MECANICA DE FLUIDOS I. Departamento de Metalurgia Universidad de Atacama

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1 MECANICA DE FLUIDOS I Juan Chamorro González Deartamento de Metalurgia Universidad de Atacama

2 PRESIÓN Y MANOMETRÍA

3 La Presión El término resión se usa ara indicar la fuerza normal or unidad de área en un unto dado que actúa sobre un lano esecífico dentro de la masa de fluido de interés.

4 La resión en un unto Considere el diagrama de cuero libre obtenido al eliminar una cuña triangular de fluido de alguna ubicación dentro de una masa de fluido.

5 La resión en un unto Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la resión y al eso. Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las direcciones Y y Z son, resectivamente: Z Y X Z Y X Y Z Y X S X S Z X Y Y θ F a 2 ρ senθ F = = Z Z Y X Z Y X S X S Y X Z Z a 2 ρ 2 γ θ F = = cos Donde S, Y y Z son las resiones medias sobre las caras, γ y ρ el eso esecífico y la densidad del fluido, resectivamente y a Y, a Z son las aceleraciones.

6 La resión en un unto Para obtener la fuerza generada or la resión es necesario multilicar la resión or un área adecuada. Según la geometría de la cuña, se tiene: senθ θ S Z S Y = = cos Por lo que las ecuaciones de movimiento se ueden escribir como: q 2 a ρ Y Y S Y = 2 γ a ρ 2 ρ Z Z S Z Y S Y + = ) ( Como interesa lo que sucede en un unto, se considera el límite cuando X, Y y Z tienden a cero, se concluye que: S Z S Y P = =

7 La resión en un unto Es decir: = = S Y Z Según lo anterior se concluye que: LEY DE PASCAL : La resión en un unto de un fluido en reoso, o en movimiento, es indeendiente de la dirección en tanto no haya esfuerzos cortantes

8 Este instrumento consta de una esfera hueca de vidrio rovista de equeños orificios abiertos en varios untos de su suerficie. Emujando or medio de un émbolo el agua contenida en el interior de esta esfera se arecia su salida a través de los orificios con velocidad uniforme (equeños chorritos de igual intensidad), lo que evidencia el rinciio de Pascal, es decir, que "la resión ejercida a un líquido encerrado dentro de un reciiente i se transmite or igual a todos los untos del fluido y a las roias aredes del mismo".

9 Proiedades de la resión La resión en un unto de un fluido en reoso es igual en todas direcciones. La resión en todos los untos situados en un mismo lano horizontal en el seno de un fluido en reoso es la misma. En un fluido en reoso la fuerza de contacto que ejerce en el interior, una arte del fluido con la otra contigua el mismo tiene la dirección normal a la suerficie de contacto. La fuerza de resión en un fluido en reoso se dirige siemre hacia el interior el fluido, es decir, es una comresión, no una tracción. La suerficie libre de un líquido siemre es horizontal a menos que La suerficie libre de un líquido siemre es horizontal, a menos que existan fuerzas externas que influyan.

10 Presión absoluta y manométrica La resión de referencia es la atmósfera y la resión resultante que se mide se conoce como resión manométrica. La resión que se mide en relación con el vacío erfecto se conoce como resión absoluta. La relación entre la resión absoluta, resión atmosférica y resión manométrica (o resión relativa) es: = + absoluta manométrica atmosférica

11 La resión atmosférica La resión atmosférica se lleva a cabo con un barómetro de mercurio (Exeriencia i de Evangelista Torricelli en 1644) = h + atmosférica vaor La resión de vaor del mercurio or ser muy equeña (0, si absolutos a 68 ºF ) uede ignorarse, or lo que: = h atmosféric a

12 Evangelista Torricelli ( ) En 1643 realizó el descubrimiento del rinciio del barómetro, or el que asó a la osteridad, que demostraba la existencia de la resión atmosférica, rinciio osteriormente confirmado or Pascal realizando mediciones a distinta altura. La unidad de resión torr (resión ejercida or una columna de un milímetro de mercurio, es decir 1/760 atmósferas ) se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de imortancia fundamental en hidráulica.

