25 m x 0.25 m es: 0.25 m x 0.25 m = m 2 Para conocer el número de mosaicos de 0.25 m x 0.25 m, habrá que analizar cuántas veces cabe el área de un mosaico en el área de la habitación. área de la habitación Nº de mosaicos = = área de un mosaico A 1 A 2 12 m Nº de mosaicos = 2 = m 2 Con lo anterior, Mauricio sabe que necesitará 192 mosaicos de 0.25 m x 0.25 m. 302

11 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Ahora, para calcular el número de mosaicos que miden el doble que los anteriores Mauricio piensa: Si con mosaicos de 0.25 m x 0.25 m ocupé 192 mosaicos, con mosaicos que miden el doble, pues ocuparé la mitad. Qué opina usted de lo que piensa Mauricio, está en lo correcto? Veamos aritméticamente si lo que piensa Mauricio es correcto. 192 La mitad de 192 es: = Y si cada uno de estos mosaicos mide 0.5 m x 0.5 m, observemos qué área se cubre con estos 96 mosaicos de 0.5 m x 0.5 m. Área de los mosaicos de 0.5 m x 0.5 m: 0.5 m x 0.5 m = 0.25 m 2 Multiplicando el área de cada mosaico por 96, se tendrá el área que cubren estos mosaicos: 0.25 m 2 x 96 = 24 m 2 Con lo anterior se observa que si Mauricio compra 96 mosaicos de 0.5 m x 0.5 m cubrirá 24 m 2 y él sólo requiere cubrir 12 m 2. Esto indica que está equivocado y que compraría mosaicos de más. Entonces, no debe aplicar una razón de semajanza lineal, sino dividir el área a cubrir entre el área de cada mosaico. área de la habitación área de cada mosaico de 0.5 m x 0.5 m 12 m = 2 = m 2 Esto nos indica que Mauricio necesitaría 48 mosaicos de 0.5 m x 0.5 m para cubrir 12 m

12 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Problemas 1. Cuánto mide de altura el edificio de la Torre Latinoamericana que tiene 54 pisos si su sombra, a las 2 de la tarde, tiene una longitud de 35 m y la sombra de Ana María, que mide 1.6 m, tiene 0.4 m, también a las 2 p.m? 2. Un poste de luz, que mide 5.00 m, proyecta una sombra de 20 m de longitud a las 7 a.m; si la sombra de Armando es de 7 m, también a las 7 a.m, cuál es la estatura de Armando? 3. Cuál será la distancia desde la iglesia del pueblo de San Rafael hasta la casa de Román si se hizo la siguiente observación? 304

13 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 2 Teorema de Pitágoras P ara evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo. El poste mide de altura 4 m y el cable en el piso debe estar separado 3 m de la base del poste. Rocío debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar. Qué debe hacer Rocío para saber cuánto comprar de cable? 305

14 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Rocío piensa que con una escalera y una cuerda puede conocer la longitud que hay desde la punta del poste hasta el piso a los tres metros de la base del poste, pero no tiene ni escalera ni cuerda. Entonces piensa que por medio del teorema de Pitágoras puede solucionar su problema. Observe lo que hizo: El teorema de Pitágoras dice que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esto significa que: a 2 + b 2 = c 2 Hipotenusa c Cateto b c b Cateto a a Por lo que si Rocío conoce el cateto b (la altura del poste) y el cateto a (la separación del cable), podrá conocer la hipotenusa c (la longitud del cable). a = 3 m b = 4 m c =? Para despejar la c (la hipotenusa), se saca raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c Sustituyendo los valores de a = 3 y b = 4 se tiene lo siguiente: (3) 2 + (4) 2 = c = c 25 = c 5 = c 306 Por lo que el cable deberá medir 5 metros más la longitud necesaria para fijarlo al poste y al piso. Como puede usted ver, el teorema de Pitágoras es muy práctico para calcular la magnitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo, cuando se conocen sus otros dos lados.

15 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Pero cómo fue que Pitágoras, hace más de 2500 años, encontró esta fórmula tan útil. Hay varias formas de comprobar la fórmula de Pitágoras pero las dos más sencillas son las siguientes. Primero, para ciertos números enteros con 3, 4, 5 llamados triple de Pitágoras. a = cateto 1 b = cateto 2 c = hipotenusa Si se analiza la figura anterior, se tiene que la suma de las áreas de los dos cuadrados que forman los catetos es de: cateto (1) a x a = a 2 = 4 x 4 = 16 cateto (2) b x b = b 2 = 3 x 3 = 9 Si se suman las áreas de los cuadrados se tiene: a 2 + b 2 = = = 25 El área del cuadrado que se construye con las dimensiones de la hipotenusa en la figura es de: hipotenusa c x c = c 2 = 5 x 5 = 25 Con lo anterior se comprueba que en un triangulo 3, 4, 5, la suma de los cuadrados de los catetos (a 2 + b 2 ) de un triángulo rectángulo (tiene un ángulo de 90 ) es igual al cuadrado de la hipotenusa (c 2 ). a 2 + b 2 = c 2 Del mismo modo, si multiplicamos otros tres números (6, 8, 10) por la misma cantidad, obtenemos otro triple: = 10 2, etc. 307

16 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Segundo, una demostración del teorema de Pitágoras del matemático indio Bashkara, propuesta en el año 1150: Dos cuadrados, uno dentro del otro. El que está en el interior tiene lados de la magnitud de la hipotenusa de los 4 triángulos rectángulos que se forman con el cuadrado exterior (1) (2) (3) (4). El cuadrado exterior está formado por dos segmentos (a, b) que son catetos de los cuatro triángulos formados con el cuadrado interior. 308

17 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES 1. Área del cuadrado exterior que tiene lados a + b es: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + b 2 + 2ab 2. Área del cuadrado interior que tiene lados c es: c c = c 2 3. Si se recuerda que el área de un triángulo es igual a la base por la altura entre 2, ab lo que en los triángulos formados sería, y como son 4 triángulos, el área total 2 sería: b a 4 = 2ab 2 4. Como el área del cuadrado exterior es igual al área del cuadrado interior más el área de los cuatro triángulos, se puede escribir la siguiente ecuación: a 2 + b 2 + 2ab = c 2 + 2ab Área del cuadrado exterior Área del cuadrado interior Área de los 4 triángulos que se forman del cuadrado interior 5. Como 2ab se encuentra en ambos miembros de la ecuación, se puede eliminar: a 2 + b 2 + 2ab = c 2 + 2ab y queda la ecuación que es el teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = c 2 309

18 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA El teorema de Pitágoras es aplicable en una gran gama de problemas en los que se conozcan dos de los lados de un triángulo, ya que el otro puede ser fácilmente obtenido al ser despejado, como se muestra a continuación. Recuerde el teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = c 2 a = cateto c = hipotenusa b = cateto a) Cuando se desconoce c, se saca raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación: a 2 + b 2 = c 2 b) Cuando se desconoce el cateto a, primero, se resta b² en ambos miembros y, luego, se saca la raíz cuadrada, también en ambos miembros: a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c a 2 + b 2 - b 2 = c 2 - b 2 a 2 = c 2 - b 2 a = c 2 - b 2 c) Cuando no se conoce el cateto b, se sigue un procedimiento similar al anterior. Se resta a 2 en ambos miembros: a 2 + b 2 = c 2 a 2 - a 2 + b 2 = c 2 - a 2 Se saca raíz en ambos miembros: b 2 = c 2 - a 2 b = c 2 - a 2 b 2 = c 2 - a 2 310

19 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Ejemplos Suponga que tiene una habitación que mide 6 m x 8 m y que en ella hay un tapete bajo muebles muy pesados. Si sólo tiene accesibles dos extremos del tapete, como se muestra en el dibujo, cómo puede usted conocer del tapete la dimensión de cada uno de los lados y su diagonal? Si las orillas del cuarto se tratan como ejes y cada metro es una coordenada, se tiene que se conocen los puntos A (1, 1) y B (7, 5). 311

20 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Con lo anterior se pueden calcular las dimensiones de los lados del tapete y con ello la diagonal, que es la hipotenusa del triángulo formado. Observe que con el sistema de ejes coordenados, puede fácilmente obtener las dimensiones de los lados de la figura. Lado paralelo al eje x: L 1 = 6 m Lado paralelo al eje y: L 2 = 4 m 312 Para conocer la distancia entre dos puntos cuando sólo se tienen sus coordenadas, se debe recordar que un punto en un sistema de ejes cartesianos (como los que estamos usando) se puede representar por sus coordenadas x y y, así que: P ( x, y) A (1, 1) B (7, 5) Esto nos indica que la A está en el punto que se ubica en la x = 1 y la y = 1; y la B está en el punto en donde la x = 7 y la y = 5. Si se observan los puntos A y B en el sistema de ejes cartesianos, nos damos cuenta que para obtener la dimensión paralela al eje x se restó de la x 2 del punto más alejado del origen (7) la x 1 del punto más cercano al origen (1). (x 2 - x 1 ) = 7-1 = 6 Y para el lado paralelo al eje y se restó a la y 2 del punto más alejado del origen (5) la y 1 del punto más cercano al origen (1). (y 2 - y 1 ) = 5-1 = 4

21 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Gráficamente esto se puede mostrar de la siguiente manera: Lo anterior nos permite señalar que la distancia que hay de P 1 a N es igual a: Y la distancia que hay de P 2 a N es igual a: P 2 N = (y 2 - y 1 ) En nuestro problema de los muebles si se conocen dos lados del triángulo formado, se podrá, con el teorema de Pitágoras, fácilmente conocer el lado que falta. Sacando raíz en los dos miembros se tiene que: a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2 P 1 N = (x 2 - x 1 ) a 2 + b 2 = c Sustituyendo: c = = = 52 Usando la calculadora se tiene que: c = 52 = Con lo anterior se puede decir que el tapete tiene un lado de 6 m y otro de 4 m, con una diagonal de 7.21 m. 313

