Introducción a la Estadística Descriptiva

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1 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ª Edcó Carla Re Graña María Raml Díaz

2 ITRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. ª Edcó o esá permda la reproduccó oal o parcal de ese lbro, su raameo formáco, la rasmsódeguaformaoporcualquermedo,aseaelecróco,mecáco,porfoocopa,por regsro u oros méodos, s el permso prevo por escro de los ulares del Coprgh. DERECHOS RESERVADOS 007, respeco a la seguda edcó e español, por ebblo, S. L. ETBIBLO, S. L. C/. Rafael Alber, 6 bajo zq. Sa. Crsa 1517 Oleros (La Coruña) Spa Tlf: Fax: ISB: Depóso Legal: C Drecora Edoral: Crsa Seco Edora: Lorea Bello Produccó Edoral: Gesbblo, S. L. Impreso e España Pred Spa

3 PRESETACIÓ Ese maual preede ser sólo ua prmera aproxmacó al aálss cuaavo de lasseresdedaosdelasvarables. Ese po de aálss ha sdo mu crcado, porque la formacó que coee los úmeros esá sujea a errores de medcó que codcoa los resulados obedos. Además, la erpreacó que se hace de ellos es subjeva, de maera que los msmos úmeros puede ser leídos de dsas formas por persoas dsas. Pero, auque es cero que cuado los resulados que proporcoa se erprea de forma sesgada o poco objeva puede obeerse coclusoes absurdas, s somos cudadosos al valorarlos, odas las éccas cuaavas, cluso las más secllas, puede proporcoar formacó mu eresae. El aálss esadísco de las varables puede abordarse, báscamee, desde la perspecva de ua sola o de varas varables. Co el efoque uvarae, al que se refere la prmera pare de ese maual, o se preede explcar el comporameo de la varable esablecer gua relacó de causaldad. Por ao, o es ecesaro dspoer de gua formacó relava al comporameo de oras varables. Para efecuarlo, basa coocer ua sere de daos de la varable e esudo. Por supueso, e prmer lugar, es ecesaro eer correcamee especfcado el coedo de la sere. Por ejemplo, por lo que se refere a las ulzadas para el aálss del ursmo, debe coocerse el dso sgfcado que ee las seres de vsaes ursas, o las dferecas ere ursmo emsor, recepor e ero. Y debemos saber ambé s la sere proporcoa formacó global o parcal, como sucede co la que se refere sólo al ursmo hoelero, s los daos esá e cadades físcas o evalores,sseraadevalores,sésossoomalesoreales;slasereseha vso afecada por algú cambo meodológco, s la formacó ha sdo obeda de forma exhausva o procede de ua ecuesa sujea a errores de muesreo, ecéera. La varable que queremos esudar debe esar perfecamee defda desde el puo de vsa esadísco; debe ser coocda e odos sus aspecos. Ua vez cumpldo ese requso, puede aplcarse alguas de las éccas uvaraes más smples, ales como el aálss gráfco, el cálculo de las prcpales meddas de poscó, dspersó, coceracó forma, el aálss de seres emporales, ecéera.

4 PRESETACIÓ Respecoalaálssgráfco,laeleccódelaescalaqueseomaelosejespuede hacer que la mpresó vsual que recbmos de la sere sea mu dsa. Segú que escalas se ome puede parecer que la sere varía rápdamee es mu rregular o que varía leamee es mu regular. Así que es ecesaro ser razoable co el po de gráfco que se elge mu cudadosos co su erpreacó. La meda las demás meddas de poscó o meddas cerales, como la medaa la moda, raa de represear o de codesar la formacó coeda e la sere de daos. Pero la meda o es más que ua medda resume de la sere, e ocasoes, proporcoa sólo ua formacó parcal, que puede ser mu poco represeava de ella. Ha alguos ejemplos mu populares al respeco. Segú la formacó que proporcoa la meda, s u dvduo come dos pollos oro guo, guo de los dos ee hambre, porque por érmo medo, se ha comdo u pollo cada uo. S u dvduo mee la cabeza e el horo los pes e el cogelador, ee la emperaura meda deal. Cualquera de esos ejemplos, poe de mafeso la ecesdad de complemear la formacó que proporcoa la meda co algú dcador de la dspersó de la varable, como la varaza o la desvacó ípca. Cuado esas meddas oma valores elevados, como sucede e los casos señalados, la meda es u resume de la sere mu pobre, mu poco fable. Es coveee valorar cojuamee la medda de poscó ceral de dspersó. El aálss de seres emporales perme alsarlas para desacar la edeca que sgue. Pero, a veces, precsamee las rregulardades elmadas so mporaes para deecarlospuosexraños,quepuedecoeer mucha formacó. Por ejemplo, el año 199 es especal para las seres de ursmo e España, porque cocurre varos feómeos mporaes: se celebró la Olmpada e Barceloa, Madrd fue Capal Culural de Europa e Sevlla se celebró la Exposcó Uversal. S suavzamos la sere elmamos el pco correspodee a ese año, esa formacó se perde. Por ao, el alsado ambé es ua écca que debe ser ulzada co precaucoes. E el efoque mulvarae, que se aborda e la seguda pare del maual, se procede al esudo cojuo de las varables para aalzar la relacó ere ellas, lo cual perme reducr la cerdumbre co la que se oma las decsoes de plafcacó gesó. Las éccas esadíscas más secllas para cuafcar el grado de relacó que exse ere dsas varables so el aálss de la covaraza, la correlacó la regresó leal, e el caso más smple, que es el caso bvarae. Respeco a ese po v

5 PRESETACIÓ de aálss, ambé es ecesaro esablecer alguas precsoes, porque la relacó eredosvarables,xe,puedeadoparformasmudversas. Se dce que ua relacó es de causaldad; es decr, que la varable x es la causa de la varable, s sólo s las varacoes de x provoca varacoes e. Ua relacó es de erdepedeca s la relacó se da e los dos sedos; es decr, los valores de x flue e los valores de smuláeamee los valores de flue e los dex. Euarelacódreca,laasocacóqueseobservaerexesedebea que ambas depede de ua ercera varable z. Y falmee, ambé puede suceder quelaasocacóerelosvaloresdexeseafruodelacasualdad,sedoésala relacó que coocemos como espura. Las éccas que se ulza para aalzar la exseca de relacó ere las varables perme cuafcar hasa que puo esá relacoadas, pero o perme, s embargo, deducr cuál es po de relacó que exse ere ellas. So los coocmeos a pror sobre el comporameo del feómeo esudado los que sugere la exseca ceras relacoes ere las varables, que los daos las éccas esadíscas, úcamee, cofrma o refua. E cosecueca, su ulzacó requere u coocmeo prevo delfeómeodecovaracóqueseesáesudadoparaaplcarloscorrecamee. E defva, esos que hemos comeado so sólo alguos ejemplos que poe de mafeso el hecho de que al abordar cualquer aálss esadísco, sempre debe eerse e cuea que s se efecúa gorado el problema cocreo al que se refere será, precsamee, u aálss esadísco gorae. Pero a pesar de que los méodos cuaavos ee lmacoes, ambé ofrece u amplo abaco de posbldades para exraer la formacó que coee los úmeros. Desde esa perspecva, abordamos la elaboracó de ese lbro co la ecó de faclar ua prmera vsó, mu smple, respeco a las éccas más elemeales para proceder al aálss de las seres de daos. Carla Re Graña María Raml Díaz v

