Guía de trabajos Teórico- Práctico Nº 3

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1 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Guí de trjos Teório- Prátio Nº UNIDD III:.. Cuerpo de los números reles... Espio vetoril. Vetores en R n.operiones en R n. Propieddes del espio vetoril. Cominión linel. Dependeni e Independeni linel. Propieddes... Mtries. Mtries espeiles. Operiones. Espio vetoril de mtries. Produto de mtries. Propieddes. Mtriz trspuest.. Mtriz invers. Operiones elementles en un mtriz. Mtries equivlentes. Método de Guss Jordn. Rngo de un mtriz.. pliiones eonómis.

2 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries.. Cuerpo de los números reles Prolem: Plnte esriiendo ls operiones que se plin en el siguiente prolem: lerto tiene sldo negtivo de 7. pesos en su uent nri. Pr urir est deud deposit el % de su ntiipo de $. y, más trde, onsigue que un migo deposite un heque por 6.,7 dólres. Si el dólr fue tsdo por el no en $,8, después de relizr los depósitos, logró quedr on sldo fvor? L reoluion no es difiil si se se que operiones intervienen.pero en otrs situiones se requieren de propieddes que umpln ls operiones. Por ejemplo: Supongmos nos piden reduir l siguiente expresion otr equivlente, plindo xioms del Cuerpo de los números Reles:. ( - + ) ( ) + Es prole que Ud no onoz del todo estos xioms, pero se nim resolver Responde: i- Cómo lo hrí? he flt ser los vlores de y de pr tl ojetivo? ii- Qué resultdo se otiene? Qué signifido le d? iii- Cuánts operiones entre números reles onoes? Se pueden deduir uns de otrs? Pr responder ests y otrs uestiones soids, presentremos l estrutur de Cuerpo de los Números Reles. Comenzmos on definir dos leyes de omposiion intern en R : sum + y produto. En l siguiente tividd en un udro hy un listdo de xioms de d operión. tividd : Complet el udro olondo l form simóli orrespondiente los xioms de d operión definid, usndo,, omo representión de números reles ulesquier. xioms de l sum Form simóli soitiv Existeni de Neutro Existeni de opuesto Conmuttiv xiom: Es un enunido mtemátio que NO neesit demostrion. Son proposiiones verdders soluts que no neesitn ser demostrds por ningun metodo.

3 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries xioms del produto Form simóli soitiv Existeni de Neutro Existeni de inverso Conmuttiv Distriutiv respeto de l sum En l siguiente tividd se propone propieddes, que se pueden demostrr prtir de los xioms( no lo hremos) tividd : Propone en ejemplo de d propiedd o definiion:, Ejemplo Prop.. = Prop. -. =- Prop. (- ). = -(. )=.(- ) Prop. -( + ) = - +(- ) Def.: - = / Def.: : =. Prop. (. ) - = En resumen: El onjunto R on ls operiones definids: + y., on los xioms y ls propieddes ontituyen un estrutur lgeri llmd CUERPO CONMUTTIVO y lo notmos on ( R, +,.) En est unidd sus elementos los llmremos eslres, y los notremos on letrs griegs tividd : Demostrr plindo xioms y/o propieddes : i- + - = ii iii- + + = iv- ( - + ) =

4 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries.. Vetores y Espio vetoril Introduión: Vemos otr estrutur lgeri. Oserv los siguientes onjuntos: R = { (x, y) / x R, y R} (onjunto de los pres ordendos de números reles) R = { (x, y, z ) / x R, y R, z R} (onjunto de ls terns ordends de números reles) R = { (x, x, x,x ) / x R, x R, x,x R}.. R n = { (x, x, x,., x n ) / x R, x R,. x n R} (Ls n-upls ordends de números reles Qué operiones, xioms y propieddes se pueden plir entre los elementos de estos onjuntos? Pr ordr estos diferentes onjuntos y estruturrlos de un sol form generl, tendremos º que onvenir en definir un solo onjunto que los represente en l definiión xiomáti. Llmremos d uno de estos, Conjunto de vetores y lo representremos on l letr V y un elemento ulquier de ellos lo notremos on v. prtir de un onjunto ulquier de vetores V, un uerpo (K,+,. ) de eslres y xioms, definiremos Espio Vetoril ESPCIO VECTORIL Ddos V (onjunto de vetores), R onjunto de eslres, y ls operiones: + : sum de vetores ( ley de omposiión intern en V ) : produto de un eslr de K por un vetor de V ( Ley de omposiión extern en V), Definimos Espio Vetoril l utern ( V,+, R, ), si se umplen los xioms siguientes: ) Respeto de l sum: soitiv: (u + v) + w = u + (v + w) Conmuttiv: u + v = v + u Vetor nulo: u + v = u Vetor opuesto: u + (-u) = v ) Respeto del produto de eslr por vetor: (u + v) = u + v ( + ) u = u + y u (. ) u = ( u) u = u tividd : Pror que el onjunto R tiene estrutur de Espio Vetoril on l sum usul sore el uerpo R