22 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ejemplo Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir cuánto medía cada lado de su base (233 m) y la longitud de su pendiente ( m), pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon. Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide? Si observa usted de frente a la pirámide, se dará cuenta que ésta tiene forma de triángulo y que si divide su base a la mitad, se forma un triángulo rectángulo. 314

23 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES De estos triángulos conoce uno de sus catetos (116.5) y su hipotenusa ( ), por lo que con el teorema de Pitágoras podrá conocer el cateto que falta. El que es la altura que se está buscando: a 2 + b 2 = c 2 Suponga que a es el cateto que se está buscando y que b es la dimensión que se conoce de la base. Se despeja a restando b² en ambos miembros. a 2 + b 2 - b 2 = c 2 - b 2 a 2 = c 2 - b 2 Se saca la raíz cuadrada en ambos miembros. a 2 = c 2 - b 2 a = c 2 - b 2 Se sustituyen las dimensiones conocidas: a = ( ) 2 - (116.5) 2 a = 34, , a = 21, c = m b = m a =? a = 146 Con lo anterior se puede decir que la pirámide Keops de Egipto tiene de altura 146 m. 315

24 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ejercicios 1. Calcule usted el lado que falta en los siguientes triángulos. a) b) b = c = c) d) x = a = b = e) AB = 316

25 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Problemas 1. Suponga que se cierra la calle diagonal que se muestra en el croquis siguiente: y que usted tiene que ir del punto A al punto B siguiendo el contorno marcado. Qué distancia recorrió de más por esta ruta en comparación con la que recorrería por la diagonal? 317

26 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 2. Se tiene una antena en lo alto de un edificio, como se muestra en el siguiente croquis: Suponiendo que los tensores se ubican como se muestra, qué longitud deberá tener cada uno de ellos? 3. Si usted tiene una cuerda de 59 m y con ella va a levantar un objeto de 1 m de altura desde la base de un edificio con 25 m de alto, qué tan separado puede estar de la base del edificio para que si se cae el objeto no le pegue? (Observe el dibujo.) 318

27 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 3 Funciones trigonométricas J uan es maestro albañil; tiene que construir una barda de 25 m de largo y 5 m de altura. Para que no se caiga, debe colocar a cada 5 m un refuerzo con un ángulo en su base de 75º con el piso, como se muestra en el croquis: El ángulo de inclinación (a) del refuerzo debe ser de 75. Cómo puede Juan saber cuánto debe estar separado el sostén del muro? 319

28 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Juan resuelve su problema de la siguiente manera: 1. En un transportador, señala el valor de 75º. 2. Una vez que tiene marcado en el transportador el valor de 75º, en la parte superior del muro fija un extremo de un carrete de cáñamo y lo deja caer hasta la base del muro. 3. Separa el carrete de cáñamo de la base del muro liberando cuerda conforme se aleja del muro y con el transportador va midiendo el ángulo que se forma entre el piso y la cuerda de cáñamo. 320

29 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES 4. Cuando la cuerda de cáñamo y el piso forman el ángulo de 75º, pone una marca en el piso y mide cuánto hay de esa marca a la base del muro. Después de hacer todo esto, Juan puede decir que de la base del muro a la orilla del refuerzo debe haber aproximadamente 1.34 m. Con todo esto, Juan resulta muy cansado, pues tuvo que hacer muchas maniobras para calcular este cateto del triángulo rectángulo que forma el refuerzo, por lo que decide mejor utilizar la trigonometría, que significa la medida de los ángulos. Para usar mejor la trigonometría, es necesario poner nombre a cada una de las partes de un triángulo rectángulo. Así se tiene que: También podría ser así: 321

30 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ahora es necesario determinar una función que relacione el ángulo, los catetos y la hipotenusa del triángulo, para ello haga lo siguiente: 1. Coloque el transportador en un eje x con un hilo de longitud de un decímetro (10 cm). 2. Se mide la proyección del extremo del hilo sobre el eje x al variar el ángulo del hilo. (La variación fue 90º, 67.5º, 45º, 22.5º, 0º.) 3. Se obtuvo lo siguiente: Ángulo x (dm) En este experimento sólo se probó con 5 ángulos: 90º, 67.5º, 45º, 22.5º y 0º, se obtuvieron 5 valores de x pero se podría haber probado con n ángulos y se habrían obtenido n valores de x. Lo importante es que para cada ángulo siempre corresponderá un valor de x. 322

31 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Ejemplo Hagamos el análisis de un solo triángulo de los obtenidos, el de 45º. Para identificar la función que relacione el ángulo µ, el cateto adyacente y la hipotenusa, se ha definido la función llamada coseno, que se abrevia cos. Esta función (cos) relaciona al cateto adyacente entre la hipotenusa, por lo que se puede escribir que: cateto adyacente cos 45º = hipotenusa = = Así, siempre que se diga coseno (cos) de 45º, se tendrá y esto es producto de dividir al cateto adyacente entre la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Para obtener los valores del coseno (cos) de diferentes ángulos (cos µ), existen tablas que dan los valores aproximados, o también se pueden utilizar calculadoras que tienen funciones trigonométricas. Ejemplo El coseno de los ángulos, de 5 en 5 grados, se presenta a continuación en la siguiente tabla. ángulo a cos a ángulo a cos a ángulo a cos a