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7 Coedo 1. Elaboracó de ablas de daos esadíscos Daos esadíscos Elaboracó de ablas esadíscas udmesoales Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos s agrupar Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos agrupados Elaboracó de la abla de dsrbucó de frecuecas co EXCEL Represeacoes gráfcas Aálss de ablas de daos esadíscos Iroduccó Meddas de poscó de edeca ceral o cerales Meddas de poscó de edeca ceral Meddas de poscó o cerales Meddas de dspersó absoluas relavas Meddas de dspersó absoluas Meddas de dspersó relavas Meddas de forma Meddas de coceracó úmeros ídces Iroduccó úmeros ídces smples complejos Cambo de base elace de seres Ídces de precos. Deflacó de seres Seres emporales Defcó represeacó gráfca Compoees de ua sere de empo Aálss de la edeca medae el méodo de las medas móvles Aálssdelasvaracoesesacoalesmedaeelméodo de la razó a la meda móvl. Desesacoalzacó Aálss de la evolucó emporal de ua sere. Tasa de varacó Dsrbucoes bdmesoales de frecuecas Iroduccó Tablas de correlacó cogeca Dsrbucoes margales Dsrbucoes codcoadas v

8 COTEIDO 5.. Covaracó o varacó cojua Correlacó Correlacó co EXCEL Aálss de regresó Iroduccó El ajuse mímo cuadráco ordaro Propedades del ajuse El coefcee de deermacó Regresó co EXCEL Ejerccos cuesoes v

9 TEMA 1 ELABORACIÓ DE TABLAS DE DATOS ESTADÍSTICOS 1.1. Daos esadíscos La prmera uldad de la esadísca es la de proporcoar u cojuo de ormas que perme elaborar las ablas umércas adecuadas para cuafcar u deermado feómeo. Dcho feómeo esá formado por u cojuo de persoas o cosas que llamamos poblacó. Las persoas o cosas que egra ua poblacó se deoma elemeos o udades esadíscas. Cada uo de los elemeos de ua poblacó puede descrbrse segú uo o varos caraceres. Por ejemplo, s el objevo de u deermado aálss so los vajeros que llega a u país, puede cerarse la aecó e su edad, su esado cvl, su país de procedeca, ecéera. S esamos eresados e el esudo de la edad de los vajeros, se raa de aalzar ua caracerísca que oma valores umércos, a la cual deomamos varable. E cambo, s os eresa, por ejemplo, su país de procedeca, se raa de aalzar ua caracerísca cualava, deomada arbuo. Los arbuos o so, pues, suscepbles de cuafcarse e la forma covecoal medae ua escala umérca. Al observar las dferees varables o arbuos se obee u cojuo de resulados, umérco o o, deomado cojuo de daos. Los obedos al observar u arbuo se deoma modaldades, meras que los correspodees a ua varable se deoma valores. E fucó del úmero de valores que puede omar las varables, se dsgue las dscreas de las couas. Las dscreas so aquellas que puede omar u úmero fo (o fo umerable) de valores; por ejemplo, el úmero de vsaes que recbe u país, el úmero de plazas de u hoel, ecéera. Las couas so aquellas que puede omar fos valores dero de u ervalo; el gaso medo por persoa de los ursas que vsa u país es, por ejemplo, ua varable coua. 1

10 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Segú el po de valores observados, se dsgue las varables emporales de las aemporales. Las prmeras hace refereca la msma udad esadísca e dferees períodos de empo (meses, rmesres, años o cualquer ora udad emporal); por ejemplo, la asa de ocupacó brua de u hoel deermado cada año de los compreddos ere Las segudas se refere a dferees udades esadíscas e u msmo período de empo; por ejemplo, la asa de ocupacó brua de dsos hoeles e el año Elaboracó de ablas esadíscas udmesoales Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos s agrupar os ocupamos ahora de la elaboracó de ua abla esadísca referda a ua sola varable; es decr, que sólo recoge la formacó correspodee a ua caracerísca de cada uo de los elemeos de la poblacó. Supogamos, por ejemplo, que hemos obedo formacó umérca sobre los precos de los meús servdos durae u día e u resaurae deermado. Dcha formacó es la sguee: Preco = {6, 8, 6, 8, 6, 8, 1, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 1, 1, 8, 8, 1, 6, 8, 6, 6, 8, 1, 6, 6, 6, 6, 6} euros Podemos observar que sólo ha res precos dferees, 6, 8 1 euros, que se repe, además sus valores esá desordeados. La formacó así preseada resula mu poco maejable a efecos de su aálss esadísco. E prmer lugar debemos ordear, de meor a maor preco, por ejemplo, agrupar los valores comues e ua abla. A ese proceso se le deoma abulacó. E la columa de la zquerda de la abla se presea los valores x de los res precos correspodees a los meús que se ha servdo el día elegdo, meras que e la columa de la derecha fgura el úmero de veces que se repe cada uo de ellos. E esadísca, el úmero de veces que se repe cada valor o dao de la varable se deoma frecueca absolua (o smplemee frecueca), e geeral, se represea por.

11 Elaboracó de ablas de daos esadíscos E ese ejemplo 1 = 13, lo que sgfca que el prmer valor de la varable se repe 13 veces; es decr, que se ha servdo 13 meús de 6 euros; = 1, lo que sgfca que el segudo valor de la varable se repe 1 veces; es decr, que se ha servdo 1 meús de 8 euros 3 = 5, lo que sgfca que el ercer valor de la varable se repe 5 veces; es decr, que se ha servdo 5 meús de 1 euros. Tabla 1.1. Preco de los meús Preco (x ) úmero de meús servdos ( ) x 1 = 6 1 = 13 x = 8 = 1 x 3 = 1 3 = 5 Toal 30 Sumado las frecuecas absoluas se obee el úmero oal de valores observados de la varable, que represeamos por. E ese ejemplo: = = = 30. E geeral: Ahora be, la frecueca absolua o da ua dea respeco a s es o o elevada. Para saberlo, debemos referrla al cojuo de los daos. Tabla 1.. Frecueca absolua relava x f 6 13 f 1 = 1 / = 0, f = / = 0, f 3 = 3 / = 0,17 Toal 30 1,00 Defmos así la frecueca relava, f, que se obee por cocee ere la frecueca absolua ( ) el úmero oal de daos (). 3

