ESTADÍSTICA. Unidad didáctica ESTADÍSTICA: CONCEPTOS BÁSICOS Caracteres y variables estadísticos

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1 Udad ddáctca ESTADÍSTICA. ESTADÍSTICA: COCEPTOS BÁSICOS La Estadístca surge ate la ecesdad de poder tratar y compreder cojutos umerosos de datos. E sus orígees hstórcos, estuvo lgada a cuestoes de Estado (recuetos, cesos, etc.) y de ahí provee su ombre. E la actualdad, los estudos estadístcos está presetes e todos los ámbtos humaos, tato dvduales como colectvos. Supogamos que queremos saber: a) Cuál es la proporcó de votates a u determado caddato? b) Cuátos ordeadores de ua certa marca sale defectuosos? c) Cuátas horas dura las bombllas de ua determada marca? Los aterores ejemplos tee todos ua característca comú: se trata de estudar u cojuto de elemetos, potecalmete muy grade, que llamaremos poblacó. Los elemetos de la poblacó, llamados dvduos u objetos, puede ser persoas, ordeadores, bombllas, amales, árboles, etc. E prcpo, habría que estudar to dos los elemetos de la poblacó, pero dversas razoes mpde hacerlo, uas veces de carácter tríseco (las bombllas) y otras de tempo y dero. Por ello elegmos ua parte de la poblacó que llamamos muestra y realzamos el estudo sobre los elemetos de la msma. El úmero de dvduos que la compoe se llama tamaño muestral. La Estadístca es la ceca que se oc upa de la recogda de datos, su orgazacó y aálss; así como de las predccoes que, a partr de estos datos, puede hacerse. Los coceptos báscos que aparece e cualquer estudo estadístco so: Poblacó es el cojuto formado por todos los elemetos que este para el estudo de ua determada característca. Idvduo u objeto es cada elemeto de la poblacó. Muestra es el subcojuto que tomamos de la poblacó para determar el estudo. Tamaño muestral es el úmero de dvduos que compoe la muestra... Caracteres y varables estadístcos Cada ua de las cualdades o propedades referdas a los elemetos de ua poblacó objeto de estudo se llama carácter estadístco. Las clases de caracteres estadístcos que aparece e cualquer estudo puede ser: Caracteres cualtatvos so aquellos que o se puede medr y se descrbe co palabras. Caracteres cuattatvos so aquellos que se puede medr y epresar co úmeros. Se llama varable estadístca al cojuto de valores que toma u carácter estadístco cuattatvo. Puede ser: Dscreta cuado solamete puede tomar u úmero fto de valores umércos (valores aslados). Cotua cuado puede tomar cualquer valor detro de u tervalo. Estadístca.

2 Observa el sguete esquema co alguos ejemplos: CARACTERES ESTADÍSTICOS CUALITATIVOS (o se puede medr) Ejemplos Color de los ojos Estado cvl Deporte preferdo CUATITATIVOS (se puede medr) da lugar a VARIABLES ESTADÍSTICAS VAR. DISCRETA Ejemplos º de hermaos º de dscos veddos º de goles marcados VAR. COTIUA Ejemplos Estatura de los alumos Temperatura Peso de los amales.. Ecuestas y muestreo E el estudo de cualquer feómeo estadístco y para coocer los datos hay que pregutar a u úmero determado de dvduos. Se llama ecuesta a las pregutas que se formula a u certo úmero de dvduos de u colectvo o poblacó. Las ecuestas debe coteer las pregutas precsas que os permte cosegur los datos que os hace falta, por ello es mportate elaborar be el cuestoaro de pregutas. Ua vez que se ha elaborado ua ecuesta hay que platearse a qué se la hacemos. E uos casos se aplca a toda la poblacó y, e otros, a ua parte suya que llamamos muestra. Es coveete coocer los sguetes crteros báscos e la eleccó de muestras: Cada elemeto de la poblacó debe teer gual oportudad de ecotrarse e la muestra. Las característcas de los elemetos de la muestra ha de reproducr, co la máma eacttud posble, los de la poblacó. S la muestra es demasado pequeña puede ducr a errores y s es demasado grade o resulta maejable. EJERCICIOS. Clasfca los sguetes caracteres estadístcos segú sea cualtatvos, varables dscretas o varables cotuas. a) Dámetro de ua peza de precsó. b) La categoría de cada club de fútbol español. c) úmero de accoes veddas e bolsa. d) El úmero de satéltes de cada plaeta del Sstema Solar. e) Capacdad del depósto de gasola de u coche. f) Tpos de zumos que prefere los alumos de tu clase. g) El úmero de habtacoes de las vvedas de tu barro. h) La profesó que pesa teer los alumos de tu clase. ) El peso de cada ua de las mazaas producdas por u determado mazao. j) Los habtates de cada ua de las provcas españolas. Estadístca.