13 La resión manométrica La resión manométrica se mide con resecto a la resión atmosférica local. Una resión manométrica de cero corresonde a una resión que es igual a la resión atmosférica local. l Los disositivos ara medir resión se denominan manómetros (de tubo Los disositivos ara medir resión se denominan manómetros (de tubo en U y de Bourdon)

14 El manómetro de tubo en U Una técnica normal ara medir la resión hace uso de columnas de líquido en tubos verticales o inclinados. Medida de la resión arterial: Un manómetro conocido es el que utilizan los médicos ara determinar la resión arterial. Consiste en un cojín que se coloca alrededor del brazo, y que se infla hasta ejercer una resión suerior a la resión arterial del brazo. Luego se desinfla lentamente. El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm-hg: El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm Hg: la resión más alta o sistólica y la resión más baja o diastólica.

15 El manómetro de Bourdon Un disositivo ara medir resión que se utiliza amliamente es el medidor de resión de tubo de Bourdon.

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17 Transductores de resión Disositivo iti que convierte la resión en una salida eléctrica. Por ejemlo: cuando se requiere controlar continuamente una resión que cambia con el tiemo.

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19 Algunos concetos básicos Un vacío erfecto es la resión más baja osible. Es decir, una resión absoluta siemre será ositiva. Una resión manométrica que esté or encima de la resión atmosférica es ositiva. Una resión manométrica que esté or debajo de la resión atmosférica es negativa (resión de vacío). La magnitud real de la resión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas. A nivel del mar, la resión atmosférica estándar es de ascales (absoluta) = 14,69 si (absoluta).

20 Presión absoluta y manométrica La resión se define como la fuerza F que se ejerce sobre un área unitaria A de una sustancia. Se calcula a artir de: F = A En el Sistema S.I. se exresa en ascales (= N/m 2 ), mientras que en el Sistema Inglés se exresa en lb/ulg 2 = si (del inglés: ound er square inches)

21 Variación de la resión en un fluido en reoso Suerficie del fluido F H = 0

22 Variación de la resión en un fluido en reoso Suerficie del fluido F 2 = 2 A 2 2 A ( 1 +d) = 2 z 2 w dz, d 1 z 1 F 1 = 1 A Peso es. fluido = γ

23 v F = F 1 - F 2 - w = 0 1 A - (1 + d) A - γ A dz = 0 d = - γ dz Ecuación fundamental ara fluidos en reoso (se uede utilizar ara determinar la forma en que la resión cambia con la elevación). La resión disminuye a medida que se efectúa un deslazamiento ascendente en un fluido en reoso. Para líquidos y gases en reoso, el gradiente de resión en la dirección y vertical en cualquier unto del fluido deende sólo del eso esecífico del fluido en dicho unto.

24 Fluido Incomresible Para líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad, inclusive sobre grandes distancias verticales, de modo que cuando se trata con líquido es acetable la suosición de que el eso esecífico es constante. t Por lo que la ecuación anterior uede integrarse como: 2 Z 2 d = -γ dz 1 Z = γ Z2 Z ( 1 ) 1 = 2 + γ 2 Z ( Z ) = + γ h En un fluido incomresible en reoso la resión varía linealmente con En un fluido incomresible en reoso la resión varía linealmente con la rofundidad.

25 Dentro de un fluido dos untos A y B tienen la misma resión si: 1) El fluido se encuentra en reoso 2) Los untos A y B se encuentran al mismo nivel 3) Los untos A y B están dentro de la misma masa contínua de fluido.

