APUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica

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1 . Plno Crtesino Rects.... Producto Crtesino Distnci Gráfics de línes rects Ecución de l rect Prlelismo perpendiculridd Sistems de ecuciones lineles Distnci de un punto un rect Circunferenci Práol.... Elipse.... Hipérol Plno Crtesino Rects Al vijr en un emrcción por el mr pr conocer especies mrins explorr vris ruts es indispensle llevr un rújul un mp de nvegción. Con ellos se puede leer l dirección hci donde se dee girr l distnci que se dee recorrer. Pr consignr ls distints posiciones en un ppel, no es suficiente con l rect, sino que se requiere hor de un plno donde se puedn consignr los dos dtos: dirección distnci recorrid. L loclizción de lugres en l superficie del plnet requiere tmién de dos vlores: ltitud longitud que se uicn en un sistem de coordends geométrics o geográfics. L ltitud, proporcion l loclizción de un lugr l norte o l sur del ecudor, l longitud, l loclizción de un lugr l este o l oeste de un líne norte - sur denomind meridino de referenci.

2 Los Sistem de Coordends son sistems de identificción de elementos en un conjunto de puntos mrcdos con números. Estos números se denominn coordends se puede considerr que dn l posición de un punto dentro del conjunto. El Sistem Coordendo Rectngulr o Crtesino es uno de los más usdos. Pr su construcción, se trzn dos rects formndo un ángulo recto. Ests rects se denominn ejes el punto de corte origen. Los ejes se diujn hitulmente como l horizontl con dirección positiv hci l derech l verticl con dirección positiv hci rri, normlmente se les denomin Eje X Eje Y, respectivmente. Los ejes coordendos dividen l plno en cutro prtes llmds primero, segundo, tercero curto cudrntes que se designn con números romnos: I, II, III IV, respectivmente. A cd punto P en el plno se le signn un pr de números reles ordendos representdos por el símolo (x, ). El primer elemento del pr ordendo se denomin scis el segundo ordend. Ejemplo En el sistem se representn ls diferentes temperturs horris en grdos centígrdos, registrds en el dí. Hor ºC En eje X, se consignron ls hors en el eje verticl l tempertur oservd. Los puntos se unieron pr tener un mejor visulizción del fenómeno tmosférico.

3 . Producto Crtesino Los nteriores conceptos se pueden generlizr medinte un nuev operción entre conjuntos denomind Producto Crtesino, l cul se define continución: Sen A B dos conjuntos no vcíos, se define el Producto Crtesino entre A B como el conjunto de pres ordendos: {( x, ) x A B}, con A φ A B =, B Tnto en el Eje X, como en el Eje Y, se represent el conjunto de los números reles. En lo sucesivo, el pr ordendo (x,), se entenderá como un elemento de IR, es decir, uicdo en el Sistem Coordendo Rectngulr o Crtesino 3. Distnci En geometrí se requiere el concepto de distnci entre puntos, l cul se puede formulr prtir del Teorem de Pitágors: L distnci entre los puntos rectángulo, que stisfce: A = x, ) B = x, ) es equivlente l hipotenus del triángulo ( ( d( A, B) = ( x x ) + ( ) Recuerdo L distnci entre dos números reles A B es el vlor soluto B A. 3

4 Oservción Todo segmento AB contiene un único punto M que cumple AM MB. Se le llm punto medio del segmento. En otrs plrs, [ d( A, M ) = d( M, B) ] [ d( A, M ) + d( M, B) = d( A, B) ] M es el punto medio del Segmento AB 4. Gráfics de línes rects Cundo grficmos un rect deemos introducir el concepto de pendiente. Hciendo uso del Teorem de Pitágors, definimos l distnci d entre dos puntos. Ahor, determinremos l pendiente de l rect, no verticl, que une dos puntos A = ( x, ) B = ( x, ). Se define l pendiente de l rect que une los puntos A B como: m = x x En otrs plrs l pendiente es el grdo de inclinción que tiene l rect L siguiente Tl nos indic los diferentes csos que se presentn en el cálculo de ls pendientes. VALOR DE LA PENDIENTE m > 0 m < 0 m = 0 m no definid RECTA Creciente Decreciente Horizontl Verticl De otr prte, l lectur de l mgnitud de m es l siguiente: Por cd incremento en un unidd de l vrile x, l pendiente indic el número de uniddes de incremento o decremento en l vrile. Ejemplo Ls llens zules recién ncids miden proximdmente 4 pies pesn 3 tonelds. Ests llens jóvenes son mmntds durnte 7 meses cundo se destetn, miden l impresionnte cntidd de 53 pies pesn 3 tonelds. En l siguiente tl se registrn los dtos nteriores, t denot l edd de l llen en meses, L l longitud en pies W el peso en tonelds. T 0 7 L 4 53 W 3 3 4