12 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Dada su defcó, es obvo que el valor mímo de la frecueca relava es cero su valor máxmo es la udad. Por ao, la frecueca relava es ao más elevada cuao más próxmo esá su valor a uo. La Tabla 1. recoge los valores de las frecuecas relavas para la dsrbucó de los precos. E ella, las frecuecas relavas esá expresadas e ao por uo, pero ambé se puede expresar e ao por ceo, mulplcado por ce cada uo de sus valores. Tedremos, así, que el 43 por ceo de los meús servdos ha sdo de 6 euros, el 40 por ceo ha sdo de 8 euros el 17 por ceo resae ha sdo de 1 euros. La suma de las frecuecas relavas es gual a la udad: E ese ejemplo: f 1 + f + f 3 = 0,43 + 0,40 + 0,17 = E geeral: f També puede eer erés calcular las frecuecas acumuladas, ao absolua como relava. La frecueca acumulada absolua, que represeamos por, dca el úmero de valores de la varable guales al cosderado o ferores a él, se obee sumado, para cada valor, su frecueca absolua más las correspodees a los valores aerores de la varable. Tabla 1.3. Frecueca acumulada absolua x f ,43 1 = 1 = ,40 = 1 + = ,17 3 = = 30 Toal 30 1,00 represea la frecueca absolua acumulada correspodee al segudo valor de la varable (8 euros) que se cfra e 5, lo que os dca que se ha servdo 5 meús co u preco gual o feror a 8 euros. Podemos observar, además, que la 4

13 Elaboracó de ablas de daos esadíscos prmera frecueca absolua acumulada es gual a la prmera frecueca absolua, que la úlma frecueca absolua acumulada cocde co el úmero de daos dspobles, que e uesro ejemplo so 30. E geeral: = = = 1 La frecueca acumulada relava, represeada por F, se obee al dvdr cada frecueca acumulada absolua ( ) ere el úmero oal de daos (), o be sumado, para cada valor, su frecueca relava más las correspodees a los valores aerores de la varable. Tabla 1.4. Frecueca acumulada relava x f F ,43 13 F 1 = 1 / = f 1 = 0, ,40 5 F = / = f 1 + f = 0, ,17 30 F 3 = 3 / = f 1 + f + f 3 = 1,00 Toal 30 1,00 La frecueca acumulada relava correspodee al segudo valor de la varable, F, dca, pues, que el 83 por ceo de los meús servdos e el resaurae ee u preco gual o feror a 8 euros. Como puede observarse, la prmera frecueca relava acumulada es gual a la prmera frecueca relava, la úlma frecueca relava acumulada es gual a la udad. E geeral: F = f 1 + f + + f = f = 1 1 Por úlmo, los daos puede presearse e ua abla que resume odo lo expueso aerormee. Esa abla recoge los valores de la varable sus frecuecas, absoluas relavas, smples acumuladas. Dado su coedo, se la cooce co el ombre de abla de dsrbucó de frecuecas. Cosderado que odas las demás puede obeerse a parr de la frecueca absolua, se represea como los dferees valores que e cada caso oma el par (x, ). 5

14 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla 1.5. Dsrbucó de frecuecas x f F , , ,40 5 0, , ,00 Toal 30 1,00 Hasa ahora, como hemos vso, la formacó se ha dspueso asocado a cada valor de la varable su frecueca. Esa forma de presear los daos se ulza cuado la varable oma u pequeño úmero de valores dsos. Ahora be, s la varable oma u úmero grade o mu grade de valores dsos dspoemos los daos de esa maera, se obee uas columas mu largas, que o proporcoa la vsó de cojuo deseada Tablas de dsrbucó de frecuecas co daos agrupados S el úmero de valores que oma la varable es sufceemee grade resula acosejable, para ua maor comoddad e el raameo de la formacó, agrupar esos valores e u úmero reducdo de clases o ervalos. La agrupacó de los daos facla su maejo, pero debe eerse e cuea que, meras que e las dsrbucoes o agrupadas dspoemos de oda la formacó correspodee a ua varable, e las dsrbucoes agrupadas se perde pare de la formacó. Por ejemplo, supogamos que se dspoe de los daos correspodees a los precos pagados por las cosumcoes realzadas e ua cafeería a lo largo de u deermado día. Dado que exse muchos valores dferees de la varable compreddos ere 0 15 euros, para eer ua vsó de cojuo, las cadades pagadas se ha agrupado e clases o ervalos. Los valores de la varable sus correspodees frecuecas absoluas se presea e la Tabla 1.6, que recoge e la prmera columa los cco ervalos cosderados, de los cuales L -1 es el exremo feror L es el exremo superor. Como puede observarse, la abla proporcoa formacó respeco a cuáas cosumcoes de ere 3 6 euros se ha servdo e el esablecmeo, pero o dca s ha habdo cosumcoes de 4 ó 5 euros, o cuáas se ha servdo de cada 6

15 Elaboracó de ablas de daos esadíscos uo de los mpores compreddos e el ervalo. Obvamee, para la elaboracó de la abla es ecesaro recoger el máxmo de formacó, pero como se ha señalado, al hacer la agrupacó, auque se facla el raameo de los daos, pare de la formacó se perde. Tabla 1.6. Preco de las cosumcoes Preco (L -1 L ) úmero de cosumcoes ( ) Para agrupar los daos de ua varable e ervalos o clases es ecesaro, e prmer lugar, coocer el recorrdo o rago de la varable, que es la dfereca ere su maor meor valor. E el ejemplo aeror el recorrdo de la varable es de 15 0 = 15 euros. A couacó, hemos de decdr la amplud de los ervalos, que se represea como c es la dfereca ere su exremo superor su exremo feror; es decr, c = L L -1. E geeral es recomedable que, e la medda de lo posble, los ervalos sea de amplud cosae, a que e alguos aspecos es más secllo el raameo esadísco de la formacó. o obsae, por ecma de ese requso, debe esar el de que la abla esadísca resulae exprese lo más felmee posble las caraceríscas de la varable, por lo que e alguos casos será preferble que los ervalos sea de amplud varable. E el ejemplo aeror, los ervalos cosderados ee ua amplud cosae, gual a 3 euros. Cuado la amplud es cosae, el recorrdo es gual al úmero de ervalos por su amplud. Luego, s se cooce la amplud puede deducrse el úmero de 7

16 Iroduccó a la Esadísca Descrpva ervalos; o be, s se fja el úmero de ervalos puede deermarse la amplud. Para esablecer el úmero de ervalos que debe cosderarse o ha reglas fjas, auque e la prácca suele osclar ere Ua vez esablecdo el úmero de ervalos a cosderar su amplud, se plaea el problema de deermar a qué ervalo correspode u valor de la varable cuado cocde co uo de sus exremos. Habualmee se cosdera que los ervalos so semaberos por la zquerda, lo cual se deoa como (L -1 L ], sgfca que se compoe de odos aquellos valores compreddos ere L -1 L, cludo el exremo superor excludo el feror. E el ejemplo que hemos plaeado, ua cosumcó de 6 euros puede esar, e prcpo, cluda e el ervalo compreddo ere 3 6 euros o e el sguee, de 6 a 9 euros. S los ervalos cosderados so semaberos por la zquerda, como es habual, esá cluda e el ervalo de 3 a 6 euros. S embargo, esa o es la úca posbldad, pueso que ambé puede defrse ervalos cerrados [L -1 L ] que clue los dos exremos, aberos (L -1 L ) que o clue guo de los dos exremos, o semaberos por la derecha [L -1 L ) que clue el exremo feror pero o el superor. Tabla 1.7. Preco de las cosumcoes L -1 L x 0 3 1, , , , ,5 5 Por úlmo, como valor represeavo de cada ervalo se oma su puo medo x = (L -1 + L ) /, al que se deoma marca de clase. S e el ejemplo cosderado se calcula las marcas de clase, la abla de frecuecas absoluas de la varable es al como la Tabla 1.7. Para complear la 8

17 Elaboracó de ablas de daos esadíscos dsrbucó de frecuecas co daos agrupados, debe segurse el procedmeo que se ha descro e el caso de los daos s agrupar. E cualquera de los dos casos, el proceso de obecó de esa abla es mucho más secllo ulzado ua hoja de cálculo Elaboracó de la abla de dsrbucó de frecuecas co EXCEL El programa se ejecua hacedo doble clc co el raó e el coo de acceso dreco o be pchado el boó Ico Programas EXCEL. De esa forma, se abre ua hoja de cálculo e blaco. La prmera operacó que se debe realzar para elaborar la abla de dsrbucó de frecuecas es la roduccó de los daos. Por ejemplo, supogamos que se dspoe de la formacó correspodee a la edad de los clees de u deermado esablecmeo hoelero: Edad = {19, 5, 3, 44, 51, 8, 3, 0, 60, 45, 54, 3, 5, 36, 40, 45, 33,, 55, 48, 5, 40, 3, 45, 33, 19, 36,, 48, 3, 5, 36, 8, 19, 5,, 3, 44, 45, 55, 3, 5, 60, 40, 45, 33,, 8, 44, 45} años Se súa el cursor co el raó e la celda A1, e la que se roduce x como ombre de la varable. A couacó, e la celda A, se eclea el prmer dao (19), e la celda A3 el segudo (0), así sucesvamee, hasa que se haa roducdo odos los daos e celdas cosecuvas de la columa A. Para pasar de ua celda a ora, puede ulzarse el raó, las eclas de dreccó o la ecla Iro. El sguee paso cosse e ordear los daos de meor a maor. Para ello se pcha el meú Daos, e el que se elge la opcó Ordear. Al efecuar esa operacó, se abre u cuadro de dálogo e el que se debe dcar que queremos ordear los daos e orde ascedee segú los valores de la varable x. Falmee, se pcha Acepar para ejecuar la operacó. 9

18 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Ua vez ordeados los daos, para obeer los valores de las frecuecas absoluas, es ecesaro coar cuáas veces se repe cada uo de los valores de la varable. Para efecuar esa operacó, os suamos e la celda B1 le damos el ombre. E la celda B se pcha e el meú Iserar, el submeú Fucó. Elegmos las fucoes Esadíscas dero de ellas Coar. A couacó se abre u cuadro de dálogo e el que se dca el rago de celdas que queremos que cuee. Como, e prmer lugar, queremos saber cuáas celdas coee el úmero 19, debemos dcar el rago A:A4, pchado co el raó la celda A, s solar, arrasrádolo hasa la celda A4. Al pchar Acepar aparecerá u úmero 3, que dca que ha 3 celdas co u valor gual a 19. Tabla 1.8. Frecuecas absoluas A B C 1 x os suamos ahora e la celda que esá a la derecha del sguee valor, es decr e la celda B5, efecuamos el msmo proceso para coar cuáas celdas coee el valor 0. La operacó se repe hasa falzar. Luego se elma las flas e las que la 10

19 Elaboracó de ablas de daos esadíscos celda correspodee a la frecueca esá vacía, sombreádolas co el raó la sruccó Elmar del meú Edcó. Se obee así la Tabla 1.8, que coee los valores de la varable sus correspodees frecuecas absoluas. Para complear la abla de dsrbucó, debe obeerse el reso de las frecuecas. Comezamos por obeer la columa correspodee a las frecuecas relavas. Como se ha dcado, dchas frecuecas se obee dvdedo cada frecueca absolua ere el úmero oal de daos, que es la suma de las frecuecas absoluas. Para obeer el úmero de daos, se súa el cursor e la celda B19, se ejecua la sruccó Iserar Fucó Maemácas Suma, que abre u cuadro de dálogo e el que debemos dcar el rago de celdas que se desea sumar. E ese caso, dcho rago es B:B18. Al Acepar, e dcha celda aparece el resulado de la suma; e ese caso, 50. Tabla 1.9. Obecó de la dsrbucó de frecuecas A B C D E F 1 x f F 19 3 =B/B$19 =B =D/B$ =B3+D (B:B18)=50 0 Ua vez efecuada esa operacó, se súa el cursor e la celda C, para dcar la fórmula para el cálculo de las frecuecas relavas. La correspodee al prmer valor de la varable se obee dvdedo su frecueca absolua, que es el valor que ocupa la celda B, ere el úmero oal de daos, que es el valor que ocupa la celda B19. Puede observarse que ere la lera B el úmero 19 se sera el símbolo $, para dcar que al copar esa fórmula e las demás casllas sempre se ha de omar como deomador el valor fjo coedo e la celda B19. 11

20 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para obeer el valor de la seguda frecueca relava se seleccoa co el raó la celda C, que coee la fórmula para el cálculo de f 1, e el meú Edcó elegmos Copar. Se coloca ahora el raó e la celda C3, se pcha s solar el boó, se arrasra hasa la celda C18, e el meú Edcó se seleccoa Pegar (que, e las ablas hemos represeado co el símbolo ). Co ese procedmeo se obee las frecuecas relavas para los demás valores de la varable. A couacó, se formula las columas D E para obeer las frecuecas acumuladas, absoluas relavas, de la forma que se dca e la Tabla 1.9. Ua vez efecuado el proceso descro, debe obeerse u resulado al como el que se muesra a couacó: Tabla Dsrbucó de frecuecas A B C D E F 1 x f F ,06 3 0, ,0 4 0, ,08 8 0, , , ,1 16 0, , , ,10 4 0, ,06 7 0, , , , , , , ,1 4 0, , , ,0 45 0, ,0 46 0, , , , , ,00 0 Los resulados obedos e esa abla debe ser ales que: 1. La suma de la columa de frecuecas absoluas es el úmero de daos. La suma de la columa de frecuecas relavas es gual a la udad 1

21 Elaboracó de ablas de daos esadíscos 3. El valor de la úlma frecueca absolua acumulada es el úmero de daos 4. El valor de la úlma frecueca relava acumulada es gual a la udad S fuese ecesaro corregr la erada de alguo de los daos cales, la hoja de cálculo opera de al maera que auomácamee corrge odas las operacoes efecuadas co él. Supogamos ahora que el hoel al que se ha hecho refereca preede ofrecer u deermado servco drgdo a sus clees más jóvees que, para aalzar s resulará reable, desea coocer el porceaje de clees que ee ua edad gual o feror a 35 años cuál es el úmero de clees que ee ua edad superor a 35 años. Esa formacó puede obeerse a parr de la abla de dsrbucó de frecuecas. 1. Porceaje de clees co edad gual o feror a 35 años: Dado que o ha clees de 34 de 35 años, debemos deermar el porceaje de clees co edad gual o feror a 33 años. La frecueca relava acumulada correspodee a 33 años (0,54) dca que el 54 por ceo de los clees ee ua edad gual o feror a 33 años.. úmero de clees co edad superor a 35 años: Observado la columa de las frecuecas absoluas acumuladas, sabemos que ha 7 persoas que ee ua edad gual o feror a 33 años. S el úmero oal de clees es de 50, 3 (= 50 7) ee ua edad superor a 33, por ao, a 35 años, a que o ha clees de 34 de 35 años. Auque la abla de dsrbucó de frecuecas recoge oda la formacó dspoble respeco a ua varable, puede resular úl raducrla e u gráfco que perma asmlar rápdamee s esfuerzo sus prcpales caraceríscas. 13

22 Iroduccó a la Esadísca Descrpva 1.3. Represeacoes gráfcas Las represeacoes gráfcas so u medo complemearo para descrbr el feómeo que se raa de aalzar. Ere ellas, puede hacerse refereca, báscamee, a los dagramas de líeas, de barras, a los hsogramas de frecuecas a los dagramas de secores. Los dagramas de líeas de barras se ulza cuado la varable oma u úmero reducdo de valores dferees; es decr, co dsrbucoes o agrupadas e ervalos. Esas represeacoes gráfcas se realza medae u ssema de ejes de coordeadas caresaas, omado, geeralmee, e el eje de abscsas, la escala para los valores de la varable e el de ordeadas, la escala para los valores de las frecuecas. S se represea u puo para cada par formado por u valor de la varable su correspodee frecueca, (x, ), se obee u cojuo de puos. S los puos ue co ua líea, se obee el dagrama de líeas. S para cada valor de la varable se raza ua barra vercal co alura gual a la frecueca, se obee el dagrama de barras. El hsograma de frecuecas se ulza cuado los valores de la varable esá agrupados e ervalos. Se ulza, ambé, u ssema de ejes de coordeadas caresaas. E el eje de abscsas se súa los ervalos de la varable, sobre ellos, omádolos como base, se cosrue recágulos de al forma que su área sea gual a la frecueca absolua de cada ervalo. S los ervalos so de amplud cosae, la alura de los recágulos cocdrá co las correspodees frecuecas absoluas, a que al ser las bases guales, las áreas depederá sólo de la alura. E cambo, s los ervalos so de amplud varable, la alura de los recágulos debe cocdr co la desdad de frecueca (d ), que se defe como el cocee ere la frecueca absolua la amplud de cada ervalo. Así, el área del recágulo (= base x alura) cocde co la frecueca absolua del ervalo. E efeco: Área = base x alura = c x d = c x ( / c ) = 14

23 Elaboracó de ablas de daos esadíscos E geeral, para represear feómeos cualavos, suele ulzarse los dagramas de secores, auque ése o es u uso exclusvo, pueso que ambé se ulza de forma geeralzada cuado se rabaja co varables. El dagrama cosse e dvdr u círculo e secores cuo águlo ceral sea proporcoal a la frecueca absolua correspodee, por cosguee, su área resule ambé proporcoal a dcha frecueca. Veamos alguos ejemplos de cada uo de esos pos de represeacoes gráfcas, ulzado la hoja de cálculo EXCEL. E prmer lugar, represeamos gráfcamee los 50 valores de la varable x = edad de los clees de u esablecmeo hoelero, coedos e la Tabla 1.8, a la que se ha hecho refereca e el epígrafe Para ello, e la hoja que coee los daos de la varable, se súa el cursor e ua celda e blaco e el meú Iserar se elge la opcó Gráfco. Esa sruccó ca el assee para gráfcos. Se abre eoces u cuadro de dálogo e el que se debe deermar el po de gráfco. Supogamos que se elge el po Líeas. Pchado co el raó el boó Sguee, el assee pde formacó respeco a s los daos de la varable que se desea represear se ha roducdo e flas o e columas. Marcamos la caslla de verfcacó Columas. A couacó debe dcarse el rago de daos que se desea represear, que esá formado por las celdas e las que fgura los valores de las frecuecas absoluas, a que ésas so las que deerma las aluras. Se pcha, eoces, la pesaña Seres, para dcar el ombre de la varable, que fgura e la celda A1, el rago de los Róulos del eje de caegorías (x), formado por las celdas correspodees a los valores de la varable, A:A18. El ercer paso del assee para gráfcos perme añadr, s se desea, el íulo, algua leeda, la ubcacó, ecéera. Ua vez falzado el gráfco, el cuadro de dálogo ofrece dos posbldades: suar el gráfco e ua hoja ueva, o be serarlo como u objeo e la msma hoja e la que se ha roducdo los daos. El resulado obedo será smlar al que se presea e el Gráfco

24 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Gráfco 1.1. Edad de los clees Sguedo el procedmeo descro, pero elgedo como po de gráfco Columas, se obee el dagrama de barras, que será aálogo al sguee: Gráfco 1.. Edad de los clees S como po de gráfco se elge Barras, se oma la escala para los valores de la varable e el eje de ordeadas para las frecuecas e el de abscsas, al revés de lo que hemos hecho hasa ahora. Veamos, a couacó, la represeacó de esa msma abla de daos seleccoado el po de gráfco Barras. 16

25 Elaboracó de ablas de daos esadíscos Gráfco 1.3. Edad de los clees Supogamos ahora que se desea efecuar la represeacó gráfca de los daos que coee la Tabla 1.6, relavos a la varable x = preco de las cosumcoes realzadas durae u día e ua cafeería, a la que se ha hecho refereca e el epígrafe Gráfco 1.4. Preco de las cosumcoes Para hacer ese gráfco co EXCEL, el procedmeo es el msmo que e el caso del dagrama de barras. Para dcar que el acho de las barras cocde co el amaño del ervalo, ha de seleccoarse Opcoes dero del Formao de Seres de Daos, que aparece al pulsar el boó derecho del raó cuado esá seleccoadas las barras, e roducr el valor cero como acho de rago. 17

