Temas de Ingeniería de Reservorios Introducción al Concepto de PERMEABILIDAD RELATIVA. Autor: M. Crotti. (Última modificación - 18 de junio de 2001).

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1 Temas de Ingeniería de Reservorios Introducción al Concepto de PERMEABILIDAD RELATIVA Autor: M. Crotti. (Última modificación - 18 de junio de 2001). En esta página se introduce el concepto de curvas de permeabilidad relativa (KR), a través de un modelo geométrico simple. Este modelo, fácil de entender, proporciona una visión de las curvas de KR libre de prejuicios y teorías especiales, pero su empleo apunta principalmente a obtener una visión directa de muchos de los principales factores que influyen sobre estas curvas (caudal, gravedad, mojabilidad, heterogeneidad, etc). El desarrollo se hace mediante el empleo de un modelo geométrico, la ley de Darcy y algunas simplificaciones que no afectan la parte conceptual pero agilizan el desarrollo y el manejo numérico. El modelo geométrico puede visualizarse como un bloque de sección cuadrada con agujeros cilíndricos longitudinales de extremo a extremo. Estos orificios no se entrecruzan y representan un modelo simplificado de red poral. En los gráficos presentados sólo se muestra una sección cuadrada correspondiente a un corte cualquiera, perpendicular al eje longitudinal del bloque. Para desarrollar la sección numérica (indispensable para obtener valores de permeabilidad relativa) es conveniente recordar que: El área empleada en la fórmula de Darcy corresponde al área global ("bulk") del sistema en estudio. El volumen de los capilares cilíndricos (conductos), crece con el cuadrado del radio, puesto que la longitud es constante y el área depende del cuadrado del radio. VP = r 2 L (Volumen del Capilar) La capacidad de conducir fluidos de los capilares cilíndricos (conductos), crece con la cuarta potencia del radio. (1 of 12) [17/06/ :36:09]

2 Q = r 4 P / (8 µ L) (Ley de Poiseuille) De este modo si en un bloque existe un solo orificio capaz de conducir fluidos, este orificio otorga una cierta porosidad y una cierta permeabilidad al bloque. Si se agrega un segundo orificio idéntico al primero, tanto la porosidad como la permeabilidad se duplican (Para una misma área del bloque, se tiene el doble de área correspondiente al VP del sistema y el doble de capacidad de conducir fluidos pues la misma diferencia de presión genera el doble de caudal). Pero si en el bloque se reemplaza el orificio original por uno con el doble de diámetro, la porosidad crece 4 veces (2 2 ) pero la permeabilidad crece 16 veces (2 4 ). Con estos conceptos primarios se puede construir el modelo geométrico en el que se emplean tres tipos de orificios, con radios 1, 2 y 3 (no importan las unidades, sino la relación de radios). La tabla siguiente muestra el resultado de tener un bloque con sólo un orificio de los mencionados por vez. Sistema Características Figura 1: 1 orificio de radio 1 Porosidad = 0.1% Permeabilidad = 0.1 md Nota: Los valores de porosidad son arbitrarios. Se supone que las medidas del sistema se eligen para generar estos valores Figura 2: 1 orificio de radio 2 Porosidad = 0.4% Permeabilidad = 1.6 md Nota: Se observa que la permeabilidad crece más rápidamente que la porosidad. (2 of 12) [17/06/ :36:09]

3 Figura 3: 1 orificio de radio 3 Porosidad = 0.9% Permeabilidad = 8.1 md Nota: Como en el caso anterior, de acuerdo con la ley de la cuarta potencia del radio, el bloque gana mucha más permeabilidad que porosidad. Y a continuación vamos a considerar un medio poroso más complejo y más cercano a la estructura de los medios porosos naturales (Figura 4). Figura 4: 100 orificios de radio 1, 20 de radio 2 y 10 de radio 3 En base a la aditividad de las propiedades de los diferentes capilares (conductos idénticos no comunicados), las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante un cálculo simple (Tabla 1):