5 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Oserv los siguientes onjuntos finitos de vetores: ={ (,-), (, -), ( -, 8)}, = { (,, ), ( -,, ) (, -8, ) }, C= { (,), (,) } En que onjunto de vetores est inluido d uno? Qué relión enuentrs entre los vetores de un mismo onjunto? Est ultim pregunt l podemos responder on propiedd y en form ms mpli, si previmente nlizmos ls siguientes definiiones: SUESPCIOS VECTORILES Se W V y W Ø. W es suespio de V (espio vetoril) si umple: Pr todo u, v W u + v W Pr todo u W y pr todo R (uerpo de los números reles) u W Por ejemplo: W={(x,-x) / x R } es un S.E.V. de R y W COMINCIÓN LINEL Un vetor v es un ominión linel de los vetores v, v,..., v n, si, pr unos iertos eslres,,..., n (llmdos oefiientes), se umple: v = v +.v n. v n Se die tmién que el vetor v depende linelmente de los vetores v, v,..., v n. Ejemplo: El vetor (, -, -) es un ominión linel de los vetores (, -, ) y (,, ), y que se umple que existen eslres y -8, tles que: DEPENDENCI LINEL. (, -, ) 8. (,, ) = (, -, -) Dd l ominión linel igul l vetor nulo: (Donde,,..., n son eslres y v, v,..., v n y v vetores) v + v n v n = v Si =,=... = n =, los vetores son LINELMENTE INDEPENDIENTES. Si existe lgún i distinto de ero los vetores son LINELMENTE DEPENDIENTES. SE DE UN ESPCIO VECTORIL W es un se de V (espio vetoril) si y solo si: Los vetores de W son linelmente independientes y los vetores de W genern V. Ejemplo: En el espio R, los vetores nónios (,) y (,) son un se.

6 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Ejeriios : - Ddos los vetores: Complet: u (,,6) v (,, ) w (,,6) i) El opuesto de v se simoliz on... y su vlor es ii) El vetor,. w es.. iii) Expres el vetor u omo el produto de un eslr por otro vetor. iv) L sum de w. u es el vetor.. vi) por el vetor u es.. vii) Si se pli l propiedd distriutiv de - on respeto l sum de u y v se otiene:. viii) Los vetores nónios de R son: 6- Efetur l ominión linel: ) v + v si =, = - y v = ( -, ), v = (,-) ) v + v + v si = -/, = = - y v = (-,6, -), v = (,,-), v = (-,,) ) trivil si v = (,-,8), v = (-,-,) 7- Enontrr los eslres, si es que existen, pr que el vetor ( -, -, 7) se ominión linel de: ) los vetores nónios de R. ) los vetores (,, -7) y (-, -, 7) ) los vetores (-, -, ) y (, -, ) 8- nlizr si el vetor u es un ominión linel de los vetores v i ) u (, - 7 ), v ( -, ), v (, - ) ) u ( -,), v (, ), v (,), v (,) ) u (, -, ), v (,, ), v (, -, ), v ( -,, - 6 ) 9- nlizr l dependeni linel de los siguientes onjuntos de vetores. ( si son L. I. o L. D.) ),,, ),,, ),,,,,,,, d) { (-,, ), (,, ), (,, ) } 6

7 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Prolem I: Mtries En un supermerdo grnde, se h lnzdo un ofert de js de sls de tomte, pquetes de zúr y de hrin. Un señor ompro js de slss de tomte, pquetes de zúr y un pquete de hrin, gstándose $7,7.Otr ompró un j de tomte, pquetes de zúr y devolvió un pquete de hrin que perdí, pgó en totl $,, y otr ompró pquetes de zúr y devolvió pquetes de hrin por estr venidos, se gstó $,7. En que onsistió l ofert? L respuest l prolem se redue plnter un sistem de euiones: x y z x y z y z 7,7,,7 Cundo uno trj on sistem de euiones lineles ordendmente, oper siempre on los mismos símolos. sí l informión esenil qued perfetmente expresd: 7,7,,7 Est form de expresr el prolem propuesto es un ejemplo de mtries. Prolem II Un ompñí de utomóviles reoge sus vents en un mtriz. En ls fils se reflejn los distintos modelos: XL, DELT, LUXE y Mx. En ls olumns se reogen los distintos olores: rojo, zul, gris y negro. Se onoen los dtos de los últimos dos ños ( en uniddes de ien): 6 8 Vents 7 7 Vents 9 6 Se pide: ) Durnte 7 Cuántos ohes del modelo DELT zul se vendieron? 6 ) En qué ño se vendieron ms uniddes del modelo XL negro? ) En qué ño se vendieron ms uniddes del modelo LUXE? d) Se plnte umentr el % de ls uniddes XL del ño 9 y % de ls Mx, el resto sigue igul. En ese so Cuánts uniddes se venderán en el ño? L respuest no es difíil si entendemos que le llmmos fils y que olumns, demás no son ls únis mtries on ls que trjremos. Qué es un mtriz? Qué tipos hy? Vemos lguns definiiones que nos yudrán omprender el tem. 7

8 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Mtriz de orden : Es un rreglo o disposiión retngulr de números (pueden ser reles o omplejos), los ules se hlln uidos en m fils y n olumns. Los números en un rreglo se denominn elementos de l mtriz y los denotremos genérimente on pr designr que fil y olumn he refereni según su uiión. Notión: Otr form simóli de notr l mtriz es: = ) on i =,,..m y j =,, n ( L mtriz es otro tipo de vetor El orden o tmño de l mtriz se esrie m x n. Donde: m indi el número de fils y n el número de olumns de l mtriz. l onjunto de tods ls mtries de m fils x n olumns lo notmos on R sí si un mtriz tiene ese orden, diremos que : R m x n tividd : ) Expres l mtriz de orden x donde todos los elementos de l digonl prinipl sen igules - y el resto se. si Es deir : = ( ij ) x donde se define = si ) Esriir ls mtries definids de l siguiente form: R x, = ( ij ) on = (-) i j.(i+j) R x, = ( ij ) on ij = i si i j si i j j tividd : Un m de s dquirió en el merdo ierts ntiddes de pps, mnzns y nrnjs un preio de, y $ / kg., respetivmente. El importe totl de l ompr fueron $ 6. El peso totl de l mism es de 9 kg. demás, ompró kg. más de nrnjs que de mnzns. Utilizr un mtriz pr onsignr l informión esenil que se rind en el prolem. 8

9 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Iguldd de Mtries mx n Sen, R Diremos que l mtriz es igul l mtriz si y solo si tienen el mismo tmño u orden y sus elementos orrespondientes son igules. Simólimente: = i j i, j Vemos su pliión en el siguiente sistem de euiones: x x x y z y z y z Que lo podemos expresr omo l iguldd: x x x y z y z y z tividd : ) nlizr si M = N y N = P, siendo: M 6, N 6 y P x x x y 6y y ) Clulr el vlor de ls inógnits y siendo que se umple l iguldd:, tividd : (Inventrio de un lirerí) El inventrio de un lirerí de l rrer de Cienis Eonómis es: Liros de: Dereho 8, Contilidd 6, mtemáti y dministrión puntes de : dereho, Contilidd, Mtemáti 8 y dministrión 6 ) Represente medinte un mtriz, el inventrio de es lirerí. ) Ddo que un mtriz tmién es un vetor, expresr omo el produto de un eslr por un mtriz en form onveniente, de mner que los elementos de est últim sen números de un dígito. ) Si l iliote de l Universidd tiene el % de ese mteril Cuál es l mtriz en ese so? 9

10 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries. Mtries Espeiles Se onsiderrán ierts lses de mtries que tienen forms espeiles. Mtriz Nul: Es un mtriz uyos elementos son todos nulos, y l notmos on Simólimente: Ejemplo: x R x Mtriz Cudrd: Cundo m = n ( el número de olumns y el número de fils oinide), n n y l expresmos R n x n n n nn Los elementos,,,, n n se uin en lo que llmremos digonl prinipl de. Otr form de expresr l mtriz udrd es esriir en un fil ls n olumns: Not: Si m (,,,..., i,..., n ) on n, l mtriz se llm Mtriz Retngulr. j n Mtriz Identidd o Unidd: Es un mtriz udrd uyos elementos de l digonl prinipl son igules (uno) y los restntes elementos son nulos. Simólimente: Se n x n I R, n I n, si, si i i j j I Ejemplo: n I Mtriz Digonl: Es un mtriz udrd uyos elementos que no están en l digonl prinipl son nulos. Simólimente: D R nxn d D es mtriz digonl d Ejemplo: D D dnn En prtiulr: en R nxn l mtriz identidd y l mtriz nul son mtries digonles. Mtriz Eslr: Es un mtriz digonl on elementos igules. Simólimente: Se E nxn, E es Mtriz Eslr, si i, si i j j, E

11 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Mtriz Tringulr Superior. n x n R es Tringulr Superior, Ejemplos: 6, 6 n n nn Not: No se impone ningun ondiión sore los elementos situdos en l digonl prinipl o por enim de ell. Estos tmién pueden ser eros Mtriz Tringulr Inferior. Ejemplos: n x n R es Tringulr Inferior, 6, 6 n n nn Not: No se impone ningun ondiión sore los elementos situdos en l digonl prinipl o por dejo de ell. Pueden tmién ser eros Mtriz Simétri: R n x n es Simétri j i i,j,,..., n Ejemplos:, C Mtriz ntisimétri: R n x n es ntisimétri j i i,j Ejemplos:,, N Not: Los elementos de l digonl prinipl de tod mtriz ntisimétri son nulos siempre. tividd : Indi el orden y el tipo de mtriz : C 6 6 D M L

12 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Prolem III: Don ntonio tiene dos estiones de serviio, un en el entro y otr en el sur de l Ciudd. Durnte el primer fin de semn de myo, ls estiones registrron ls vents de omustiles representds por ls mtries: diesel sup er sup er plus diesel super super plus entro sur entro sur ) Hlle l mtriz que represente el totl de vents relizdo en los dos dís. ) Si el lunes ls vents son siempre el % ms de l del dí nterior Cuál result ser l nuev mtriz? Si podemos responder ests pregunt es porque estmos sumndo mtries y multiplindo Eslr por mtries: Sum de Mtries Sen y mtries del mismo orden. Se puede otener otr mtriz C = +, l sumr los elementos de on los elementos orrespondientes de. Simólimente: n n n n n n n n n n m m mn m m mn m m mn mn m mn En funión de sus términos genérios result: luego + = C De form nálog se define: REST de mtries: C i, j : Ejemplo: L y M 8 L M 8 Not: No es posile Sumr o Restr mtries de tmños u orden diferentes. Sen m x n R y R Produto de un Eslr por un Mtriz. Si es ulquier mtriz y es ulquier eslr entones el produto. es l mtriz que se otiene de multiplir por d elemento de. Ejemplo: Sen: y -.. 9

13 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Simólimente:.. m m n n mn... m... m... n n mn Propieddes de l Sum de Mtries. S: L Sum de mtries es soitiv.,, C K : ( ) C ( C) S: Existe Neutro respeto de l Sum de mtries. Es l mtriz nul R / R : S: Existe Inverso ditivo pr d mtriz respeto de l sum de mtries R, R / : ( ) ( ) S: L sum de mtries es Conmuttiv, R : Propieddes del Produto de un Eslr por un mtriz. Pr: El Produto de un Eslr por un Mtriz es soitiv Mixt. R,, R : (. )..(. ) Pr: Distriutividd del produto en R,, R : ( m xn R respeto de l sum en R. ). Pr: Distriutividd del produto en R respeto de l sum en R, R :.( ).... m xn R. Ests propieddes onfieren l onjunto ( R, +, R,. ) l estrutur de E.V. tividd : Efetur C + D,, C,.D y, on ls mtries,, C y D : 7 6 C D 6 8 tividd 6: Siendo que: = = 6 7 ) Otener el opuesto de d mtriz. ) Verifir l propiedd onmuttiv de l sum. ) Resolver de dos forms diferentes.(. -. )

14 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries tividd 7: Determinr l mtriz X R x en l siguiente euión mtriil:.x - I Prolem III: GM IM C El número de iones que posee ndrés está ddo por l mtriz 6 l ierre de l ols, ierto dí los preios ( en dólres por ión) de ests iones es: GM IM C Cuál será el vlor totl de ls iones de ndrés ese dí? L respuest este prolem est en el produto de. que es posile por el orden de d uno.. = 6. = = Vemos en generl omo se efetú l multipliión de mtries Produto de Mtries Sen m x p p x n R, R on ( ik ) y ( kj ) Definimos l mtriz produto C / C =( ij ), de l siguiente form: p. C... K i k.k j i. j i. j....j j i p.p j Es deir:. m m p p mp. p p n n pn m m n n mn C Pr otener se reliz el produto de l fil de l primer mtriz por l olumn de l segund mtriz, es deir:..... p.p Pr otener se reliz:..... p.p (El produto de l fil de l mtriz por l olumn de l mtriz ) Ejemplo:.. x x..( ) ( )..( ) ( )...( ). ( ).( ).

15 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Condiión Neesri pr el Produto de Mtries El produto de dos mtries es posile siempre que el número de olumns de l primer mtriz se igul l número de fils de l segund mtriz ftor. Es deir, si l mtriz es de orden m x p y l mtriz es de orden p x n, entones es posile otener otr C =. de orden m x n. mxp pxn igules tividd 8: Un onstrutor he un urnizión on tres tipos de viviends: S(senills), N(normles) y L(lujo). Cd viviend de tipo S tiene ventn grnde, 7 medins y pequeñ. Cd viviend de tipo N tiene ventns grndes, 9 medins y pequeñs. Y d viviend de tipo L tiene ventns grndes, medins y pequeñs. Cd ventn grnde tiene ristles y 8 isgrs; d ventn medin tiene ristles y isgrs; y d ventn pequeñ tiene ristl y isgrs. ) Esriir un mtriz que desri el número y tmño de ventns en d tipo de viviend y otr mtriz que exprese el numero de ristles y el número de isgrs de d tipo de ventn. ) Clulr un mtriz, prtir de ls nteriores, que exprese el número de ristles y isgrs neesrios en d tipo de viviend. Propieddes del Produto de Mtries. Prop._: El Produto de Mtries es soitiv. m x p p x n n x t R, R, C R : (. ). C.(. C) Prop._: Distriutividd del Produto respeto de l Sum de mtries. m x p p x n p x n R, R, C R :.( C ).. C ) m x p p x n Prop._: R, R, R :.(. ) (. )..(. ) Prop. : Si nxn, I n es el neutro pr el produto:.i n = I n. = Oservión: En generl, el produto de mtries no es onmuttivo, es deir :.. tividd 9: Clulr los produtos:.c, E y E.I, siendo : = C = E Responde:.C = C.?

16 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries tividd : Enontrr un mtriz X que verifique X =, siendo: 6 tividd : Clul el vlor de l inógnit pr que se verifique:. k Trnspuest de un Mtriz L Trnspuest de un mtriz m x n R, es un mtriz n x m R que se otiene l permutr fils por olumns en l mtriz. Simólimente: es l Trnspuest de j i, i,j Denotremos l mtriz trnspuest de omo t Ejemplo:, l trnspuest de es: T tividd : Sen ls mtries: = y = Verifique que : i) ( + ) t = t + t ii) t. t = (.) t iii) ( ) t = ( t ) Propieddes de l Trnspuest. Prop_: L Trnspuest de l Trnspuest de un mtriz es l mism mtriz. Prue. ( T T T ) j i T T Prop_: L Trnspuest de l sum de mtries es igul l sum de ls Trnspuests T T T ( ) Prue. T T T T ( ) j i j i j i ( ) ( ) Prop_: L Trnspuest del produto de un eslr por un mtriz, es igul l produto del eslr por l Trnspuest de l mtriz. T T.. Prue.. T T. j i ( ) Prop_: L Trnspuest del produto de mtries es igul l produto de ls Trnspuests en orden permutdo. T T T (. ). Not: Tmién se die que un mtriz es simétri si oinide on su trnspuest ( = t ) y Es ntisimétri si oinide on su trnspuest mid de signo ( = - t ) 6

17 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries tividd : Se = Si se multipli ½ por l sum de ls mtries y t Qué se otiene? Prolem IV: Ddo el siguiente sistem linel de euiones: x y z 6 x 6y z x y 7z Si llmmos on x X y l mtriz olumn de ls inógnits z ) Expresr en form de mtriil usndo dos mtries ms y de form tl que.x = ) Cómo podemos resolver est euión mtriil utilizndo el produto? Pr ontestr est últim pregunt deemos plir l invers de l mtriz. Se nxn R y. Invers de un Mtriz nxn R ( mtries udrds) tiene invers si y solo si existe otr mtriz del mismo tmño tl que.. I n Si existe, se denomin Invers de ( su vez es l invers de ) Simólimente: n x n n x n R es Inversile R /.. I Not : l invers de, tmién se l denot on : Por lo que l definiión qued:.. Ls mtries que tienen invers se llmn inversiles o no singulres I n n tividd : Verifir que C es l invers de plindo l definiión. = 6 C = / / 7

18 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Trnsformiones u operiones elementles en un mtriz: ) Cmir el orden de ls fils. ) Multiplir un fil por un eslr diferente de. ) Sumr lgun fil un ominión linel de ls demás. Equivleni de Mtries Sen, m x n K Diremos que l mtriz es Equivlente l mtriz si y solo si puede otenerse efetundo un número finito de operiones elementles sore l mtriz. Simólimente: ~ Cálulo de l mtriz invers: Método de Guss Dd un mtriz nxn, se prte de est y se olo su dereh l identidd I n : ( I n ) - Se elige de un elemento distinto de omo pivot de ulquier fil. (preferentemente ). - Se opi l fil que pertenee el pivot y se onvierten en los elementos de es olumn. - los restntes elementos (inluidos l identidd) se le relizn operiones elementles por fils, hst onvertir en otr equivlente, sin mir el orden de ls olumns. - Luego se elige otro pivot que tiene que ser de otr fil diferente del pivot nterior. Si el elemento seleiondo omo pivot es, se lo onvierte previmente multiplindo tod l fil por su inverso multiplitivo. Los restntes elementos no se modifin en est operión. - Luego se sigue l seueni y dds, hst que no queden ms pivot que elegir y se trnsforme, de ser posile, en l identidd I n. su vez l mtriz I n se trnsform en otr mtriz que es preismente l invers de, o se -. En definitiv el proeso se resume en: ( I n ) ( I n - ) Not: Si el proeso termin ntes de poder elegir todos los pivot neesrios, entones no tiene invers. tividd : plir el proeso de Guss l mtriz C y pror que su invers es. = C = 8

19 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries tividd 6: Dds ls siguientes mtries otener, si existe, l invers plindo el método de Guss Jordán = - C - tividd 7: Determine l mtriz X que stisfe l siguiente euión:. X Propieddes de ls Mtries Inverss. Prop._: Uniidd de l Mtriz Invers. n xn nxn Si R y C R son, ms, inverss de l mtriz n xn R, entones C Prop._: Invers del Produto de Mtries. y son Inversiles (. ). Prop._: Si n xn R es invertile, entones T tmién es invertile. ( T T ) ( ). Prop._: L Invers de l Invers de un mtriz es l mism mtriz. nxn R : tividd 8: Clulr l invers de - siendo que ( - ) t = Rngo de l mtriz Es el número de vetores nónios (fils o olumns) distintos que se enuentrn en un mtriz o en sus equivlentes, y lo denotremos on r() o (). Propiedd: Ls mtries equivlentes tienen igul rngo. Los vetores nónios no son otr os que los vetores olumns de l mtriz identidd I n, luego de l pliión del método de Guss-Jordn y ellos son:,,..., Ejemplos: M C r(m) = y r(c)= 9

20 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries tividd 9: Clulr el rngo de ls siguientes mtries: C En resumen: Conjuntos V y K xioms Operiones + y ) xioms de l +: * soitiv * Conmuttiv * Elemento nulo * Vetor opuesto R (,) (-,6) ) xioms del * Distriutivs * soitividd mixt * neutro del produto C) Propieddes R x R n (,) 6 (,,.., 8) R x (,,,7) (,,..,) (,,,.., ) 7 9 6

21 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries. Ejeriios on enunido eonómio - Un empres nionl tiene utro distriuidors, un en d región (norte, entro, sur y Cuyo). Ls vents de tres de sus produtos por región, expresds en millones de dólres, fueron: ño ño Región, produto :.6 Región, produto :.6 Región, produto :. Región, produto :. Región, produto :. Región, produto :.9 Región, produto :.8 Región, produto :. Región, produto :. Región, produto :. Región, produto :.6 Región, produto :. Región, produto :.8 Región, produto :. Región, produto :. Región, produto :. Región, produto :.8 Región, produto :.6 Región, produto :.9 Región, produto :. Región, produto :.8 Región, produto :.8 Región, produto :. Región, produto :. I- Orgnizr los dtos nteriores de modo que l informión se presente en form más lr. II- Si llmmos l mtriz de vents del ño y l del ño ) Dr el signifido de los elementos y. ) Clulr ls vents totles de los dos ños de d produto y d región. ) Clulr e interpretr - d) L gereni de l empres hí proyetdo pr el ño 6 un % de inremento en ls vents de los produtos en tods ls regiones respeto l ño. Clulr l difereni entre los niveles de vent proyetdos y los niveles de vent reles del ño. ) nos L mtriz los números de tres tipos de uents nris el primero de enero en el no Centrl y sus suursles. = Cuents de heques Cuents de horro Depósitos y plzos fijos Ofiin mtriz 8 7 Suursl del Oeste 8 Suursl del Norte 7 6 L mtriz represent los números y tipos de uent ierts durnte el primer trimestre y L mtriz C se refiere los números y tipos de uents errds durnte el mismo período C ) Enuentre l mtriz D, l ul represent el número de d tipo de uent l finl del primer trimestre en d lugr. ) Deido l pertur de un empres ern se prevee un inremento en un % en l ntidd de uents en d lugr durnte el segundo trimestre. Esri un mtriz E que refleje este inremento previsto.

22 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries ) ( Costos de trnsporte) Un ompñí tiene plnts en tres pises: rgentin rsil y Chile, y utro entros de distriuión en los lugres D, E, F y G. El osto (en dolres) de trnsportr d unidd de su produto de un plnt un entro de distriuión está ddo por l mtriz siguiente: C D 6 8 E 8 F 6 G 6 8 ) Si los ostos de trnsporte se inrementn uniformemente en $ por unidd. Cuál es l nuev mtriz? ) Si los ostos de trnsportión se elevn en un %, esri los nuevos Costos en form mtriil. ) Un omerinte tiene en su depósito pr vender en el mes del mundil, diez televisores LCD de, doe de, quine de y diez de 9. Los televisores de se venden $ 8 d uno, los de $, los de, $ y los de 9 $. ) Exprese los vetores de stok y de preios. ) Relie un vlorión del inventrio medinte el produto de esos vetores. ) Un empresrio del espetáulo plne onstruir un ine, sl de fiests y pellón de deportes en tres loliddes L, L, L. Según un muestreo previo, ls preferenis de dihos iuddnos (en tnto por iento) se plsmn en l siguiente mtriz: Si el totl de hitntes, myores de 6 ños, de ls iuddes itds vienen ddo por l mtriz fil: Investig que tipo de espetáulo tendrá myor número lientes. ) Un den de supermerdos retriuye sus empledos más efiientes medinte un pg extrordinri nul si sorepsn ierto nivel de resultdos, y demás les osequi on onos de ompr en sus estleimientos por vlor de euros. El ño psdo tres empledos de dministrión otuvieron euros en plt y en onos, empledos de tiends reiieron euros y onos, y persons del equipo diretivo reiieron 6 euros y 8 onos. Clúlese el totl de retriuiones efetuds utilizndo mtries, e interprete el resultdo.

23 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries 6) En un ppelerí vn vender rpets, udernos y lpiers, grupándolos en tres tipos de lotes: - Lote : rpet, uderno y lpier. - Lote : rpet, udernos y lpiers. - Lote C: rpets, udernos y lpiers. Cd rpet uest $, d uderno $ y d lpier $,. i) Esrie un mtriz que desri el ontenido (número de rpets, udernos y olígrfos) de d lote. ii) Otén mtriilmente el preio totl de d uno de los lotes, y C. 7) En un urso de postgrdo hy lumnos de tres provinis: Sntigo, Tuumán y Ctmr, distriuidos por omisiones I, II, III y IV, según l mtriz de l izquierd: I II III IV S 6 8 T 8 C 8 S T C 6 8 L dministrión del urso h elordo dos posiles forms de pgo y ( en pesos) de uerdo l proedeni de d lumno según se muestr en l mtriz dereh. Expres en form de mtriz lo que se reudrí por omisión pr d pln propuesto. 8) En tres hipermerdos diferentes, el preio del litro de eite de oliv y el de eite de girsol es: Hiperm. Preio del eite de oliv Preio del eite de girsol lf,, et,, gmm,8, L fmili Diz ompr d mes litros de eite de oliv y litro de eite de girsol. L fmili Perez dquiere litros de eite de oliv y litros de eite de girsol l mes. Clúlese, utilizndo mtries, el gsto totl en eite relizdo mensulmente por d fmili según el hipermerdo que ompre. Un fári de olígrfos (P), enendedores (P) y llveros (P) requiere pr su elorión tint (M), gs (M), metrilto (M) y leión metáli (M). Dos distriuidores (D y D) se enrgn de distriuir los estleimientos omeriles los meniondos produtos. Se pues:

24 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries nexo de teorí Espio vetoril de Mtries: L sum de mtries es un Ley de Composiión Intern en R Simólimente: :R m x n on x R m x n (, ) R m x n (,) C i, j : El produto de un eslr por un mtriz es un Ley de Composiión Extern en R on operdor. m x n m x n : R x R R (, ) (, ). Simólimente:. i, j :. Propieddes de l Sum de Mtries. S: L Sum de mtries es soitiv.,, C K : ( ) C ( C) ( ) ( ) S: Existe Neutro respeto de l Sum de mtries. Es l mtriz nul R / R : S: Existe Inverso ditivo pr d mtriz respeto de l sum de mtries R, R / : ( ) ( ) ( ) ( ) S: L sum de mtries es Conmuttiv, R ) : ( ) ( Propieddes del Produto por Eslr. Pr: El Produto de un Eslr por un Mtriz es soitiv Mixt.. R,, R : (. )..(. ) )..(. ) ( Pr: Distriutividd del produto en R,, R : ( ). ( )... m xn R respeto de l sum en R. Pr: Distriutividd del produto en R respeto de l sum en R, R :.(.( ).. ij ij ij ij ).... m xn R. Trz de un Mtriz. L Trz de un mtriz udrd es l sum de los elementos de l digonl prinipl. Si n x n R Tr() n i i i... n n