26 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Para ver como se hace el gráfco cuado los ervalos so de amplud varable, vamos a ulzar la formacó coeda e la Tabla 1.11, que se refere a la varable x = úmero de días de esaca de los clees de u hoel. Tabla Días de esaca L -1 - L d = / c 4 6 3, , , ,60 E ese caso, el procedmeo es el msmo que e los aerores, excepo porque e el rago de daos debe dcarse las celdas e las que fgura los valores de las desdades de frecueca, obedas por cocee ere la frecueca absolua la amplud del ervalo. El resulado obedo será smlar al Gráfco 1.5, dode puede observarse que odas las columas ee el msmo acho, como s odos los ervalos uvese la msma amplud, pero la alura de las barras o cocde co la frecueca, so co la desdad de frecueca de cada ervalo. 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 0, Gráfco 1.5. Días de esaca També podemos represear la varable x = preco de las cosumcoes, a la que a os hemos referdo, empleado el dagrama de secores. Para ello, se elge el 18

27 Elaboracó de ablas de daos esadíscos po de gráfco Crcular el resulado obedo será como el que se presea e el Gráfco Gráfco 1.6. Preco de las cosumcoes El gráfco de secores puede ulzarse ambé para represear u arbuo. Por ejemplo, supogamos que se dspoe de la formacó correspodee a la dsrbucó por movo del vaje de los vsaes de u deermado puo urísco que se presea e la Tabla 1.1. Tabla 1.1. Dsrbucó por movo del vaje Movo del vaje úmero vsaes Vacacoal 100 Relgoso 5 egocos 30 Vsas famlares amgos 0 Co esos daos, seleccoado el po Crcular, pero esa vez co la opcó Efecos e 3 dmesoes, obedremos u resulado smlar al que se recoge e el Gráfco 1.7. Auque los que hemos vso hasa ahora so los pos de gráfco más ulzados, la hoja de cálculo EXCEL ofrece muchas oras posbldades. Como ejemplo, hemos recogdo e los Gráfcos la formacó correspodee a la dsrbucó por movo del vaje, co alguos oros. E parcular, el Gráfco 1.8 correspode al po Clídrco el Gráfco 1.9 al po Barras rúsco. 19

28 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Vacacoal Relgoso egocos Vsas Gráfco 1.7. Movo del vaje Vacacoal egocos Gráfco 1.8. Movo del vaje Vsas 0 egocos 30 Relgoso 5 Vacacoal 100 Gráfco 1.9. Movo del vaje 0

29 TEMA AÁLISIS DE TABLAS DE DATOS ESTADÍSTICOS.1. Iroduccó La abla de dsrbucó de frecuecas proporcoa ua formacó deallada del comporameo de ua varable, cuas caraceríscas prcpales puede ser rápdamee vsualzadas medae u gráfco. Pero, e muchos casos, es eresae dspoer ambé de alguas meddas que resuma adecuadamee la formacó coeda e los daos, prcpalmee por lo que se refere a los valores cerales, la dspersó, la coceracó la forma. El esudo cojuo de odas esas caraceríscas perme eer ua vsó codesada complea del feómeo a aalzar. Así, por ejemplo, e el aálss de la edad de los clees de u deermado esablecmeo hoelero puede ser eresae coocer qué edad ee por érmo medo, cuál es la edad que ee la maoría de los clees, qué edad deja por ecma por debajo de ella el msmo úmero de clees, ecéera. Las meddas esadíscas que se ulza para cuafcar esas caraceríscas que se refere a los valores cerales de las varables se deoma meddas de poscó. Esas meddas de edeca ceral seza odos los valores de la dsrbucó, pero proporcoa sólo ua formacó parcal, especalmee s la varable oma valores mu dferees ere sí, pueso que, e al caso, los valores cerales de la sere so poco represeavos de la sere e su cojuo. Por eso debe valorarse ambé la dspardad o la dspersó de los daos. E el ejemplo propueso, la edad de los clees e promedo codesa la formacó dspoble respeco a los valores de la varable edad, pero o proporcoa gua formacó respeco a su varabldad. Sería eresae valorar ambé la dspardad de las edades, lo cual puede hacerse medae la ulzacó de alguas meddas de dspersó. 1

30 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Los valores de las meddas de dspersó so, como hemos dcho, dcavos de la maor o meor dspardad ere los valores de la varable, pero o proporcoa dealles respeco a la amplud del ervalo e el cual se cocera la maoría de dchos valores. E el ejemplo que vemos aalzado, es eresae coocer la edad de los clees e promedo algú dcador respeco al grado de dspersó de las edades. Pero dados los valores de esas meddas, la sere es mu dsa s la maoría de las edades esá mu coceradas e oro al promedo uos pocos valores so mu dsos que s la dsrbucó se repare aproxmadamee por gual ere odos los valores de la varable. Para proceder al aálss de esa cuesó se defe las meddas de coceracó. Por úlmo, ambé proporcoa formacó relevae las meddas relavas a la forma del hsograma de frecuecas, e especal, a su smería o asmería a su maor o meor apuameo. La dsrbucó de las edades es más o meos smérca s el úmero de valores de la edad que esá por ecma por debajo de uo dado es aproxmadamee el msmo. S la dsrbucó de las edades es apuada, la maoría de los valores de la edad se cocera e oro a uo dado, meras que s es plaa, los valores esá meos cocerados. Para cuafcar esas caraceríscas de la dsrbucó, se ulza las meddas de forma... Meddas de poscó de edeca ceral o cerales..1. Meddas de poscó de edeca ceral La meda arméca, o más abrevadamee el promedo o la meda, es la medda de poscó de edeca ceral más ulzada. Su cocepo es mu secllo, pueso que se raa de reparr por gual el valor global o cojuo de las observacoes de la varable ere el úmero de daos dspobles. Se defe, por ao, por cocee ere la suma de los valores de la varable el úmero oal de daos. Al calcularla debe eerse e cuea que para obeer la suma de los valores de la varable es ecesaro sumar los producos de cada valor por el úmero de veces que se repe; es decr, por su frecueca absolua.

31 Aálss de ablas de daos esadíscos Para dar la defcó de la meda e érmos aalícos, se la represea como x, meras que, como sabemos, x hace refereca a cada valor de la varable x a la frecueca correspodee a cada valor. De esa forma: x1 x 1 x x x x 1 La meda ee e cuea, por ao, odos los valores observados de la varable. Es uo de sus valores, probablemee o observado, vee dado e las msmas udades de medda. Veamos ahora, co u ejemplo, cómo se calcula la meda arméca e el caso más secllo de dsrbucoes o agrupadas e ervalos. E la Tabla.1 se presea los daos relavos a la edad de los parcpaes e ua acvdad recreava ofrecda e u paquee urísco. Tabla.1. Edad de los parcpaes Edad (x ) º de parcpaes ( ) Para obeer el promedo de edad de los parcpaes e la acvdad, se cosrue la Tabla., e la que se añade a la Tabla.1, la columa que recoge los producos de los valores de la varable por sus correspodees frecuecas la fla que recoge las sumas de las frecuecas absoluas de los producos de los valores de la varable por sus frecuecas absoluas. 3