3 . TABLAS ESTADÍSTICAS.. Recueto A partr de la recogda de datos, a través de ecuestas o etrevstas, ha de ordearse para u mejor maejo. La forma usual de ordearlos cosste e realzar u recueto y, posterormete, ordearlos e ua tabla. Pregutados los alumos de ua clase por el color de la pared de su habtacó, ha respoddo: «blaco, marró, blaco, marró, blaco, blaco, blaco, marró, marró, azul, blaco, marró, blaco, rosa, verde, rosa, blaco, verde, blaco, verde, blaco, azul, azul, amarllo, amarllo». Color Recueto Total Amarllo Azul 3 Blaco 0 Marró Rosa Verde 3 Pregutados por el úmero de hermaos de cada uo, las respuestas ha sdo:, 3, 3,,, 3, 3,,,,, 3,,, 4,,, 3, 4,,,, 4,, º de hermaos Recueto Total Como acabamos de ver, cuado se trabaja co caracteres cualtatvos o varables dscretas, las cualdades o val ores de éstas aparece descrtos e la tabla. E el caso de las varables cuattatvas cotuas, o dscretas co u úmero de datos muy grade, los datos debe agruparse e clases o tervalos. El valor medo de cada clase o tervalo se l lama marca de clase y se calcula com o la se msuma de los etremos del tervalo. E el sguete ejemplo puedes ver cómo se realza el recueto e estos casos. Los pesos de 60 alumos que cursa 3º de ESO, e g, so: 48, 48, 0,, 9, 4, 60, 60, 64, 6, 69, 7, 6, 70, 9, 7,, 60, 3, 7 3, 4, 4, 47, 9, 60, 7, 66, 6,,, 63, 67, 8, 49, 47, 4, 6, 7, 3, 46, 4, 67, 6, 46, 49, 7, 6, 64, 60, 0, 48, 67, 3, 49, 63, 68,, 60 Estadístca. 3

4 Observamos que los valores etremos so 4 y 70. El recorrdo de la varable es S deseamos teer cco tervalos, éstos tedrá / de ampltud. El recueto os lleva a la tabla sguete: Pesos (g) Marcas de clase Recueto Total [4, 0) 47 [0, ) 4 [, 60) 7 4 [60, 6) 6 3 [6, 70] 67 8 Observa que e el tervalo [4, 0) se cotablza todos los peso s des de 4 g (cludo este valor) hasta 0 g (ecludo este valor, que se cotablza e la sguete clase). El ú ltmo tervalo, [6, 7 0] es cerrado por ambos etremos... Frecuecas E lo sucesvo, a los valores de ua varable estadístca los otaremos por,, 3,, ; y desgaremos por al tamaño de la muestra o la poblacó objeto de estudo. Frecueca absoluta E las tablas costrudas e los ejemplos aterores, e la columa correspodete al total se ha obtedo uos valores cuyo sgfcado es el úmero de veces que se preseta cada cualdad o val or de la va rable estadístca. A est os úmeros les llamamos frecuecas absolutas. Frecueca absoluta,, de ua cualdad o de u valor de la varable estadístca es el úmero total de veces que aparece esta cualdad o valor. La correspodeca que asoc a a cad a modaldad o valor de la v arable su frecueca absoluta se llama dstrbucó estadístca. La suma de todas las frecuecas absolutas es ecesaramete el tamaño de la muestra o la poblacó a estudo: 3 K K Frecueca relatva E ocasoes os teresa saber cuál es la pro porcó del úmero de dvduos co u valor determado respecto del total. Estos valores recbe el ombre de frecuecas relatvas. Frecueca relatva, f, de ua cualdad o de u valor de la varable estadístca es el cocete que resulta de dvdr su frecueca absoluta etre el úmero total de dvduos. f,, KK, Represeta la proporcó de éstos sobre el total y verfca 0 f Observa que la suma de todas las frecuecas relatvas es la udad: f f f 3 KK f f Las frecuecas relatvas represeta la proporcó de dvduos co respecto al total. Estas proporcoes se puede epresar como porcetajes, que aparece muy frecuetemete e las tablas estadístcas. Obvamete, la suma de todos los porcetajes es 00 Estadístca. 4

5 A cotuacó se muestra la tabla de la dstrbucó estadístca color de la pared de la habtacó co los datos obtedos e el epígrafe.. Color f Amarllo 0 08 Azul 3 0 Blaco Marró 0 0 Rosa 0 08 Verde 3 0 Total Estadístca.

