Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

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1 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida de datos, su orgaizació y aálisis, así como de las prediccioes que, a partir de esos datos puede hacerse Los aspectos ateriores hace que pueda hablarse de dos tipos de Estadística: Descriptiva e Iferecial Nota.- La Estadística Descriptiva se ocupa de tomar los datos de u cojuto dado, orgaizarlos e tablas o represetacioes gráficas y del cálculo de uos úmeros que os iforme de maera global del cojuto estudiado. No utiliza la Probabilidad Nota.- La Estadística Iferecial trata sobre la elaboració de coclusioes para ua població, partiedo de los resultados de ua muestra y del grado de fiabilidad de las coclusioes. Utiliza la Probabilidad Nota.- Nos dedicamos ya a la Estadística Iferecial. Nota.- Cuado hay que hacer u estudio estadístico sobre ua població, lo más habitual es que o se pueda acceder a todos los idividuos que la compoe; es ecesario, etoces, elegir ua muestra, realizar el estudio sobre ella y después itetar extrapolar los datos a toda la població e geeral. La muestra se tiee que elegir de maera que sea lo más represetativa posible. El proceso que sigamos para la extracció de la muestra se deomia muestreo. Estadística iferecial. Muestreo Def.- La Estadística Iferecial se ocupa de iferir o deducir las características de la població a partir de las características de ua muestra Nota.- Existe dos formas de hacer Estadística Iferecial:.La estimació de parámetros..las pruebas de hipótesis. E esta lecció os vamos a ocupar de la estimació de parámetros y e la siguiete de las pruebas de hipótesis. Def.- Los parámetros poblacioales o parámetros so los ídices cetrales y de dispersió que defie a ua població (media, variaza, proporció..). Def.- Los estadísticos muestrales o estadísticos so los ídices cetrales y de dispersió que defie a ua muestra (media, variaza, proporció.. muestrales). Nota.- E la iferecia estadística es ecesario utilizar muestras, que represete a la població. Esto se cosigue mediate las técicas de muestreo. Tipos de muestreo Nota.- E los muestreos hay que ver si hay o ó reemplazamieto, y si hay o ó aleato- Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 1

2 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala riedad. Segú esto teemos los siguietes coceptos. E la Comuidad Adaluza, se cosidera que los muestreos so aleatorios y co reemplazamieto. Desde el puto de vista teórico de la iferecia estadística, ua població fiita e la que los idividuos so elegidos so elegidos co reemplazamieto puede ser cosiderada como ifiita. - Muestreo co reemplazamieto es el que se realiza cuado u elemeto tomado de la població vuelve de uevo a ella para poder volver a ser elegido. E esta situació, cada miembro de la població puede seleccioarse más de ua vez. Este tipo de muestreo hace que ua població fiita pueda ser cosiderada, al meos e su aspecto teórico, como ua població ifiita. - Muestreo si reemplazamieto es el que se efectúa si devolver a la població los elemetos que se va eligiedo para costruir la muestra. E este caso, cada miembro de la població o puede seleccioarse más de ua vez. - Muestreo aleatorio es el que se efectúa teiedo e cueta que cada miembro de la població tiee la misma probabilidad de ser elegido e la muestra. Co este tipo de muestreo, las muestras so represetativas, es posible coocer los posibles errores cometidos y puede hacerse iferecias estadísticas. (Bombo de lotería). - E geeral, llamaremos N al tamaño de la població (úmero de idividuos que la compoe, e el caso que sea fiita) y al de la muestra. - Muestreo aleatorio estratificado Es el que se utiliza cuado e la població se puede distiguir varios colectivos (estratos) cuya presecia queremos reflejar e la muestra. Llamaremos N 1, N, N,... al tamaño de los estratos (co N 1 + N + N +,.. = N), y 1,,,.., al úmero de idividuos de los respectivos estratos que hay e la muestra (co = ). Segú el criterio que elijamos para reflejar los estratos e la muestra, teemos dos subtipos e este muestreo: co afijació igual (tambié llamada costate o simple) y co afijació proporcioal. E el caso de muestreo aleatorio estratificado co afijació igual, o se toma e cueta el úmero de idividuos que compoe cada estrato, sio que todos tiee la misma presecia e la muestra. Por ejemplo, si hay estratos, de cada uo se elegiría / idividuos para la muestra, idepedietemete del peso que cada uo de ellos tuviera e la població. Es decir, 1 = = =... = /. Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza

3 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala E el caso de muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal, sí se toma e cueta el tamaño de cada estrato. Lo que se pretede es que la muestra matega, e su composició, la misma proporció de idividuos que cada estrato tega e la població. 1 E este caso = =... = k = N1 N Nk N De 1 /N 1 = /N, obteemos 1 = (N 1.)/N De /N = /N, obteemos = (N.)/N, y así sucesivamete. E cierta població habita 100 iños y jóvees, 00 adultos y 1000 aciaos. Se desea realizar u estudio para coocer el tipo de actividades de ocio que se desea icluir e el uevo parque e costrucció. Para ello, va a ser ecuestados 00 idividuos elegidos al azar. a) Si se utiliza muestreo estratificado co afijació igual, cuál será el tamaño muestral correspodiete a cada estrato? b) Si se utiliza muestreo estratificado co afijació proporcioal, cuál será el tamaño muestral correspodiete a cada estrato? sol El muestreo evidetemete es si reemplazamieto (a) E el muestreo estratificado co afijació igual dividimos el total de la uestra etre (iños, adultos, aciaos) y tomamos esa catidad de cada estrato. E uestro caso 00/ = 66 66, como so persoas elegimos 66 iños, 6 adultos y 6 viejos, porque ,( la suma tiee que ser 00 y teemos que aproximar los datos). b) E el muestreo estratificado co afijació proporcioal debe cosiderarse los estratos formados por iños y jóvees, adultos y aciaos. El tamaño de cada uo de los estratos debe ser proporcioal a la catidad de idividuos de cada uo de ellos. Así, se tiee que: x = = 0 iños y jóvees; y = 0 0 x 100 = y 00 = z 1000 = = = 10 adultos; ; z = = 0 aciaos 0 La muestra debe estar formada por 0 iños y jóvees, 10 adultos y 0 aciaos elegidos aleatoriamete etre sus respectivos colectivos. Muestreo aleatorio sistemático Se suele utilizar para ahorrar costes, y e este tipo de muestreo es ecesario ordear a Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza

4 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala los idividuos de la població asigádoles de este modo u úmero ordial a cada uo. Dividimos N (tamaño de la població) etre (tamaño de la muestra), os da como resultado u º h (llamado coeficiete de elevació), y después elegimos, al azar, uo de los h primeros idividuos de la població, por ejemplo el que ocupa el lugar k, y a partir de ahí la muestra se iría obteiedo escogiedo idividuos de h e h, es decir: k, k + h, k + h, k + h,..., k + (-1)h. Distribució de las medias, proporcioes muestrales y diferecias de medias. Nota.- Ua vez obteida la muestra de la població, y realizado el estudio sobre ella, llega la fase e que hay que obteer coclusioes sobre toda la població. Nosotros vamos a estimar la media de la població, o la proporció de idividuos de esa població que tiee ua determiada ó la diferecia de medias. Distribució de las medias muestrales Vamos a cosiderar ahora todas las muestras posibles de tamaño que se pueda extraer de ua població, y la variable aleatoria X formada por sus correspodietes medias muestrales. Si llamamos y a la media y la desviació típica de la població (respectivamete), y siedo X la variable aleatoria formada por las medias muestrales, etoces se verifica: (1) La media de X es, es decir ( X) =. () La desviació típica de X es / (), es decir ( X) = / (). (Este resultado sólo es válido para poblacioes ifiitas o para poblacioes fiitas e las que el muestreo se ha hecho co reemplazamieto). () Si X N(,), etoces X N(, ). Distribució muestral de medias (4) (Teorema Cetral del Límite).- Si X o sigue ua ley ormal, pero 0, etoces se puede cosiderar que X N(, ) Ua població está formada por sólo cico elemetos, co valores,,, y. Cosideramos todas las muestras posible de tamaño co reemplazamieto que pueda extraerse de esta població. Se pide calcular: a) La media de la població. b) La desviació típica de la població c) La media de la distribució muestral de medias. d) La desviació típica de la distribució muestral de medias, es decir, el error típico de las Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 4