32 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Tabla.. Cálculos ermedos para la obecó de la meda x x Toal De la formacó que proporcoa la abla, se deduce el valor medo de la edad: x11 x x x x x ,08 50 Luego, los parcpaes e la acvdad ee ua meda de edad de 6 años, aproxmadamee. E el caso de las dsrbucoes agrupadas e ervalos, para el cálculo de la meda arméca se asume la coceracó e el puo medo de odos los valores cludos e cada ervalo, por ao, se ulza la marca de clase como valor represeavo. Tabla.3. Esablecmeos hoeleros segú el úmero de habacoes o de habacoes (L -1 L ) o de esablecmeos ( ) Por ejemplo, supogamos que se desea coocer cuáas habacoes ee, por érmo medo, los hoeles ubcados e u deermado mucpo, que se dspoe de la formacó recogda e la Tabla.3. 4

33 Aálss de ablas de daos esadíscos El procedmeo de cálculo es exacamee el msmo que e el caso de las dsrbucoes s agrupar, excepo porque e ese caso, ha de calcularse prevamee la marca de clase de cada ervalo, al como se muesra e la Tabla.4. Tabla.4. Cálculos ermedos para la obecó de la meda L -1 L x x ,50 3, ,50 1, , , , , , ,50 Toal 9 307,50 De la formacó que proporcoa esa abla, se deduce la meda de habacoes por hoel: x x 1 1 x... x 55 5 x 1 307,5 34,17 9 Luego, por érmo medo, los hoeles del mucpo ee uas 34 habacoes. El cálculo de la meda puede realzarse rápdamee co EXCEL. S los valores de la varable se repe ua sola vez, be porque o exse valores guales, be porque o se ha agrupado los valores comues, basa co roducr los daos suar el cursor e ua celda vacía, e la cual se ejecua la sruccó Iserar Fucó Esadíscas Promedo, especfcado el rago e el que se ha roducdo los daos. S las frecuecas absoluas o so uaras, la meda se obee sguedo las sruccoes que se presea e la Tabla.5, que proporcoará u resulado smlar al mosrado e la Tabla.6. E dchas ablas, x represea los dsos valores de la varable x e el caso de dsrbucoes s agrupar de las marcas de clase de los correspodees ervalos e el caso de dsrbucoes agrupadas. 5

34 Iroduccó a la Esadísca Descrpva El ejemplo umérco elegdo para lusrar el procedmeo correspode a los daos relavos a la edad de los parcpaes e la acvdad recreava ofrecda e el paquee urísco al que se refere la Tabla.1. Tabla.5. Procedmeo para la obecó de la meda co EXCEL A B C D 1 x x 18 =A*B (1) (1) 9 Toal (B:B8) () (C:C8) () 10 Meda =C9/B9 11 (1) Prevamee debe coparse la celda C () Iserar Fucó Maemácas Suma, para el correspodee rago de valores Tabla.6. Obecó de la meda co EXCEL A B C D 1 x x Toal Meda 6,08 11 La meda arméca ee alguas propedades eresaes, que so aplcables e dsos coexos. Ere oras, esá las sguees: 1. La suma de las desvacoes de los valores de la varable co respeco a su meda arméca es cero. 6

35 Aálss de ablas de daos esadíscos Esa propedad puede expresarse empleado el leguaje maemáco de la sguee forma: (x x) 1 0 E efeco: Suma de frecuecas absoluas = º de daos () x 1 (x x) (x x ) x x x x x Se mulplca dvde por Meda arméca ( x ). S a odos los valores de ua varable se les suma ua cosae k, la meda arméca queda aumeada e esa cosae; es decr, el valor de la meda se ve afecado por los cambos de orge. Para demosrarlo, parmos de ua dsrbucó (x, ), cua meda arméca esx. Cosderamos ahora ua ueva dsrbucó, resulado de efecuar u cambo de orge a la varable x, (x o, ). Segú esa propedad, la meda arméca de la ueva dsrbucó seráx o =x + k. E efeco: x o o x 1 (x k) 1 (x k ) 1 x 1 k 1 x k 3. S odos los valores de ua varable se mulplca por ua cosae k, su meda arméca ambé queda mulplcada por esa cosae; es decr, a la meda arméca le afeca los cambos de escala. Para demosrarlo, parmos de ua dsrbucó (x, ), cua meda arméca esx. Cosderamos ahora ua ueva dsrbucó, resulado de efecuar u cambo de escala a la varable x, (x e, ). Segú esa propedad, la meda arméca de la ueva dsrbucó seráx e = kx. 7

36 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E efeco: x e e x 1 (kx ) 1 k x 1 kx 4. La suma de los cuadrados de las desvacoes de los valores observados de la varable respeco a ua cosae cualquera k es míma cuado dcha cosae es la meda arméca. Esa propedad puede expresarse e érmos maemácos de la sguee forma: S (x k) 1 es míma s k x Para demosrar esa propedad, recordamos que la prmera codcó de mímo de ua fucó es que sea ula su dervada. E ese caso, la dervada de S co respeco a k debe ser ula. Por ao, se obee la dervada de S co respeco a k, se guala a cero se resuelve, para deducr el valor que ha de eer k para que la codcó de mímo se cumpla. S (x k) k 1 0 (x k) (x k ) x k x k k x 1 x 5. S de u cojuo de daos se obee p subcojuos dsjuos; es decr, que o ee gú elemeo e comú, la meda arméca del cojuo se relacoa co las medas armécas de los subcojuos a ravés de la expresó: x x 1 1 x... x P p p x 1 8

37 Aálss de ablas de daos esadíscos E efeco, cosderemos ua dsrbucó formada por los valores de ua varable, co la que se forma dos subcojuos que o ee valores e comú: el prmero de ellos, coee los j prmeros valores de la varable el segudo coee los j elemeos resaes, de al maera que el prmer subcojuo ee 1 daos el segudo = 1 daos 1 + =. x x 1 1 x x j j x j+1 j+1 x j+ j+ x 1 Eoces: x 1 x 1 j1 1 x j j1 x x 1 1 1x1 x j x Aalzamos, a couacó, alguos ejemplos práccos e los que resula úl aplcar esas propedades: 1. Cco empresaros dsos ha elaborado el presupueso para u deermado complejo urísco. Las valoracoes de cada uo de ellos, e mles de euros, ha sdo las sguees: Tabla.7. Presupuesos Empresaro Presupueso A 78 B 84 C 75 D 788 E 84 9