32 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Con una calculadora, para obtener la función trigonométrica de un ángulo, se hace lo siguiente: Cálculo del coseno de 36º. Teclas ON 3 6 Pantalla COS Cos El coseno de 36º es Cos 36º = Por lo regular sólo se usan tres decimales. Ejercicios 1. Con una tabla de funciones trigonométricas, como la que viene más adelante en este libro o con una calculadora, obtenga los siguientes cosenos. a) cos 4º = b) cos 90º = c) cos 18º = d) cos 67º = e) cos 49º = f) = 0.5 g) = h) = i) =

33 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Así como el coseno de un ángulo es la relación que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa, existen otras funciones trigonométricas que relacionan las otras partes del triángulo. Las funciones trigonométricas más utilizadas son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan). El seno es la relación que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa. sen a = cateto opuesto hipotenusa La tangente es la relación que existe entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. tan a = cateto opuesto cateto adyacente Así como para el coseno, existen tablas también que se han construido para el seno y la tangente de un ángulo. A continuación se presenta una tabla con los senos, cosenos y tangentes de ángulos de 0 a 90º, de 1 grado en 1 grado. 325

34 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA TABLA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS infinito a a sen a cos a tan a sen a cos a tan a

35 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Ahora, con esta tabla o con una calculadora con funciones trigonométricas, podrá calcular los senos (sen), cosenos (cos) o tangentes (tan) de un ángulo. Ejemplo Sen 30º = 0.5 Ejercicios (Ver en la tabla el renglón 30º y luego buscar la columna sen a y ahí se encuentra el 0.5.) 1. Ahora, escriba el valor del seno de los siguiente ángulos. a) sen 75º = b) sen 41º = c) sen 19º = d) sen 33º = e) sen 80º = 2. Escriba los valores inversos del seno (sen -1 ). a) sen 38 = b) = c) = d) = e) = f) = Ejemplo Localizo en la columna de sen a éste número y luego en la primer columna busco a cuántos grados equivale 38º. 327

36 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA En el caso de las tangentes (tan) sucede algo parecido. Ejercicios Tangente de 15º = Para esto, se busca 15º en la primera columna, la de los grados a, siguiendo el renglón hasta la columna tan a. El cruce es el valor de la tangente de 15º. 1. Ahora, obtenga el valor de las siguientes tangentes. a) tan 71º = b) tan 28º = c) tan 83º = d) tan 20º = e) tan 34º = Ejemplo 2. Obtenga los valores inversos de la tangente (tan -1 ). a) = 1 b) = c) = d) = e) = Bueno, y todo esto, para qué le sirve a Juan en el muro que va a construir? Observe usted, en el siguiente dibujo, como Juan, sin tener que subir al muro, ni tender la cuerda de cáñamo, ahora puede calcular todas las dimensiones y ángulos del soporte de su muro.

37 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Juan sabe que el muro debe tener un ángulo a de 75º y que el cateto opuesto a ese ángulo (la altura del muro) es de 5 m. Con eso es suficiente para calcular: a) El cateto adyacente al ángulo a (que es lo que anda buscando). b) La longitud de la hipotenusa. c) El ángulo del sostén en la parte superior del muro (b). Para lo anterior, Juan identifica perfectamente cada una de las partes de su triángulo rectángulo. Su triángulo con los datos que conoce se ve así: Como puede usted observar, se conoce el ángulo a que es igual a 75º, se conoce el cateto opuesto que es de 5 m y se busca el cateto adyacente, por lo que se deberá identificar a una función trigonométrica que contenga a a, al cateto opuesto y al cateto adyacente. 329

38 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Recordando a las tres funciones trigonométricas que se han visto, se tiene: cateto opuesto sen a = = hipotenusa b h cateto adyacente cos a = hipotenusa = cateto opuesto tan a = cateto adyacente = a h b a La función que incluye a a, al cateto opuesto (b) y al cateto adyacente (a) es la tangente (tan). Como a = 75º y el cateto opuesto (b) es 5, se tiene: 5 tan 75 = a Para despejar a, se multiplican ambos miembros por a : (a) (tan 75 ) = ( Y luego se divide, también a ambos términos, entre tan 75º: (a) (tan 75 ) tan 75 Con lo que se obtiene: 5 a = tan 75 cateto opuesto tan a = cateto adyacente = = 5 a ) a 5 tan 75 Con una tabla o con una calculadora, se obtiene que tan 75º = 3.732, por lo que este valor se puede sustituir en la ecuación obtenida. b a 5 5 a = = = tan Con lo que Juan obtiene que el soporte estará separado de la base del muro aproximadamente 1.34 m. Observe usted que es lo mismo que obtuvo con la cuerda de cáñamo.