25 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Vetores y Mtries - Pr Ejeritrse ) nliz si los vetores de (R, +,.) : (6,, -, 9), (,,, 8), (,,,-), (,,, ) Son linelmente independientes. ) Se se que los vetores de (R, +,.): (,, -), (,, ), (, x, -) son linelmente dependientes. Hll el vlor de x. ) determinr si v v es ominión linel de u u v = (-,,,-) v = (,,,) u = (-,,,) u =(,,,7) ) Estudi l dependeni o independeni linel del onjunto de vetores: u = (,,, ) ; u = (,,, ) y u = (,,, ) ) Esriir ls mtries definids por ls siguientes expresiones: R x, = ( ij ) on ij = i j R x, = ( ij ) on ij = -i + j C R x, C = ( ij ) on ij = i j j si si i i j j 6) Clulr el vlor de k y p pr que ls mtries E y F resulten igules: E = p 7 p k k y F = k 7) Hllr un mtriz M, tl que: - + M = x 6 8) Determinr X, tl que: / X - =, on : 9) Ddos X, Y mtries, resuelve: X X Y Y 6 ) Dds ls mtries: C i) Efetur:. y luego. C ii) Pror que el produto..c es soitivo.

26 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries ) Pror l propiedd soitiv del produto on, y C :,, C 8 ) Clulr C t. t. t on ls mtries del ejeriio nterior:,, C 8 ) Demostrr que el produto de dos mtries digonles es otr mtriz digonl. Es onmuttivo este produto? ) Se puede multiplir ls mtries dds? Qué resultdo se otiene? ) Si., omprue que: ( I ) = 6) Se verifi que I. =?, siendo: I = y = ) Dds ls mtries y : i) Compruee que : = x, y que no neesrimente = x o = x ii). = x? 8) Hlle tods ls mtries de tres olumns que verifiquen:. = 9) Reduir l mtriz medinte operiones elementles ) L mtriz equivlente ) Un mtriz tringulr inferior. = = 6 6

27 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries ) Verifir que l mtriz es igul su invers ) Dds ls mtries: = 6 7 = 8 9 i) Verifir que es l invers de plindo l definiión. ii) plir el proeso de Guss l mtriz pr otener. ) Reliz ls operiones indids on ls siguientes mtries: ; ) (+) ) +. + ). - d) (+ - ). - Compr los resultdos de on,, ) Dds ls mtries: =,,8 ) Clulr l trz de d un., = 8 8 8, C = 6 8 ) Clulr l trz de C t Qué ourre? ) Verifique que ( t ) - = ( - ) t on = ) 6) Clulr el rngo de ls siguientes mtries plindo operiones elementles de fil. Pr ls mtries udrds uyo rngo se igul su orden, enuentre ls respetivs inverss. = -6-6 C 7) Si el rngo de d e f =, Puede ser el rngo de d d e e f f =? 7

28 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Ejeriios on enunidos eonómios: 8- Un empres fri tipos de rtíulos R, S y T. Los preios de oste y los de vent por Unidd, y el número de uniddes vendids de d rtíulo quedn reflejds en est tl: Semos que ls mtries de ostes e ingresos, C e I, son digonles y que l mtriz de vent, V, es un mtriz fil. ) Determin ls mtries C, I y V. ) Otén, prtir de los nteriores, l mtriz de ingresos nules,, orrespondiente los tres rtíulos, l mtriz de gstos nules, G, y l de enefiios nules,. 9) Rmiro y Dniel tienen iones de l ols dds por l mtriz : NEC YPF Movi MP Rmiro 6 Dniel NEC YPF Movi MP l ierre de ls operiones en ierto dí, los preios de ls iones están ddos por. Clule. y explique el signifido de l mtriz produto. ) En un erí se frin tres tipos de produtos que llmremos,, y C, que se otienen prtir de htrr, rón minerl y ierts leiones metális, según l tl djunt, que represent ls uniddes de d mteril neesri pr frir un unidd de produto: Otener un mtriz que indique ls ntiddes de htrr, rón y leiones neesris pr l produión de 6 uniddes de, de y de C. ) Un Fári textil de uzos pr lumnos de l seundri reiió enrgos pr l onfeión de un modelo de uzos pr un olegio I, otro modelo de uzos pr un olegio II y un modelo C pr un olegio III. Siendo los pedidos de, y uniddes pr d olegio respetivmente. En l mtriz siguiente están representdos los insumos neesrios pr d rtíulo. Tels [ m ] Cierres [ u ] Hilo [ u ] Tiempo de onfeión En form mnul[ Hs] Modelo, Modelo 6 Modelo C 8