5 Unos investigdores mrinos encontrron que ests vriles dos dos tienen un comportmiento linel. Qué deducciones se pueden otener de los nteriores dtos? Representemos los dtos en 3 sistems de coordends: # Eje Horizontl Eje Verticl Puntos.. Tiempo Longitud A(0,4); B(7,53). Tiempo Peso C(0,3); D(7,3) 3. Longitud Peso E(4,3); F(53,3) Tiempo - Longitud L pendiente de l rect es proximdmente igul 4., por lo nterior, por cd mes de vid, ls llens, crecen lrededor de 4 pies. Tiempo Peso L pendiente tiene un vlor proximdo.9. Por lo tnto, por cd mes de vid, ls llens gnn csi 3 tonelds de peso. 5

6 Longitud Peso Se deduce que por cd pie de umento en l longitud, ls llens incrementn 0.7 tonelds, proximdmente. Los resultdos nteriores, se pueden generlizr pr lgunos rngos de llens en etp de crecimiento. Es importnte descriir ls nteriores rects, por medio de ecuciones pr poder predecir otrs eddes, tlls pesos. 5. Ecución de l rect De cuerdo con l informción dquirid, l rect se puede representr por medio de un ecución decud ls necesiddes del investigdor. Ls cules ls podemos diferencir en olicus, horizontl, verticl. En generl, l ecución de l rect l podemos escriir de ls siguientes mners: Ecución pendiente intercepto = mx + m es l pendiente de l rect el intercepto con el eje Ecución punto pendiente 0 ( x0 = m x m es l pendiente de l rect ) ( ) Ecución generl Ax + B + C = 0 x, 0 0 es un punto de l rect Más informción en Ecologí Mtemátic tomo I II de Jorge González Guzmán 6

7 Rects Verticles L ecución de un rect verticl es de l form x = c, c IR Si l constnte c > 0, l rect se trz l derech del eje, si c < 0, se trz l izquierd si c = 0, l rect coincide con el eje verticl. En el siguiente sistem, se trzron ls rects. x=, x=0, x=-. Rects Horizontles L ecución de un rect horizontl es de l form = c, c IR Si l constnte c > 0, l rect se trz rri del eje, si c <0, se trz jo si c = 0, l rect coincide con el eje horizontl. En el siguiente sistem, se grficron ls rects. =, =0, =-. 7

8 Ejercicio Crl tiene un termómetro en escl centígrd Mrí José uno en escl Fhrenheit, los cules registrron ls siguientes mediciones: Punto de eullición del gu: 00º ºF Punto de congelción del gu: 0º 3ºF Escl Centígrd Escl Fhrenheit Con los dtos nteriores, determine diferentes ecuciones de l rect que relcion ests dos escls de medición 6. Prlelismo perpendiculridd Dos rects son prlels, si permnecen equidistntes independientemente de su prolongción en uno u otro sentido. Ls prlels constituen l se de muchs figurs geométrics. Dos rects son perpendiculres, si se cruzn en ángulo recto. Por tnto, culquier líne horizontl es perpendiculr culquier líne verticl ls rects verticles son prlels entre sí. Cundo dos rects son no verticles, con ud de sus pendientes es posile determinr si se trt de rects prlels o perpendiculres, sí: Sen L M rects no verticles. Sen L : = m x + M : = m x + entonces L M m m L M m = m = Ejercicios. Determine si el cudrilátero de vértices A(,), B(,), C(5,), D(4,) es un prlelogrmo.. Hlle l ecución de l rect que ps por C es perpendiculr l ldo AD. 3. Grfique l situción 8

9 7. Sistems de ecuciones lineles Cundo resolvemos un sistem de ecuciones con dos incógnits dos ecuciones otenemos tres csos, ls rects pueden ser: Son concurrentes Pendientes diferentes. Son prlels distints Mism pendiente Son prlels superpuests. Son prlels tienen todos los puntos en común Un conjunto de dos ecuciones de rects, se denomin sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, el cul se denot por x + = x + = Rect L Rect M Los vlores,, son los coeficientes de ls incógnits x e. Los primeros suíndices informn sore l uicción del coeficiente, el coeficiente es, si está uicdo en l primer ecución si está uicdo en l segund. El segundo suíndice es, si es coeficiente de l primer vrile x, es si multiplic l segund vrile. L solución del sistem es el conjunto de todos los pres ordendos que stisfcen ls dos ecuciones, por lo tnto se pueden presentr dos csos: Rects concurrentes L: -x + = N: x + = L únic solución es el punto de corte. Por lo tnto el conjunto solución es un conjunto unitrio de l form S = {(x, )}, en el ejemplo, S = {(0, )}. Rects prlels distints L: -x + = m = M: -x + = m = Ningún pr ordendo stisfce ls dos ecuciones, el sistem no tiene solución. Por tnto el conjunto solución es el conjunto vcío. S = ϕ Rects prlels superpuests L: -x + = m = Ñ: -x + = m = Infinits soluciones, porque todos los puntos stisfcen ls ecuciones del sistem. El conjunto solución está conformdo por los pres ordendos que stisfcen l ecución de l rect, el conjunto es de l form: 9