39 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Ahora decide que va a obtener la longitud de la hipotenusa (la longitud de la parte superior del soporte). Lo que puede lograr por dos caminos: 1. Por medio de las funciones trigonométricas. 2. Por medio del teorema de Pitágoras. Por medio de las funciones trigonométricas, lo que tiene que hacer es encontrar una función que relacione al ángulo (a) con cualquiera de los catetos (porque ahora conoce los dos) y la hipotenusa. De acuerdo con las funciones trigonométricas que conocemos, se tiene: Cualquiera de las dos primeras funciones (sen y cos) pueden ayudar a Juan a conocer la hipotenusa. Tomemos al seno. Se despeja a la h (hipotenusa) que es lo que se busca. Primero, se multiplican ambos términos por h y, luego, se dividen también a ambos términos entre sen a : b (h) sen a = h h (h) sen a = b (h) sen a sen a h = b sen a = b sen a cateto opuesto sen a = = hipotenusa cateto adyacente cos a = hipotenusa = cateto opuesto tan a = cateto adyacente = sen a = b h Se sustituyen los valores conocidos de a = 75º y b = 5. h = 5.17 De la tabla o de una calculadora Esto quiere decir que la parte superior del soporte del muro de Juan medirá 5.17 m. b h a h b a h = h = h = b sen a 5 sen

40 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Por el teorema de Pitágoras, se tiene que: Se conocen los catetos a y b y se desconoce la hipotenusa h. El teorema de Pitágoras señala que: a 2 + b 2 = h 2 Se sustituye el valor de a = 1.34 y el de b = 5, se tiene que: a 2 + b 2 = h 2 (1.34) 2 + (5) 2 = h 2 (1.796) + (25) = h = h Se saca la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, se tiene que: = h = h = h Esta cantidad es muy parecida a la que se obtuvo por medio de las funciones trigonométricas (5.17). Ahora Juan ha decidido que va a calcular el ángulo superior (b) del soporte con el muro. También se puede obtener por varios caminos pero utilicemos uno directo que es el de las funciones trigonométricas. Se dice que es un camino directo porque ya se conocen las dimensiones de los dos catetos y la hipotenusa. Así que con plantear cualquier función se obtendrá el valor del ángulo que se busca.

41 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES b =?; para este ángulo el cateto opuesto es a = 1.34 y el cateto adyacente es b = 5. Observe que cambiaron de como se usaban con a = 75 Así que las funciones trigonométricas serán: cateto opuesto sen b = hipotenusa = a h cateto adyacente cos b = hipotenusa = b h cateto opuesto tan b = cateto adyacente = a b Utilizando cualquiera de las tres funciones, se puede obtener el valor de b; en este caso se usa sen b.b.b.b.b. cateto opuesto a sen b = = = hipotenusa h sen b = Se obtiene de la tabla el ángulo cuyo sen es 0.259, o sea, se busca en la columna de sen la cantidad y se obtiene en la columna que dice µ 15º, esto quiere decir que el ángulo cuyo seno es es 15º. El ángulo superior del muro y su soporte es de 15º. Otra manera, la mas simple de todas, es que sabemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo siempre es igual a 180. Así que 180 = b; por lo tanto, b =

42 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ejercicios 1. Ahora, compruebe que efectivamente el ángulo superior del muro y su soporte es el obtenido al utilizar las funciones del coseno (cos) y de la tangente (tan) a) cos b = b) tan b = b = b = Como puede usted observar, con la trigonometría, Juan obtuvo todas las dimensiones y ángulos de un triángulo rectángulo con sólo conocer un ángulo y una longitud de los lados del triángulo que formó. Las funciones trigonométricas tienen muchas aplicaciones. Ejemplo Rosendo se encuentra a 30 m de la base de un ahuehuete. Con un transportador y una regla mide el ángulo (a) que se aprecia desde donde está hacia la punta del ahuehuete, que es de 73º. Cuál es la altura aproximada del ahuehuete? 334

43 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES El transportador con una regla es un instrumento sencillo de construir y para su uso sólo debe tener cuidado de que el transportador se encuentre horizontal. Este tiene un aspecto como el que se muestra a continuación. Para conocer la altura del ahuehuete, Rosendo dibuja un triángulo rectángulo con las dimensiones que conoce. Conoce el cateto adyacente y el ángulo µ y necesita obtener el cateto opuesto a µ, por lo que debe buscar una función trigonométrica que incluya a µ, al cateto adyacente y al cateto opuesto. Recuerde que: cat. opuesto sen µ= hipotenusa = cat. adyacente cos µ = hipotenusa = b h a h cat. opuesto tan µ = cat. adyacente = b a 335

44 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA La función que es útil para Rosendo es la tangente. cateto opuesto tan a = cateto adyacente = Se sustituyen los valores de µ = 73º y a = 30 m. b a tan 73 = b 30 Se despeja a la b, multiplicando ambos términos por 30. (tan 73 ) (30) = b (tan 73 ) (30) = b Se obtiene, en tablas o con una calculadora, el valor de la tangente de 73º y se sustituye. (3.271) (30) = b b = La altura aproximada del ahuehuete es de m. tan 73 =