4 Tabla 1- Propiedades del Modelo Orificio Cantidad Porosidad Permeabilidad % (100*0.1%) 10 md (100*0.1 md) % (20*0.4%) 32 md (20*1.6 md) % (10*0.9%) 81 md (10*8.1 md) Todos % (10+8+9) 123 md ( ) Este modelo simple presenta algunas características comunes con los medios reales: Tiene cantidades importantes de capilares pequeños, medianos y grandes. Si bien los volúmenes porales correspondientes a las tres familias de capilares son similares, la capacidad de conducción está dominada por los capilares más grandes de la red poral. En base a lo desarrollado, si este modelo de medio poroso (con un 27% de porosidad), se llena con petróleo, conduce esta fase con una permeabilidad de 123 md. Si a continuación se comienza a desplazar el petróleo con agua, asumiendo que no existen fases residuales (conforme al modelo de capilares uniformes), el sistema conducirá ambas fases de acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas. Primer Caso: Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua. En este caso la mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera instancia los capilares más pequeños. En las siguientes figuras se muestra el resultado de la invasión progresiva con agua.

5 Figura 5. Sólo 10 capilares pequeños invadidos con agua. En la Fig. 5 los valores calculados para el modelo son: Sw = 3.7 % VP (10 * 0.1% / 27%) So = 96.3 % VP (100% - 3.7%) Kw = 1.0 md (10 * 0.1 md) Ko = 122 md (123 md - 1 md) Krw = (1.0 md / 123 md) Kro = (122 md / 123 md)

6 Figura 6. Todos los capilares pequeños invadidos con agua. Los mismos cálculos en la Fig. 6 permiten obtener: Sw = 37 % VP So = 63 % VP Kw = 10 md Ko = 112 md Krw = Kro = A esta altura la tercera parte del sistema está invadida con agua, pero para el petróleo se conserva más del 90 % de la capacidad de conducción original.

7 Figura 7. Los capilares pequeños y medianos invadidos con agua. En tanto que en la Fig. 7 resulta: Sw = 66.7 % VP So = 33.3 % VP Kw = 42 md Ko = 81 md Krw = Kro = Y representando gráficamente estos cálculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8, fácilmente interpretable en base al desarrollo del modelo.

8 Figura 8. Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua. Como se observa en el gráfico, durante el llenado de los capilares más finos, crece la saturación de agua sin incrementar, apreciablemente, la capacidad de conducir este fluido. Recién cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diámetro, el agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir petróleo. Segundo Caso: Mojabilidad al Petróleo. En este caso (Fig. 9) la situación es la inversa de la del caso analizado, pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diámetro

9 Figura 9. Sistema mojable al petróleo. Tercer Caso: Llenado Gravitacional. En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas. Las primeras capas en inundarse son las inferiores. La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas.

10 Figura 10. Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales. Cuarto Caso: Llenado Gravitacional con distribución al azar de las capas. En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar. De esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa se inundan poros pequeños, medianos y grandes en la misma proporción que se encuentran en el modelo. Cuando se ha invadido el 25 % de los poros, la fase acuosa alcanzó el 25 % de su conductividad máxima y el petróleo perdió el mismo 25 % (Figura 11).

11 Figura 11. Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar Aclaraciones: El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0), pero es perfectamente válido adoptando valores no nulos para estas variables. Debido al reemplazo total de petróleo con agua el sistema mantiene permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 md). Con cada reemplazo de petróleo por la fase acuosa, la capacidad de conducir petróleo se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo, como es natural, los caudales dependen también de la viscosidad de cada fase, conforme a la ley de Darcy). Un sistema "water-wet" con capilares de diferente diámetro, sometido a altos caudales de desplazamiento puede comportarse como "oil-wet" pues las fuerzas viscosas favorecen la invasión de los capilares de mayor conductividad (mayor diámetro) con independencia de la mojabilidad. Por lo tanto la figura 9 también

12 corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyección. Consecuencias Principales: Si bien éste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa, el modelo presentado permite sacar algunas conclusiones válidas para los sistemas reales: 1. Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso, la permeabilidad relativa no lo es. 2. Aún especificando el medio poroso y el juego de fluidos, las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de producción. 3. Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso, sin especificar las demás variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento). 4. Los valores de saturación y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento. (En los sistemas reales ésta es sólo una aproximación al comportamiento físico). Nota: Para aquellos que hayan leído, en este foro, el comentario sobre saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple. Naturalmente el modelo aquí desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturación total del bloque. Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer más complejo el desarrollo. La diferencia entre ambos tipos de representación de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro.