ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

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1 ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.) y trata de extraer coclusioes sobre el comportamieto de estas variables. Es ua de las ciecias que permite coocer, o al meos eteder, la realidad e la que os desevolvemos. A través de la estadística podemos obteer iformació de gra valor que os ayudará e la toma de decisioes e cualquier ámbito de uestra vida. El aálisis de la iformació pasada para tomar la decisió más correcta, de cara al futuro, es el objeto de la estadística. Variable aleatoria: Cojuto de distitos valores uméricos que adopta u carácter cuatitativo. Es aquel dato susceptible de tomar diferetes valores e determiadas circustacias. La estadística es el estudio cuatitativo de las variables, por lo que podemos cosiderar éstas como la materia prima de los estudios estadísticos. Toda variable que tiee asociada ua determiada ley de probabilidad; cada uo de los valores que puede tomar le correspode ua probabilidad específica. Las variables puede ser cualitativas o cuatitativas, Variables cualitativas (o categóricas): aquellas que o aparece e forma umérica, sio como categorías o atributos (sexo, profesió, color de ojos). Variables cuatitativas: las que puede expresarse uméricamete (temperatura, salario, úmero de goles e u partido). Variables cuatitativas segú el tipo de valores que pueda tomar puede: Discretas: Aquellas que toma valores aislados (úmeros aturales), y que o puede tomar igú valor itermedio etre dos cosecutivos fijados. Por ejemplo; º de goles marcados, º de hijos, º de discos comprados, º de pulsacioes,... Discretas 1-Prob Quiebra Sólo se toma u cojuto fiito valores {x 1, x,...} Fució de masa de probabilidad: P(X=x i ) Prob No Quiebra t = 0 t = 1 1

2 Cotiuas: Aquellas que toma ifiitos valores (úmeros reales) e u itervalo dado, de forma que puede tomar cualquier valor itermedio, al meos teóricamete, e su rago de variació. Por ejemplo; talla, peso, presió saguíea, temperatura,.. Cotiuas Se toma cualquier valor de u itervalo Fució de desidad f(x): F(x)= f(x) 0 x - f ( t) dt f(t)dt =1 Distribució estadística Valores posibles Frecuecia: Número de veces e que se repite u dato. Distiguimos dos clases de frecuecias: Frecuecia absoluta: La frecuecia absoluta de ua variable estadística es el úmero de veces que aparece e la muestra dicho valor de la variable. Frecuecia relativa: La frecuecia absoluta, es ua medida que está ifluida por el tamaño de la muestra, al aumetar el tamaño de la muestra aumetará tambié el tamaño de la frecuecia absoluta. Esto hace que o sea ua medida útil para poder comparar. Para esto es ecesario itroducir el cocepto de frecuecia relativa, que es el cociete etre la frecuecia absoluta y el tamaño de la muestra. Cuado se estudia el comportamieto de ua variable hay que distiguir los siguietes coceptos: (Compoetes de ua Ivestigació Estadística) Població: Es el cojuto de todos los elemetos que cumple ciertas propiedades y etre los cuales se desea estudiar u determiado feómeo (puede ser hogares, úmero de torillos producidos por ua fábrica e u año, lazamietos de ua moeda, etc. ). Llamamos població estadística o uiverso al cojuto de referecia sobre el cual va a recaer las observacioes. Idividuo: Se llama uidad estadística o idividuo a cada uo de los elemetos que compoe la població estadística. El idividuo es u ete observable que o tiee por qué ser ua persoa, puede ser u objeto, u ser vivo, o icluso algo abstracto.

3 Muestra: es el subcojuto de la població que es estudiado y a partir de la cual se saca coclusioes sobre las características de la població. La muestra debe ser represetativa, e el setido de que las coclusioes obteidas debe servir para el total de la població. Las muestras puede ser probabilísticas o o probabilísticas. Ua muestra probabilística se elige mediate reglas matemáticas, por lo que la probabilidad de selecció de cada uidad es coocida de atemao. Por el cotrario, ua muestra o probabilística o ser rige por las reglas matemáticas de la probabilidad. De ahí que, mietras e las muestras probabilísticas es posible calcular el tamaño del error muestral, o es factible hacerlo e el caso de las muestras o probabilísticas. La modalidad más elemetal de muestra probabilística es la muestra aleatoria simple, e la que todos los compoetes o uidades de la població tiee la misma oportuidad de ser seleccioados. Ceso: Decimos que realizamos u ceso cuado se observa todos los elemetos de la població estadística. Parámetro: Característica de ua població, resumida para su estudio. Se cosidera como u valor verdadero de la característica estudiada. Probabilidad: Es el cojuto de posibilidades de que u eveto ocurra o o e u mometo y tiempo determiado. Dichos evetos puede ser medibles a través de ua escala de 0 a 1 (o la expresamos e tato por cieto, etre 0% y 100%), dode el eveto que o pueda ocurrir tiee ua probabilidad de 0 y uo que ocurra co certeza es de 1, y el resto de sucesos tedrá probabilidades etre cero y uo que será tato mayor cuato más probable sea que dicho suceso tega lugar. Ejemplo: Cuado se laza ua moeda, se desea saber cual es la probabilidad de que se sello o cara, es decir existe u 0,5 (50%) de que sea cara o 0,5 (50%) de que sea sello. 3

4 El experimeto tiee que ser aleatorio, es decir, que puede presetarse diversos resultados, detro de u cojuto posible de solucioes, y esto aú realizado el experimeto e las mismas codicioes. Por lo tato, a priori o se cooce cual de los resultados se va a presetar. Ejemplo: Lotería de Navidad. Hay experimetos que o so aleatorios y por lo tato o se les puede aplicar las reglas de la probabilidad. Modelo de distribució de probabilidad: especificació de los valores de la variable aleatoria co sus probabilidades respectivas.) Medidas de variables aleatorias E muchas ocasioes es mucho más eficaz, secillo y preciso el estudio de ua variable utilizado valores uméricos que la descripció visual de la distribució de ua variable mediate tablas y gráficos, ya que los valores uméricos da ua idea de la ubicació o del cetro de los datos (medidas de posició), y usado catidades que iforme de la cocetració de las observacioes alrededor de dicho cetro (medidas de dispersió). a) Medidas de posició cetral: Iforma sobre los valores medios de la serie de datos. Ua medida de cetralizació es u valor, que es represetativo de u cojuto de datos y que tiede a situarse e el cetro del cojuto de datos, ordeados segú su magitud. Media: Es el valor medio poderado de la serie de datos o valores que toma la variable estadística. La media o es más que la suma de todos los valores de ua variable dividida etre el úmero total de datos de los que se dispoe. Y se calcula como; x1 + x + x x X = 1 + x Si el valor xi de la variable X se repite i veces, aparece e la expresió de la media aritmética de la forma: x i i X = Siedo x i las variables, i las veces que aparece la variable x i y N la suma de todas las i. Es decir; = i= 1 x i N = Σ i A la media aritmética se la deomia tambié CENTRO DE GRAVEDAD de la distribució. 4

5 Mediaa: Es uo de los cálculos más represetativos de la muestra. La mediaa es el valor del elemeto itermedio cuado todos los elemetos se ordea. La mediaa se calcula ordeado los datos de meor a mayor y tomado el valor del medio que es el que deja u 50% de observacioes a su izquierda y u 50% a su derecha. El lugar que ocupa se determia dividiedo el º de valores etre : Cuado hay u úmero impar de valores de la variable, la mediaa será justo el valor de orde cetral, aquel cuya frecuecia absoluta acumulada coicida co. Por tato la mediaa coicide co u valor de la variable. El problema está cuado haya u úmero par de valores de la variable. Si al calcular resulta que es u valor meor que ua frecuecia absoluta acumulada, el valor de la mediaa será aquel valor de la variable cuya frecuecia absoluta cumpla la siguiete codició: N i 1 < N i Me = x i. N Por el cotrario si coicide que = N i, para obteer la mediaa realizaremos el x + +1 siguiete cálculo: = i x Me i Moda: Es el valor más frecuete de la variable estadística; valor que se correspode al máximo del histograma. Ejemplo: El cojuto,,5,7,9,9,9,10,10,11,1 y 18 tiee moda 9. Ejemplo: El cojuto 3,5,8,10,1,15 y 16 o tiee moda. Ejemplo: El cojuto,3,4,4,4,5,5,7,7,7 y 9 tiee dos modas, 4 y 7 y se llama bimodal. Ua distribució co moda úica se dice uimodal. 5

6 b) Medidas de posició o cetral: Iforma de cómo se distribuye el resto de los valores de la serie. Los Cuatiles (cuartiles, deciles, percetiles) so medidas de localizació, su fució es iformar del valor de la variable que ocupará la posició (e tato por cie) que os iterese respecto de todo el cojuto de variables. Podemos decir que los Cuatiles so uas medidas de posició que divide a la distribució e u cierto úmero de partes de maera que e cada ua de ellas hay el mismo de valores de la variable. Las más importates so: CUARTILES, divide a la distribució e cuatro partes iguales (tres divisioes). Q 1,Q,Q 3, correspodietes a 5%, 50%,75%. DECILES, divide a la distribució e 10 partes iguales (9 divisioes). D 1,...,D 9, correspodietes a 10%,...,90% PERCENTILES, cuado divide a la distribució e 100 partes (99 divisioes). P 1,...,P 99, correspodietes a 1%,...,99%. Existe u valor e cual coicide los cuartiles, los deciles y percetiles es cuado so iguales a la Mediaa y así veremos: 4 5 = = 100 Cuartiles: Los cuartiles so los tres valores que divide al cojuto de datos ordeados e cuatro partes porcetualmete iguales. Hay tres cuartiles deotados usualmete Q1, Q, Q3: El primer cuartil Q1, es el meor valor que es mayor que ua cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 5% de las observacioes y es superado por el 75% de las observacioes El segudo cuartil Q, (coicide, es idético o similar a la mediaa, Q = Md), es el meor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observacioes so mayores que la mediaa y el 50% so meores. El tercer cuartil Q3, es el meor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 5% de las observacioes. 6

7 Deciles: Los deciles so ciertos úmeros que divide la sucesió de datos ordeados e diez partes porcetualmete iguales. So los ueve valores que divide al cojuto de datos ordeados e diez partes iguales, so tambié u caso particular de los percetiles, ya que podemos defiir Decil como percetil cuyo valor que idica su proporció es u múltiplo de diez. Percetil 10 es el primer decil, percetil 0 el segudo decil, etc. El primer decil D1: idica que sólo existe u 10% de probabilidad de que el valor de la variable esté por debajo de esa cifra. Quito decil D5 o deomiado tambié Caso Base : idica que existe igualmete u 50% de probabilidad de que el valor esté por ecima como por debajo de esa cifra. Represeta la Mediaa de la distribució. Percetiles o cetiles: Los percetiles so, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicació o clasificació de las persoas cuado atiede características tales como peso, estatura, etc. Los percetiles so ciertos úmeros que divide la sucesió de datos ordeados e cie partes porcetualmete iguales. Estos so los 99 valores que divide e cie partes iguales el cojuto de datos ordeados. Secillamete Percetil es el valor del recorrido de ua variable, bajo el cual se ecuetra ua proporció determiada de la població. Los percetiles (P1, P,... P99), leídos primer percetil,..., percetil 99, muestra la variable que deja detrás ua frecuecia acumulada igual al valor del percetil: Primer percetil, que supera al uo por cieto de los valores y es superado por el oveta y ueve por cieto restate. El 60 percetil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observacioes y es superado por el 40% de las observacioes. El percetil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restate. c) Medidas de dispersió: So aquellas que permite retratar la distacia de los valores de la variable a u cierto valor cetral, o que permite idetificar la cocetració de los datos e u cierto sector del recorrido de la variable. Estudia la distribució de los valores de la serie, aalizado si estos se ecuetra más o meos cocetrados, o más o meos dispersos. Rago: Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferecia etre el valor más elevado y el valor más bajo. 7

8 R e = x max - x mi Variaza: Mide la distacia existete etre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferecias al cuadrado etre cada valor y la media, multiplicadas por el úmero de veces que se ha repetido cada valor. El resultado obteido se divide por el tamaño de la muestra. S x = σ x = r i= 1 ( x x) i N i La variaza siempre será mayor que cero. Mietras más se aproxima a cero, más σ = std ( X ) = + var( X ) cocetrados está los valores de la serie alrededor de la media. Por el cotrario, mietras mayor sea la variaza, más dispersos está. Desviació Típica: es la raíz cuadrada de la variaza. Expresa la dispersió de la distribució y se expresa e las mismas uidades de medida de la variable. La desviació típica es la medida de dispersió más utilizada e estadística. 3.) Distribucioes de probabilidad Como ya hemos mecioado ateriormete ua variable aleatoria es aquella que toma diversos valores o cojutos de valores co distitas probabilidades. Existe características importates de ua variable aleatoria, sus valores y las probabilidades asociadas a esos valores. Ua tabla, gráfico o expresió matemática que dé las probabilidades co que ua variable aleatoria toma diferetes valores, se llama distribució de la variable aleatoria. La iferecia estadística (es decir, el proceso que realiza la herramieta Riesgómetro) se relacioa co las coclusioes que se puede sacar acerca de ua població de observacioes basádose e ua muestra de observacioes. Etoces iterviee las probabilidades e el proceso de la selecció de la muestra; e este caso se desea saber algo sobre ua distribució co base e ua muestra aleatoria de esa distribució. De tal maera vemos que trabajamos co muestras aleatorias de ua població que es más grade que la muestra obteida; tal muestra aleatoria aislada o es mas que ua de muchas muestras diferetes que se habría podido obteer mediate el proceso de selecció, por ello es de gra relevacia el uso de distribucioes de probabilidad. 8

9 Distribucioes discretas: So aquellas e las que la variable puede pude tomar u úmero determiado de valores. Existe diversos tipos, etre los que destaca: Berouilli; Es aquel modelo que sigue u experimeto que se realiza ua sola vez y que puede teer dos solucioes: acierto o fracaso: Cuado es acierto la variable toma el valor 1 Cuado es fracaso la variable toma el valor 0 Al haber úicamete dos solucioes se trata de sucesos complemetarios: A la probabilidad de éxito se le deomia "p" A la probabilidad de fracaso se le deomia "q" Verificádose que: p + q = 1 La distribució de Berouiili se aplica cuado se realiza ua sola vez u experimeto que tiee úicamete dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0. Ejemplo: lazamieto de ua moeda. Biomial; La distribució biomial parte de la distribució de Berouilli, se aplica cuado se realiza u úmero "" de veces el experimeto de Berouiili, siedo cada esayo idepediete del aterior. La variable puede tomar valores etre: 0: si todos los experimetos ha sido fracaso : si todos los experimetos ha sido éxitos Ejemplo: lazar repetidamete ua moeda. Poisso; La distribució de Poisso parte de la distribució biomial. Cuado e ua distribució biomial se realiza el experimeto u úmero "" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" e cada esayo es reducida, etoces se aplica el modelo de distribució de Poisso. Se tiee que cumplir que: " p " < 0,10 " p * " < 10 Ejemplo: catidad de erratas por págia e u libro. 9

10 Distribucioes cotiuas: So que preseta u úmero ifiito de posibles solucioes. Tipos distribucioes: Uiforme; es aquella que puede tomar cualquier valor detro de u itervalo, todos ellos co la misma probabilidad. 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, Características: 90,0% -,50,50 La totalidad de los posibles valores a tomar por la variable, situados etre las catidades máximas y míimas, preseta las mismas posibilidades de ser alcazados El emprededor idetifica u rago de valor para las variables Variables exógeas Parámetros de carga idetificables y cuatificables por el emprededor. Normal; Se utiliza para medir y represetar multitud de variables como el peso, la altura, la calificació de u exame..., cuya distribució es simétrica co respecto a u valor cetral, alrededor del cual toma valores co gra probabilidad, si existir apeas valores extremos. Es el modelo de distribució más utilizado e la práctica. La importacia de la distribució ormal se debe pricipalmete a que hay muchas variables asociadas a feómeos aturales que sigue el modelo de la ormal (tallas, pesos, evergaduras, cosumo de cierto producto, putuacioes de exame, grado de adaptació a u medio, etc.), multitud de feómeos se comporta segú ua distribució ormal. Esta distribució de caracteriza porque los valores se distribuye formado ua campaa de Gauss, e toro a u valor cetral que coicide co el valor medio de la distribució U 50% de los valores está a la derecha de este valor cetral y otro 50% a la izquierda. 10

11 Esta distribució viee defiida por dos parámetros: X: N ( ) es el valor medio de la distribució y es precisamete dode se sitúa el cetro de la curva (de la campaa de Gauss). : es la variaza. Idica si los valores está más o meos alejados del valor cetral: si la variaza es baja los valores está próximos a la media; si es alta, etoces los valores está muy dispersos. Cuado la media de la distribució es 0 y la variaza es 1se deomia "ormal tipificada", y su vetaja reside e que hay tablas dode se recoge la probabilidad acumulada para cada puto de la curva de esta distribució. Características: Míimo predetermiado Máximo predetermiado Todos los valores etre el míimo y el máximo de la distribució so igualmete probables. Triagular; La distribució triagular es útil como ua aproximació iicial e situacioes par las que o se dispoe de datos cofiables. Nos permite estimar las duracioes de las actividades de u proyecto usado las tres estimacioes: optimista, muy pesimista, y pesimista. 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0, ,0% 5,0% 90,0% -1,709 1,709 11

12 Características: Fució de distribució comúmete aplicada a las variables de vetas y costes de mercado Variables edógeas, el emprededor dispoe de poder egociador sobre las mismas Parámetros de carga idetificables y cuatificables por el emprededor. Ejemplo práctico: Valor de la Frecuecia Frecuecia Frecuecia variable (X i ) absoluta relativa acumulada /0 = 5% /0 = 0% /0 = 15% /0 = 35% /0 = 5% 0 Total 0 100% Medidas de posició cetral: Media X = (1.0*5)+(1.7*4)+(.35*3)+(.01*7)+(0.94*1) = Mediaa Ordeamos: Med.= 1.7 Moda Moda =.01 (es el valor que más se repite, teiedo e cueta que tiee la mayor frecuecia) Medidas de posició o cetral: Percetil P 75 = 3 * = 3 * 0 = P 75 = Tercer cuartil (Q 3 ) OObservado e la tabla las frecuecias acumuladas os damos cueta de que para X i =.01 dejamos por debajo el 75% de las observacioes y por ecima el 5%. Medidas de dispersió: Variaza = [( ) * 5]+[( ) * 4]+ + [( ) *1] = Desviació típica Rago R= =

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