Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

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1 Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números c, la ecuación f(x) c tiene una sola solución? 4 x x a) f(x) 4 x x x 4 x Así pues, f(x) x 5 x x 4 4 x x x 4 4 x O b) El máximo valor de f(x) es, y el mínimo,, por lo que no hay ningún número x con f(x) 0. c) Cuando la recta y c corte a la gráfica de y f(x) en un solo punto, es decir, para c. A.. El coste mensual de alquilar un coche depende del número de kilómetros recorridos. Ricardo tuvo que pagar en julio 750 euros por 960 km, y en agosto, 00 euros por 500 km. a) Expresa el coste mensual como función de la distancia recorrida suponiendo que una interpolación lineal es el modelo adecuado. b) Cuánto tendría que haber pagado Ricardo hubiera recorrido 00 km? c) En la gráfica de la función lineal que has obtenido, qué representa la ordenada en el origen? a) Llamando c al coste y d a la distancia, es c(960) 750 y c(500) 00, y al suponer que se trata de una n función lineal, es c(d) m d m y n 70, con lo que c(d) d 70. b) El alquiler habría ascendido a c(00) 870. c) La ordenada en el origen, 70, representa el pago fijo que hay que hacer al alquilar el coche con independencia de los km que hayas recorrido. 00 O 00 A.. Dibuja una poble gráfica para una función f definida en R que verifique las guientes propiedades: f es constante en los intervalos (, ] y [5, ). No existe lim f(x). x Existe lim f(x), pero f no es continua en x 4. x 4 O 0 Solucionario

2 A.4. Dibuja la gráfica de la función f(x) ( x ) obteniendo previamente sus elementos más gnificativos (dominio, cortes con los ejes, gno y asíntotas). No es necesario que utilices la derivada en este ( x ) problema. O D(f) R {} f(x) 0. Cortes: eje y: 0, 4 9, eje x: (, 0) Asíntota vertical: x con lim f(x) y lim f(x) x x Asíntota horizontal: y Corte con la asíntota horizontal: y ( x ) ( x ) (x ) (x ), es decir, x x, x 5 y No tiene asíntotas oblicuas. A.5. La gráfica de la función f está representada en la figura: O a) Halla el dominio y el recorrido de f. b) Calcula, existen, lim f(x), lim f(x), y lim f(x). x x x c) Determina y clafica los puntos de discontinuidad de f. d) Estudia f tiene asíntotas y, en su caso, halla sus correspondientes ecuaciones. a) D(f) R {, } R(f) R {} b) lim f(x) ; lim f(x) y lim f(x) no existen, pues difieren los laterales. x x x c) x es una discontinuidad evitable, x es una discontinuidad de salto finito (discontinuidad inevitable) y x es una discontinuidad de salto infinito (discontinuidad inevitable). d) Tiene una asíntota vertical en x y una horizontal en y. A.6. Calcula los coeficientes a, b y c para que la curva y x ax bx c pase por el origen y en el punto (, ) su tangente sea paralela a la recta 6x y 0. Si f(x) x ax bx c, nos dicen que f(0) 0, f() yf(), c 0 así que a b. a b De las dos últimas ecuaciones, obtenemos a, b, así que la curva en cuestión es y x x x. Solucionario 0

3 Solucionario A.7. Condera la función f(x) x x. a) En cuántos puntos de su gráfica se verifica que la tangente es horizontal? b) Calcula las abscisas de los puntos en los que la tangente es paralela a la recta y x. c) Calcula la ecuación de la tangente paralela a la recta 4x y 5 0. d) Puede haber rectas tangentes a la gráfica de f con pendiente mayor que 000? O f (x) = x + x f(x) x 4x. a) Como f(x) 0 tiene dos soluciones, hay dos puntos en los que la tangente es horizontal. b) Debemos buscar las x con x 4x x, x. c) x 4x 4 x,. Recta tangente: y 4x n con 8 n, n. d) Sí, pues lim f(x). x A.8. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y x 4 x en el punto de corte con el eje de ordenadas. (x ) (x 4)x (x ) f(x) f(0) 4 y la ecuación de la tangente en (0, ) es y x. 4 x 4 x A.9. En las páginas de un libro ha de imprimirse un texto que ocupa 96 cm. Los márgenes laterales han de ser de cm, y los márgenes superior e inferior, de cm cada uno. Calcula las dimenones de cada página para que la cantidad de papel necesario sea mínima. Llamando x e y a las dimenones de la página, debemos minimizar el producto xy endo (x 4)(y 6) 96, por lo que xy 6x 4y 7, es decir, y 7 6x x 4 y la función minimizar es f(x) 7 x x Así pues: f(x) 6x con x 4. 4 (x 4)(7x 6x) (7x 6x ) (x 4) por lo que f(x) 0 6x 48x 88 0, es decir, x 8x 48 0, o sea, (x )(x 4) 0, con lo que la única solución razonable en el contexto del problema es x. Si 4 x, f(x) 0, y x, f(x) 0, por lo que en x se presenta un mínimo que corresponde a unas dimenones de la página x, y cm Solucionario

4 OPCIÓN B B.. a) Escribe la función f(x) x x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 5? c) Hay algún número c para el que la ecuación f(x) c tenga una sola solución? x x x a) f(x) x x x f(x) x x x x 4 x x x O b) Como la recta horizontal y 5 no corta a la gráfica, no hay valores de x para los que f(x) 5. c) Para c, la ecuación f(x) c tiene una única solución. Si c ó c tiene infinitas soluciones y c, no tiene solución. B.. El gerente de una fábrica de muebles observa que el precio de facturar 0 llas diarias es de 00 euros, y el de facturar 00 llas diarias, es de a) Expresa el precio de facturación como función del número de llas en el supuesto de que una interpolación lineal sea el modelo adecuado. b) Cuál será el precio de facturación de 00 llas? c) Para la gráfica de la función lineal que has obtenido, qué representa la ordenada en el origen? a) Llamando n al número de llas y P al precio de facturación, es P(0) 500 y P(00) 5800, y al suponer que se trata de una función lineal es P(n) a n b, por lo que 0a b 500 y 00a b 5800, de donde, restando, es a y b , por lo que el precio de facturación, P, en función del número de llas facturadas, n, es P(n) 0n O 00 b) El precio de facturación de 00 llas es P(00) 800. c) La ordenada en el origen, 00, representa el gasto fijo, independiente del número de llas facturadas. El hecho de que el valor obtenido sea negativo, indica que el modelo lineal no es el adecuado para este problema. Solucionario 05

5 Solucionario B.. Dibuja una poble gráfica para una función f definida en R que verifique las guientes propiedades: f es creciente en (, 0] y [5, ). f presenta un máximo relativo en el punto de abscisa. No existe lim f(x) y no es continua en x, aunque en este punto sí que existe límite. x 4 O 4 B.4. Dibuja la gráfica de la función f(x) x x obteniendo previamente sus elementos más gnificativos ( x 4) (dominio, cortes con los ejes, gno y asíntotas). No es necesario que utilices la derivada. D(f) R {4} Escribiendo f(x) (x )(x ) (x 4) (, 0) y (, 0). Presenta una asíntota vertical en x 4 con lim f(x) y x 4 lim f(x) y, al tratarse de un cociente de polinomios de igual grado e x 4 iguales coeficientes principales, la recta y es asíntota horizontal. y Cortes con la asíntota horizontal:, así que (x )(x ) (x 4) y x x x 8x 6, por lo que x 4. 5 No tiene asíntotas oblicuas., observamos que corta al eje de ordenadas en 0, 8 y al eje de abscisas en O B.5. La gráfica de la función f está representada en la figura: a) Halla el dominio y el recorrido de f. b) Calcula, existen, lim f(x), lim f(x) y lim f(x). x x x 0 c) Determina y clafica los puntos de discontinuidad de f. d) Estudia f tiene asíntotas y, en su caso, halla sus correspondientes ecuaciones. a) D(f) R {0}; R(f) (, ) [, ) b) lim f(x), lim f(x) y lim f(x) no existen, pues difieren los laterales. x x x 0 c) x y x son discontinuidades de salto finito y x 0 es inevitable de salto infinito. d) Tiene una asíntota vertical en x 0 y una horizontal en y. 5 O 5 B.6. De la gráfica de la función polinómica f: R R dada por f(x) x ax bx c, se sabe que pasa por el origen de coordenadas y que en los puntos de abscisas y tiene tangentes paralelas a la bisectriz de los cuadrantes. o y 4. o Obtén a, b y c. Nos dicen que f(0) 0, f() y f(). Como f(x) x ax b, tenemos que f(0) 0, o sea, c 0. a b Obtenemos a, b 0, así que la curva es f(x) x x 0x. 7 6a b 06 Solucionario

6 B.7*. Condera la función f(x) x x x. a) Calcula f(x). b*) Calcula el valor de f(x) en los puntos de corte de la función con el eje de ordenadas. c) Obtén las abscisas de los puntos de la gráfica de f en los que la tangente es horizontal. d) Obtén las abscisas de los puntos de la gráfica de f en los que la tangente es paralela a la recta y x 7. e) Hay algún punto en la gráfica de f en el que la tangente sea paralela a la recta x y 0? O f (x) = x x + x + a) f(x) x x b*) El punto de corte con el eje es (0, ). La derivada en el (0, ) vale f(0). c) f(x) 0, es decir, x x 0, x, x. d) f(x), así que x x 0, x 0, x. e) Debería ocurrir que x x, o sea, x x 5 0, que es una ecuación n raíces reales, por lo que no hay ningún punto de esta gráfica en el que la tangente sea paralela a la recta x y 0. B.8. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y x en el punto de abscisa 4. x El punto de la curva de abscisa 4 tiene de ordenada 4 4. x x f(x) x x 4 5, f(x), por lo que f(4) y la ecuación de la tangente pedida es x x y x n con n, es decir, n 6 4 y la ecuación es y 5 x 6 4. B.9. Un granjero quiere reservar una parcela rectangular de 800 m de área para guardar su ganado. Para mayor comodidad a la hora de alimentarlo, decide dividir la parcela en zonas con vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. Calcula las dimenones de la parcela para que el vallado total sea lo más barato poble. La tuación es como la de la figura. Debemos hacer mínima la suma x 4y con xy 800. Así que hay que minimizar la función f(x) x 7 00 con x 0; f(x) x 600, x 60, x x x 60. Por el contexto del problema descartamos la solución x 60 y observamos que 0 x < 60, f(x) < 0, por lo que f es decreciente, y x 60, f(x) 0, con lo que f es creciente, presentando, pues, un mínimo en x 60, que corresponde a unas dimenones de la parcela de x 60 m, y m. 60 x y Solucionario 07

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