45 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Ejemplo Se tiene a la vista el campanario de la iglesia de Gutiérrez Zamora, Veracruz, y se está en una planicie en la que se pueden recorrer 50 m sin ningún problema. Cómo obtendría la distancia que hay desde donde se encuentra hasta la iglesia de Gutiérrez Zamora? Se recomienda que siempre dibuje un triángulo rectángulo. El observador se movió 50 m a la derecha del primer punto de observación porque ésta es la distancia que se lo permite el terreno. Ahora se cuenta con un triángulo rectángulo con un ángulo a de 82º y un cateto adyacente a ese ángulo que mide 50 m. Se requiere una función que incluya al ángulo a, al cateto adyacente y a la hipotenusa. Recordando las funciones del sen, cos y tan, se tiene: sen a = cos a = tan a = cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente La función que incluye lo que busca (la hipotenusa) y lo que tiene (el ángulo µ y el cateto adyacente) es el coseno. cos a = cos 82 = cateto adyacente hipotenusa 50 hipotenusa 337

46 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Para despejar la hipotenusa, se multiplica por la hipotenusa a los dos miembros y luego se divide, también a los dos miembros, entre el coseno de 82º. (hipotenusa) (cos 82 ) = (hipotenusa) (cos 82 ) = 50 (50) (hipotenusa) hipotenusa (hipotenusa) (cos 82 ) (cos 82 ) = 50 cos 82 hipotenusa = 50 cos 82 De las tablas de funciones trigonométricas o con una calculadora con funciones trigonométricas, se obtiene el cos de 82º y se sustituye en la ecuación obtenida: Ejercicios cos 82 = hipotenusa = = Con lo anterior se puede decir que usted se encuentra a casi 360 metros de la iglesia de Gutiérrez Zamora. Desde luego, esta distancia es en línea recta desde la iglesia hasta el lugar al que se movió el observador. 1. Obtenga el dato que se solicita de los siguientes triángulos. a) b) a = a = b = 338

47 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES c) d) Cuál es el perímetro del rectángulo? P = Cuál es el área del triángulo? A = e) f) µ = b = Se tiene un hexágono con todos sus lados iguales, como se muestra en la figura. Cuál es su área? h = 339

48 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Problemas 1. Se tiene una escalera de 12 m recargada sobre un muro. Si la escalera llega exactamente hasta la orilla del muro y forma con el piso un ángulo de 60º, de qué altura es el muro? 2. Se tiene un terreno con la siguiente forma: a) Cuál es su área? b) Cuál es su perímetro? 3. Si tiene usted un terreno como el que se muestra a continuación y cada metro vale 600 pesos y sólo cuenta con los datos que se muestran en el croquis, cuánto vale su terreno? 340

49 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Tema 4 Series numéricas M arcelo, de vez en vez, usa una reata de 10 m de largo y 2 cm de grueso para medir el contorno de los terrenos que fumiga. Para que la reata que usa no se eche a perder y además la pueda guardar, decide construir un carrete como el que se muestra en el dibujo. Cuál debe ser el diámetro de los cachetes del carrete si el corazón es un tubo corto de 10 cm de diámetro exterior? 341

50 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Para resolver este problema, Marcelo recuerda que la fórmula del perímetro del círculo es pd (pi por diámetro), por lo que con cada vuelta que dé la cuerda, en el carrete enrollará pd longitud, pero en cada vuelta el diámetro (D) aumentará 2 veces el espesor (E). Observe usted: Sin vuelta, no se ha enredado nada. Vuelta 1: D = d, tomando el diámetro interior como inicio. Con dos vueltas: D = d + 2E. 342

51 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Marcelo, para no confundirse, hace una tabla como la siguiente: No. de vuelta Diámetro Diámetro en la vuelta indicada Longitud enrollada (p x D) Suma de lo enrollado Observaciones d + [0 (2E)] d + [1 (2E)] d + [2 (2E)] = = = Se toma el diámetro interno Se cuenta el espesor de la cuerda en cada lado Recuerde que E = 2, porque es el espesor de la cuerda 4 d + [3 (2E)] = d + [4 (2E)] = d + [5 (2E)] = d + [6 (2E)] = d + [7 (2E)] = d + [8 (2E)] = d + [9 (2E)] = d + [10 (2E)] = , En esta vuelta, antes de terminar, se enrollan los 10 m. Con lo anterior, Marcelo sabe que con un poco menos de 11 vueltas logrará enredar toda su cuerda y el diámetro de los cachetes de su carrete será de 50 cm por lo menos. Como se puede observar cada vez que se da una vuelta al carrete, su diámetro aumenta 4 cm debido a que la cuerda mide 2 cm de grueso y así se aumenta el diámetro en: 10, 14, 18, 22,