6 3. REPRESETACIOES GRÁFICAS Las tablas estadístcas muestra la formacó de forma esquemátca y e stá preparadas para cálculos posterores. Co el f de hacerla m ás clara y evd ete, la msma formacó estadístca se puede mostrar de forma global y más epresva utlzado los gráfcos estadístcos. Los gráfcos posee u fuerte poder de comucacó de los resultados de u estudo estadístco. Mecoaremos, a cotuacó, los prcpales tpos de gráfcos. 3.. Dagrama de sectores Se utlza para comparar las dsttas modaldades de u carácter. Cosste e u círculo dvddo e tatos sectores crculares como modaldades tee el carácter. Para costrurlo, el águlo cetral de cada sector ha de ser proporcoal a la frecueca absoluta correspodete de la cualdad a la que represeta. Por tato, la ampltud agular correspodete a cada cualdad o valor de la varable se puede calcular medate ua smple regla de tres drecta. 360º Ampltud de 360º Ampltud de f 360º E alguos gráfcos se suele clur los porcetajes que represeta las dsttas cualdades o valores de la varable. Represetamos medate u dagrama de sect ores la dstrbucó estadístca que cl asfca a l os alumos segú la autoomía de acmeto. Autoomía p Medda del águlo cetral Etremadura /30 360º 8º Madrd /30 360º 84º Cataluña 6 67 /30 360º 4º Galca 3 33 /30 360º º Asturas 3 33 /30 360º º Total Dagrama de barras y polígoo de frecuecas Se utlza para comparar datos cualtatvos o cuattatvos dscretos. Para co strur u dagrama de barras se represeta sobre el eje de abscsas cada m odaldad o valor de la varable, y para cada uo de ellos levatamos ua barra de altura proporcoal a su frecueca absoluta. E m uchas ocasoes se s uperpoe dos o m ás dagramas co el f de comparar los datos de dferetes stuacoes. Estadístca. 6

7 Los polígoos de frecuecas se forma uedo los etremos de las barras medate ua líea quebrada. Estos gráfcos so muy utlzados aquellos que represeta las frecuecas acumuladas e el estudo del crecmeto de determados feómeos. Represetamos medate u dagrama de barras y u polígoo de frecuecas la dstrbucó que clasfca a los alumos segú el úmero de hermaos. º de hermaos Dagrama de barras y polígoo de frecuecas absolutas 3.3. Hstograma y polígoo de frecuecas So aálogos a los dagramas de barras y se u tlza para dstrbucoes de varable estadístca cotua o para dstrbucoes de varable estadístca dscreta cuyos datos ha sdo agrupados e clases. Para costru rlo, se represe ta sobre el eje de abscsas los etremos de las clases y se levata uos rectágulos yutapuestos de base la ampltud del tervalo y de altura proporcoal a la frecueca absoluta correspodete, sempre que todos los tervalos tega la msma ampltud. E el sguete hstograma y p olígoo de frecue cas se ha represe tado la dstrbucó estadístca que clasfca a los alumos segú su peso e logramos. Peso (g) [40, 4) [4, 0) [0, ) [, 60) [60, 6) [6, 70) [70, 7] Hstograma y polígoo de frecuecas Estadístca. 7