29 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries ) Que ntiddes de d tipo de insumo deen empler l s pr relizr los distintos pedidos? ) Si el metro de tel uest $, el ierre $, l hor trjd $ y el hilo $. Cuál es el osto de d onfeión? ) Si otr fári requiere de los mismos insumos pero tiene un mquin que trd en onfeionr l mitd del tiempo estipuldo en l primer umentrá el osto de los uzos? d) Clule el osto totl de los enrgos en d uno. ) L mtriz = 6 represent ls neesiddes ténis por unidd de produto pr l produión de los rtíulos y. L primer fil se refiere ls neesiddes de mno de or ( número de hors que h de trjr un homre por unidd de produto), y l segund fil expres el tiempo que dee funionr l máquin por unidd de produto. L primer olumn indi ls neesiddes del produto y l segund olumn nos die que requiere. El próximo mes se pretende frir uniddes de y de. Clúlese, mtriilmente, uánts hors - homres es neesrio ontrtr y uánto tiempo deerá estr funionndo l máquin. ) L mtriz d el porentje de votntes elegiles en l Ciudd de Sn Lorenzo, lsifidos según su filiión prtidist y grupo de edd. menor de ños myor de Rdil F. Vitori izquierd,,,,,,,,, menor de.. myor de. L polión de votntes elegiles en l Ciudd por grupo de edd está dd por l mtriz. Hlle un mtriz que proporione el número totl de votntes elegiles en l Ciudd que votrán por los diferentes ndidtos propuestos. ) Un den de supermerdos retriuye sus empledos ms efiientes medinte un pg extrordinri nul si sorepsn ierto nivel de resultdos, y demás les osequi onos on ompr en sus estleimientos por vlor de $. El ño psdo empledos de dministrión otuvieron euros en metálios y onos empledos de ls tiends reiieron 6 pesos y onos, y persons del equipo diretivo reiieron 9 pesos y 8 onos. Clúlese el totl de ls retriuiones efetuds utilizndo mtries, e interprete el resultdo. ) Un estudinte gn $ por hor imprtiendo lses prtiulres, $6 por hor psndo trjos en omputdor y $, por hor trjndo en un Cier. El número de hors que h trjdo durnte los últimos meses en d tividd está dd por l mtriz: Clúlese l mtriz de preios totles e interprete ests mtries. Clses prtiulres Trjos on omputdor Cier Mrzo ril Myo Junio 6 9

30 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries 6) Supóngse que un ontrtist le fue djudid por liitión l onstruión de uniddes ediliis que según el destino están distriuids en l tl I. Ls ntiddes de mteriles y de mno de or pr d tipo de edifiión están ontemplds en l tl II. L tl III nos rind informión er de los ostos unitrios de mteriles y mno de or. TL I TL III [ en $ ] Lol Dúplex Plnt Mmposterí 7 Come 7 Uni Hormigón ril Revestimientos Crpinterí Instliones Mno de or TL II Mmposterí [ m ] Hormigón [ m ] Revestimientos [ m ] Crpinterí [glol] Instliones [glol] Mno de Or [ Hs ] Lol Comer., 6 Dúplex 7, 8 Plnt Uni 8 8,8 7 Se requiere onoer: ) Demnd totl de mteriles y mno de or pr onstruir ls uniddes funionles ) El osto totl pr d tipo de edifiión. ) El osto totl de l or. 7) En un tller de tpierí se quieren tpizr sills y sofás. Cd sill requiere hor de mno de or pr ortr ls tels y hors pr oer y pegr. Cd sofá neesit, hors pr ortr y 8 hors pr oer y pegr. Si se dispone dirimente de 6 hors pr ortr y 6 hors pr oser y pegr, Cuánts sills y sofás se pueden tpizr l dí si se utilizn tods ls hors disponiles? 8) (Sistem de preios) Un empres produe lvrrops, liudors y ventildores en serie. Dispone de $. pr l ompr de motores, $. destindos rmzones y $. pr mirohips. Qué preios unitrios dee pgr por los motores, los rmzones y los mirohips si l mtriz de requerimientos de insumos es = ( Sugereni: llme on P l mtriz preio y on X l mtriz de preios unit.)

31 Mtemáti pr C.P.N. Unidd Nº - Espio vetoril de Mtries Cuestiones tipo test - Cuál de ls siguientes firmiones es iert? ) Todo mtriz digonl es eslr ) Tod mtriz tringulr es digonl ) Tod mtriz eslr es tringulr d) Tod mtriz identidd es digonl pero no eslr. - Sen,, C mtries udrds del mismo orden, on inversile, tles que: C+ =. Entones es flso que se verifique: ) C = ) C = ( ). - ) =.(I C) d) +.(C I ) = - Cuál de ls siguientes firmiones es iert? ) Existen mtries udrds y del mismo orden tles que existe () - pero no - ) Existen mtries, y C tles que = C pero C. ) Existen mtries y on D() = verifindo = I d) Existen mtries, y C on D() tles que = C pero C. - Sen y dos mtries udrds del mismo orden. simétri y ntisimétri. Entones: ) es simétri ) es ntisimétri. ) = d) Ningun de ls firmiones nteriores es orret. - Se un mtriz udrd de orden y de rngo. Si le ñdimos un fil, el rngo de l nuev mtriz: ) Sigue siendo ) Ps ser ) Puede ser o d) Puede ser o 6- Dd l mtriz =, se verifi: ) es inversile si y solo si = - ) es simétri si y solo si = - ) Rg() = si y solo si = d) Ningun de ls firmiones nteriores es orret. 7- Sen y dos mtries tles que = nxn y inversile. Entones: ) = nxn ) = nxn ) nxn d) No se se 8- Si.X. = C, on y inversiles, entones: ) X = -. -.C ) X = C ) X = -. C. - d) X = -.C. -

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