52 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA A un conjunto de números o literales ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por su antecesor o por el que le sigue mediante una regla se le llama serie. En el caso del carrete de Marcelo, la regla es muy sencilla, pues al analizar los números nos damos cuenta que para conocer qué sigue de otro, es suficiente con sumarle 4, o que para conocer el número anterior se logra al restar 4. Si se observa la tabla que construyó Marcelo, la serie que obtuvo se puede expresar de la siguiente manera: S = d, d + [1 (2 E)], d + [2 (2 E)], d + [3 (2 E)]..., d + [n-1(2 E)] Cada uno de los elementos de esta serie se llaman términos, y se simbolizan por la literal n, así se tiene que: Serie = d, d + [1 (2 E)], d + [2 (2 E)], d + [3 (2 E)]..., d + [n-1(2 E)] Términos n Si se observa, d es el diámetro inicial, y la cantidad que se aumenta queda definida por (n-1) multiplicado dos veces por el grueso de la cuerda, en este caso, es 2. Así, cualquier término de la serie estará definido por: Ejemplo u n = d + [(n-1) (2 E)] Con esta fórmula se puede conocer cualquier término sin necesidad de tener el anterior o posterior. El término 7 de la serie de Marcelo es: d = 10 cm n = 7 E = 2 cm sustituyendo, el término 7 será: fórmula de la serie = d + [(n-1) (2 E)] [(7-1) (2 2)] = 10 + [6 4] = = 34 Con esto, Marcelo ya no tuvo que conocer los primeros 6 términos para determinar el 7. Usted puede comprobar lo anterior observando la tabla de Marcelo.

53 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Así, Marcelo podría conocer el término 22 de su serie de la siguiente manera: d = 10 cm n = 22 E = 2 cm 10 + [(22-1) (2 2)] = 10 + [21 4] = 94 Esto quiere decir que si Marcelo da 22 vueltas a su carrete, éste tendrá un diámetro de 94 cm. Así con la fórmula que encontró puede calcular cualquier término de su serie. Para conocer el diámetro de su carrete, Marcelo necesitó sumar lo que se enredó la cuerda en cada vuelta. Si no se quiere o no se puede calcular todos los términos para después sumarlos, se puede utilizar lo que algunos matemáticos hace siglos encontraron para sumar los términos de una serie. Observe usted cómo se obtiene una fórmula para sumar los términos de una serie. S = 1, 2, 3, 4,..., [a + (n-1) d] en donde: S = suma de los términos a = primer término d = cantidad que se agrega n = el número de término Esta serie se puede representar de la siguiente manera: S = a + [a + d] + [a +2d] + [a + 3d]... + [a + (n - 4) d] + [a + (n - 3)d] + [a + (n - 2)d] + [a + (n - 1)d] Si se suman dos series pero en una de ellas se inicia por el último número: S = a + [a + d] + [a +2d] + [a + 3d]... + [a + (n - 4)d] + [a + (n - 3)d] + [a + (n - 2)d] + [a + (n - 1)d] + S = [a + (n - 1)d] + [a + (n - 2)d] + [a + (n - 3)d] + [a + (n - 4)d]... + [a + 3d] + [a + 2d] + [a + d] + [a] 2S = [2a + (n- 1)d] + [2a + (n- 1)d] +[2a + (n- 1)d]... + [2a + (n- 1)d] + [2a + (n- 1)d] + [2a + (n- 1)d] + [2a + (n- 1)d] 345

54 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Se puede ver que todos los términos son iguales y además que éstos son en número igual que n, por lo que se puede escribir que: Suma de dos series 2S = n [2a + (n-1) d] despejando la S, se tiene: Con esta fórmula se puede obtener la suma de los términos de una serie. En ella, sus literales significan lo siguiente: Ejemplo n S = [2a + (n-1) d] 2 S = suma de la serie aritmética n = número de términos a = primer término d = cantidad constante que se suma o se resta Si se quiere conocer la suma de los primeros 200 números pares: n = S Se tiene que: a = 2, d = 2 y n = 200 S = n [2a + (n-1) d] S = [2 (2) + (200-1) 2] 2 S = 100 [402] = 40,200 Para saber el último término (u n ) de esta serie se tiene: u n = a + (n - 1) d u n = 2 + (200-1) 2 = =

55 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Con estas fórmulas, Marcelo podría ahorrar mucho tiempo en el cálculo de los cachetes de su carrete. Observe usted cómo haría sus cálculos. Como la longitud a enredar de la cuerda es 10 m y esto se logra al sumar el perímetro de cada vuelta, la suma de la serie será de: 10 m = 1,000 cm n S = [2d + (n-1) (2 E)] p 2 Observe que los términos de la serie se multiplicaron por p para obtener el perímetro de la cuerda que se enreda con cada vuelta. En la fórmula se tiene que: S = 1,000 cm suma de la serie n =? número de vueltas (términos) d = 10 cm cantidad de inicio E = 2 cm espesor de la cuerda Sustituyendo: 1,000 = n 2 [(2 (10) + (n-1) 2 (2) ) (3.14)] 1,000 = n 2 [(120 + (4n - 4)) 3.14] 1,000 = n 2 [ n ] 1,000 = 3.14 n n² n 1,000 = n n² 347

56 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Esta ecuación es de segundo grado, por lo que se puede resolver aplicando la fórmula general: Sustituyendo: n = - b ± b 2-4ac 2a En donde b = a = 6.28 c = - 1,000 n = n = n = ± ( ) - 4(6.28) (-1,000) 2(6.28) ± , ± Como en este problema la respuesta sólo puede ser positiva, se tiene que : n = n = Con lo que se obtiene que con menos de 11 vueltas se enredan los 10 metros de la cuerda de Marcelo. 348