8 EJERCICIOS. Se ha com parado el gasto famlar e Espa ña e l os años 970 y 993 co el f de observar s ha cambado los hábtos de cosumo, y se ha obtedo la sguete tabla. Represeta dos dagramas de sectores y compara ambas dstrbucoes. Porcetaje sobre el gasto total Almetos, bebdas y tabaco Vestdo y calzado Alquleres, calefaccó y alumbrado Muebles y ajuar doméstco Gasto sataro Trasportes y comucacoes 9 0 Espectáculos, eseñaza y cultura Hostelería y tursmo Durate el mes de julo, e ua determada cudad, se ha regstrado las sguetes temperaturas mámas: 3, 3, 8, 9, 33, 3, 3, 30, 3, 3, 7, 8, 9, 9, 30, 3, 3, 3, 30, 30, 9, 9, 30, 30, 3, 30, 3, 34, 33, 33, 8 a) Forma la tabla de frecuecas. b) Represeta gráfcamete la dstrbucó medate u dagrama de barras y u polígoo de frecuecas. c) Represeta també el dagrama de barras acumulado y el polígoo de frecuecas acumulado. 4. A.000 alumos de Eseñaza Prmara se les ha aplca do u test s obre satsfaccó por el colego. Los resultados obtedos so los que fgura a co tuacó. Forma la tabla estadístca y represeta la stuacó medate u dagrama de barras. Gusta mucho 8 % Gusta 44 % o gusta 33 % o gusta ada %. Los sguetes datos so ua muestra del úmero de ejemplares veddos (e mles) de u peródco e putos de veta dferetes durate u mes:, 7, 4, 0, 9, 6, 9, 7, 8,, 6, 8, 0,, 6, 0, 0, 8,, 6, Costruye la tabla de frecuecas ecesara para represetar la dstrbucó medate u dagrama de barras y u polígoo de frecuecas. Represeta també el dagrama de barras y polígoo de frecuecas acumulado. 6. Se ha obtedo las pulsacoes de u equpo de atletas después de ua carrera. Los datos obtedos ha sdo los sguetes: Pulsacoes [70, 7) [7, 80) [80, 8) [8, 90) [90, 9) [9, 00] úmero de atletas Forma la tabla de frecuecas y represeta gráfcamete la dstrbucó medate u hstograma y u hstograma de frecuecas acumuladas. Dbuja també los respectvos polígoos de frecuecas. 7. La duracó e segudos de las llamadas de ua empresa tomadas de u recbo so las sguetes: a) Agrupa los datos e 7 clases. b) Forma la tabla de frecuecas completa. c) Represeta el hstograma y el polígoo de frecuecas. d) Represeta el hstograma acumulado y el polígoo de frecuecas acumulado. Estadístca. 8

9 8. U estudo estadístco sobre el úmero de hjos de las parejas de ua cudad reflejó los resultados que muestra el sguete dagrama de barras. a) Defe la varable estadístca e estudo. Cuáles so los dvduos de la muestra? b) De qué tpo es dcha varable? Qué valores toma? c) Elabora ua tabla dode solamete aparezca los valores de la varable y sus correspodetes frecuecas absolutas smples. d) Respode a las sguetes pregutas:. De qué tamaño es la muestra del estudo?. Cuál es el úmero de hjos más frecuete e las parejas de esa muestra? Qué porcetaje de las parejas tee ese úmero de hjos? 3. Qué porcetaje de parejas tee dos o meos hjos? Y cuatro o más hjos? 3.4. Otras represetacoes gráfcas Pctogramas Los pctogramas re preseta l a va rable m edate u dbujo cuyo tamaño debe ser pr oporcoal a l a frecueca. So gráfcos poco precsos, auque fácles de terpretar a smple vsta. Al marge se muestra u pctograma que os proporcoa el seo de los alumos de ua clase. Hemos dbujado ua fgura alusva al tema de altura gual a la frecueca absoluta correspodete a cada modaldad. o obstate, estos gráfcos so poco fables, ya que es muy dfícl represetar datos porcetualmete eactos a través de u dbujo. E el sguete ejemplo puedes ver la produccó de petróleo de Araba Saudí (mlloes de toeladas). Estadístca. 9

10 Cartogramas So re presetacoes gráfcas de udades ge ográfcas d ferecadas por c olores, putos o rayas. Al aplcar u color para re presetar ua varable est adístca, su graduacó m uestra la frec ueca porce - tual co la que dcha varable se d strbuye. El cartogram a del m arge descrbe la desdad de l a p oblacó e spañola e el año 994. Seres temporales Estos gráfcos se utlza para observar la varacó de u dato a lo largo de u período de tempo. A veces debe superpoerse dos o m ás seres croológcas cuyo estudo quere compararse. El grá fco sguete e presa, e m les, los acmetos y defucoes que se ha producdo e u determado año. Prámdes de poblacó So grá fcos de p o- blacó m uy ú tles p ara coocer la estruct ura de la po blacó de u país determado, seg ú el seo y la edad. La varable edad se toma sobre el eje vertcal y las frecuecas o porcetajes de mujeres (d erecha) y hombres ( zquerda) se toma sobre e l eje ho rzotal. Es decr, ua prám - de de p oblacó co sste e dos hstogramas, cuya varable estadístca está e el eje vert cal y las frecuecas o porcetajes e el eje horzotal. El estudo detallado de las prámdes de poblacó aporta umerosos datos sobre aspectos socológcos lgados a dcha poblacó. E la mage puedes ver la prámde de poblacó de España e el año 99. Estadístca. 0