5 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala medias. sol a) La media de la població es = ( )/ = / = b) La desviació típica de la població es: (-) (-) (-) (-) (-) = = 8 =,884 Costruyamos la distribució muestral de medias y, para ello, calculamos la media de todas las muestras posibles co reemplazamieto de tamaño que so. Los resultados puede verse e la tabla siguiete: Elemetos Media de la muestra x i MUESTRAS La distribució muestral de medias puede verse e la tabla que sigue. Media de la Muestra x i Numero de muestras Probabilidad p( x i ) x 1 = x = 4 x = x 4 = 6 x = x 6 = 8 x = x 8 = 10 x = / / / 4/ / 4/ / / 1/ Podemos represetarla poiedo e abscisas las medias muestrales y e ordeadas las probabilidades. c) La media de la distribució muestral de medias (media de medias) es: = xip(x i) =(1/) + 4(/) (/) + (1/) = 1/ = i 1 d) La desviació típica de la distribució muestral de medias es: Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza

6 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala = x i p(x i) x = i 1 1 = 4 = Cuado la població es ifiita o las muestras se extrae co reemplazamieto, se verifica: = y = x x Las estaturas de 100 estudiates de u cetro d eseñaza superior se distribuye ormalmete co media 1 y desviació típica 0 m. Si se toma 100 muestras de 6 estudiates cada ua, se pide: a) La media y la desviació típica esperada de la distribució muestral de medias. b) E cuatas muestras cabría esperar ua media etre 1 68 y 1 m? c) E cuatas muestras es de esperar que la media sea meor que 1 6 m? sol a) La media y la desviació típica esperada de la distribució muestral de medias es: 0, = = 1 m y = x x = 6 = 0 1 m Por ser el tamaño muestral mayor que 0 aplicamos el teorema cetral del límite, que afirma que la distribució muestral de medias se aproxima a ua distribució ormal: N(, ) b) Tipificamos los valores 1,68 y 1, segú la distribució N(1, 0 1), obteiedo. z 1,68 =( )/0 1 = - 0 y z 1, =(1 1 )/0 1 = 0 0 La probabilidad de muestras co medias etre 1 68 y 1 m es: p(1 68 X 1 ) = p(-0 Z 0 0) = p(z 0 0) - [1 - p(z 0)] = = 0 - ( ) = 0 14 El úmero de muestras esperado es = 1 muestras. c) Tipificamos el valor 1 6 m que se distribuye segú N(1, 0 1), obteiedo: z 1,6 =(1 6 1 )/0 1 = - 0 La probabilidad de muestras co medias meores que 1 6 m es: p(z - 0 ) = 1 - p(z 0 ) = 1 0 = 0 40 El úmero de muestras esperado es = 4 muestras. Distribució de las proporcioes muestrales Nota.- Vamos a estudiar ahora de todas las muestras posibles de tamaño, la proporció de sus idividuos que tiee ua determiada característica. Llamaremos p al va- Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 6

7 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala lor de esa proporció e toda la població, y P a la variable aleatoria costituida por las proporcioes muestrales. Etoces tambié se puede demostrar que: (1) La media de P es p, es decir (P) = p. () La desviació típica de P es p q, es decir (P) = p q, dode q = 1 - p () Si 0, etoces se puede cosiderar que P N(p, ), que es la distribució muestral de proporcioes. Ua població está formada por los elemetos 1,, 4 y 6. p q a) Calcula la proporció p de cifras impares. b) Para cada ua de las muestras co reemplazamieto de tamaño dos, calcula la proporció P de cifras impares. c) Calcula la media y la desviació típica de la distribució muestral de proporcioes. sol a) La proporció de cifras impares es p = 1/4 = 0, b) La proporció de cifras impares de cada ua de las muestras puede verse e la tabla. Muestras Proporció (P) 1 0, 0, 0, 0, , , c) La media de las proporcioes ateriores es: (P) = ( 1 + 0, + 0, + 0, + 0, + 0,+ 0, )/16 = 0 La desviació típica de la distribució de proporcioes es: 1 0, 0, 0, 0, 0, 0, (P) = (0,) = Cuado la població es fiita o las muestras se extrae co reemplazamieto e ua població fiita co proporcioes p y q, se verifica las relacioes siguietes: (P) = p = 0 y (P) = p q = 0 06 Ua máquia fabrica piezas de precisió. E su producció habitual fabrica u % de piezas defectuosas. U cliete recibe ua caja de 00 piezas procedetes de la fábrica. a) Cuál es la probabilidad de que ecuetre más del % de piezas defectuosas e la caja? b) Cuál es la probabilidad de que ecuetre meos de u 1% de piezas defectuosas? sol Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza

8 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala La distribució muestral de proporcioes admite como media y desviació típica: (P) = p = 0,0 y (P) = p q = (0,0)(0,) 00 = La distribució muestral se distribuye segú la ormal N(0 0; 0 006), dado que el tamaño de las muestras es superior a 0. Las probabilidades pedidas so: a) p(p>0 0)=1- p(p0 0)=1- p( Z 0,0-0,0 0,006 )=1-p(Z 6)=1-0 =0 004 b) p(p < 0 01) = p( Z< 0,01-0,0 ) = p(z < - 6) = 1 - p(z < 6) = 1-0 = ,006 Distribució muestral de diferecia de medias Nota.- Cuado estudiaros dos colectivos cojuta y comparativamete se cosidera: 1 la media del primer colectivo, 1 su desviació típica y 1 el úmero de elemetos de ua muestra; así como, y las del segudo colectivo. Nota.- Las relacioes existetes etre los estadísticos de la distribució muestral y los parámetros de las poblacioes, así como la relació etre las distribucioes de las poblacioes y la distribució muestral de diferecia de medias se muestra a cotiuació. Nota.- Si dos poblacioes sigue sedas distribucioes ormales N( 1, 1 ) y N(, ), o bie, si ambas poblacioes tiee distribucioes cualesquiera co medias 1 y, desviacioes típicas 1 y, y las respectivas muestras so de tamaños 1 y mayor que 0, etoces la distribució muestral de diferecias de medias sigue ua distribució ormal N( 1 - ; 1 ), y la variable tipificada viee dada por la expresió 1 x 1 x 1 Z = x1 x ( ) Nota.- Si 1 y o so coocidas, se aproxima estas por las desviacioes típicas de sedas muestras siempre que el tamaño de ambas sea superior a 100. Los tubos de image de televisió fabricados por la empresa A tiee ua duració media de vida de 00 horas, co ua desviació típica de 00 horas, mietras que los fabricados por la empresa B tiee ua duració media de vida de 00 horas co ua desviació típica de 800 horas. Se toma 00 tubos de image de la empresa A y 00 de la empresa B. Calcula la probabilidad de que la duració media de vida de la muestra de A o sea superior e más de 100 horas a la duració media de vida de la muestra de B. sol La distribució muestral de medias de las poblacioes A y B, X A y X B está caracterizada Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 8

9 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala por = 00; X A = 00; X B = X A ; = X A La distribució muestral de diferecia de medias, ; admite como media y desviació típica: X A - X B = - X A X B X A = = 00 y X B x1x = (00) 00 (800) 00 = 6 La probabilidad de que X A - X B 100 es: P( X A - X B 100 ) = p ( Z Iferecia Itroducció ) = P(Z -1, ) = 0,08 6, Nota.- La iferecia estadística trata de obteer coclusioes sobre la població a partir de la iformació proporcioada por ua muestra aleatoria; es decir, obteer de las propiedades de las muestras ua aproximació fiable a las del colectivo o població e estudio. Nota.- Las iferecias sobre el valor de u parámetro poblacioal, como es la media, la proporció p ó la diferecia de medias, se puede hacer mediate estimacioes (putuales o por itervalos de cofiaza) y mediate cotrastes de hipótesis (lo veremos e otra lecció). Def.- U parámetro es u valor umérico que describe ua característica de la població (, p,, etc.) Def.- U estadístico es toda fució de los datos muestrales, que asiga a cada muestra de tamaño elegida de la població (por muestreo aleatorio simple), u valor umérico. Teemos ua variable aleatoria que tedrá ua distribució de probabilidad llamada Distribució e el muestreo del estadístico. Def.- U estimador para u parámetro poblacioal descoocido es u estadístico que os da u valor que perteece al cojuto de valores que puede tomar el parámetro que se estima. Los que usaremos so: - Para la media poblacioal utilizaremos el estimador MEDIA MUESTRAL X, que sabemos sigue ua N(, ), es decir: X N(, ) (Se cosiderará las muestras de tamaño 0 para poder aplicar el Teorema Cetral del Límite y asegurar la distribució aterior). - Para la proporció muestral p utilizaremos el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL P, p q que sabemos sigue ua N(p, ), es decir: Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza

10 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala P N(p, p q ), dode q = 1- p (Se cosiderará las muestras de tamaño 0 para poder aplicar el Teorema Cetral del Límite y asegurar la distribució aterior). - Para la diferecia de medias 1 - utilizaremos el estimador DIFERENCIA DE ME- DIAS X - X 1, que sabemos sigue ua N( 1 - ; X - X 1 N( 1 - ; 1 ), es decir: 1 1 ) 1 (Se cosiderará las muestras de tamaño 0 para poder aplicar el Teorema Cetral Estimació Putual Nota.- Cosiste e tomar como valor del parámetro poblacioal descoocido (, p...), el de u estadístico ( x, ˆp,...), obteido e ua muestra aleatoria elegida de la població objeto de estudio; es decir, al ofrecido por el estimador sobre ua muestra. Se utilizará los estimadores defiidos e el apartado aterior para hacer estimacioes de la media y la proporció poblacioal. Estimació por itervalos de cofiaza Nota.- Cosiste e ecotrar u itervalo (a, b) de maera que tegamos ua cierta cofiaza (ivel de cofiaza 1 - ) de que el parámetro poblacioal descoocido, p...), se ecuetre e dicho itervalo. Se cosidera que la població de partida sigue ua distribució Normal co desviació típica coocida () para la estimació de, o ua distribució Biomial para la estimació de p. Pasos para costruir el itervalo de cofiaza (a) Se elige u estimador del parámetro que se desea estimar ( X para, ˆP para p y X1 - X para 1 - ). (b) Se elige u ivel de cofiaza 1 co el que se desea costruir el itervalo, eso quiere decir que, ates de elegir la muestra, se tedrá u probabilidad 1 de que el itervalo costruido a partir de esa muestra cotega al parámetro de la població. (c) Se toma ua muestra aleatoria de la població de tamaño y e ella se obtiee el valor del estadístico correspodiete. (d) Se costruye el itervalo cetrado e el estadístico ( x, ˆp, x -x 1 ), teiedo e cueta que al ser itervalos simétricos, se tiee que cumplir p( Z < z 1 - / ) = 1 -. Desarrollado esta expresió obteemos, segú la distribució muestral correspodiete, obtedremos las probabilidades: p x - z1 - /. x z1 - /. = 1 - Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 10

11 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala p p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ p - z.,p + z. p ˆ ˆ 1 / 1 / = (x1-x ) - z 1 / < (x1-x ) + z 1 / = 1 - co lo cual los respectivos itervalos de cofiaza será: I() = xz 1 /,xz1 / para estimar I( 1 ) = p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ p ˆ - z.,p ˆ + z. (x -x ) - z. +, (x -x ) + z. + I(p) = 1 / 1 / / 1 1 / 1 1 para estimar p para estimar 1 Dode z 1 - / es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p(-z 1-/ Z z 1-/ ) = 1, siedo 1 el ivel de cofiaza elegido. De la igualdad p(-z 1-/ Z z 1-/ ) = 1, se deduce que p(z z 1-/ ) = 1 - /, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - /. Def.- Se llama amplitud del itervalo a la diferecia = Extremo superior - Extremo iferior del itervalo de cofiaza. Se ha extraído ua muestra de 14 alumos de ua escuela de artes, a los que se les ha propuesto u test de habilidad. La media y la desviació típica obteida de la muestra so 8 y 14, respectivamete. A partir de estos datos, calcula el itervalo e el cual se hallará la media de població al ivel de cofiaza del %. Calcula el itervalo de cofiaza para los mismos datos correspodietes al ivel de cofiaza del %. Sol Los valores que proporcioa la muestra de tamaño = 14 so: x = 8 y = 14. La distribució muestral de medias sigue ua distribució ormal N(, ). Como el tamaño x muestral es superior a 100, podemos aproximar la desviació típica de la muestra por la de la població: El valor crítico z 1-/, correspodiete al ivel de cofiaza 1 = % es z 1-/ = 1 6; porque p(z z 1-/ ) = 1 / = 1 0 0/ = 0, y mirado e la N(0;1) obteemos z 1-α/ = 1 6 x z1 /, xz1 / Sustituyedo y operado, se obtiee: ( ; ) = ( ; 84 8). Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza

12 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Por tato, el itervalo ( ; 84 8) cotedrá la media de la població co ua probabilidad de %. E el caso del ivel de cofiaza del % se tiee que el valor crítico z 1-/ correspodiete a este ivel de cofiaza es z 1-/ =,8; pues de p(z z 1-/ ) = 1 / = / = =0, y mirado e la N(0;1) obteemos z 1-/ = 8 Sustituyedo y operado, se tiee: ( , ) = ( 00, 8 00). Luego, el itervalo ( 00, 8 00) cotedrá a la media de la població co ua probabilidad del %. Se observa que, al aumetar el ivel de cofiaza, se amplía el itervalo y teemos más seguridad de ecotrar la media de la població e el último itervalo calculado. Para estimar la proporció de estudiates de ua uiversidad que está a favor de la reiserció social del delicuete, se etrevistó aleatoriamete a 00 estudiates. El 8% estaba a favor. Calcula el itervalo de cofiaza, al ivel de cofiaza del %, e el cual se hallará la població uiversitaria que se ecuetra a favor. Sol Como el tamaño muestral es superior a 100, podemos aproximar P y Q de la població por las proporcioes p y q de la muestra. p = 0,8; q = 0,4; (p) = [(PQ)/] = [(pq)/] = [( )/00] = 0 0. Hemos visto e u problema aterior que a u ivel de cofiaza 1 - = % = 0, le correspode el valor z 1-/ = 1,6. PQ PQ El itervalo de cofiaza para ua proporció p es P z1 /, P z1 /, sustituyedo y operado co los datos, se obtiee ( , ) es decir el itervalo es (0 408; 0 61) al ivel de cofiaza del % El verdadero porcetaje poblacioal P se ecotrará e el itervalo (0 408; 0 61) co ua probabilidad del %. - El error de la estimació es la diferecia, e valor absoluto, etre el parámetro poblacioal y el estadístico muestral, por lo tato el error máximo de estimació será el radio del itervalo (lo que sumamos o restamos al puto medio del itervalo): -Error máximo = E = z1 /, para el itervalo de la media (radio del itervalo) y -Error máximo = E = z 1 /. p(1 ˆ p) ˆ = 1 / z. p.q ˆˆ, para el itervalo de la proporció (radio Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 1

13 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala del itervalo). -Error máximo = E =, para el itervalo diferecia de medias (radio del itervalo). z 1 / Nota.- A veces si me da el itervalo (a,b) teemos e cueta que el error es E = b - a, y que el puto medio del itervalos a + b, será x, ˆp ó ( x- 1 x ), depediedo del tipo de itervalo. Tamaño de la muestra -Si aumetamos el tamaño de la muestra elegida, mateiedo la misma cofiaza, o sea, el mismo valor crítico z 1-/, meor error cometemos al iferir el valor del parámetro. -Esto quiere decir que podemos calcular el tamaño de muestra ecesario para teer u error máximo cocreto co u ivel de cofiaza previamete fijado. -Si se matiee fijo el tamaño de la muestra y se desea aumetar el ivel de cofiaza 1- (co lo que aumetaría el valor crítico z 1-/ ), aumetaría tambié el error de la estimació. Nota.- De la fórmula del error (lo que sumamos o restamos al puto medio del itervalo de cofiaza) se suele sacar el tamaño de la muestra, despejado la icógita. z 1- /. De E = z1 /, obteemos = E e N(; ) p.q ˆˆ (z ˆˆ 1- /).p.q p.q ˆˆ De E = z 1 /., obteemos = e N( ˆp ; E ) Se desea hacer ua estimació sobre la edad media de ua determiada població. Calcula el tamaño de la muestra ecesario para poder realizar dicha estimació co u error medio de medio año a u ivel de cofiaza del,%. Se cooce de estudios previos que la edad media de dicha població tiee ua desviació típica de =. Sol A u ivel de cofiaza 1 - = % le correspode u valor crítico z 1-/ =, porque de p(z z 1-/ ) = 1 / = / = 0 86, y mirado e la N(0;1) obteemos z 1-α/ = Además, = y el error E = 0,. z 1- /. Co estos datos si lo poemos e la fórmula = E, se obtiee = (. )/(0 ) = =4 De 4 persoas, al meos, debe estar compuesta la muestra. Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 1