57 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES Todo lo anterior señalado para las series es para definir una formula o ecuación que sirva para calcular los términos de las series y la suma de ellas. No siempre es necesario conocer dichas fórmulas o ecuaciones, en ocasiones, por sentido común, se calculan los términos. En los problemas de matemáticas, las series son muy utilizadas ya sea para el planteamiento de los problemas o para el planteamiento de fórmulas que den su solución. Por lo regular, las series se presentan como un conjunto de números, todos en orden, y la definición de una regla o fórmula para calcular los números que van antes o que siguen se hacen de manera sencilla por medio de la reflexión. Ejemplos 95, 90, 85,, 75, 70, 65 Como se puede observar, a cada número se le van restando 5 para definir el siguiente, por lo que el número que falta es el , 75, 82, 89, 96, 103, En esta serie, se van sumando 7 a cada número para conocer el número que sigue, por lo que el número que falta es el , 72, 66, 59, 53, 46, En esta serie, primero se restan 7 al número para obtener el siguiente y luego a ese que se obtuvo se le restan 6. Observe la solución: El número que falta es el = = = = = =

58 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 128, 64, 32, 16, 8, 4, Observe que en esta serie se divide al número entre 2 para obtener el siguiente, por lo que el número que falta es: 4 = , 72, 24, 12, 4, En esta serie, primero se divide entre dos para obtener el siguiente número y ese se divide entre tres. Observe la secuencia: = = = = = 2 El número que falta se obtiene dividiendo a 4 2 = 2 7, 24, 17, 34, 27, 44, En esta serie, en cada tercer término se agregan 10. Observe la secuencia: Ejercicios = = = = = 44 (Este número es el que sigue) 1. Ahora, usted pruebe encontrando el término que falta en las siguientes series: a) 13, 25, 37, 49, 61, 73, b) 45, 47, 50, 54, 59, 65, c) 4 096, 1 024, 256, 64, 16, 4, 350

59 GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES d) 160, 80, 40, 20, 10, e) 6, 6.5, 7.0, 7.5, 8.0, f) 12, 17, 24, 33, 44, 57, g) 35, 37, 40, 44, 49, 55, h) 43, 35, 28, 22, 17, 13, i) 107, 92, 77, 62, 47, 32, j) 12.5, 14, 12.5, 13, 12.5, 12, k) 235, 225, 210, 190, 165, 135, l) 14, 16, 20, 26, 32, 40, 48, 58, m) 112, 118, 123, 127, 130, 132, n) 80, 77, 75, 74, 74, 75, 77, o) 4, 12, 36, 108,, 972, 2916 p) 13, 15, 18, 22, 27, 33, q) , , 2 232, 372, r) 12, 33, 36, 33, 108, 33, s) 4, 4, 8, 24, 96, 480, t) 4, 12, 28, 60, 124, 252, 351

60 Autoevaluación Unidad VII: Geometría, trigonometría y series Usted terminó la última unidad de su libro Números y cuentas para la vida, en la cual estudió los temas: Triángulos semejantes, Teorema de Pitágoras, Funciones trigonométricas y Series numéricas. A continuación hay unos ejercicios que le permitirán repasar los temas que acaba de estudiar y darse cuenta si necesita repasarlos o si ya los aprendió bien. 1. Anastasio mide 1.60 m y la proyección de su sombra en el suelo, a las 4:00 p.m., es de 2 m. Si se tiene un edificio que de altura tiene 28 m, cuál será la longitud de su sombra también a las 2 p.m? 2. Si la altura y ancho de un edificio y sus ventanas son proporcionales a las dimensiones de su puerta de entrada, como se muestra en el dibujo, cuánto medirá de ancho el edificio y cuánto medirán de alto sus ventanas? 352 Medidas en metros

61 3. Para que no se caiga una escalera al pintar un muro de 10 m de altura ésta debe estar separada de la base del muro al menos 2.5 m. De qué longitud debe ser la escalera para que llegue a la orilla superior del muro? 4. Se tiene un jardín con forma rectangular; en su parte central tiene un rombo formado con setos, como se muestra en el dibujo. Cuántos metros lineales de setos forman el perímetro del rombo? 5. Si va usted a armar una tienda de campaña que debe tener una altura de 1.60 m, 3.20 m de ancho y 3.60 m de fondo, como se muestra en el dibujo, cuáles deberán ser las dimensiones de la lona con la que se construirá la tienda de campaña? 353

62 6. Si para construir la tienda de campaña del problema anterior sólo tiene una lona de 4 m por 3.60 m y su tienda no puede medir menos de 3.20 m de ancho y 3.60 m de profundidad, cuál será la altura de su tienda de campaña? 7. Se tiene un terreno con forma de triángulo, como se muestra en el dibujo; de él sólo conoce la dimensión de su frente y el ángulo de su lado inclinado. a) Cuál será su perímetro? b) Cuál será su área? 8. Se tiene la fotografía de un edificio con techo inclinado, como el que se muestra en el dibujo. Si se sabe que de frente el edificio mide 25 m y al medir el ángulo de inclinación del techo con un transportador se obtiene que está inclinado 65, cuál es la longitud del lado inclinado de su techo? 354

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