11 4 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS 4.. PARÁMETROS DE CETRALIZACIÓ La formacó recogda e ua tabla o gráfca estadístca suele resumrse e uos poco s valores que os form a del comportameto de todos los dvduos del colectvo estudado. Estos valores, represetatvos de todos los de ua dstrbucó, se llama parámetros o meddas de cetralzacó. Estos parámetros tede a stuarse haca el cetro del cojuto de datos ordeados Meda artmétca Meda artmétca de ua varable estadístca es el coce te etre la su ma de todos los valo res de dcha varable y el úmero total de éstos. Se represeta por. Su cálculo se realza, segú las epresoes que sgue, atededo a la presetacó de los datos. Para datos s frecuecas. S la varable toma los valores,,,, la meda artmétca se calcula medate la epresó: K Para datos co frecuecas. S la varable toma los valores o marcas de clase,,,, co frecuecas absolutas,,,, la meda artmétca se calcula medate la epresó: K Calcula la meda artmétca de la superfce de los Parques acoales. Parques acoales ha Pco s de Europa 6.9 Ordesa y Mote Perddo.608 El Tede 3.7 La Caldera Taburete Tm afaya.07 Do ñaa 0.70 La Tablas de Damel.98 El Archpélago de Cabrera 0.0 Gara joay Total.8 Los datos aparece s frec uecas. Debemos sumar todas las superfces y dvdr esta suma por el úmero de Parques acoales '6 hectáreas 9 Estadístca.

12 Las edades de los alumos de ua clase so las que se refleja e la tabla. Hallamos la edad meda de los alumos. Edad ( ) Total 0 84 La v arable es d screta. Para h allar la m eda d ebemos sumar to dos lo s datos, lo que equvale a multplcar cada valor por su frecueca absoluta y sumar todos los productos. 84 4' años 0 Hemos tallado los treta alumos de ua clase. Co los datos obtedos y agrupado las tallas por tervalos hemos calculado la talla meda de éstos. La varable es cotua y los datos está agrupados e clases. La meda de ua varable cotua se obtee sumado los productos de las marcas de clase de los tervalos por su frecueca absoluta y dvdedo ese producto etre el úmero total de datos. Talla (cm) Marcas de clase ( ) [0, ) [, 60) [60, 6) [6, 70) [70, 7] Total cm Moda Moda de ua varable estadístca es el valor de dcha varable que tee mayor frecueca absoluta (es decr, el valor de la varable que más se repte). Se represeta por Mo. Para las edades de los alumos del ejemplo ateror, la moda es Mo 4, ya que 4 es la edad que tee u mayor úmero de alumos. Esta dstrbucó, como sólo tee ua moda, se dce que es ua dstrbucó umodal. Dada ua dstrbucó de frecuecas, su tabla es la sguete Las modas so Mo 3 y Mo, por ser estos dos valores de la varable los que tee mayor frecueca. Dremos e estos casos que se trata de ua dstrbucó bmodal. Estadístca.