38 Iroduccó a la Esadísca Descrpva Como cálculo defvo se opó por cosderar la meda de esos cco valores, de maera que el presupueso se cfró e 797,6 mles de euros. Al revsar las cfras, s embargo, se observó que guo de los empresaros había edo e cuea los gasos de prmer esablecmeo, que ascede a 60 ml euros, que debería haber sdo sumados e odos los presupuesos propuesos aes de calcular la meda. Teedo e cuea esa formacó, cuál sería el presupueso correco? S a odos los valores de la varable se le debe sumar k = 60 ml euros (es decr, 60 udades, pueso que los presupuesos esá expresados e mles de euros) de gasos de prmer esablecmeo, x o x k = x + 60, lo que equvale a efecuar u cambo de orge de la varable. Comox o =x + k = 797, = 857,6, luego el presupueso alcazaría la cfra de 857,6 mles de euros.. Sabedo que u euro equvale a 166,386 peseas, cuál sería el valor del presupueso preseado como defvo e el aparado aeror expresado e mles de peseas? Se raa de u cambo e las udades de medda de la varable; es decr, de u e cambo de escala, pueso que cada valor de la varable e mles de peseas sería x = 166,386x = kx. Comox e = kx = 166,386 x 857,6 = 14.69,634. Luego el presupueso medo, ua vez efecuado el cambo de escala, sería de 14.69,634 mles de peseas. 3. De ua deermada dsrbucó de frecuecas se sabe que la suma de los cuadrados de las desvacoes de los valores observados de la varable respeco a ua cosae cualquera k es míma cuado k = 57. Qué formacó proporcoa ese dao? Sabemos que (x k) es míma cuado k =x. 1 Luego s esa expresó es míma cuado la cosae k es gual a 57, 57 es el valor de la meda arméca. 30

39 Aálss de ablas de daos esadíscos 4. E u parque de araccoes la meda de gasos por vsae es de 4 euros. Sabedo que los adulos gasa ua meda de 6 euros los ños gasa ua meda de 1 euros, calcule el porceaje de adulos de ños que vsa el parque. Sabemos que la meda de gaso del cojuo de los vsaes del parque es de 4 euros. Coocemos ambé los valores de las medas correspodees a dos subcojuos dsjuos formados, el prmero de ellos, por los adulos, cua meda de gaso es de 6 euros el segudo, por los ños, cua meda de gaso es de 1 euros. Falmee, ambé sabemos que el oal de vsaes del parque es la suma de los adulos los ños, = 1 +, luego s al parque era 1 adulos, los ños so = 1. La meda del cojuo de los daos se relacoa co la meda de los subcojuos a ravés de la expresó: x1 x x 1 Luego: 1 6 ( 1 )1 4 de dode: 4 = = 5 3 Y el porceaje de adulos sobre el oal es: P 1 = Es decr, el 60 por ceo de los vsaes del parque so adulos el 40 por ceo resae so ños. 31

40 Iroduccó a la Esadísca Descrpva E el aálss cuaavo del Secor Turísco ambé es de uso frecuee la meda arméca poderada, que se deoa comox w. La peculardad es que, e el cálculo de esa meda, se le asga a cada valor de la varable ua poderacó o peso (w ) dso de su correspodee frecueca absolua. La expresó geeral para su cálculo es la sguee: x w x1w1 x w... x w w w... w 1 x w 1 w 1 Veamos, co u ejemplo, e qué casos puede eer erés, cuál es el procedmeo de cálculo para la obecó de esa medda. Supogamos que se dspoe de los daos relavos al gaso daro esmado e euros de los ursas de ua deermada zoa, segú la caegoría a la que correspode el esablecmeo hoelero e el que se aloja. Tabla.8. Gaso daro Caegoría Gaso (x ) Tres esrellas 10 1 Dos esrellas 60 1 Ua esrella 30 1 S para calcular el gaso medo daro se ulza ua meda arméca smple, se deduce que por érmo medo los ursas gasa al día 70 euros, a que: x x 1 1 x x x Ahora be, supogamos que se dspoe, además, de la formacó recogda e la Tabla.9 respeco al úmero de hoeles de cada caegoría que se ubca e dcha zoa. Sabemos, por ao, que e la zoa se ubca 80 hoeles, de los cuales cas el 60 por ceo so de ua esrella, algo más del 30 por ceo so de dos esrellas sólo u 10 por ceo so de res esrellas. Para obeer u valor del gaso medo más 3

41 Aálss de ablas de daos esadíscos realsa, por ao, el de los ursas alojados e hoeles de ua esrella debe pesar e el cálculo de la meda el 60 por ceo del oal, el de los alojados e hoeles de dos esrellas el 30 por ceo del oal el de los alojados e hoeles de res esrellas el 10 por ceo del oal. Tabla.9. Gaso daro Caegoría o de hoeles Gaso (x ) Tres esrellas Dos esrellas Ua esrella Por eso, e u caso como ése, sería más apropado calcular ua meda arméca poderada, ulzado como poderacoes el úmero de esablecmeos de cada caegoría. De ese modo, se ee: x w x1w1 x w x 3w w w w x w 1 3 w , Luego el gaso medo daro sería de 48,38 euros, free a los 70 euros que se obee como meda arméca smple. Para la obecó de la meda poderada co EXCEL, el procedmeo es el msmo que el que se ulza para obeer la meda smple, susuedo e las correspodees sruccoes el valor de la frecueca absolua por el de los facores de poderacó para cada valor. Ora de las meddas de poscó de edeca ceral es la medaa, que se deoa como M e, es el valor de la varable que súa el msmo úmero de daos por ecma que por debajo de él, sempre cuado los valores de la varable esé ordeados de forma crecee o decrecee, como es habual. 33

42 Iroduccó a la Esadísca Descrpva S las frecuecas absoluas so uaras; es decr, cada valor de la varable se repe ua sola vez, be porque o exse valores guales, be porque o se ha agrupado los valores comues, para obeer el valor de la medaa ha de cosderarse dos suacoes: 1. El úmero de daos es mpar: e ese caso la medaa es el valor de la varable que ocupa el lugar ceral de la sere. Así, s los daos de la varable so, 5, 6, 9, 15 la medaa es M e = 6, a que ese valor deja dos daos por ecma dos por debajo de él.. El úmero de daos es par: e ese caso, e la dsrbucó ha dos valores cerales, guo de ellos es exacamee la medaa, so que, geeralmee, se oma como medaa la meda arméca de los dos valores. Por ejemplo, s los daos de la varable so 3, 4, 7, 9, 15, 0, 3, 4, los valores cerales so 9 15, que deja res daos por ecma res por debajo de ellos. La medaa será, pues, M e = (9 + 15) / = 1. Cuado se raa de obeer la medaa para dsrbucoes o agrupadas e ervalos co frecuecas absoluas dsas de uo, e prmer lugar, se calcula las frecuecas absoluas acumuladas correspodees a cada valor de la varable. A couacó, separamos la dsrbucó e dos mades, calculado el valor de ½. Falmee, se busca, e la columa correspodee a las frecuecas absoluas acumuladas, el prmer valor que es superor o gual a ½. S la frecueca absolua acumulada supera a ½, la medaa es el valor x de la varable correspodee a dcha frecueca. E el caso de que la frecueca absolua acumulada cocda exacamee co ½, covecoalmee se oma como medaa la meda arméca del valor x de la varable al que correspode dcha frecueca el sguee, x +1. Veamos u par de ejemplos, co los daos que fgura e las Tablas.10.11, que correspode al úmero de persoas que pracca ua deermada acvdad de empo lbre segú las horas semaales que le dedca, e dos esablecmeos dsos. 34

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