10 S = { (x,) Ax + B + C = 0} En l condición del conjunto S se puede reemplzr l ecución generl por culquier otr ecución equivlente. Ejercicio Un grnjero prepr un mezcl de ven míz pr limentr su gndo. Cd onz de ven contiene 4 g de proteín 8 g de crohidrtos, mientrs que cd onz de míz contiene 3 g de proteín 4 g de crohidrtos. Cuánts onzs de cd uno pueden usrse pr cumplir con los requerimientos nutricionles de 00 g de proteíns 30 g de crohidrtos por comid? (0,40) 8. Distnci de un punto un rect Sen P = ( x, ) 0 0 un punto culquier L : = mx + un rect de pendiente m. Se define l distnci de un punto un rect, el número no negtivo: D( P, L) = 0 mx 0 + m En el cso que l rect no teng pendiente, se tiene que: D( P, L) = x x 0 En lguns ocsiones l rect se escrie de este modo L : Ax + B = C, por lo tnto D( P, L) = Ax 0 + B A 0 + B C Un conjunto de elementos que poseen un determind propiedd, que sólo ellos l poseen, constitue un lugr geométrico. Est noción se utiliz hitulmente cundo estos conjuntos son un rect, un circunferenci, un elipse, etc. A modo de ejemplo, diremos que un rect es el lugr geométrico de los puntos linedos con un punto ddo A con un dirección dd v; es decir, un punto P está en l rect si, sólo si, el vector determindo por los puntos A P es prlelo l vector v. Dentro de l geometrí crtesin, un punto P de coordends (x; ) pertenece un lugr geométrico si, sólo si, sus coordends stisfcen un relción o ecución. 0

11 L ecución de un lugr geométrico de puntos P de coordends (x; ) es un ecución entre ls vriles x e tl que ls coordends (x; ) de culquier punto P stisfcen dich ecución si, sólo si, el punto P pertenece l lugr geométrico. 9. Circunferenci Un circunferenci es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. L distnci constnte l centro se denomin rdio ( ) + ( ) x = r L ecución se represent en el plno de l siguiente form. En lguns ocsiones l ecución de l circunferenci está dd por: x + + Cx + D + F = 0 0. Práol Un práol es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo foco de un rect fij llmd directriz. Consideremos como eje de ciss l rect que, psndo por el foco, es perpendiculr l directriz; por eje de ordends se tom l rect prlel l directriz por el punto medio O entre el foco l directriz; est rect se denomin eje de l práol. El punto O es el punto en que l práol cort su eje se denomin vértice de l práol. Relizndo un procedimiento similr los nteriores deducimos que l ecución reducid de l práol es

12 Pr un mejor nálisis podemos decir que ( k) = 4 p( x h) ( x h) = 4 p( k) Ecución Vértice Eje Foco Directriz k = 4 p( x h ( h, k) =k ( h+p,k) x= k-p x h = 4 p( k ( h, k) x=h (h,k+p) =h-p ( ) ) ( ) ) En lguns ocsiones l ecución de l práol está dd por:. Elipse = x + x + c x = + + c Un elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cu sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. Pr determinr l ecución, denotemos por F F los focos de l elipse, sen c l sum de distncis los focos l distnci focl, respectivmente. Se P(x; ) un punto genérico denotemos por r = PF r = PF los rdios vectores, de tl form que r + r =. Por fijr un referenci, supongmos que los focos son los puntos F(c; 0) F ( c; 0). Entonces ( x c) r = + ( x + c) r ' = + Un cálculo sencillo conduce r = + ex r = ex c donde e = es l excentricidd de l elipse. Comprndo ls dos expresiones pr r o r nteriores deducimos, después de loriosos cálculos, que x + = = c >. Est es l ecución reducid o cnónic de l elipse

13 Pr un mejor nálisis podemos decir que: > Ecución centro Eje mor o principl Foco x ( 0,0) Eje x ( c,0) (-c,0) + = x ( 0,0) Eje (0,c) (0,-c) + =. Hipérol Un hipérol es el lugr geométrico de los puntos del plno cu diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. Pr determinr l ecución, denotemos por F F los focos de l hipérol, sen c l diferenci de distncis los focos l distnci focl, respectivmente. Se P(x; ) un punto genérico denotemos por r = PF r = PF los rdios vectores, de tl form que r r =. Por fijr un referenci, supongmos que los focos son los puntos F(c; 0) F ( c; 0). Entonces ( x c) r = + ( x + c) r ' = + Un cálculo sencillo conduce r = + ex r = ex c donde e = es l excentricidd de l hipérol. Comprndo ls dos expresiones pr r o r nteriores deducimos, 3

14 = x c = >. Est es l ecución reducid o cnónic de l hipérol. Pr un mejor nálisis podemos decir que: Ecución centro Eje Trnversl Foco Asíntots = x ( 0,0) Horizontl Eje x ( c,0) (- c,0) 0 = x = x ( 0,0) Verticl Eje (0,c) (0,- c) 0 = x 4

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