13 4..3. Medaa Las calfcacoes que ha obtedo 7 alumos e Matemátcas y 8 alumos e Legua ha sdo las sguetes: Matemátcas: ; Legua: Observamos que e M atemátcas la ota 6 deja t res alumos a su zquerda y tres a su derec ha. E las de Le gua, como o hay ua ota cetral, tomamos la meda artmétca de las dos otas cetrales: (4 6)/. Decmos que la ota medaa e Matemátcas es 6 y e Legua. Medaa de ua vara ble estadístca es el valor (o es sempre u valor de la varable) que, tras ordear los datos de forma crecete, deja a su zquerda u úmero de datos guales a los que deja a su derecha; es decr, es el valor tal que l a mtad de l os datos so meores o guales que él y la otra mtad guales o mayores. Se deota por Me. Dada la sere estadístca, 3,, 9,,, 6, calcula la medaa. Ordeamos los datos:, 3,, 6, 9,, la medaa es Me 6, por ser éste el valor cetral. Dada la sere estadístca,, 3, 9,, 3,, 6, calcula la medaa. Ordeamos los datos:, 3,, 6, 9,,, 3 e este caso hay dos valores cetrales, que so 6 y 9; la medaa es Me (6 9)/ PARÁMETROS DE DISPERSIÓ Este año hay dos cursos muy desguales e cuato al redmeto e Matemátcas. Observa sus calfcacoes. Poca dspersó! E 3º A hay pocas otas bajas, pocas altas y cas todas se stúa e toro al. Mucha dspersó! E 3º B hay bastates alumos co muy bajo redmeto, bastates co m uy bue redmeto y pocas calfcacoes e toro al. Estadístca. 3

14 Auque estas dstrbucoes de otas tee aspecto dferete, sus medas so parecdas, decr, lo que dfereca a ambos cursos es su comportameto respecto a la meda. A 03 y B ; es Es ecesaro, pues, coocer e qué medda los datos umércos está agrupados o o alrededor de los valores cetrales. A esto es a lo que se llama dspersó, y los parámetros que os forma de cómo se separa los datos se llama parámetros o meddas de dspersó. Los parámetros de dspersó so valores umércos que os forma de las desvacoes que sufre los datos de ua dstrbucó estadístca respecto de los parámetros cetrales, e partcular respecto a la meda artmétca Rago o recorrdo Ua maera muy seclla de determar el g rado de dspersó de los datos es ob servar la sep aracó etre el d ato más grade y el más pequeño de la dstrbucó estadístca. Rago o recorrdo de ua varable estadístca es la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable estadístca. Se represeta por R. Halla el rago de la sguete dstrbucó estadístca. Putuacó [38, 44) [44, 0) [0, 6) [6, 6) [6, 68) [68, 74) [74, 80] º de alumos R putos El rago es u parámetro fácl de calcular, pero que ofrece ua formacó muy lmtada. Así, os da ua dea de la ampltud del cojuto de datos, pero está muy fludo por los valores etremos. 4.. Desvacó meda La dstaca etre cualquer dato y la meda artmétca,, recbe el ombre de desvacó de dcho dato. Ua maera de observar la dspersó de la dstrbucó estadístca es calcular la meda artmétca de todas las desvacoes. Desvacó meda de ua varable estadístca es la meda artmétca de las desvacoes de todos los datos respecto a su meda artmétca. Se represeta por d m. S la varable toma los valores,,, (datos s frecueca) la desvacó meda se puede calcular medate la sguete epresó: d m K S la varable toma los valores o marcas de clase,,,, co frecuecas absolutas,,,, la desvacó meda se calcula co la epresó sguete: d m K Estadístca. 4

15 Los sguetes datos correspode al úmero de fal tas de ortografía cometdas por dos alumos e s ete dctados. Alumo A:,,,,, 8, 9 Alumo B: 4, 4,,,, 6, 6 Hallamos la desvacó meda de ambas seres de datos: A faltas d A m faltas Para la otra sere, agrupamos los datos e ua tabla: Total B faltas ' d B m faltas Observamos que, auque ambos tee gual meda artmétca, el úmero de faltas de ortografía está meos dsperso e el segudo alumo (es decr, el alumo B es mucho más regular que el alumo A) Varaza y desvacó típca Otro parámetro estadístco mportate es el que mde la dspersó a partr de los cuadrados de las desvacoes. Varaza de ua varable estadístca es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de todos los datos respecto a su meda artmétca. Se represeta por σ. S la varable toma los valores,,, (datos s frecueca) la varaza se puede calcular medate algua de las sguetes epresoes: ) ( ) ( ) ( ) ( σ K o be medate σ K S la varable toma los valores o marcas de clase,,,, co frecuecas absolutas,,,, la varaza se calcula medate las epresoes sguetes: σ ) ( ) ( ) ( ) ( K Estadístca.

16 o be medate σ K Desvacó típca de ua varable estadístca es la raíz cuadrada postva de la varaza. Se deota por σ. σ σ Estadístca. 6 EJERCICIOS 9. Determa la meda, la moda, la medaa y la desvacó típca e los ejerccos 3,, 6 y 7.

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