26 La diferencia de resión entre dos untos uede esecificarse mediante la distancia h, es decir: h = 1 2 γ En este caso h se denomina cabeza o carga de resión y se interreta como la altura que debe medir una columna de fluido de eso esecífico γ ara obtener una diferencia de resión 1-2. Por ejemlo, una diferencia de resión de 10 si se uede esecificar en términos de la carga de resión como 23,1 ies de agua (γ= 62,4 lb/ie 3 ) o como 518 mm-hg (γ=133 kn/m 3 )

27 La aradoja de Pascal Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una suerficie libre (que es conveniente usar como lano de referencia). La resión de referencia o corresonde a la resión que actúa sobre la suerficie libre (que suele ser la resión atmosférica). El cambio de resión deende solamente del cambio de elevación y del tio de fluido, no del tamaño ni de la forma del contenedor donde se encuentra el fluido. La resión es la misma en todos los untos a lo largo de la recta A-B

28 La aradoja de Pascal

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30 El requisito de igualdad de resiones a elevaciones iguales se alica en rensas hidráulicas, en controles hidráulicos de aviones y en ciertos tios de maquinaria esada. El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante ara éste tio de disositivo hidráulico, or lo que resulta F 2 =(A 2 /A 1 )F 1.

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32 Fluidos Comresibles Los gases son fluidos comresibles (aire, oxígeno, nitrógeno, etc) cuya densidad varía de manera significativa con cambios de resión y de temeratura. Los esos esecíficos de gases comunes son equeños en comaración con los de los líquidos. Por ejemlo, a nivel del mar y a 60 ºF el eso esecífico del aire es de 0,0763 lb/ie 3 mientras que el del agua, en las mismas condiciones, es de 62,4 lb/ie 3. El gradiente de resión en la dirección vertical es equeño or lo que es osible ignorar el efecto de los cambios de elevación sobre la resión en gases contenidos en deósitos, balones de gas, tuberías, etc.

33 Fluidos Comresibles En el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de ies, es necesario considerar el eso esecífico del gas. La ecuación de estado de los gases ideales establece que: T R n V = T R m V = R m T R PM V = T PM R V m = T R ρ =

34 La ecuación fundamental de fluidos en reoso (d=-γdz) uede combinarse con la ecuación anterior: d dz Al searar variables se tiene: g = γ = * R T d = g dz * R T 2 Z d 2 2 g = * 1 R = ln 1 Z 1 dz T Si la temeratura se considera constante T = T 0 (condiciones isotérmicas) se concluye que: g ( Z2 Z ex R T0 1 2 = 1 * )

35 Manometría Piezómetro Consiste en un tubo vertical, abierto en la arte suerior, conectado al reciiente en que se desea medir la resión. Como A y 1 están al mismo nivel, P A = P 1 Por lo que: P A = γ h 1 Se utiliza solo si la resión en el reciiente es mayor que la resión atmosférica (en caso contrario asiraría aire). La resión a medir debe ser relativamente equeña (de modo que la altura de la columna de fluido sea razonable). Se alica solo a los líquidos.

36 Manómetro simle de tubo en U El fluido del manómetro se llama fluido manométrico (uede ser Hg, CCl 4, aceite, agua, etc.) En la configuración mostrada se cumle que: A = 1 y 2 = 3. Además, 2 = 1 + γ A h 1 y 3 = 0 +γ manómetro h 2 Es decir: A = γ manómetro h 2 γ 1 h 1

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38 Manómetro simle de tubo en U La ventaja del tubo en U es que el fluido manométrico uede ser distinto al fluido que se quiere medir. Se alica en líquidos y en gases. Si el fluido en A fuera un gas, se tiene que A = 2, or lo que: A = γ manómetro h 2 Si la resión en A es grande, se debe usar un fluido manométrico esado (or ejemlo Hg) ara tener una columna de fuido no demasiado grande. Si la resión en A es equeña, se debe usar un líquido manométrico más ligero, ara tener una columna de fluido que se ueda leer.

39 Manómetro diferencial de tubo en U Se usa ara medir la diferencia de resión que hay entre dos reciientes o dos untos de un sistema stema dado. Dos líquidos manométricos comunes son agua y mercurio. Ambos oseen un menisco bien definido y roiedades bien conocidas. El fluido manométrico debe ser inmiscible con los demás fluidos con los que esté en contacto. Para obtener mediciones exactas es necesario medir la temeratura, ya que los diversos esos esecíficos de los fluidos manométrica varían con ella.

40 Manómetro de tubo inclinado

41 Manómetro de tubo inclinado Se usa ara medir equeños cambios de resión. Una rama del manómetro está inclinada en un ángulo Θ y la lectura diferencial l 2 se mide a lo largo del tubo inclinado La diferencia de resión entre los untos A y B está dada or: - = γ l senθ + γ h - A B γ h 1 1 Para ángulos relativamente equeños, la lectura diferencial a lo largo del tubo inclinado se uede hacer grande incluso ara equeñas diferencias de resión. El manómetro de tubo inclinado se usa ara medir equeñas diferencias de resión en gases, así si los tubos A y B contienen un gas, entonces: A B = γ 2 l 2 senθ Es decir : l 2 = γ 2 A - B senθ La lectura diferencial del manómetro de tubo inclinado se uede incrementar or un factor de 1/senθθ sobre la que se obtiene con un manómetro de tubo en U convencional.

42 Medidores de resión de aire Constan de un cilindro en cuyo extremo se ubica la válvula de entrada del aire, mientras que el otro extremo está sellado. En el interior del cilindro existe una regla móvil que sale hacia el exterior del extremo sellado or la acción de la resión donde esta regla es graduada y se observa la medición or lectura directa. Una de las alicaciones rácticas es la medición de la resión de aire en los neumáticos y comresores de aire.

43 Ejercicios

44 Ejercicio 1) El lago de una montaña tiene una temeratura media de 10 ºC y una rofundidad máxima de 40 m. Para una resión barométrica de 598 mm-hg, determinar la resión absoluta (en ascales) en la arte más rofunda del lago. Datos: a 10 ºC C, γ 3 3 Hg = 133 kn/m y γ agua = 9,804 kn/m Resuesta: 472 kpa (absoluta)

45 Ejercicio 2) Un deósito cerrado contiene aire comrimido y aceite (GE aceite =0,90). Al deósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (GE Hg =13,6). Para las alturas de columna h 1 =36 ulgadas, h 2 = 6 ulgadas y h 3 = 9 ulgadas, determine la lectura de resión en el manómetro (en si). Datos: γ agua,4ºc = 62,4 libras/ie 3 Resuesta: manométrica = 3,06 si

46 Ejercicio 3) Un deósito se construye con una serie de cilindros que tienen n diámetros de 0.30, 0.25 y 0.15 m. El deósito contiene n aceite, agua y glicerina, y en el fondo se conecta con un manómetro de mercurio. Calcular la lectura h del manómetro. Resuesta: 0, m

47 Ejercicio 4) El caudal que asa or una tubería se uede determinar or medio de una tobera situada en la tubería. La tobera crea una caída de resión, A - B, a lo largo de la tubería que está relacionada con el flujo a través de la ecuación Q = K ( A - B ), donde k es una constante que deende de la tubería y del tamaño de la tobera. (a) Determinar una ecuación ara A - B, en términos de los esos esecíficos del fluido y del manómetro y de las diversas alturas indicadas. (b) Para γ 1 = 9,80 kn/m 3, γ 2 =15,6 kn/m 3, h 1 = 1,0 m y h 2 = 0,5 m. cuál es el valor de la caída de resión A - B? Resuest Resuesta: (a) A - B = h 2 (γ 2 -γ 1 ) (b) 2,90 kpa

48 Ejercicio 5) Un manómetro de tubo en U se conecta a un deósito cerrado que contiene aire y agua. En el extremo cerrado del manómetro la resión de aire es de 16 sia. Determinar la lectura en el indicador de resión ara una lecura diferencial de 4 ies en el manómetro. Exresar la resuesta en sig. Suoner la resión atmosférica normal e ignorar el eso de las columnas de aire en el manómetro. Resuesta: 4,68 sig

49 Ejercicio 6) Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la resión en el tubo A es de 0,8 si. El fluido en ambos tubos A y B es agua, y el fluido en el manómetro tiene tiene une densidad relativa de 2,6. Cuál es la resión en el tubo B corresondiente a la lectura diferencial que se muestra? Resuesta: 0,424 si

50 Ejercicio 7) Pequeñas diferencias de resión en un gas suelen medirse con un micromanómetro (como el que se muestra en la figura). Este disositivo consta de dos grandes deósitos, cada uno de los cuales tiene un área de sección transversal A r, que están llenos de un líquido de eso esecífico γ 1 y conectados or un tubo en U de área de sección transversal A t, que contiene un líquido de eso esecífico γ 2. Cuando al gas se le alica una diferencia de resión 1 2, se obtiene una lectura diferencial h. Se desea que esta lectura sea suficientemente grande (a fin de oder leerla fácilmente) ara equeñas diferencias de resión. Determinar la relación que hay entre h y 1 2 cuando la razón de áreas A t /A r es equeña, y demostrar que la lectura diferencial h se uede amliar haciendo equeña la diferencia de esos esecíficos γ 2 γ 1. Suoner que inicialmente (con 1 = 2 ) los niveles del fluido en ambos deósitos son iguales. Resuesta: 1 2 h = γ γ 2 γ 1

51 Ejercicio 8) Determinar la razón de las áreas A 1 /A 2 de las dos ramas del manómetro si con un cambio de resión de 0,5 si en el tubo B se obtiene un cambio corresondiente de 1 ulgada en el nivel del mercurio en la rama derecha. La resión en el tubo A no cambia. Resuesta: 11,7

52 Ejercicio 9) Determinar la nueva lectura diferencial a lo largo de la rama inclinada del manómetro de mercurio si la resión en el tubo A disminuye 12 kpa y la resión en el tubo B ermanece sin cambio. La densidad del fluido en el tubo A es de 0,9 y el fluido en el tubo B es agua. Resuesta: 0,244 m

53 Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en la figura si la resión en A es de 2 si mayor que en B. Resuesta: 34,2 º

54 Ejercicio 11) Un manómetro de mercurio se usa ara medir la diferencia de resión en las dos tuberías mostradas en la figura. Por A fluye aceite combustible (eso esecífico = 53,0 lb/ie 3 ), y or B fluye aceite lubricante SAE 30 (eso esecífico = 57,0 lb/ie 3 ). Una bolsa de aire queda atraada en el aceite lubricante, como se indica. Determine la resión en el tubo B si la resión en A es de 15,3 si. (γ Hg = 847 lb/ie 3 ) Resuesta: 18,2 si

55 Niels Henrik David Bohr ( ) Premio Nobel de Física de 1922

56 Ejercicio 12) La resión arterial comúnmente se exresa como la relación de la resión máxima (resión sistólica) a la resión mínima (resión diastólica). Por ejemlo, un valor reresentativo de ésta relación ara un ser humano es de 120/70 mm-hg. No sería más simle y más barato usar un manómetro de agua en vez de uno de mercurio?. Exlique su resuesta aoyándose en los cálculos necesarios. Resuesta: Si se usa un manómetro de agua, la columna sería muy grande, 1.63 m. (manómetro imráctico)

57 Ejercicio 14) El manómetro de mercurio de la figura indica una lectura diferencial de 0,30 m cuando la resión de vacío en el tubo A es de 25 mm-hg. Determine la resión en el tubo B. γ Hg = 133 kn/m 3, γ aceite = 8,95 kn/m 3, γ agua = 9,80 kn/m 3 Resuesta: 33,4 kpa

58 Ejercicio 13) Obtener una exresión ara la variación de resión en un líquido en que el eso esecífico aumenta con la rofundidad, h, según la relación γ = kh + γ 0, donde k es una constante y γ 0 es el eso esecífico en la suerficie libre. Resuesta: = k h γ 0 h

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