14 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Deseamos coocer el úmero de persoas mayores de edad que sería ecesario icluir e ua muestra acioal para estimar la clase de actividad e España co u error absoluto de E = 0,04 y u ivel de cofiaza del %. Se dispoe de ua valor P = 0,4 del último ceso. Sol A u ivel de cofiaza 1 - =,% le correspode u valor crítico z 1-/ =, porque de p(z z 1-/ ) = 1 / = / = 0 86, y mirado e la N(0;1) obteemos z 1-/ =. Además P = 0,4, etoces Q = 0,. Co estos datos llevados a la fórmula = = 1 ˆˆ, se obtiee =( )/(0 44) E (z 1- /).p.q Se ecesita para la muestra, al meos 1 persoas. Al medir el tiempo de reacció, u psicólogo estima que la desviació típica es de 0,0 segudos. De qué tamaño ha de tomarse ua muestra de medidas para teer ua cofiaza de % de que el error de estimació o supera 0,01 segudos? Sol La variable tiempo de reacció tiee media y desviació típica = 0,0. La distribució de medias muestrales x sigue ua ley de media y desviació típica /() = 0,0/() x Por tato, la variable Z = se distribuye segú la ormal N(0, 1). 0'0/ El valor crítico, z 1-/, para el itervalo e al ivel de cofiaza 1 - = 0, es z 1-/ =,8; porque de p(z z 1-/ ) = 1 / = / = 0, y mirado e la N(0;1) obteemos z 1-/ =,8. Sabemos que e las medias muestrales el error es E = z1 /, de dode despejado z 1- /. se obtiee = E = '8.0'0 0'01 = , de dode el tamaño de la muestra de medidas tiee que ser 16 o mayor. Alguos Ejercicios de Selectividad E cierto barrio se quiere hacer u estudio para coocer mejor el tipo de actividades de ocio que gusta más a sus habitates. Para ello, va a ser ecuestados 100 idividuos elegidos al azar. a) Explica qué procedimieto de selecció sería más adecuado utilizar: muestreo co o si reposició. Por qué? b) Como los gustos cambia co la edad y se sabe que e el barrio vive 00 iños, 000 adultos y 00 Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 14

15 Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala aciaos, posteriormete se decide elegir la muestra aterior utilizado muestreo estratificado. b 1 ) Defie los estratos. b ) Determia el tamaño muestra correspodiete a cada estrato. Sol ( (a) iños, 0 adultos, aciaos ) Se sabe que el cociete itelectual de los alumos de ua uiversidad se distribuye segú la ley ormal de media 100 y variaza. a) Halla la probabilidad de que la muestra de 81 alumos tega u cociete itelectual medio iferior a 10. b) Halla la probabilidad de que la muestra de 6 alumos tega u cociete itelectual medio superior a 10. Sol ( (a) P(x < 10) = 0,8; (b) P(x > 10) = 0,08 ) Los 6000 huevos de ua gra partida tiee masas que está distribuidas ormalmete. Se escoge al azar 10 huevos y se halla que sus masas so: 40, 6, 44, 4, 48, 4, 8, 0 y 8 gramos, respectivamete. a) Halla la media y la desviació de la muestra. b) Supoiedo que la masa media de los huevos de la partida es la misma que la calculada e a), pero que la desviació típica de la masa es de, gramos, demuestra que el úmero de huevos de la partida co masa superior a 0 gramos es aproximadamete 440. c) Sabiedo que 000 de los huevos tiee masas superiores a x gramos, estima el valor de x. Sol ( (a) x = 4 g; =, ; (b) 441 huevos; (c) x = 6, gramos ) Ua muestra aleatoria de 100 alumos que se preseta a las pruebas de selectividad revela que la media de edad es de 18,1 años. Halla u itervalo de cofiaza de 0% para la edad media de todos los estudiates que se preseta a las pruebas, sabiedo que la desviació típica de la població es de 0,4. Sol (18,04; 18,166) Se quiere coocer la permaecia media de pacietes e u hospital. Se tiee datos referidos a la estacia, expresada e días, de 800 pacietes, de dode se ha sacado los resultados siguietes: x = 8,1 días, s = días Se pide obteer u itervalo de cofiaza del % para la estacia media. Sol (,; 8,) E ua muestra aleatoria de persoas, está a favor de que el miisterio de Ecoomía matega la presió fiscal el 6%. Halla el itervalo de cofiaza del %. E ua ecuesta realizada u año ates había resultado u 68% favorable al mateimieto de la presió. Cae este valor detro del marge de cofiaza de la ueva ecuesta? Sol (p = 68% = 0,68; este valor cae detro del itervalo) La duració de bombillas sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica de 0 horas. Para estimar la duració media, se experimeta co ua muestra de tamaño Calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza del %, se haya coseguido u error e la estimació iferior a horas. Sol (8 bombillas) Muestreo. Iferecia. Itervalos de Cofiaza 1

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